1. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 1
CALCULO DE POLIGONAL CERRADA
En los siguientes problemas, se analizarĂĄn las cuatro posibilidades del calculo de
azimutes, segĂșn se tengan ĂĄngulos internos o externos, y segĂșn se resuelvan los
azimutes en sentido horario o antihorario, dependiendo del azimut inicial.
1.- Calcular la poligonal cerrada:
1a.- Caso de tener Azimut de A a B (sentido antihorario, ĂĄngulos internos)
E
F αE
D
αF αD
αA AZAB αC
A
αB
C
B
Datos:
AZAB = 121Âș 12â 13â
αA = 92Âș 40â 44â DAB = 52,97 m.
αB = 132Âș 27â 53â DBC = 60,37 m.
αC = 129Âș 38â 23â DCD = 43,01 m.
αD = 87Âș 48â 34â DDE = 63,42 m.
αE = 133Âș 12â 35â DEF = 48,25 m.
αF = 144Âș 12â 40â DFA = 35,32 m.
Calculo de los ĂĄngulos internos.
Por definiciĂłn, Σα = (n â 2) 180Âș = (6 â 2) 180Âș = 720Âș
2. 2 Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada
Sumando los ĂĄngulos internos medidos tenemos:
Σα = 720Âș 00â 49â
La diferencia de valor entre los ĂĄngulos medidos y el valor teĂłrico es de 49â. La
compensaciĂłn total serĂĄ en consecuencia de â49â.
La compensaciĂłn para cada ĂĄngulo medido es: -49â/6 = -8â,17
CĂĄlculo de las correcciones de los ĂĄngulos.
αA = 92Âș 40â 44â â 8â,17 = 92Âș 40â 35â,83
αB = 132Âș 27â 53â â 8â,17 = 132Âș 27â 44â,83
αC = 129Âș 38â 23â â 8â,17 = 129Âș 38â 14â,83
αD = 87Âș 48â 34â â 8â,17 = 87Âș 48â 25â,83
αE = 133Âș 12â 35â â 8â,17 = 133Âș 12â 26â,83
αF = 144Âș 12â 40â â 8â,17 = 144Âș 12â 31â,83
CĂĄlculo de Azimutes.
AZAB = 121Âș 12â 13â
AZBC = AZAB + αB ± 180Âș = 121Âș 12â 13â + 132Âș 27â 44â,83 â 180Âș
AZBC = 73Âș 39â 57â,83
AZCD = AZBC + αC ± 180Âș = 73Âș 39â 57â,83 + 129Âș 38â 14â,83 â 180Âș
AZCD = 23Âș 18â 12â,66
AZDE = AZCD + αD ± 180Âș = 23Âș 18â 12â,76 + 87Âș 48â 25â,83 + 180Âș
AZDE = 291Âș 6â 38â,49
AZEF = AZDE + αE ± 180Âș = 291Âș 6â 38â,59 + 133Âș 12â 26â,83 + 180Âș
AZEF = 244Âș 19â 5â,32
AZFA = AZEF + αF ± 180Âș = 244Âș 19â 5â,42 + 144Âș 12â 31â,83 + 180Âș
AZFA = 208Âș 31â 37â,1
Calculo de las proyecciones.
âNAB = DAB Ă cos AZAB = 52,97 Ă cos 121Âș 12â 13â
âNAB = -27,44 m.
âEAB = DAB Ă sen AZAB = 52,97 Ă sen 121Âș 12â 13â
âEAB = 45,31 m.
3. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 3
âNBC = DBC Ă cos AZBC = 60,37 Ă cos 73Âș 39â 57â,83
âNBC = 16,98 m.
âEBC = DBC Ă sen AZBC = 60,37 Ă sen 73Âș 39â 57â,83
âEBC = 57,93 m.
âNCD = DCD Ă cos AZCD = 43,01 Ă cos 23Âș 18â 12â,66
âNCD = 39,50 m.
âECD = DCD Ă sen AZCD = 43,01 Ă sen 23Âș 18â 12â,66
âECD = 17,01 m.
âNDE = DDE Ă cos AZDE = 63,42 Ă cos 291Âș 6â 38â,49
âNDE = 22,84 m.
âEDE = DDE Ă sen AZDE = 63,42 Ă sen 291Âș 6â 38â,49
âEDE = -59,16 m.
âNEF = DEF Ă cos AZEF = 48,25 Ă cos 244Âș 19â 5â,32
âNEF = -20,91 m.
âEEF = DEF Ă sen AZEF = 48,25 Ă sen 244Âș 19â 5â,32
âEEF = -43,48 m.
âNFA = DEF Ă cos AZFA = 35,32 Ă cos 208Âș 31â 37â,1
âNFA = -31,03 m.
âEFA = DEF Ă sen AZFA = 35,32 Ă sen 208Âș 31â 37â,1
âEFA = -16,87 m.
ÎŁâN: ÎŁâE:
-27,44 45,31
16,98 57,93
39,50 17,01
22,84 -59,16
-20,91 -43,48
-31,03 -16,87
ÎŁ = -0,06 ÎŁ = 0,74
El error en âN es de â0,06 m, por lo tanto su correcciĂłn total serĂĄ + 0,06 m.
El error en âE es de 0,76 m, por lo que su correcciĂłn total serĂĄ de â 0,74 m.
Calculo de las correcciones de las proyecciones.
La correcciĂłn lineal se realiza siguiendo la forma:
âNi corregido = âNi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âN
âEi corregido = âEi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âE
4. 4 Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada
Longitud total = ÎŁ lados = 303,34 m.
âNAB corregido = -27,44 + (52,97)/(303,34) Ă 0,06 = -27,43 m.
âNBC corregido = 16,98 + (60,37)/(303,34) Ă 0,06 = 16,99 m.
âNCD corregido = 39,50 + (43,01)/(303,34) Ă 0,06 = 39,51 m.
âNDE corregido = 22,84 + (63,42)/(303,34) Ă 0,06 = 22,85 m.
âNEF corregido = -20,91 + (48,25)/(303,34) Ă 0,06 = -20,90 m.
