Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Taller

E.D.O
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Prof. Jorge Enrique Triviño
Facultad de Matemáticas Y Fisica
Universidad De La Amazonia
Fecha: 30, 31 De Mayo
Prof. Jorge Enrique Triviño - Universidad De La Amazonia E.D.O

Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller está orientado hacia la construcción de ecuaciones diferen-
ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-
enciales tratan de cómo predecir el futuro.

Taller
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son
las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-
rirán. Del cálculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas
y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que
tratan las ecuaciones diferenciales.

Taller
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son
las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-
rirán. Del cálculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas
y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que
tratan las ecuaciones diferenciales.
• Convertir las reglas que gobiernan la evolución de una cantidad es
una ecuación diferencial se llama una modelación y en este taller
construiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de las
ecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad que
se está modelando.

Taller
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:

Taller
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.

Taller
de la cantidad.
2 Las técnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la
gráfica de la cantidad de como función del tiempo, y en la
descripción del comportamiento a largo plazo.

Taller
de la cantidad.
3 Las técnicas numéricas que requieren cálculos aritméticos que den
aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.

Taller
de la cantidad.
3 Las técnicas numéricas que requieren cálculos aritméticos que den
aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea m´ınima del cálculo
de derivadas y de la teoria de integración.

Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:

Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.

De la segunda ley de Newton tenemos que:

ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)

ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez
la ecuaci´on (1), obtenemos que:

ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez
la ecuaci´on (1), obtenemos que:
v(t) =
dy
dt
= −gt + c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.

Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:

y(t) = −
1
2
gt2
+ c1t + c2 (3)
Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t.

y(t) = −
1
2
gt2
+ c1t + c2 (3)
Es la posición del cuerpo en el tiempo t.
¿Cómo hallar las contantes c1 y c2?
¿Cómo podemos llamar la ecuacion (3)?

2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en dirección ra-
dial fuera de la Tierra, cuando sobre ésta actúa unicamente la fuerza
de gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta dirección
radial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efecto
por completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. La
gráfica ilustra la situación:

La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.

La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)

a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
Nótese que la aceleración es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.
Si r = R entonces a = −g −→ aceleración devida a la gravedad en la
superficie de la Tierra.

a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
Luego, − g = −
K
a
(2)

a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
Luego, − g = −
K
a
(2)
De (1) K = −ar2
(3)

y de (2) K = gR2
(4)

y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)

y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces

y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)

y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:

y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
v
dv
dr
=
−gR2
r2
(6)

Separando variables en (6) e integrando obtenemos

v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)

v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la
forma

v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la
forma
v2
=
2gR2
r
+ v2
0 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula

La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.

0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
0 − 2gR ≤ 0, habrá un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro
derecho de la ecuación (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendrá, la
velocidad cambiará de positiva a negativa y la particula regresaria a la
Tierra.

0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
Tierra.
Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.

0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
Tierra.
Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerar
g = 9,81m/seg2
y R = 6370Km

ENFRIAMIENTO DE CUERPOS

La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces

tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)

tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuación se puede resolver por el método de separación
de variables, para obtener la solución general:

tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuación se puede resolver por el método de separación
de variables, para obtener la solución general:
T(t) = Tm + (T0 − Tm)ekt

Ejemplo: Un termómetro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos después se descubre que la lectura del termómetro es
de 25◦
F.

F en el
10◦
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.

F en el
10◦
de 25◦
F.
Soluci´on:

F en el
10◦
de 25◦
F.
Soluci´on:
Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que
T(0) = T0 = 70◦
F, Tm = 10◦
F, T(3) = 25◦
F y al aplicarlos en la
soluci´on general obtenemos que

F en el
10◦
de 25◦
F.
Soluci´on:
Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que
T(0) = T0 = 70◦
F, Tm = 10◦
F, T(3) = 25◦
F y al aplicarlos en la
soluci´on general obtenemos que
T(t) = 10 + 60e−0,46t

CONVERSION QUIMICA SIMPLE

La conversión quimica simple se utiliza cuando mediante una reacción
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuación diferencial

dx
dt
= −kx, donde k > 0

dx
dt
y cuya soluci´on es de la forma:

dx
dt
y cuya soluci´on es de la forma:
x(t) = x0e−kt

La gráfica de la solución es de la forma:

Ejemplo: Supongamos que al ﬁnal de medio minuto en t = 30s, dos
terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar
la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.

