Mais conteúdo relacionado Semelhante a Funciones racionales (20) Mais de L2DJ Temas de Matemáticas Inc. (16) Funciones racionales4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
.
Objetivos
2
5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
.
Objetivos
2
6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
Identificar las asíntotas de una función racional.
.
Objetivos
2
7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
Identificar las asíntotas de una función racional.
Asíntotas Verticales
.
Objetivos
2
8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
Identificar las asíntotas de una función racional.
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
.
Objetivos
2
9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
Identificar las asíntotas de una función racional.
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Asíntotas Oblicuas
.
Objetivos
2
10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
Identificar las asíntotas de una función racional.
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Asíntotas Oblicuas
Otras Asíntotas
.
Objetivos
2
11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
Identificar las asíntotas de una función racional.
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Asíntotas Oblicuas
Otras Asíntotas
Describir las características de una función racional.
.
Objetivos
2
12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Reconocer una función racional.
Hallar el dominio de una función racional.
Buscar los huecos de una función racional.
Identificar las asíntotas de una función racional.
Asíntotas Verticales
Asíntotas Horizontales
Asíntotas Oblicuas
Otras Asíntotas
Describir las características de una función racional.
Dibujar la gráfica de una función racional.
Objetivos
2
14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto
en su numerador como su denominador. La estructura
algebraica para representar este tipo de funciones es :
Función Racional
3
15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto
en su numerador como su denominador. La estructura
algebraica para representar este tipo de funciones es :
𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
Función Racional
3
16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto
en su numerador como su denominador. La estructura
algebraica para representar este tipo de funciones es :
𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
grado n
grado m
Función Racional
3
17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto
en su numerador como su denominador. La estructura
algebraica para representar este tipo de funciones es :
El grado del numerador es 𝒏 y el grado de denominador es
𝒎. Por tener variables en su denominador el dominio de la
función tiene que excluir los valores que la hacen indefinida.
𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
grado n
grado m
Función Racional
3
19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la
variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la
variable independiente que tienen imagen.
4
Dominio de la Función Racional
20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la
variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la
variable independiente que tienen imagen.
El dominio de una función racional es el conjunto de todos
los números reales excepto los elementos que hacen cero el
denominador.
4
Dominio de la Función Racional
21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la
variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la
variable independiente que tienen imagen.
El dominio de una función racional es el conjunto de todos
los números reales excepto los elementos que hacen cero el
denominador.
Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥+1 𝑥−2
el dominio
es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y
____.
4
Dominio de la Función Racional
22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la
variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la
variable independiente que tienen imagen.
El dominio de una función racional es el conjunto de todos
los números reales excepto los elementos que hacen cero el
denominador.
Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥+1 𝑥−2
el dominio
es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y
____.
−1
2
4
Dominio de la Función Racional
23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la
variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la
variable independiente que tienen imagen.
El dominio de una función racional es el conjunto de todos
los números reales excepto los elementos que hacen cero el
denominador.
Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥+1 𝑥−2
el dominio
es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y
____.
−1
2
Dominio de 𝑓(𝑥): −∞, −1 ∪ −1, 2 ∪ 2, ∞
4
Dominio de la Función Racional
25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Función Racional
7
La función racional más simple es 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, su gráfica la
conocemos
26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑦
𝑥
Función Racional
7
La función racional más simple es 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, su gráfica la
conocemos
27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑦
𝑥
Los extremos de su gráfica tienden a
pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le
llamamos comportamiento asintótico, esto se
debe a los valores excluidos en el dominio,
ℝ − 0 y el alcance, ℝ − 0 .
Función Racional
7
La función racional más simple es 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, su gráfica la
conocemos
28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
La función racional más simple es 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, su gráfica la
conocemos
𝑦
𝑥
Los extremos de su gráfica tienden a
pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le
llamamos comportamiento asintótico, esto se
debe a los valores excluidos en el dominio,
ℝ − 0 y el alcance, ℝ − 0 .
Nota:
Las asíntotas se pintan
entrecortadas para diferenciarlas
de la curva que forma la gráfica
de la función.
Al calcular a que valor se acerca la variable
𝑦 en la medida que 𝑥 es cada vez más grande
obtenemos 0, lo cual llamamos el limite de
𝑓(𝑥) en los infinitos. Así también el valor de 𝑦
cuando 𝑥 es cada vez más pequeña provoca un
número cada vez más grande (tiende a
infinito) lo que llamamos el límite de 𝑓(𝑥)
cuando 𝑥 se acerca a cero.