âNFA corregido = -31,03 + (35,32)/(303,34) Ă 0,06 = -31,02 m.
âEAB corregido = 45,31 + (52,97)/(303,34) Ă (â 0,74) = 45,18 m.
âEBC corregido = 57,93 + (60,37)/(303,34) Ă (â 0,74) = 57,78 m.
âECD corregido = 17,01 + (43,01)/(303,34) Ă (â 0,74) = 16,91 m.
âEDE corregido = -59,16 + (63,42)/(303,34) Ă (â 0,74) = -59,31 m.
âEEF corregido = -43,48 + (48,25)/(303,34) Ă (â 0,74) = -43,60 m.
âEFA corregido = -16,87 + (35,32)/(303,34) Ă (â 0,74) = -16,96 m.
Calculo de las coordenadas de los puntos.
NB = NA + âNAB = 1000 + (-27,43) = 972,57 m.
EB = EA + âEAB = 1000 + 45,18 = 1045,18 m.
NC = NB + âNBC = 972,57 + 16,99 = 989,56 m.
EC = EB + âEBC = 1045,18 + 57,78 = 1102,96 m.
ND = NC + âNCD = 989,56 + 39,51 = 1029,07 m.
ED = EC + âECD = 1102,96 + 16,91 = 1119,87 m.
NE = ND + âNDE = 1029,07 + 22,85 = 1051,92 m.
EE = ED + âEDE = 1119,87 + (-59,31) = 1060,56 m.
NF = NE + âNEF = 1051,92 + (-20,90) = 1031,02 m.
EF = EE + âEEF = 1060,56 + (-43,60) = 1016,96 m.
NA = NF + âNFA = 1031,02 + (-31,02) = 1000,00 m.
EA = EF + âEFA = 1016,94 + (-16,96) = 1000,00 m.
1b.- Caso de tener Azimut de A a F (sentido horario, ĂĄngulos internos)
AZAF = 28Âș 31â 37â,17
Como ya tenemos los angulos compensados, se procede a calcular los azimutes.
5. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 5
AZFE = AZAF + αF â 180Âș = 28Âș 31â 37â,17 â 144Âș 12â 31â,83 + 180Âș
AZFE = 64Âș 19â 5â,34
AZED = AZFE + αE â 180Âș = 64Âș 19â 5â,34 â 133Âș 12â 26â,83 + 180Âș
AZED = 111Âș 6â 38â,51
AZDC = AZED + αD â 180Âș = 111Âș 6â 38â,51 â 87Âș 48â 25â,83 + 180Âș
AZDC = 203Âș 18â 12â,6
AZCB = AZDC + αC â 180Âș = 203Âș 18â 12â,6 â 129Âș 38â 14â,83 + 180Âș
AZCB = 253Âș 39â 57â,7
AZBA = AZCB + αB â 180Âș = 253Âș 39â 57â,7 â 132Âș 27â 44â,83 + 180Âș
AZBA = 301Âș 12â 12â,8
Calculo de las proyecciones.
âNAF = DAF Ă cos AZAF = 35,32 Ă cos 28Âș 31â 37â,17
âNAF = 31,03 m.
âEAF = DAF Ă sen AZAF = 35,32 Ă sen 28Âș 31â 37â,17
âEAF = 16,87 m.
âNFE = DFE Ă cos AZFE = 48,25 Ă cos 64Âș 19â 5â,34
âNFE = 20,91 m.
âEFE = DFE Ă sen AZFE = 48,25 Ă sen 64Âș 19â 5â,34
âEFE = 43,48 m.
âNED = DED Ă cos AZED = 63,42 Ă cos 111Âș 6â 38â,51
âNED = -22,84 m.
âEED = DED Ă sen AZED = 63,42 Ă sen 111Âș 6â 38â,51
âEED = 59,16 m.
âNDC = DDC Ă cos AZDC = 43,01 Ă cos 203Âș 18â 12â,6
âNDC = -39,50 m.
âEDC = DDC Ă sen AZDC = 43,01 Ă sen 203Âș 18â 12â,6
âEDC = -17,01 m.
âNCB = DCB Ă cos AZCB = 60,37 Ă cos 253Âș 39â 57â,7
âNCB = -16,98 m.
âECB = DCB Ă sen AZCB = 60,37 Ă sen 253Âș 39â 57â,7
âECB = -57,93 m.
6. 6 Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada
âNBA = DBA Ă cos AZBA = 52,97 Ă cos 301Âș 12â 12â,8
âNBA = 27,44 m.
âEBA = DBA Ă sen AZBA = 52,97 Ă sen 301Âș 12â 12â,8
âEBA = -45,31 m.
ÎŁâN: ÎŁâE:
-27,44 45,31
16,98 57,93
39,50 17,01
22,84 -59,16
-20,91 -43,48
-31,03 -16,87
ÎŁ = -0,06 ÎŁ = 0,74
El error en âN es de â0,06 m, por lo tanto su correcciĂłn total serĂĄ + 0,06 m.
El error en âE es de 0,76 m, por lo que su correcciĂłn total serĂĄ de â 0,74 m.
Calculo de las correcciones de las proyecciones.
La correcciĂłn lineal se realiza siguiendo la forma:
âNi corregido = âNi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âN
âEi corregido = âEi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âE
Longitud total = ÎŁ lados = 303,34 m.
âNAB corregido = -27,44 + (52,97)/(303,34) Ă 0,06 = -27,43 m.
âNBC corregido = 16,98 + (60,37)/(303,34) Ă 0,06 = 16,99 m.
âNCD corregido = 39,50 + (43,01)/(303,34) Ă 0,06 = 39,51 m.
âNDE corregido = 22,84 + (63,42)/(303,34) Ă 0,06 = 22,85 m.
âNEF corregido = -20,91 + (48,25)/(303,34) Ă 0,06 = -20,90 m.
âNFA corregido = -31,03 + (35,32)/(303,34) Ă 0,06 = -31,02 m.
