Profª. Janine Pereira Jacinto2º semestre de 2010Disciplina:PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
CONCEITOS BÁSICOSFenômenos determinísticos: são aqueles queindependentemente do número de ocorrências, oresultado será sem...
CONCEITOS BÁSICOSLEI DE MURPHY A fila do lado sempre anda mais rápido. A probabilidade do pão cair com o lado da manteig...
CONCEITOS BÁSICOSOu seja:Se um evento pode ocorrer, por mais improvável que seja,essa chance cresce com a repetição do exp...
CONCEITOS BÁSICOSImprevisivibilidade: fenômeno não determinístico.Regularidade Estatística: observando o fenômeno umgrande...
CONCEITOS BÁSICOSEspaço Amostral: É o conjunto de todos os resultadospossíveis do experimento, definido por S.Evento: os r...
SA ∪ BA B- Evento União: A ∪BCONCEITOS BÁSICOS
- Evento de Interseção: A ∩ BSA ∩ BA BCONCEITOS BÁSICOS
Evento Complementar: O evento complementar de Acontém todos os elementos do espaço amostral que nãopertencem a A. É usualm...
Eventos – Teoria de conjuntos1 23 45 6SS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {1, 2, 3}B = {1, 3, 5}C = ØD = S⇔ P(A) = 0,5⇔ P(B) = 0,5⇔...
Diagrama de VennSBAA B∪A B∩AA B∩A B∪ A B= ∩A B∩ A B= ∪CONCEITOS BÁSICOS
Diagrama de VennA B∪A B∩Aocorre A ou B ?ocorrem A e Bsimultaneamente?não ocorre A?CONCEITOS BÁSICOS
Diagrama de VennA B∩A B∪ A B= ∩A B∩ A B= ∪ocorre somente A ?não ocorre nem A enem B ?não ocorrem A e Bsimultaneamente?CONC...
( ) ?( ) ?( ) ?P A BP A BP A∪ =∩ ==CONCEITOS BÁSICOS
Espaço Amostral Equiprovável: é quando todos oselementos do espaço têm a mesma chance de ocorrer.Diagrama da Árvores: form...
A PROBABILIDADE de realização de um dado evento éigual ao quociente entre o número de casos favoráveis arealização desse e...
É interpretada como a frequência limite, isto é, quando né grande, tem-se:Dado um fenômeno aleatório ou uma experiênciaale...
1. , para qualquer evento A.1)(0 ≤≤ AP2. , onde S é o espaço amostral.1)( =SP3. Se A e B são eventos mutuamente excludente...
- Em muitas situações existe interesse de calcular aprobabilidade de um evento restrito a determinadacondição.-Vejamos os ...
PROBABILIDADE CONDICIONALSeja o espaço amostral S = {cc, ck, kc, kk}.A = {cc, ck, kc} = {ocorrer pelo menos uma coroa}B = ...
( ) ( | ). ( )P A B P A B P B∩ =Resumindo:EVENTOS DEPENDENTES:EVENTOS INDEPENDENTES:( ) ( ). ( )P A B P A P B∩ =INDEPENDÊN...
Exemplo:Uma cadeia de lojas vende três marcas diferentes de DVD’s.Dessas vendas, 50% são da marca 1 (a mais barata), 30% s...
Continuação Exemplo:a) A probabilidade de que um comprador selecionadoaleatoriamente compre um DVD da marca 1 que precise ...
Continuação Exemplo:b) A probabilidade de que um comprador selecionadoaleatoriamente possua um DVD que necessite de reparo...
Resumindo:TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL:TEOREMAS IMPORTANTES∑niii APABPBP1=)()./(=)(
Continuação Exemplo:c) Se um cliente voltar à loja com um DVD que precise dereparos se garantia, qual probabilidade de ser...