Función Racional
7
30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntotas Función Racional
8
Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la
función se va aproximando indefinidamente, cuando por
lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.
31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
tenemos que sus asíntotas
pueden ser…
Asíntotas Función Racional
8
Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la
función se va aproximando indefinidamente, cuando por
lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.
32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
tenemos que sus asíntotas
pueden ser…
I. Asíntotas Verticales
Asíntotas Función Racional
8
Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la
función se va aproximando indefinidamente, cuando por
lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.
𝑥
𝑦
33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
tenemos que sus asíntotas
pueden ser…
I. Asíntotas Verticales
Asíntotas Función Racional
8
Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la
función se va aproximando indefinidamente, cuando por
lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.
𝑥
𝑦
II. Asíntotas Horizontales
34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
tenemos que sus asíntotas
pueden ser…
I. Asíntotas Verticales
Asíntotas Función Racional
8
Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la
función se va aproximando indefinidamente, cuando por
lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.
𝑥
𝑦
II. Asíntotas Horizontales
III.Asíntotas Oblicuas u Otras
36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦
La función 𝑅(𝑥) tiende a (+)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
La función 𝑅(𝑥) tiende a (+)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
La función 𝑅(𝑥) tiende a (+)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
La función 𝑅(𝑥) tiende a (−)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
La función 𝑅(𝑥) tiende a (+)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
La función 𝑅(𝑥) tiende a (−)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
La función 𝑅(𝑥) tiende a (+)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
La función 𝑅(𝑥) tiende a (−)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
asíntota vertical
42. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
La función 𝑅(𝑥) tiende a (+)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
La función 𝑅(𝑥) tiende a (−)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.
asíntota vertical
Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el
denominador. Veamos…
43. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
Teorema de las Asíntotas Verticales
44. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
Teorema de las Asíntotas Verticales
Una función racional, 𝑅 𝑥 =
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
, en forma simplificada,
tiene una asíntota vertical en 𝑥 = ℎ, si 𝑥 − ℎ es un factor
del denominador 𝑞(𝑥).
45. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
Teorema de las Asíntotas Verticales
Para que 𝑥 = ℎ sea una asíntota vertical 𝑞(ℎ) = 0 pero
𝑝(ℎ) ≠ 0.
Una función racional, 𝑅 𝑥 =
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
, en forma simplificada,
tiene una asíntota vertical en 𝑥 = ℎ, si 𝑥 − ℎ es un factor
del denominador 𝑞(𝑥).
46. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
Teorema de las Asíntotas Verticales
Nota:
Si la función racional simplifica, entonces el cero de
este factor es un HUECO en la gráfica de la función.
Para que 𝑥 = ℎ sea una asíntota vertical 𝑞(ℎ) = 0 pero
𝑝(ℎ) ≠ 0.
Una función racional, 𝑅 𝑥 =
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
, en forma simplificada,
tiene una asíntota vertical en 𝑥 = ℎ, si 𝑥 − ℎ es un factor
del denominador 𝑞(𝑥).
47. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 11
Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
48. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
11
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
49. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16 Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
11
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
50. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16 Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
Después se simplifica si es posible.𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
11
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
51. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
Después se simplifica si es posible.
11
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
52. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
Después se simplifica si es posible.
Luego se iguala a cero el denominador
para obtener las asíntotas verticales. Si la
función simplificó se iguala a cero el factor
simplificado para obtener el valor de 𝑥
donde ocurre el hueco.
11
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
53. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
Después se simplifica si es posible.
Luego se iguala a cero el denominador
para obtener las asíntotas verticales. Si la
función simplificó se iguala a cero el factor
simplificado para obtener el valor de 𝑥
donde ocurre el hueco.
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
11
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
54. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
Después se simplifica si es posible.
Luego se iguala a cero el denominador
para obtener las asíntotas verticales. Si la
función simplificó se iguala a cero el factor
simplificado para obtener el valor de 𝑥
donde ocurre el hueco.
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −4
11
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
55. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
∴ la gráfica tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 4 y un hueco en 𝑥 = −4.
Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
Después se simplifica si es posible.
Luego se iguala a cero el denominador
para obtener las asíntotas verticales. Si la
función simplificó se iguala a cero el factor
simplificado para obtener el valor de 𝑥
donde ocurre el hueco.