âEAB corregido = 45,31 + (52,97)/(303,34) Ă (â 0,74) = 45,18 m.
âEBC corregido = 57,93 + (60,37)/(303,34) Ă (â 0,74) = 57,78 m.
âECD corregido = 17,01 + (43,01)/(303,34) Ă (â 0,74) = 16,91 m.
âEDE corregido = -59,16 + (63,42)/(303,34) Ă (â 0,74) = -59,31 m.
âEEF corregido = -43,48 + (48,25)/(303,34) Ă (â 0,74) = -43,60 m.
âEFA corregido = -16,87 + (35,32)/(303,34) Ă (â 0,74) = -16,96 m.
Calculo de las coordenadas de los puntos.
NF = NA + âNAF = 1000 + (-27,43) = 972,57 m.
7. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 7
EF = EA + âEAF = 1000 + 45,18 = 1045,18 m.
NC = NB + âNBC = 972,57 + 16,99 = 989,56 m.
EC = EB + âEBC = 1045,18 + 57,78 = 1102,96 m.
ND = NC + âNCD = 989,56 + 39,51 = 1029,07 m.
ED = EC + âECD = 1102,96 + 16,91 = 1119,87 m.
NE = ND + âNDE = 1029,07 + 22,85 = 1051,92 m.
EE = ED + âEDE = 1119,87 + (-59,31) = 1060,56 m.
NF = NE + âNEF = 1051,92 + (-20,90) = 1031,02 m.
EF = EE + âEEF = 1060,56 + (-43,60) = 1016,96 m.
NA = NF + âNFA = 1031,02 + (-31,02) = 1000,00 m.
EA = EF + âEFA = 1016,94 + (-16,96) = 1000,00 m.
1c.- Caso de tener Azimut de A a B (sentido antihorario, ĂĄngulos externos)
αE
αF E
F D αD
A AZAB
C
αA
B αC
αB
Datos: AZAB = 121Âș 12â 13â
αA = 267Âș 19â 16â DAB = 52,97 m.
αB = 227Âș 32â 07â DBC = 60,37 m.
αC = 230Âș 21â 37â DCD = 43,01 m.
αD = 272Âș 11â 26â DDE = 63,42 m.
αE = 226Âș 47â 25â DEF = 48,25 m.
8. 8 Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada
αF = 215Âș 47â 20â DFA = 35,32 m.
Calculo de los ĂĄngulos externos.
Por definiciĂłn, Σα = (n â 2) 360Âș = (6 â 2) 360Âș = 1440Âș
Sumando los ĂĄngulos internos medidos tenemos:
Σα = 1439Âș 59â 11â
La diferencia de valor entre los ĂĄngulos medidos y el valor teĂłrico es de â49â. La
compensaciĂłn total serĂĄ en consecuencia de +49â.
La compensaciĂłn para cada ĂĄngulo medido es: +49â/6 = +8â,17
CĂĄlculo de las correcciones de los ĂĄngulos.
αA = 267Âș 19â 16â + 8â,17 = 267Âș 19â 24â,17
αB = 227Âș 32â 07â + 8â,17 = 227Âș 32â 15â,17
αC = 230Âș 21â 37â + 8â,17 = 230Âș 21â 45â, 17
αD = 272Âș 11â 26â + 8â,17 = 272Âș 11â 34â,17
αE = 226Âș 47â 25â + 8â,17 = 226Âș 47â 33â, 17
αF = 215Âș 47â 20â + 8â,17 = 215Âș 47â 28â, 17
CĂĄlculo de Azimutes.
AZAB = 121Âș 12â 13â
AZBC = AZAB â αB ± 180Âș = 121Âș 12â 13â â 227Âș 32â 15â,17 + 180Âș
AZBC = 73Âș 39â 57â,83
AZCD = AZBC â αC ± 180Âș = 73Âș 39â 57â,83 â 129Âș 38â 14â,83 â 180Âș
AZCD = 23Âș 18â 12â,66
AZDE = AZCD â αD ± 180Âș = 23Âș 18â 12â,76 â 87Âș 48â 25â,83 + 180Âș
AZDE = 291Âș 6â 38â,49
AZEF = AZDE â αE ± 180Âș = 291Âș 6â 38â,59 â 133Âș 12â 26â,83 + 180Âș
AZEF = 244Âș 19â 5â,32
AZFA = AZEF + αF ± 180Âș = 244Âș 19â 5â,42 + 144Âș 12â 31â,83 + 180Âș
AZFA = 208Âș 31â 37â,1
Hallando los azimutes, el resto de los cĂĄlculos queda de la misma forma.
15. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 15
âN54 = D45 Ă cos AZ54 = 85,85 Ă cos 211Âș 27â 44â
âN54 = â73,23 m.
âE54 = D45 Ă sen AZ54 = 85,85 Ă sen 211Âș 27â 44â
âE54 = â44,81 m.
âN43 = D34 Ă cos AZ43 = 68,75 Ă cos 148Âș 32â 16â,5
âN43 = â58,64 m.
âE43 = D34 Ă sen AZ43 = 68,75 Ă sen 148Âș 32â 49â,5
âE43 = 35,88 m.
âN32 = D23 Ă cos AZ32 = 122 Ă cos 265Âș 7â 7â
âN32 = â10,38 m.
âE32 = D23 Ă sen AZ32 = 122 Ă sen 265Âș 7â 7â
âE32 = â121,56 m.
âN21 = D12 Ă cos AZ21 = 84,4 Ă cos 333Âș 53â 46â,5
âN21 = 75,79 m.
âE21 = D12 Ă sen AZ21 = 84,4 Ă sen 333Âș 53â 46â,5
âE21 = â37,14 m.
ÎŁâN: ÎŁâE:
87,37 85,86
â21,65 82,71
â73,23 â44,81
â58,64 35,88
â10,38 â121,56
75,79 â37,14
ÎŁ = â0,74 ÎŁ = 0,94
El error en âN es de â0,74 m, por lo tanto su correcciĂłn total serĂĄ +0,74 m.
El error en âE es de 0,94 m, por lo que su correcciĂłn total serĂĄ de â0,94 m.
