1. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN
DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐ โ1 ๐ฆ ๐โ1 + ๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Solusi umum ๐ฆ(๐ฅ) akan didapatkan bila solusi umum ๐ฆ ๐ ๐ฅ dari Persamaan Diferensial
Homogen diketahui, dimana
Bentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐ โ1 ๐ฆ ๐โ1 + ๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = 0
Kemudian ๐ฆ(๐ฅ) dibentuk dengan penambahan ๐ฆ ๐ ๐ฅ sembarang solusi ๐ฆ termasuk konstanta
tak tetapnya.
Sehingga,
๐ฆ ๐ฅ = ๐ฆ ๐ (๐ฅ) + แปน(๐ฅ)
Theorema 1:
๐ ๐ฅ , ๐ ๐ฅ dan ๐ ๐ฅ merupakan fungsi kontinu pada interval l. ๐ฆ ๐ฅ merupakan solusi dari
Persamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. ๐ฆ ๐ฅ dibentuk oleh 2
konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) ๐ฆ ๐ (๐ฅ).
Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi แปน(๐ฅ), yaitu sembarang solusi Persamaan
Diferensial pada interval l.
Theorema 2:
Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan
homogeny ๐ฆ ๐ (๐ฅ) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) ๐ฆ ๐ (๐ฅ).
Sehingga,
๐ฆ ๐ฅ = ๐ฆ ๐ ๐ฅ + ๐ฆ ๐ (๐ฅ)
1
2. Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disini
hanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.
Terdapat tiga metode:
1. Metode koefisien tak tentu
Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi ๐ฆ ๐
(solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi ๐ ๐ฅ di ruas kanan.
Bentuk persamaan umum:
๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐ โ1 ๐ฆ ๐โ1 + ๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
๏ Fungsi ๐(๐ฅ) yang merupakan bentuk solusi pertikular ๐ฆ ๐ (๐ฅ) diperoleh dengan
cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau
jumlah dari beberpa fungsi
๏ ๐(๐ฅ) berisikan koefisien tak tentu
๏ Turunkan ๐ฆ ๐ sesuai persamaan umum di atas
๏ Subtitusikan ๐ฆ ๐ dan seluruh turunannya ke dalam persamaan
Tabel Metode Koefisian Tak Tentu
Aturan:
๏ Bila ๐(๐ฅ) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk ๐ฆ ๐
yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan
๐(๐ฅ) harus bebas linier pula.
๏ Bila ๐(๐ฅ) merupakan penjumlahan, maka pilih๐ฆ ๐ yang merupakan penjumlahan
fungsi yang sesuai.
2
3. ๏ Bila ๐(๐ฅ) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat
dimodifikasi seperti berikut
Aturan Modifikasi
Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan ๐ฅ atau ๐ฅ 2 tergantung dari apakah pada kolom 3
berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.
Contoh Soal
1) Selesaikan persamaan berikut:
๐ฆ โฒโฒ โ 4๐ฆ โฒ + 3๐ฆ = 10๐ โ2๐ฅ
Jawab:
๏ Mencari jawaban homogeny ๐ฆ ๐
๐ฆ โฒโฒ โ 4๐ฆ โฒ + 3๐ฆ = 10๐ โ2๐ฅ
๐2 โ 4๐ + 3 = 10๐ โ2๐ฅ
๐โ3 ๐โ1
๐ 1 = 3 dan ๐ 2 = 1
Maka,
2
๐ฆ๐ = ๐ถ๐๐ ๐๐๐ฅ
๐=1
๐ฆ ๐ = ๐ถ1 ๐ 3๐ฅ + ๐ถ2 ๐ ๐ฅ
๏ Mencari jawaban particular ๐ฆ ๐
Turunan ๐ โ2๐ฅ adalah ๐ถ๐ โ2๐ฅ
Maka, ๐ฆ ๐ = C๐ โ2๐ฅ
๐ฆ ๐ โฒ = โ2C๐ โ2๐ฅ dan ๐ฆ ๐ โฒโฒ = 4C๐ โ2๐ฅ
4C๐ โ2๐ฅ โ 4(โ2C๐ โ2๐ฅ ) + 3(C๐ โ2๐ฅ ) = 10๐ โ2๐ฅ
C๐ โ2๐ฅ 4 + 8 + 3 = 10๐ โ2๐ฅ
15 C๐ โ2๐ฅ = 10๐ โ2๐ฅ
10๐ โ2๐ฅ
C=
15๐ โ2๐ฅ
2
C=