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −4
11
(la gráfica nunca las toca o interseca)
Asíntotas Verticales
57. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
58. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦 La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (−) infinito.
59. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
𝑥
𝑦 La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (−) infinito.
60. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (+) infinito.
61. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (+) infinito.
62. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (+) infinito.
asíntota horizontal
63. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una
asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los
polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente
(numerador y denominador) veamos…
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (+) infinito.
asíntota horizontal
64. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Criterios Asíntotas horizontales
13
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
65. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥)
Criterios Asíntotas horizontales
13
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
66. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥)
ii) Si 𝒏 = 𝒎 entonces, 𝑦 =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
es su asíntota horizontal
Criterios Asíntotas horizontales
13
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
67. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥)
ii) Si 𝒏 = 𝒎 entonces, 𝑦 =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
es su asíntota horizontal
Criterios Asíntotas horizontales
iii) Si 𝒏 > 𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal
13
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
68. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥)
ii) Si 𝒏 = 𝒎 entonces, 𝑦 =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
es su asíntota horizontal
Criterios Asíntotas horizontales
iii) Si 𝒏 > 𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal
13
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Recordar
𝑅 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
En la función 𝑅(𝑥) el grado del numerador es 𝒏 y el grado de
denominador es 𝒎. El coeficiente principal del numerador es 𝑎 𝑛
mientras que el coeficiente principal del denominador es 𝑏 𝑚.
69. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
70. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
71. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
Después se compara para
identificar el criterio que aplica.
De acuerdo al criterio que aplica
se determina la asíntota horizontal.
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
72. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
Después se compara para
identificar el criterio que aplica.
De acuerdo al criterio que aplica
se determina la asíntota horizontal.
Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica
el criterio 𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 = 0
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
73. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
Después se compara para
identificar el criterio que aplica.
De acuerdo al criterio que aplica
se determina la asíntota horizontal.
Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica
el criterio 𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 = 0
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
74. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
Después se compara para
identificar el criterio que aplica.
De acuerdo al criterio que aplica
se determina la asíntota horizontal.
Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica
el criterio 𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 = 0
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
75. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
Después se compara para
identificar el criterio que aplica.
De acuerdo al criterio que aplica
se determina la asíntota horizontal.
Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica
el criterio 𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 = 0
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
Como 𝑛 es igual que 𝑚 aplica el
criterio 𝑖𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
.
Nota:
𝑎 𝑛 es el coeficiente principal del numerador
𝑏 𝑚 es el coeficiente principal del denominador
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
76. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
Después se compara para
identificar el criterio que aplica.
De acuerdo al criterio que aplica
se determina la asíntota horizontal.
Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica
el criterio 𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 = 0
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
Como 𝑛 es igual que 𝑚 aplica el
criterio 𝑖𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 =
2
5
.
Nota:
𝑎 𝑛 es el coeficiente principal del numerador
𝑏 𝑚 es el coeficiente principal del denominador
14
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales
78. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.
79. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (−) infinito.
𝑥
𝑦
80. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
81. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥
𝑦La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (+) infinito.
82. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (+) infinito.
83. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (+) infinito.
asíntota oblicua
84. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (−) infinito.
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (+) infinito.
Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo
de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los
polinomios del numerador y denominador, veamos…
asíntota oblicua
85. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 16
Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
86. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua
Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras
16
Asíntotas Oblicuas y Otras
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
(rectas crecientes o decrecientes)
87. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua
b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática
Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras
16
Asíntotas Oblicuas y Otras
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
(rectas crecientes o decrecientes)
(parábola)
88. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua
b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática
c) Si 𝑛 − 𝑚 = 3 hay Asíntota Cúbica
Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras
16
Asíntotas Oblicuas y Otras
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
(rectas crecientes o decrecientes)
(parábola)
(gráfica cúbica)
89. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua
b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática
c) Si 𝑛 − 𝑚 = 3 hay Asíntota Cúbica
d)Si 𝑛 − 𝑚 = 4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente.
Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras
16
Asíntotas Oblicuas y Otras
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
(rectas crecientes o decrecientes)
(parábola)
(gráfica cúbica)
90. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua
b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática
c) Si 𝑛 − 𝑚 = 3 hay Asíntota Cúbica
d)Si 𝑛 − 𝑚 = 4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente.