Calculo de las correcciones de las proyecciones.
La correcciĂłn lineal se realiza siguiendo la forma:
âNi corregido = âNi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âN
âEi corregido = âEi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âE
Longitud total = ÎŁ lados = 569 m.
17. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 17
4.- Calcular la poligonal cerrada:
C
B
αC
AZAB αB
A αA D
αD
αE
αF
E
F
Datos:
AZAB = 38Âș 28â
αA = 81Âș 48â 36â DAB = 216,775 m.
αB = 130Âș 59â 48â DBC = 231,388 m.
αC = 103Âș 32â 06â DCD = 198,646 m.
αD = 152Âș 55â 29â DDE = 179,017 m.
αE = 128Âș 27â 56â DEF = 39,969 m.
αF = 122Âș 15â 47â DFA = 406,754 m.
Calculo de los ĂĄngulos internos.
Por definiciĂłn, Σα = (n â 2) 180Âș = (6 â 2) 180Âș = 720Âș
Sumando los ĂĄngulos internos medidos tenemos:
αA = 81Âș 48â 36â
αB = 130Âș 59â 48â
αC = 103Âș 32â 06â
αD = 152Âș 55â 29â
αE = 128Âș 27â 56â
αF = 122Âș 15â 47â
Σα = 719Âș 59â 42â
18. 18 Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada
La diferencia de valor entre los ĂĄngulos medidos y el valor teĂłrico es de -18â. La
compensaciĂłn total serĂĄ en consecuencia de +18â.
La compensaciĂłn para cada ĂĄngulo medido es: 18â/6 = 3â
CĂĄlculo de las correcciones de los ĂĄngulos.
αA = 81Âș 48â 36â + 3â = 81Âș 48â 39â
αB = 130Âș 59â 48â + 3â = 130Âș 59â 51â
αC = 103Âș 32â 06â + 3â = 103Âș 32â 09â
αD = 152Âș 55â 29â + 3â = 152Âș 55â 32â
αE = 128Âș 27â 56â + 3â = 128Âș 27â 59â
αF = 122Âș 15â 47â + 3â = 122Âș 15â 50â
CĂĄlculo de Azimutes.
AZAB = 38Âș 28â
AZBC = AZAB + (180Âș - αB) = 38Âș 28â + (180Âș - 130Âș 59â 51â)
AZBC = 87Âș 28â 09â
AZCD = AZBC + (180Âș - αC) = 87Âș 28â 09â + (180Âș - 103Âș 32â 09â)
AZCD = 163Âș 56â
AZDE = AZCD + (180Âș - αD) = 163Âș 56â + (180Âș - 152Âș 55â 32â)
AZDE = 191Âș 00â 28â
AZEF = AZDE + (180Âș - αE) = 191Âș 00â 28â+ (180Âș - 128Âș 27â 59â)
AZEF = 242Âș 32â 29â
AZFA = AZEF + (180Âș - αF) = 242Âș 32â 29â + (180Âș - 122Âș 15â 50â)
AZFA = 300Âș 16â 39â
Calculo de las proyecciones.
âNAB = DAB Ă cos AZAB = 216,775 Ă cos 38Âș 28â
âNAB = 169,728 m.
âEAB = DAB Ă sen AZAB = 216,775 Ă sen 38Âș 28â
âEAB = 134,847 m.
âNBC = DBC Ă cos AZBC = 231,366 Ă cos 87Âș 28â 09â
19. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 19
âNBC = 10,216 m.
âEBC = DBC Ă sen AZBC = 231,366 Ă sen 87Âș 28â 09â
âEBC = 231,140 m.
âNCD = DCD Ă cos AZCD = 198,640 Ă cos 163Âș 56â
âNCD = -190,881 m.
âECD = DCD Ă sen AZCD = 198,640 Ă sen 163Âș 56â
âECD = 54,975 m.
âNDE = DDE Ă cos AZDE = 179,017 Ă cos 191Âș 00â 28â
âNDE = -175,723 m.
âEDE = DDE Ă sen AZDE = 179,017 Ă sen 191Âș 00â 28â
âEDE = -34,182 m.
âNEF = DEF Ă cos AZEF = 39,969 Ă cos 242Âș 32â 29â
âNEF = -18,430 m.
âEEF = DEF Ă sen AZEF = 39,969 Ă sen 242Âș 32â 29â
âEEF = -35,466 m.
âNFA = DFA Ă cos AZFA = 406,754 Ă cos 300Âș 16â 39â
âNFA = 205,080 m.
âEFA = DFA Ă sen AZFA = 406,754 Ă sen 300Âș 16â 39â
âEFA = -351,270 m.
ÎŁâN: ÎŁâE:
169,728 134,847
10,216 231,140
-190,881 54,975
-175,723 -34,182
-18,430 -35,466
205,080 -134,847
âââââ âââââ
-0,010 m. 0,044 m.
El error en âN es de â0,010 m, por lo tanto su correcciĂłn total serĂĄ +0,010 m.
El error en âE es de 0,044 m, por lo que su correcciĂłn total serĂĄ de -0,044 m.
Calculo de las correcciones de las proyecciones.
La correcciĂłn lineal se realiza siguiendo la forma:
âNi corregido = âNi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âN
âEi corregido = âEi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âE
20. 20 Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada
Longitud total = ÎŁ lados = 1.291,521 m.
âNAB corregido = 169,728 + (216,775)/( 1.291,521) Ă 0,010 = 169,364 m.
âNBC corregido = 10,216+ (231,366)/( 1.291,521) Ă 0,010 = 10,319 m.
âNCD corregido = -190,881 + (198,640)/( 1.291,521) Ă 0,010 = -190,841 m.
âNDE corregido = -175,723 + (179,019)/( 1.291,521) Ă 0,010 = -175,960 m.
âNEF corregido = -18,430 + (39,969)/( 1.291,521) Ă 0,010 = -18,244 m.
âNFA corregido = 205,080 + (406,754)/( 1.291,521) Ă 0,010 = 205,244 m.