Resumindo:TEOREMA DE BAYES:TEOREMAS IMPORTANTESnjABPAPABPAPBAP niiijji ,...,)/().()/().()/( 11==∑=
CONCEITOS BÁSICOSUma experiência aleatória é um procedimento que nosleva a obtenção de um ou vários resultados sujeitos ao...
CONCEITOS BÁSICOSAnalisemos: o número de caras que saem.Assim, passamos a associar a cada elemento do espaçoamostral um nú...
CONCEITOS BÁSICOSEstes são os valores assumidos pela variável em análise.X
CONCEITOS BÁSICOSVariável Aleatória: costuma ser representada por X, auma função cujo valor é um número real determinadope...
CONCEITOS BÁSICOSFunção de Probabilidade: função que associa a cadavalor assumido pela variável, a probabilidade do evento...
CONCEITOS BÁSICOSOu seja:Esquematicamente: Graficamente:X P(X)0123183818381
CONCEITOS BÁSICOSAo conjunto {(xi,p(xi)), i= 1, 2, ..., n} damos o nome deFunção de Distribuição Acumulada da variável X, ...
CONCEITOS BÁSICOSOu seja, assim definida:Calculando: Graficamente:≥<≤<≤<≤<=.3,1;32,87;21,84;00,81;0,0(.)xxxxxFx...
CONCEITOS BÁSICOSExemplo:Lançam-se dois dados. Seja X: soma das faces.1) Determinar a distribuição de probabilidade de X.2...
Dois Tipos de Variável AleatóriaAssim como definido antes os tipos de variáveisnuméricas, as v.a.’s podem ser discretas ec...
Por exemplo:Seja X: número de partículas observadas em uma fonte radioativa durante determinado tempo.Quais os possíveis v...
V.A. CONTÍNUA: uma variável aleatória é contínua se seuconjunto de valores possíveis consiste em um intervalocompleto da r...
Para estudar as propriedades básicas da v.a.discreta são necessários conhecimentos básicosda matemática discreta: soma e s...
Uma distribuição de probabilidade pode serrepresentada por características numéricas as quaischamamos parâmetros.Um primei...
Exemplo:Uma loja de computadores comprou três computadores de certo tipoa US$ 500 cada. Eles serão vendidos a US$ 1.000 ca...
h(x) = 800x-900 x={0, 1, 2, 3}h(0) =-9 00h(1) = -100h(2) = 700h(3) = 1500X= 0 1 3h(x)=y= -900 -100 700 1500P 0,1 0,2 0,3 0...
E[x] = 0.0,1+1.0,2+2.0,3+3.0,4E[x]=2E(h(x)) = 800 . E(x) – 900E(h(x)) = 800 . 2 – 900E(h(x)) = 700VALOR ESPERADO
ProposiçãoSe a v.a. X tiver um conjunto de valores possíveis D e umafunção de distribuição de probabilidades p(x), o valor...
Propriedades do valor esperado1.2.3.bXEabaXE +)(=)+( .bXEbXE +=+ )()()(=)( XEaaXE .VALOR ESPERADO
VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO)(.)(=)( 2∑ ixi xpμxXVar -)(=)( XVarXDPA medida que dá o grau de dispersão deprobabilidades em to...
ExemploCalcular a variância e desvio padrão de X e de h(X) noproblema da venda de computadores.[ ]22)()()( XEXEXV −=E(x²)=...
A partir da distribuição de probabilidade de umavariável aleatória é possível conhecer o queacontece em média com essa var...
1) A função de distribuição de probabilidade de X =número de defeitos graves em um eletrodomésticoselecionado aleatoriamen...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

3 probabilidade

505 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
505
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
19
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

3 probabilidade

  1. 1. Profª. Janine Pereira Jacinto2º semestre de 2010Disciplina:PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
  2. 2. CONCEITOS BÁSICOSFenômenos determinísticos: são aqueles queindependentemente do número de ocorrências, oresultado será sempre o mesmo.Exemplo: água passar do estado líquido paragasoso após determinada temperatura.Fenômenos aleatórios: são aqueles em que osresultados não são previsíveis, mesmo quando temos umnúmero excessivo de repetições.Exemplo: lançamento de uma moeda honesta.