Para hallar estas asíntota tenemos que dividir los polinomios como lo
indica la función 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 será la asíntota a ser pintada en la
gráfica. Recuerde que los polinomios se suelen dividir utilizando la
división larga.
Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras
16
Asíntotas Oblicuas y Otras
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
(rectas crecientes o decrecientes)
(parábola)
(gráfica cúbica)
91. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
92. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
93. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta. Los términos que faltan en el
dividendo se escriben con coeficientes cero.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
94. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor.dividido por
Igual a
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
95. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor. Después se multiplica el término del
cociente por todos los términos del divisor.
17
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3
− 6𝑥2 − 8𝑥
multiplicado por
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
96. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor. Después se multiplica el término del
cociente por todos los términos del divisor. Como se
resta se busca el opuesto de todos los términos.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3
− 6𝑥2 − 8𝑥− + +
17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
97. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor. Después se multiplica el término del
cociente por todos los términos del divisor. Como se
resta se busca el opuesto de todos los términos. Se
suma verticalmente
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
98. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor. Después se multiplica el término del
cociente por todos los términos del divisor. Como se
resta se busca el opuesto de todos los términos. Se
suma verticalmente y se vuelve a dividir el primer
término de la suma con el primer término del
divisor. Se repite el proceso hasta que no se pueda
continuar dividiendo.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
6𝑥2− ++
22𝑥
+6
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
− 18𝑥 − 24
+ 24
17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
99. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor. Después se multiplica el término del
cociente por todos los términos del divisor. Como se
resta se busca el opuesto de todos los términos. Se
suma verticalmente y se vuelve a dividir el primer
término de la suma con el primer término del
divisor. Se repite el proceso hasta que no se pueda
continuar dividiendo.
El cociente de la división es la asíntota oblicua u
otra dependiendo del grado de este.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
6𝑥2− ++
22𝑥
+6
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
− 18𝑥 − 24
+ 24
17
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Oblicuas y Otras
100. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
La asíntota es oblicua porque el
grado del cociente es uno, esta es
𝐲 = 𝟐𝒙 + 𝟔.
Inicialmente se construye la casita de división.
Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor. Después se multiplica el término del
cociente por todos los términos del divisor. Como se
resta se busca el opuesto de todos los términos. Se
suma verticalmente y se vuelve a dividir el primer
término de la suma con el primer término del
divisor. Se repite el proceso hasta que no se pueda
continuar dividiendo.
El cociente de la división es la asíntota oblicua u
otra dependiendo del grado de este.
Solución:
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
6𝑥2− ++
22𝑥
+6
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
− 18𝑥 − 24
+ 24
17
Asíntotas Oblicuas y Otras
(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
101. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntotas Función Racional
18
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
102. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntotas Función Racional
18
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
103. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntotas Función Racional
18
Sus asíntotas son:
Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
104. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntotas Función Racional
18
Asíntota horizontal:
𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal
Sus asíntotas son:
Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
105. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntotas Función Racional
18
Asíntota Oblicua:
𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo
Asíntota horizontal:
𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal
Sus asíntotas son:
Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
106. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
División:
Asíntotas Función Racional
18
𝑦 = 𝑥 + 1, es el cociente
1 − 1 0
1 1 2
2
2 2
Asíntota Oblicua:
𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo
Asíntota horizontal:
𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal
Sus asíntotas son:
Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
107. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
División:
Asíntotas Función Racional
18
𝑦 = 𝑥 + 1, es el cociente
1 − 1 0
2
2
2 2
Asíntota Oblicua:
𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo
∴ 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑥 + 1
Asíntota horizontal:
𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal
Sus asíntotas son:
Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
1 1
108. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
En la gráfica:
-1 2 𝑥
𝑦
1
División:
Asíntotas Función Racional
18
𝑦 = 𝑥 + 1, es el cociente
1 − 1 0
2
2
2 2
Asíntota Oblicua:
𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo
∴ 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑥 + 1
Asíntota horizontal:
𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal
Sus asíntotas son:
Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
1 1
110. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
.
21
Gráfica Función Racional
111. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
Factorizar numerador y denominador.
.
21
Gráfica Función Racional
112. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
Factorizar numerador y denominador.
Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.
.
21
Gráfica Función Racional
113. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
Factorizar numerador y denominador.
Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.
Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.
.
21
Gráfica Función Racional
114. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
Factorizar numerador y denominador.
Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.
Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.
Haga una prueba de corte
.
21
Gráfica Función Racional
115. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
Factorizar numerador y denominador.
Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.
Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.
Haga una prueba de corte
Hallar las intersecciones en ambos ejes.
.
21
Gráfica Función Racional
116. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
Factorizar numerador y denominador.
Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.
Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.
Haga una prueba de corte
Hallar las intersecciones en ambos ejes.
Estudiar los intervalos dónde 𝑓 𝑥 > 0 y dónde 𝑓 𝑥 < 0.
.
21
Gráfica Función Racional
117. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
Factorizar numerador y denominador.
Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.
Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.
Haga una prueba de corte
Hallar las intersecciones en ambos ejes.
Estudiar los intervalos dónde 𝑓 𝑥 > 0 y dónde 𝑓 𝑥 < 0.
Trazado de la gráfica de la función racional.
21
Gráfica Función Racional
119. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = 8, no hay huecos.
Gráfica Función Racional
22
Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:
120. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = 8, no hay huecos.
Asíntota Horizontal:
𝑦 = 3, no hay otras asíntotas.
Gráfica Función Racional
22
Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:
121. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = 8, no hay huecos.
Asíntota Horizontal:
𝑦 = 3, no hay otras asíntotas.
Prueba de corte:
La gráfica no corta la asíntota
horizontal.
Gráfica Función Racional
22
Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:
122. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = 8, no hay huecos.
Asíntota Horizontal:
𝑦 = 3, no hay otras asíntotas.
Prueba de corte:
La gráfica no corta la asíntota
horizontal.
Intersecciones en los ejes:
−
1
3
, 0 , 0, −
1
8
Gráfica Función Racional
22
Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:
123. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = 8, no hay huecos.
Asíntota Horizontal:
𝑦 = 3, no hay otras asíntotas.
Prueba de corte:
La gráfica no corta la asíntota
horizontal.
Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −
1
3
∪ 8, ∞
𝑓 𝑥 < 0: −
1
3
, 8
Intersecciones en los ejes:
−
1
3
, 0 , 0, −
1
8
Gráfica Función Racional
22
Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:
124. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = 8, no hay huecos.
Asíntota Horizontal:
𝑦 = 3, no hay otras asíntotas.
Prueba de corte:
La gráfica no corta la asíntota
horizontal.
Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −
1
3
∪ 8, ∞
𝑓 𝑥 < 0: −
1
3
, 8
Intersecciones en los ejes:
−
1
3
, 0 , 0, −
1
8
Gráfica Función Racional
Gráfica:
𝑥
𝑦
22
Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:
125. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de las páginas 3-5
24
126. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Práctica:
¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥2−12
𝑥2−5𝑥+6
? Explique.
a)
c) d)
𝑥
𝑦
b)
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
Gráfica Función Racional
25
128. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Gráfica Función Racional
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
129. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos
Gráfica Función Racional
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
130. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Asíntota vertical:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos
Asíntota Horizontal:
No hay asíntota horizontal
Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
Gráfica Función Racional
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
131. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Prueba de corte:
𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1
Gráfica Función Racional
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
Asíntota vertical:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos
Asíntota Horizontal:
No hay asíntota horizontal
Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
132. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Intersecciones en los ejes:
0,0 , 1, 0
Gráfica Función Racional
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
Prueba de corte:
𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1
Asíntota vertical:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos
Asíntota Horizontal:
No hay asíntota horizontal
Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
133. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −2 ∪ 1,2
𝑓 𝑥 < 0: −2,0 ∪ 0,1 ∪ 2, ∞
Gráfica Función Racional
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
Intersecciones en los ejes:
0,0 , 1, 0
Prueba de corte:
𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1
Asíntota vertical:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos
Asíntota Horizontal:
No hay asíntota horizontal
Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
134. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Gráfica Función Racional
Gráfica:
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥
𝑦
26
Práctica:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
Solución:
Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −2 ∪ 1,2
𝑓 𝑥 < 0: −2,0 ∪ 0,1 ∪ 2, ∞
Intersecciones en los ejes:
0,0 , 1, 0
Prueba de corte:
𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1
Asíntota vertical:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos
Asíntota Horizontal:
No hay asíntota horizontal
Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
135. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Terminar la presentación
Comenzar la presentación
Regresar a
Función racional
Dominio función racional
Asíntotas función racional
Trazado de gráficas de funciones racionales
28
Funciones Racionales