âEAB corregido = 134,847 + (216,775)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 134,139 m.
âEBC corregido = 231,140 + (231,366)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 231,859 m.
âECD corregido = 54,975 + (198,640)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 54,128 m.
âEDE corregido = -34,182 + (179,019)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 34,187 m.
âEEF corregido = -35,466 + (39,969)/( 1.291,521) Ă -0,044 = -35,034m.
âEFA corregido = -134,847 + (406,754)/( 1.291,521) Ă -0,044 = -134,034m.
Calculo de las coordenadas de los puntos.
NB = NA + âNAB = 1000 + (-91,364) = 908,636 m.
EB = EA + âEAB = 1000 + (-25,139) = 974,861 m.
NC = NB + âNBC = 908,636 + 0,319 = 908,955 m.
EC = EB + âEBC = 974,861 + 27,859 = 1002,72 m.
ND = NC + âNCD = 908,955 + 33,841 = 942,796 m.
ED = EC + âECD = 1002,72 + 28,128 = 1030,848 m.
NE = ND + âNDE = 942,796 + 32,960 = 975,756 m.
EE = ED + âEDE = 1030,848 + 13,187 = 1044,035 m.
NF = NE + âNEF = 942,796 + 32,960 = 975,756 m.
EF = EE + âEEF = 1030,848 + 13,187 = 1044,035 m.
NA = NF + âNFA = 975,756 + 24,244 = 1000,000 m.
EA = EF + âEFA = 1044,035 + (-44,034) = 1000,001 m.
ResoluciĂłn por sentido anti-horario:
CĂĄlculo de Azimutes.
AZAF = 120Âș 16â 39â
21. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 21
AZFE = AZAF + αF ± 180Âș = 120Âș 16â 39â + 122Âș 15â 50â - 180Âș
AZFE = 62Âș 32â 29â
AZED = AZFE + αE ± 180Âș = 62Âș 32â 29â + 128Âș 27â 59â - 180Âș
AZED = 11Âș 00â 28â
AZDC = AZED + αD ± 180Âș = 11Âș 00â 28â + 152Âș 55â 32â + 180Âș
AZDC = 343Âș 56â 00â
AZCB = AZDC + αC ± 180Âș = 343Âș 56â 00â + 103Âș 32â 09â + 180Âș
AZCB = 267Âș 28â 09â
AZBA = AZCB + αB ± 180Âș = 267Âș 28â 09â + 130Âș 59â 51â + 180Âș
AZBA = 218Âș 28â 00â
VerificaciĂłn de cierre de azimut:
AZFA = AZEF + (180Âș - αF) = 218Âș 28â 00â + 81Âș 48â 39â - 180Âș
AZFA = 120Âș 16â 39â Correcto.
Calculo de las proyecciones.
âNAF = DAF Ă cos AZAF = 406,754 Ă cos 120Âș 16â 39â
âNAF = -205,080 m.
âEAF = DAF Ă sen AZAF = 406,754 Ă sen 120Âș 16â 39â
âEAF = 351,270 m.
âNFE = DFE Ă cos AZFE = 39,969 Ă cos 62Âș 32â 29â
âNFE = 18,430 m.
âEFE = DFE Ă sen AZFE = 39,969 Ă sen 62Âș 32â 29â
âEFE = 35,466 m.
âNED = DED Ă cos AZED = 179,017 Ă cos 11Âș 00â 28â
âNED = 175,723 m.
âEED = DED Ă sen AZED = 179,017 Ă sen 11Âș 00â 28â
âEED = 34,182 m.
âNDC = DDC Ă cos AZDC = 198,640 Ă cos 343Âș 56â 00â
âNDC = 190,881 m.
âEDC = DDC Ă sen AZDC = 198,640 Ă sen 343Âș 56â 00â
âEDC = -54,975 m.
22. 22 Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada
âNCB = DCB Ă cos AZCB = 231,366 Ă cos 267Âș 28â 09â
âNCB = -10,216 m.
âECB = DCB Ă sen AZCB = 231,366 Ă sen 267Âș 28â 09â
âECB = -231,140 m.
âNBA = DBA Ă cos AZBA = 216,775 Ă cos 218Âș 28â 00â
âNBA = -169,728 m.
âEBA = DBA Ă sen AZBA = 216,775 Ă sen 218Âș 28â 00â
âEBA = -134,847 m.
ÎŁâN: ÎŁâE:
-205,080 351,270
18,430 35,466
175,723 34,182
190,881 -54,975
-10,216 -231,140
-169,728 -134,847
âââââ âââââ
0,010 m. -0,044 m.
El error en âN es de 0,010 m, por lo tanto su correcciĂłn total serĂĄ -0,010 m.
El error en âE es de -0,044 m, por lo que su correcciĂłn total serĂĄ de 0,044 m.
Calculo de las correcciones de las proyecciones.
La correcciĂłn lineal se realiza siguiendo la forma:
âNi corregido = âNi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âN
âEi corregido = âEi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âE
Longitud total = ÎŁ lados = 1.291,521 m.
âNAF corregido = -205,080 + (406,754)/( 1.291,521) Ă -0,010 = -205,244 m.
âNFE corregido = 18,430 + (39,969)/( 1.291,521) Ă -0,010 = -18,244 m.
âNED corregido = 175,723 + (198,640)/( 1.291,521) Ă 0,010 = -190,841 m.
âNDC corregido = 190,881 + (179,019)/( 1.291,521) Ă 0,010 = -175,960 m.
âNCB corregido = -10,216 + (39,969)/( 1.291,521) Ă 0,010 = -18,244 m.
âNBA corregido = -169,728 + (406,754)/( 1.291,521) Ă 0,010 = 205,244 m.
âEAF corregido = 134,847 + (216,775)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 134,139 m.
âEFE corregido = 231,140 + (231,366)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 231,859 m.
23. Problemario de TopografĂa Poligonal Cerrada 23
âEED corregido = 54,975 + (198,640)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 54,128 m.
âEDC corregido = -34,182 + (179,019)/( 1.291,521) Ă -0,044 = 34,187 m.