  3. 3. CONCEITOS BÁSICOSLEI DE MURPHY A fila do lado sempre anda mais rápido. A probabilidade do pão cair com o lado da manteiga viradopara baixo é proporcional ao valor do carpete. Se você está se sentindo bem, não se preocupe. Issopassa. Quando te ligam:a) se você tem caneta, não tem papel.b) se tem papel não tem caneta.c) se tem ambos ninguém liga.
  4. 4. CONCEITOS BÁSICOSOu seja:Se um evento pode ocorrer, por mais improvável que seja,essa chance cresce com a repetição do experimento.Em cada repetição não é possível prever o resultado queserá obtido.Os fenômenos aleatórios são caracterizados pela suaimprevisibilidade e pela sua regularidade estatística.
  5. 5. CONCEITOS BÁSICOSImprevisivibilidade: fenômeno não determinístico.Regularidade Estatística: observando o fenômeno umgrande número de vezes, nas mesmas condições, afrequência relativa de cada resultado possível tende aestabilizar aproximando de um valor constante.Sendo assim, num fenômeno aleatório não se pode prevero resultado da próxima prova, mas podemos fazer umaprevisão do resultado em média.
  6. 6. CONCEITOS BÁSICOSEspaço Amostral: É o conjunto de todos os resultadospossíveis do experimento, definido por S.Evento: os resultados são constituídos de algunselementos, ou seja, qualquer subconjunto do espaçoamostral.Exemplo: Considere o lançamento de um dadoEspaço Amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Eventos: A={1, 3}, B={2, 4, 6}, C={3, 5, 6}
  7. 7. SA ∪ BA B- Evento União: A ∪BCONCEITOS BÁSICOS
  8. 8. - Evento de Interseção: A ∩ BSA ∩ BA BCONCEITOS BÁSICOS
  9. 9. Evento Complementar: O evento complementar de Acontém todos os elementos do espaço amostral que nãopertencem a A. É usualmente indicado porEvento mutuamente excludente : Os dois eventos nãotêm nenhum elemento do espaço amostral em comum,isto é,ASA ∩ B = ∅ABCONCEITOS BÁSICOS
  10. 10. Eventos – Teoria de conjuntos1 23 45 6SS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {1, 2, 3}B = {1, 3, 5}C = ØD = S⇔ P(A) = 0,5⇔ P(B) = 0,5⇔ P(C) = 0⇔ P(D) = 1⇔ P(S) = 1#P#eventos favoráveiseventos possíveis=0 ≤ P(evento qualquer) ≤ 1CONCEITOS BÁSICOS
  11. 11. Diagrama de VennSBAA B∪A B∩AA B∩A B∪ A B= ∩A B∩ A B= ∪CONCEITOS BÁSICOS
  12. 12. Diagrama de VennA B∪A B∩Aocorre A ou B ?ocorrem A e Bsimultaneamente?não ocorre A?CONCEITOS BÁSICOS
  13. 13. Diagrama de VennA B∩A B∪ A B= ∩A B∩ A B= ∪ocorre somente A ?não ocorre nem A enem B ?não ocorrem A e Bsimultaneamente?CONCEITOS BÁSICOS
  14. 14. ( ) ?( ) ?( ) ?P A BP A BP A∪ =∩ ==CONCEITOS BÁSICOS
  15. 15. Espaço Amostral Equiprovável: é quando todos oselementos do espaço têm a mesma chance de ocorrer.Diagrama da Árvores: forma de encontrar todos ospossíveis eventos de um espaço amostral.Exemplo:Lançamento de uma moeda:(21)Lançamento de duas moedas:(22)CONCEITOS BÁSICOSckckckck
  16. 16. A PROBABILIDADE de realização de um dado evento éigual ao quociente entre o número de casos favoráveis arealização desse evento e o número total de casospossíveis, desde que todos os casos sejam igualmenteprováveis.O QUE É PROBABILIDADE?possíveiscasosdetotalnúmerofavoráveiscasosdenúmeroP(evento) =
  17. 17. É interpretada como a frequência limite, isto é, quando né grande, tem-se:Dado um fenômeno aleatório ou uma experiênciaaleatória, seja S o espaço amostral associado. Chama-seprobabilidade P a uma aplicação que a cada eventoassocia um número real satisfazendo as seguintespropriedades:O QUE É PROBABILIDADE?)()( APAfn ≈