3
2
Maka, ๐ฆ ๐ = ๐ โ2๐ฅ
3
3
7. Sehingga persamaan ฮช + ฤฐ + 2I = 6 cos ๐ก dapat ditulis dengan:
ฮช + ฤฐ + 2I = 6๐ ๐๐ก
Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk:
๐ผ๐โ (๐ก) = ๐๐ ๐๐ก
dan ฤฐ ๐โ = ๐๐๐ ๐๐ก ฮช ๐โ = โ๐๐๐ ๐๐ก
bila disubtitusikan ke dalam persamaan ฮช + ฤฐ + 2I = 6๐ ๐๐ก :
(โ1 + ๐ผ + 2)๐๐ ๐๐ก = 6๐ ๐๐ก
6
๐= = 3 โ ๐3
1+ ๐
Sehingga solusi umum persamaan ฮช + ฤฐ + 2I = 6๐ ๐๐ก adalah:
ฤฐ ๐โ (๐ก) = 3 โ ๐3 ๐๐๐ก = 3 โ ๐3 (cos ๐ก + ๐ sin ๐ก)
Dan komponen nyatanya adalah:
ฤฐ ๐ ๐ก = 3 cos ๐ก + 3 sin ๐ก
3. Metode Umum
Bentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen
๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐ โ1 ๐ฆ ๐โ1 + ๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen :
๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐ โ1 ๐ฆ ๐โ1 + ๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = 0
7
8. Maka solusi umumnya ๐ฆ ๐ (๐ฅ) pada interval terbuka I berbentuk:
๐ฆ ๐ ๐ฅ = ๐1 ๐ฆ1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฆ2 ๐ฅ
Bila ๐1 dan ๐2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular pada
interval terbuka I, sbb:
๐ฆ ๐ ๐ฅ = ๐ข ๐ฅ ๐ฆ1 ๐ฅ + ๐ฃ(๐ฅ)๐ฆ2 ๐ฅ
Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya:
โฒ
๐ฆ โฒ๐ = ๐ขโฒ ๐ฆ1 + ๐ข๐ฆ1 + ๐ฃ โฒ ๐ฆ2 + ๐ฃ๐ฆ2 โฒ
Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti ๐1 dan ๐2 , maka:
๐ขโฒ ๐ฆ1 + ๐ฃ โฒ ๐ฆ2 = 0
Sehingga ๐ฆ โฒ๐ menjadi:
๐ฆ โฒ๐ = ๐ข๐ฆ1 โฒ + ๐ฃ๐ฆ2 โฒ
Bila persamaan ๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐ โ1 ๐ฆ ๐โ1 + ๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
diturunkan hasilnya:
โฒ โฒโฒ
๐ฆ โฒ๐ = ๐ขโฒ ๐ฆ1 + ๐ข๐ฆ1 + ๐ฃ โฒ ๐ฆ2 โฒ + ๐ฃ๐ฆ2 โฒโฒ
โฒ
Persamaan ๐ฆ ๐ ๐ฅ = ๐ข ๐ฅ ๐ฆ1 ๐ฅ + ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ2 (๐ฅ), ๐ฆ โฒ๐ = ๐ข๐ฆ1 โฒ + ๐ฃ๐ฆ2 โฒ, dan ๐ฆ โฒ๐ = ๐ขโฒ ๐ฆ1 +
โฒโฒ
๐ข๐ฆ1 + ๐ฃ โฒ ๐ฆ2 โฒ + ๐ฃ๐ฆ2 โฒโฒ disubtitusikan ke dalam persamaan ๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐โ1 ๐ฆ ๐โ1 +
๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = ๐(๐ฅ), dan mengumpulkan komponen yang
mengandung u dan v:
8
9. Bila ๐ฆ1 dan ๐ฆ2 merupakan solusi homogeny dari persamaan ๐ด ๐ ๐ฆ ๐ + ๐ด ๐โ1 ๐ฆ ๐โ1 +
๐ด ๐ โ2 ๐ฆ ๐โ2 + โฏ + ๐ด1 ๐ฆ โฒ + ๐ด0 ๐ฆ = 0, sehingga terjadi penyederhanaan persamaan,
menjadi:
Persamaan ๐ขโฒ ๐ฆ1 + ๐ฃ โฒ ๐ฆ2 = 0
Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi uโ dan vโ yang tak
diketahui.
Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:
W = Bilangan Wronskian dari ๐ฆ1 dan ๐ฆ2
Dengan integrasi diperoleh:
Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan ๐ฆ ๐ ๐ฅ = ๐ข ๐ฅ ๐ฆ1 ๐ฅ + ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ2 (๐ฅ),
sehingga didapatkan :
9
10. Contoh:
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: ๐ฆ โฒโฒ + ๐ฆ = sec ๐ฅ
Jawab:
Misalkan ๐ฆ1 = cos ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฆ2 = sin x
๏ Mencari jawaban homogeny ๐ฆ ๐
Bilangan Wronskian:
๐ ๐ฆ1 , ๐ฆ2 = cos ๐ฅ cos ๐ฅ โ (โ sin ๐ฅ) sin ๐ฅ = 1
๏ Mencari jawaban particular ๐ฆ ๐
๐ฆ ๐ = cos ๐ฅ ๐ฟ๐ | cos ๐ฅ| + ๐ฅ sin ๐ฅ
๏ Solusi Umum
๐ฆ = ๐ฆ๐ + ๐ฆ ๐
10