âECB corregido = -35,466 + (39,969)/( 1.291,521) Ă -0,044 = -35,034m.
âEBA corregido = -134,847 + (406,754)/( 1.291,521) Ă -0,044 = -134,034m.
Calculo de las coordenadas de los puntos.
NF = NA + âNAF = 1000 + (-91,364) = 908,636 m.
EF = EA + âEAF = 1000 + (-25,139) = 974,861 m.
NE = NF + âNFE = 908,636 + 0,319 = 908,955 m.
EE = EF + âEFE = 974,861 + 27,859 = 1002,72 m.
ND = NF + âNED = 908,955 + 33,841 = 942,796 m.
ED = EF + âEED = 1002,72 + 28,128 = 1030,848 m.
NC = ND + âNDC = 942,796 + 32,960 = 975,756 m.
EC = ED + âEDC = 1030,848 + 13,187 = 1044,035 m.
NB = NC + âNCB = 942,796 + 32,960 = 975,756 m.
EB = EC + âECB = 1030,848 + 13,187 = 1044,035 m.
NA = NB + âNBA = 975,756 + 24,244 = 1000,000 m.
EA = EB + âEBA = 1044,035 + (-44,034) = 1000,001 m.
24. Problemario de TopografĂa Poligonal Abierta 24
CALCULO DE POLIGONAL ABIERTA
1.- Calcular la poligonal abierta
Datos:
AZA1 = 75Âș 33â 55â (inicial) AZ5B = 42Âș 37â 50â (final)
Coordenadas del punto 1: N = 23.097,26
E = 17.896,32
Coordenadas del punto 5: N = 23.075,68
E = 18.177,11
α3 α4
α1 α2 AZ5B B
α5
AZA1 3 4
1
2
A 5
α1 = 201Âș 36â 54â D12 = 87,45 m.
α2 = 151Âș 52â 19â D23 = 55,40 m.
α3 = 200Âș 56â 58â D34 = 68,10 m.
α4 = 202Âș 11â 59â D45 = 79,92 m.
α5 = 110Âș 25â 53â
Coordenadas del punto 1: N = 23.097,26
E = 17.896,32
Coordenadas del punto 5: N = 23.075,68
E = 18.177,11
Calculo del error angular.
Por definiciĂłn, Σα â (n) Ă 180Âș â (AZfinal â AZinicial) = error
Luego, 867Âș 4â 3â â 900Âș â (42Âș 37â 50â â 75Âș 33â 55â) = 8â
25. Problemario de TopografĂa Poligonal Abierta 25
La diferencia de valor entre los ĂĄngulos medidos y el valor teĂłrico es de 8â. La
compensaciĂłn total serĂĄ en consecuencia de â 8â.
La compensaciĂłn para cada ĂĄngulo medido es: â 8â /5 = â 1â,6
CĂĄlculo de las correcciones de los ĂĄngulos.
α1 = 201Âș 36â 54â â 1â,6 = 201Âș 36â 52â,4
α2 = 151Âș 52â 19â â 1â,6 = 151Âș 52â 17â,4
α3 = 200Âș 56â 58â â 1â,6 = 200Âș 56â 56â,4
α4 = 202Âș 11â 59â â 1â,6 = 202Âș 11â 57â,4
α5 = 110Âș 25â 53â â 1â,6 = 110Âș 25â 51â,4
α1 = 201Âș 36â 52â,4
α2 = 151Âș 52â 17â,4
α3 = 200Âș 56â 56â,4
α4 = 202Âș 11â 57â,4
α5 = 110Âș 25â 51â,4
CĂĄlculo de Azimutes.
Azimut inicial: AZA1 = 75Âș 33â 55â
AZ12 = AZA1 + α1 ± 180Âș = 75Âș 33â 55â + 201Âș 36â 52â,4 - 180Âș
AZ12 = 97Âș 10â 47â,4
AZ23 = AZ12 + α2 ± 180Âș = 97Âș 10â 47â,4 + 151Âș 52â 17â,4 - 180Âș
AZ23 = 69Âș 3â 4â,8
AZ34 = AZ23 + α3 ± 180Âș = 69Âș 3â 4â,8 + 200Âș 56â 56â,4 - 180Âș
AZ34 = 90Âș 0â 1â,2
AZ45 = AZ34 + α4 ± 180Âș = 90Âș 0â 1â,2 + 202Âș 11â 57â,4 - 180Âș
AZ45 = 112Âș 11â 58â,6
VerificaciĂłn de cierre de azimut:
AZ5A = AZ45 + α5 ± 180Âș = 112Âș 11â 58â,6 + 110Âș 25â 51â,4 - 180Âș
AZ5A = 42Âș 37â 50â correcto.
Calculo de las proyecciones.
âN12 = D12 Ă cos AZ12 = 87,45 Ă cos 97Âș 10â 47â,4
26. Problemario de TopografĂa Poligonal Abierta 26
âN12 = -10,9299 m.
âE12 = D12 Ă sen AZ12 = 87,45 Ă sen 97Âș 10â 47â,4
âE12 = 86,7643 m.
âN23 = D23 Ă cos AZ23 = 55,40 Ă cos 69Âș 3â 4â,8
âN23 = 19,8072 m.
âE23 = D23 Ă sen AZ23 = 55,40 Ă sen 69Âș 3â 4â,8
âE23 = 51,7381 m.
âN34 = D34 Ă cos AZ34 = 68,10 Ă cos 90Âș 0â 1â,2
âN34 = - 0,0004 m.
âE34 = D34 Ă sen AZ34 = 68,10 Ă sen 90Âș 0â 1â,2
âE34 = 68,1000 m.
âN45 = D45 Ă cos AZ45 = 79,92 Ă cos 112Âș 11â 58â,6
âN45 = -30,1965 m.
âE45 = D45 Ă sen AZ45 = 79,92 Ă sen 112Âș 11â 58â,6
âE45 = 73,9958 m.