  18. 18. 1. , para qualquer evento A.1)(0 ≤≤ AP2. , onde S é o espaço amostral.1)( =SP3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então)()()( BPAPBAP +=∪4. Se A e B não são eventos mutuamente excludentes, então)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪PROPRIEDADES
  19. 19. - Em muitas situações existe interesse de calcular aprobabilidade de um evento restrito a determinadacondição.-Vejamos os exemplos:n(A): número de pessoas com astigmatismo.n(B): número de pessoas com miopia.)()()|(BPBAPBAP∩=3 2 1332SBA)()()(SnAnAP =)()()()()()()/(SnBnSnBAnBPBAPBAP∩=∩=PROBABILIDADE CONDICIONAL
  20. 20. PROBABILIDADE CONDICIONALSeja o espaço amostral S = {cc, ck, kc, kk}.A = {cc, ck, kc} = {ocorrer pelo menos uma coroa}B = {kc, kk} = {ocorrer cara no 1º lançamento}.Qual a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu?)()()/(APBAPABP∩=41)()( ==∩ kcPBAP314341)/( ==ABP
  21. 21. ( ) ( | ). ( )P A B P A B P B∩ =Resumindo:EVENTOS DEPENDENTES:EVENTOS INDEPENDENTES:( ) ( ). ( )P A B P A P B∩ =INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
  22. 22. Exemplo:Uma cadeia de lojas vende três marcas diferentes de DVD’s.Dessas vendas, 50% são da marca 1 (a mais barata), 30% sãoda marca 2 e 20% da marca 3. Cada fabricante oferece um anode garantia para peças e mão-de-obra. É sabido que 25% dosDVD’s da marca 1 necessitam de reparos de garantia,enquanto os percentuais para as marcas 2 e 3 são 20% e 10%,respectivamente.Consideremos o evento Ai = {compra da marca i} eB = {precisa de reparo}= B’ {não precisa de reparo}, então:PROBABILIDADE CONDICIONALB
  23. 23. Continuação Exemplo:a) A probabilidade de que um comprador selecionadoaleatoriamente compre um DVD da marca 1 que precise dereparo durante a garantia?PROBABILIDADE CONDICIONAL100200250321,)/(,)/(,)/(===ABPABPABP
  24. 24. Continuação Exemplo:b) A probabilidade de que um comprador selecionadoaleatoriamente possua um DVD que necessite de reparosdurante a garantia?PROBABILIDADE TOTALP(A1)=0,50Marca1P(A 2)=0,30Marca 2P(A3)=0,20Marca3P(B/A1)=0,25ReparoP(B/A2)=0,20ReparoP(B/A3=0,10ReparoP(B’/A 1)=0,75SemReparoP(B’/A 3)=0,90NãoReparoP(B’/A 2)=0,80NãoReparoP(B/A1).P(A1)= P(B∩A1)=0,125P(B/A2).P(A2)= P(B∩A2)=0,060P(B/A3).P(A3)= P(B∩A3)=0,020P(B) = 0,205
  25. 25. Resumindo:TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL:TEOREMAS IMPORTANTES∑niii APABPBP1=)()./(=)(
  26. 26. Continuação Exemplo:c) Se um cliente voltar à loja com um DVD que precise dereparos se garantia, qual probabilidade de ser da marca 1? Eda marca 2? E da marca 3?TEOREMA DE BAYES?=)/(:3?=)/(:261,0=205,0125,0=)()(=)/(:13211BAPmarcaBAPmarcaBPBAPBAPmarca∩
  27. 27. Resumindo:TEOREMA DE BAYES:TEOREMAS IMPORTANTESnjABPAPABPAPBAP niiijji ,...,)/().()/().()/( 11==∑=
  28. 28. CONCEITOS BÁSICOSUma experiência aleatória é um procedimento que nosleva a obtenção de um ou vários resultados sujeitos aoacaso.Consideremos, por exemplo, o espaço associado deresultados associado ao lançamento sucessivo de umamoeda três vezes.S = {kkk, kkc, kck, ckk, kcc,ckc,cck,ccc}
  29. 29. CONCEITOS BÁSICOSAnalisemos: o número de caras que saem.Assim, passamos a associar a cada elemento do espaçoamostral um número de caras observadas.Representamos então, o espaço amostral por valoresnuméricos que correspondem a cada resultado possíveldescrito.