Ejemplo: Supongamos que al ﬁnal de medio minuto en t = 30s, dos
terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar
la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
Del x(30) = x0e−30K
=
x0
3
, obtenemos que K =
Ln3
30
y
x(t) = x0e− Ln3
30 t
, luego x(60) =
x0
9

CRECIMIENTO POBLACIONAL

Hallar la ecuación diferencial que expresa el número de habitantes y de un
pais en función del tiempo. Como el aumento de la población se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas está dada
por:

por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,

por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.

por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:

por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
dy
dt
= ay donde a = k − h

por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
dy
dt
Si hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es:

por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
dy
dt
Si hay inmigración, la nueva ecuación es:
dy
dt
= ay + b,
donde b representa el número de inmigrantes.

Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:

la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.

la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
De la condici´on inicial y(0) = c −
b
a
= y0, obtenemos que c = y0 +
b
a
y
por lo tanto una soluci´on particular es

la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
b
a
b
a
y
y(t) = y0 +
b
a
eat
−
b
a
.

la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
b
a
b
a
y
y(t) = y0 +
b
a
eat
−
b
a
.
¿Cómo es la gráfica de y(t)?

Ejemplo: Un modelo simple

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta proporcionalmente
a la cantidad presente. Si la población se duplicó en cinco años. ¿En cuánto
tiempo se triplicará y cuadruplicará?

Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de
valor inicial asociado es:

Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de
valor inicial asociado es:



dP
dt
= kP
P(0) = Po

Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt
. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblaci´on es:

P(t) = Poe0,138629t

P(t) = Poe0,138629t
Nótese que P(3) = 7,92 años y P(4) = 10 años.

ACUMULACION DE CAPITAL

Consideremos el problema sobre la acumulación de capital. La función
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interés
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:

(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,

dy
dt
= ky − b,

dy
dt
= ky − b,
Donde k > 0 y la solución general de la ecuación es de la forma y(t) =
cekt
+ b. Al analizar la condición inicial y(0) = ce0t
+ b = yo, obtenemos
que c = y − b y la solución particular toma la forma:

dy
dt
= ky − b,
Donde k > 0 y la solución general de la ecuación es de la forma y(t) =
cekt
+ b. Al analizar la condición inicial y(0) = ce0t
+ b = yo, obtenemos
que c = y − b y la solución particular toma la forma:
y(t) = yo −
k
b
ekt
+
b
k

N´otese que si:

N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.

N´otese que si:
si yo >
b
k
si yo <
b
k
el capital y(t) decrece.

N´otese que si:
si yo >
b
k
si yo <
b
k
si yo =
b
k
el capital y(t) permanece constante.

Nótese que si:
si yo >
b
k
si yo <
b
k
si yo =
b
k
el capital y(t) permanece constante.
La siguiente gráfica ilustra la situación anterior.

ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes

La ecuaci´on de la forma

ay + by + cy = 0 (1)

ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:

ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
y y (x) = λ2
eλx
.
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0

ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
y y (x) = λ2
eλx
.
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.

ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
y y (x) = λ2
eλx
.
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a

ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
y y (x) = λ2
eλx
.
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante
√
b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:

a) Si b2
− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x

a) Si b2
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
b) Si b2
− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −
b
2a
= λ. En ´este caso y1(x) = eλx
y
y2(x) = xeλx
y(x) = c1eλx
+ c2xeλx

a) Si b2
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
b) Si b2
− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −
b
2a
= λ. En éste caso y1(x) = eλx
y
y2(x) = xeλx
y(x) = c1eλx
+ c2xeλx
c) Si b2
− 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En éste caso y1(x) =
eax
cos(bx); y2(x) = eax
sin(bx) y la solución general es:
y(x) = c1eax
cos(bx) + c2 sin(bx)

Vibraciones en sistemas mec´anicos

¿Cuando se producen vibraciones?

Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:

d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)

d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas.

La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.

Segunda Ley De Newton:

FR = -kx = ma = m
d2
x
dt2

FR = -kx = ma = m
d2
x
dt2
d2
x
dt2
+
k
m
x = 0, o,
d2
x
dt2
+ a2
x = 0 ; a2
=
k
m

Ecuaci´on auxiliar: λ2
+
k
m
= 0 ⇐⇒ λ = ±
k
m
i

Ecuaci´on auxiliar: λ2
+
k
m
= 0 ⇐⇒ λ = ±
k
m
i
x1t = cos
k
m
t = cos(at)
x2t = sin
k
m
t = sin(at)



x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)
Soluci´on General

Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:

x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0

x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La soluci´on particular es:
x(t) = xo cos(at)

aT = 2π ; T =
2π
a
=
2π
k
m
= 2π
m
k

aT = 2π ; T =
2π
a
=
2π
k
m
= 2π
m
k
Tambien f =
1
T
=
a
2π
=
1
2π
k
m

Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas

Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).

Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.

Fa = −c
dx
dt
Luego, la nueva ecuaci´on es:

Fa = −c
dx
dt
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0

Fa = −c
dx
dt
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = 0 ⇐⇒
d2
x
dt2
+
c
m
dx
dt
+
k
m
x = 0

Fa = −c
dx
dt
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = 0 ⇐⇒
d2
x
dt2
+
c
m
dx
dt
+
k
m
x = 0
⇐⇒
d2
x
dt2
+ 2b
dx
dt
+ a2
x = 0, donde 2b =
c
m
⇐⇒ b =
c
2m
y a2
=
k
m

Vibraciones amortiguadas

La ecuaci´on auxiliar: λ2
+ 2bλ + a2
= 0

+ 2bλ + a2
= 0
λ1,2 =
−2b ±
√
4b2 − 4a2
2
=
−2b ± 2
√
b2 − a2
2
= −b ± b2 − a2

+ 2bλ + a2
= 0
λ1,2 =
−2b ±
√
4b2 − 4a2
2
=
−2b ± 2
√
b2 − a2
2
= −b ± b2 − a2
La naturaleza de las raices dependen del discriminante
√
b2 − a2. Consid-
eremos los siguientes casos:
a) Si b2
−a2
> 0 ⇐⇒ b > a: La fuerza de fricción debida a la viscocidad
es grande en comparación con la rapidéz del resorte. En este caso
λ1, λ2 ∈ R y λ1 = λ2.
x1(t) = eλ1t
, x2(t) = eλ2t
, y, x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t

Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:

x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t

x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0

x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0

x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =
−λ1xo
λ2 − λ1
=
λ1xo
λ1 − λ2

x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =
−λ1xo
λ2 − λ1
=
λ1xo
λ1 − λ2
c1 = xo − c2 =
xo
1
+
λ1xo
λ1 − λ2
=
λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2
=
−λ2xo
λ1 − λ2
−λ2xo
λ1 − λ2
−λ2xo
λ1 − λ2

Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =
−λ2xo
λ1 − λ2
eλ1t
+
λ1xo
λ1 − λ2
eλ2t

Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =
−λ2xo
λ1 − λ2
eλ1t
+
λ1xo
λ1 − λ2
eλ2t
x(t) =
xo
λ1 − λ2
λ1eλ2t
− λ2eλ1t
, λ1 = λ2

b) Si b2
− a2
= 0 ⇐⇒ b = a, esto signiﬁca la viscocidad disminuye.
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at

b) Si b2
− a2
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
x (t) = −ac1e−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)

b) Si b2
− a2
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)
Aplicando las condiciones iniciales:

b) Si b2
− a2
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo

b) Si b2
− a2
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo
x (0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo

x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]

x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.

x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2

x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
x1(t) = e−bt
cos(αt), x2(t) = e−bt
sin(αt)

x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
x1(t) = e−bt
cos(αt), x2(t) = e−bt
sin(αt)
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt)

Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0

x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y

x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)

x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo

x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo

x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
b
α
xo
La soluci´on particular es de la forma:

x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
b
α
xo
x(t) = xoe−bt
cos(αt) +
b
α
xoe−bt
sin(αt)

x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
b
α
xo
x(t) = xoe−bt
cos(αt) +
b
α
xoe−bt
sin(αt)
x(t) =
xo
α
e−bt
[α cos(αt) + b sin(αt)]

Ahora:

Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ

Ahora:
La igualdad anterior es cierta si y solo si
α = cos θ; sin θ = −b | α2
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12

Ahora:
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
−
b
α
=
sin θ
cos θ
= tan θ | θ = tan−1
−
b
α

Ahora:
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
−
b
α
=
sin θ
cos θ
= tan θ | θ = tan−1
−
b
α
x(t) =
xo
α
e−bt
[cos(αt − θ)] | x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]

Como αT = 2π, T =
2π
α
=
2π
a2 − b2
=
2π
k
m
−
c2
4m2
, y

Como αT = 2π, T =
2π
α
=
2π
a2 − b2
=
2π
k
m
−
c2
4m2
, y
f =
1
T
=
α
2π
=
1
2π
a2 − b2 =
1
2π
k
m
−
c2
4m2

Bibliografia
• Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela-
do. Editorial Thomson. Sexta Edición.
• Rainville - Bedien. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hill. Octave
Edición 1998.
• R. Kent Nagle, Eduard B. Saff. Fundamentos de Ecuaciones Diferen-
ciales. Ed. Addison Wesley. Iberoamericana 1998.
• J. E. Triviño M. Ecuaciones Diferenciales. Libro en proceso de edición.

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