ÎŁâN: ÎŁâE:
-10,9299 86,7643
19,8072 51,7381
- 0,0004 68,1000
-30,1965 73,9958
âââââ âââââ
-21,32 m. 280,60 m.
La diferencia en norte es NB â NA = 23.075,68 â 23.097,26 = â 21,58 m.
La diferencia en este es EB â EA = 18.177,11 â 17.896,32 = 280,79 m.
El error en âN es de (â21.32 â (â21.58)) = 0,27 m, por lo tanto su correcciĂłn total serĂĄ
de â 0,27 m.
El error en âE es de (280,60 â (280,79)) = â 0,19 m, por lo que su correcciĂłn total serĂĄ
de + 0,19 m.
Calculo de las correcciones de las proyecciones.
La correcciĂłn lineal se realiza siguiendo la forma:
âNi corregido = âNi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âN
âEi corregido = âEi + (longitud del lado)/(longitud total) Ă correcciĂłn total âE
27. Problemario de TopografĂa Poligonal Abierta 27
Longitud total = ÎŁ lados = 290,87 m.
âN12 corregido = -10,9299 + (87,45)/( 290,87) Ă â 0,27 = â11,01 m.
âN23 corregido = 19,8072 + (55,40)/( 290,87) Ă â 0,27 = 19,76 m.
âN34 corregido = - 0,0004 + (68,10)/( 290,87) Ă â 0,27 = â 0,06 m.
âN45 corregido = -30,1965 + (79,92)/( 290,87) Ă â 0,27 = â 30,27 m.
âE12 corregido = 87,7643 + (87,45)/( 290,87) Ă 0,19 = 86,82 m.
âE23 corregido = 51,7381 + (55,40)/( 290,87) Ă 0,19 = 51,77 m.
âE34 corregido = 68,1000 + (68,10)/( 290,87) Ă 0,19 = 68,14 m.
âE45 corregido = 73,9958 + (79,92)/( 290,87) Ă 0,19 = 74,05 m.
Calculo de las coordenadas de los puntos.
N2 = N1 + âN12 = 23.097,26 + (â11,01) = 23.086,25 m.
E2 = E1 + âE12 = 17.896,32 + 86,82 = 17.983,14 m.
N3 = N2 + âN23 = 23.086,25 + 19,76 = 23.106.01 m.
E3 = E2 + âE23 = 17.983,49 + 51,77 = 18.034,91 m.
N4 = N3 + âN34 = 23.106.01 + (â 0,06) = 23.105,95 m.
E4 = E3 + âE34 = 18.035,17 + 68,14 = 18.103,05 m.
N5 = N4 + âN45 = 23.105,95 + (â 30,27) = 23.075,68 m.
E5 = E4 + âE45 = 18.103,20 + 74,05 = 18.177,11 m.
Calcular la poligonal abierta
αP5
P5 P6
αP4
AZP1P2 αP2 αP3 P4
P2
P1 P3
29. Problemario de TopografĂa Poligonal Abierta 29
âN P3P4 = D P3P4 Ă cos AZ P3P4 = 118,98 Ă cos 49Âș,5076
âN P3P4 = 77,26 m.
âE P3P4 = D P3P4 Ă sen AZ P3P4 = 118,98 Ă sen 49Âș,5076
âE P3P4 = 90,48 m.
âN P4P5 = D P4P5 Ă cos AZ P4P5 = 112,24 Ă cos 317Âș,5510
âN P4P5 = 82,82 m.
âE P4P5 = D P4P5 Ă sen AZ P4P5 = 112,24 Ă sen 317Âș,5510
âE P4P5 = -75,75 m.
âN P5P6 = D P5P6 Ă cos AZ P5P6 = 100,76 Ă cos 83Âș,8564
âN P5P6 = 10,78 m.
âE P5P6 = D P5P6 Ă sen AZ P5P6 = 100,76 Ă sen 83Âș,8564
âE P5P6 = 100,18 m.
Calculo de las coordenadas de los puntos.
NP2 = N P1 + âN P1P2 = 1.000 + 22,70 = 1.022,70 m.
E P2 = E P1 + âE P1P2 = 1.000 + 135,37 = 1.135,37 m.
N P3 = N P2 + âN P2P3 = 1.022,70 + (â 21,46) = 1.001,24 m.
E P3 = E P2 + âE P2P3 = 1.135,37 + 158,38 = 1.292,29 m.
N P4 = N P3 + âN P3P4 = 1.001,24 + 77,26 = 1.078,50 m.
E P4 = E P3 + âE P3P4 = 1.292,29 + 90,48 = 1.382,77 m.
NP5 = N P4 + âN P4P5 = 1.078,50 + 82,82 = 1.161,32 m.
E P5 = E P4 + âE P4P5 = 1.382,77 + (â75,75) = 1.307,02 m.
NP6 = N P5 + âN P5P6 = 1.161,32 + 100,18 = 1.172,10 m.
E P6 = E P5 + âE P5P6 = 1.307,02 + 10,78 = 1.407,20 m.