  30. 30. CONCEITOS BÁSICOSEstes são os valores assumidos pela variável em análise.X
  31. 31. CONCEITOS BÁSICOSVariável Aleatória: costuma ser representada por X, auma função cujo valor é um número real determinadopelo resultado de uma experiência, isto é:X: S RNo exemplo temos:• X=0, então pode ocorrer o evento que ocorre é {ccc};• X=1, então pode ocorrer os eventos: {kcc, ckc, cck};• X=2, então pode ocorrer os eventos: {ckk, kck, kkc};• X=3, então pode ocorrer o evento que ocorre é {kkk};
  32. 32. CONCEITOS BÁSICOSFunção de Probabilidade: função que associa a cadavalor assumido pela variável, a probabilidade do eventocorrespondente, isto é: P(X=xi) = P(Ai), i=1, 2, 3,..., n.P(X=0) = P(A1) =P(X=1) = P(A2) =P(X=2) = P(A3) =P(X=3) = P(A4) =81838381
  33. 33. CONCEITOS BÁSICOSOu seja:Esquematicamente: Graficamente:X P(X)0123183818381
  34. 34. CONCEITOS BÁSICOSAo conjunto {(xi,p(xi)), i= 1, 2, ..., n} damos o nome deFunção de Distribuição Acumulada da variável X, querepresentamos por F(.) ou Fx(.).É importante verificar que para haja uma distribuição deprobabilidades de uma variável aleatória X é necessárioque :∑==niixp11)(
  35. 35. CONCEITOS BÁSICOSOu seja, assim definida:Calculando: Graficamente:≥<≤<≤<≤<=.3,1;32,87;21,84;00,81;0,0(.)xxxxxFx}{ 1,0: →RF )()( xXPxF ==
  36. 36. CONCEITOS BÁSICOSExemplo:Lançam-se dois dados. Seja X: soma das faces.1) Determinar a distribuição de probabilidade de X.2) Calcular:a) P(X ser par)b) P(X ≥ 3)c) P(X ser múltiplo de 3).