30. Problemario de TopografĂa Areas 30
CALCULO DE AREAS
1.- Calcular el area de la siguiente figura, dadas sus coordenadas:
3
2
4
5
1
PUNTO NORTE (Y) ESTE (X)
1 211 206
2 320 170
3 352 243
4 301 304
5 223 276
1a.- por el uso directo de la formula:
i=n
2A = â Yi (X i +1 â X i â1 )
i =1
2A = 211(170 â 276) + 320(243 â 206) + 352(304 â 170) + 301(276 â 243)
+ 223(206 â 304)
2A = -22.366 + 11.840 + 47.168 + 9.933 â 21.854
2A = 24.721 m2 Resultado: A = 12.360,5 m2
33. Problemario de TopografĂa Areas 33
3.- Calcular el area de la siguiente figura, dadas sus coordenadas por polo externo:
3
2
4
2
D0
Ξ2
03
D
Ξ3
Ξ4 D 04
Ξ1
1 5
D 01
Ξ5
D 05
Datos:
D01 = 294,88 m Ξ01 = 44Âș,3130
D02 = 362,35 m Ξ02 = 27Âș,9795
D03 = 427,73 m Ξ03 = 34Âș,6189
D04 = 427,80 m Ξ04 = 45Âș,2841
D05 = 354,83 m. Ξ05 = 51Âș,0628
i=n
2A = â Di Di +1 Ă sen(Ξ i +1 â Ξ i )
i =1
Se utiliza directamente la fĂłrmula:
Resolviendo:
2A = 30.049,13 + (-17.919,74) + (-33.864,60) + (-15.283,83) + 12.297,84
A = 12.360,6 m2
34. Problemario de TopografĂa Areas 34
4.- Calcular el area de la siguiente figura, dadas sus coordenadas por polo externo:
3
2
3
D0
02
D
Ξ01
4
01
Ξ02
D
1 D 04
Ξ03
Ξ06
Ξ04
Ξ05 6
5
D 05
Datos:
D01 = 1.532,22 m Ξ01 = 43Âș,3604
D02 = 1.601,26 m Ξ02 = 42Âș,8995
D03 = 1.680,10 m Ξ03 = 44Âș,8071
D04 = 1.684,24 m Ξ04 = 47Âș,8156
D05 = 1.605,89 m. Ξ05 = 47Âș,9783
D06 = 1.511,10 m. Ξ05 = 45Âș,2413
Se utiliza directamente la fĂłrmula:
i=n
2A = â Di Di +1 Ă sen(Ξ i +1 â Ξ i )
i =1
Resolviendo:
2A = 19.736,15 + (-89.553,27) + (-148.513,83) + (-7.680,40) + 115.876,66 + 75.994,02
A = 17.065,08 m2
35. Problemario de TopografĂa Areas 35
5.- Calcular el area de la siguiente figura, dadas sus coordenadas por polo interno:
Ξ3
3
D03
2 Ξ4
D
02
D 04 4
Ξ2 Ξ5
Ξ1
D0
01
D
5
5
1
Datos:
D01 = 75,15 m Ξ01 = 205Âș,2011
D02 = 79,40 m Ξ02 = 301Âș,0875
D03 = 73,17 m Ξ03 = 3Âș,9182
D04 = 69,57 m Ξ04 = 71Âș,5651
D05 = 67,68 m. Ξ05 = 145Âș,8403
Se utiliza directamente la fĂłrmula:
i=n
2A = â Di Di +1 Ă sen(Ξ i +1 â Ξ i )
i =1
En este caso, tomamos el valor absoluto de cada resultado parcial, debido a que el sentido
en que se toman los ĂĄngulos afecta el signo.
Resolviendo:
2A = 5.935,45 + 5.168,66 + 4.707,93 + 4.532,28 + 4.376,09
A = 12.360,21 m2
36. Problemario de TopografĂa TaquimetrĂa 43
NIVELACION GEOMETRICA
OBM = 49,872 m.
TBM = 48,719 m.
Cota calculada de TBM = 48,710 m.
Error de cierre = cota calculada â cota real = 48,710 â 48,719 = -0,009 m.
CorrecciĂłn total = 0,009 m.
CorrecciĂłn parcial por estaciĂłn = (correcciĂłn total)/(nĂșmero de estaciones) = 0,003 m.
CorrecciĂłn en I1 = 0,003 m.
CorrecciĂłn en I2 = 0,006 m.
CorrecciĂłn en I3 = 0,009 m.
ESTACION Punto Visad Lectura atrĂĄs Lectura ad. Cota calc. Cota corr.
I1 OBM 2,191 49,872 49,872
A 2,507 49,556 49,559
B 2,325 49,738 49,741
C 1,496 50,567 50,570
I2 C 3,019
D 2,513 51,073 51,079
E 2,811 50,775 50,781
I3 E 1,752
TBM 3,817 48,710 48,719
Ejemplo 3:
En base a los siguientes datos calcular:
1- Altura de los puntos A, B, C, D, E, F, G.
2- Altura de las estaciones E1, E2, E3.
3- Calculo del error y su compensaciĂłn
4- Altura compensada de los puntos A, B, C, D, E, F, G.
5- Altura compensada de las estaciones E1, E2, E3.
EstaciĂłn Punto Visado Lectura AtrĂĄs Lectura
Adelante
E1 P1 0,94
he = 1,57 A 1,37
B 2,54
E2 B 1,23
he = 1,62 C 1,05
D 1,15
E 1,07
E3 E 1,27
37. Problemario de TopografĂa TaquimetrĂa 44
he = 1,47 F 1,12
G 0,47
P2 0,38
Cota P1 = 1024 m.
Cota P2 = 1023,57 m.
RESOLUCION
EstaciĂłn Punto Lectura Lectura Cota Cota
Visado AtrĂĄs Adelante Calculada corregida
E1 P1 0,94 1.024 1.024
he = 1,57 A 1,37 1.023,57 1.023,61
B 2,54 1.022,40 1.022,44
E2 B 1,23 1.022,40 1.022,44
he = 1,62 C 1,05 1.022,58 1.022,66
D 1,15 1.022,48 1.022,56
E 1,07 1.022,56 1.022,64
E3 E 1,27 1.022,56 1.022,64
he = 1,47 F 1,12 1.022,71 1.022,83
G 0,47 1.023,36 1.023,48
P2 0,38 1.023,45 1.023,57
ÎŁ = 3,44 ÎŁ = 3,99
CĂĄlculo de la cota P2
âhP1P2 = ÎŁ(lectura atrĂĄs) - ÎŁ(lectura adelante)
âhP1P2 = 3,44 â 3,99 = -0,55 m.
Cota calculada de P2 = cota P1 + âhP1P2 = 1024 â 0,55 = 1.023,45 m.
Ahora bien, la cota real de P2 vale: 1024,74 m.
Error = cota calculada â cota real
Error = 1023,45 â 1023,57 = -0,12 m.
CorrecciĂłn total = +0,12 m.
CorrecciĂłn parcial E1 = 0,04 m.
CorrecciĂłn parcial E2 = 0,08 m.
CorrecciĂłn parcial E3 = 0,12 m.