  37. 37. Dois Tipos de Variável AleatóriaAssim como definido antes os tipos de variáveisnuméricas, as v.a.’s podem ser discretas econtínuas.V.A. DISCRETA: é uma variável cujos valorespossíveis constituem um conjunto finito ou podem serrelacionados em uma sequência infinita na qual hajaum 1º elemento, um 2º e assim por diante.CONCEITOS BÁSICOS
  38. 38. Por exemplo:Seja X: número de partículas observadas em uma fonte radioativa durante determinado tempo.Quais os possíveis valores de X?Nesse intervalo finito de tempo, X pode assumirvalores de x = 1,2, ..., N, considerando N um númerointeiro muito grande.CONCEITOS BÁSICOS
  39. 39. V.A. CONTÍNUA: uma variável aleatória é contínua se seuconjunto de valores possíveis consiste em um intervalocompleto da reta de números.Por exemplo:Se um composto químico for selecionadoaleatoriamente e determinarmos seu pH X, então X éuma valor de pH entre 0 e 14 é possível.CONCEITOS BÁSICOS
  40. 40. Para estudar as propriedades básicas da v.a.discreta são necessários conhecimentos básicosda matemática discreta: soma e subtração.No caso da v.a. contínua, a base é dada pelamatemática contínua do cálculo: integrais ederivadas.CONCEITOS BÁSICOS
  41. 41. Uma distribuição de probabilidade pode serrepresentada por características numéricas as quaischamamos parâmetros.Um primeiro parâmetro a ser apresentado é o ValorEsperado ou Esperança Matemática (ousimplesmente média).VALOR ESPERADOxii μxpxXE =)(.=)( ∑
  42. 42. Exemplo:Uma loja de computadores comprou três computadores de certo tipoa US$ 500 cada. Eles serão vendidos a US$ 1.000 cada.Fabricante concordou em aceitar a devolução dos computadoresnão vendido, após um período especificado, por US$ 200 cada. SejaX o número de computadores vendidos e suponha que p(0) = 0,1,p(1) = 0,2, p(2) = 0,3 e p(3)= 0,4. Definindo como h(X) o lucroassociado á venda de X unidades, as informações fornecidasimplicam que,h(X) = receita – custo = 1000X+200.(3 - X) -1500 = 800X-900.Qual é o lucro esperado, ou seja, qual o valor de E[h(X)]?VALOR ESPERADO
  43. 43. h(x) = 800x-900 x={0, 1, 2, 3}h(0) =-9 00h(1) = -100h(2) = 700h(3) = 1500X= 0 1 3h(x)=y= -900 -100 700 1500P 0,1 0,2 0,3 0,4E[y] = -900.0,1+(-100).0,2+700.0,3+1500.0,4E[y] = 700VALOR ESPERADO
  44. 44. E[x] = 0.0,1+1.0,2+2.0,3+3.0,4E[x]=2E(h(x)) = 800 . E(x) – 900E(h(x)) = 800 . 2 – 900E(h(x)) = 700VALOR ESPERADO
  45. 45. ProposiçãoSe a v.a. X tiver um conjunto de valores possíveis D e umafunção de distribuição de probabilidades p(x), o valoresperado de qualquer função h(x), expresso por E[h(x)] écalculado por :( )[ ] ∑∈=DxxpxhxhE )().(VALOR ESPERADO
  46. 46. Propriedades do valor esperado1.2.3.bXEabaXE +)(=)+( .bXEbXE +=+ )()()(=)( XEaaXE .VALOR ESPERADO
  47. 47. VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO)(.)(=)( 2∑ ixi xpμxXVar -)(=)( XVarXDPA medida que dá o grau de dispersão deprobabilidades em torno da média é a Variância.OUO Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância.[ ]22)()(=)( XEXEXVar -
  48. 48. ExemploCalcular a variância e desvio padrão de X e de h(X) noproblema da venda de computadores.[ ]22)()()( XEXEXV −=E(x²)=0².0,1+1².0,2+2².0,3+3².0,4E(x²) = 5[E(x)]²=2²=4V(x) = 5-4 = 1)(XVX =σ 1=xσVARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO
  49. 49. A partir da distribuição de probabilidade de umavariável aleatória é possível conhecer o queacontece em média com essa variável.Para cada distribuição de probabilidade queconheceremos adiante, conheceremos o ValorEsperado e a Variância da v.a. (discreta oucontínua).VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA
  50. 50. 1) A função de distribuição de probabilidade de X =número de defeitos graves em um eletrodomésticoselecionado aleatoriamente éCalcule os dados a seguir?a) E(X);b) V(X);c) O desvio padrão de X.Exercício:x 0 1 2 3 4p(x) 0,08 0,15 0,45 0,27 0,05

×