9 séries de números reais

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9 séries de números reais

  1. 1. Análise Matemática I Séries de Números Reais Joana Peres MIEQ – 2009/2010FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 1
  2. 2. Introdução às séries de números reais Uma série (infinita) de números reais é a soma de todos os (infinitos) termos de uma sucessão (ou sequência) de números reais, de termo geral {an}: def ∞ Definição a1 + a2 + a3 + ≡ ∑ ar r =1 Será que esta série infinita tem um valor numérico? sucessão das somas parciais {Sn}, associada à sucessão de números reais {an}, definida através de: def def n Definição S n ≡ a1 + a2 + + an ≡ ∑ ar r =1 Algumas das somas parciais associadas à sucessão {an}: S1 = a1 S 2 = a1 + a2 S 3 = a1 + a2 + a3 S n = a1 + a2 + + anFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 2
  3. 3. Séries convergentes e divergentes A sucessão de termo geral {an} diz-se somável se e só se a correspondente sucessão das somas parciais {Sn} for convergente para um número real qualquer S quando n tender para infinito: Definição def n def ∞ {an }somável ⇔ ∃S ∈ IR : lim S n = lim ∑ ar ≡ ∑ ar = S n→∞ n→∞ r =1 r =1 ∞ Se o limite existir a série ∑ ar é convergente para S r =1 ∞ Se o limite não existir a série ∑ ar é divergente r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 3
  4. 4. Propriedades mais importantes das séries de números reais ∞ ∞ ∞ Teorema ∑ ar = S∧ ∑ br = T ⇒ ∑ ( ar + br ) = S + T r =1 r =1 r =1 ∞ ∞ ∑ ar = S ⇒ ∑ c ar = c S , ∀c ∈ IR r =1 r =1 O 2º teorema é um teste de divergência que deve sempre ser aplicado a qualquer série antes de utilizar qualquer outro teste de convergência: Teorema (Condição necessária de convergência, ou teste de divergência) ∞ ∑ ar converge ⇒ lim an = 0 n →∞ r =1 ∞ Demonstração: ∑ ar = S ⇒ lim an = lim ( S n − S n −1 ) = n →∞ n →∞ r =1 = lim S n − lim S n −1 = S − S = 0 n→∞ n→∞ ∞ Conclui-se do Teorema que: lim an ≠ 0 ⇒ n→∞ ∑ ar diverge r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 4
  5. 5. Propriedades mais importantes das séries de números reais Exemplos de aplicação do teste de divergência ∞ ∞ r ∑ r +1 ∑ ( −1) r r 2 r =1 r =1 Observação importante: ∞ Se lim an = 0 então a série n →∞ ∑ ar pode convergir ou divergir r =1 Exemplo: A série chamada série harmónica ∞ 1 1 1 1 1 ∑ r =1+ 2 + 3 + 4 + é uma série divergente, embora o lim n→∞ n =0 r =1 Contudo, a série harmónica diverge com extrema lentidão: Sn ≥ 5 ⇒ n = 83 Sn ≥ 10 ⇒ n = 12 367 Sn ≥ 100 ⇒ n ≈ 1043FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 5
  6. 6. Propriedades mais importantes das séries de números reais ∞ ∞ Teorema ∑ ar = S ⇔ ∑ ar = S + a0 , desde que a0 ∈ IR r =1 r =0 Redefinição da soma parcial Sn de forma a incluir o termo a0 def def n Definição S n ≡ a0 + a1 + + an ≡ ∑ ar r =0 A soma parcial Sn é sempre definida como sendo a soma de todos os termos da sucessão {an} até ao termo an independentemente de o 1º termo da sucessão ser a0, a1, a2 ou outro termo qualquer. Generalização do teorema: Inserir ou remover um número finito de termos numa série convergente não altera a convergência da nova série assim obtida que convergirá para um valor diferente daquele para que converge a série original. Inserir ou remover um número finito de termos numa série divergente não altera a divergência da nova série assim obtida.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 6
  7. 7. Estudo de séries directamente a partir da definiçãoA aplicação directa da definição de série convergente Exprimir Sn sob a “forma fechada” Séries telescópicas (ou de Mengoli) são séries cujo termo geral ar pode ser escrito como uma diferença de dois termos de outra sucessão {br}, em que a “distância” entre esses dois termos (isto é, a diferença dos seus índices) é constante, ou seja: ar = br + k − br ou ar = br − br + k com k ∈ IN Exemplo em q a r = b r +1 − b r e a série “começa em r = 1” p que ç def n n n n Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br +1 − br ) = ∑ br +1 − ∑ br = r =1 r =1 r =1 r =1 = ( b2 + b3 + + bn −1 + bn + bn +1 ) − ( b1 + b2 + b3 + + bn −1 + bn ) = = bn +1 − b1 def então S ≡ lim S n = ( lim bn +1 ) − b1 = ( lim bn ) − b1 n →∞ n →∞ n →∞ Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn n →∞ FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 7
  8. 8. Estudo de séries directamente a partir da definição Séries telescópicas (ou de Mengoli) Exemplo em que ar = br − br + 2 e a série “começa em r = 0” def n n n n Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br − br + 2 ) = ∑ br − ∑ br + 2 = r =0 r =0 r =0 r =0 = ( b0 + b1 + b2 + b3 + + bn ) − ( b2 + b3 + + bn + bn +1 + bn + 2 ) = = b0 + b1 − (bn +1 + bn + 2 ) então tã def S ≡ lim S n = b0 + b1 − lim (bn +1 + bn + 2 ) = b0 + b1 − 2 lim bn n →∞ n →∞ n →∞ Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn n→∞ Exemplo ∞ Estudar a convergência da série ∑ ( 21 r +1 − 21 r ) telescópica r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 8
  9. 9. Estudo de séries directamente a partir da definição Séries geométricas Uma série é uma série geométrica se cada termo depois do primeiro for um múltiplo fixo do termo precedente, isto é, se ar +1 = k ar , ∀r ≥ 0 O número k chama-se razão da série geométrica. Uma série geométrica é a série que está associada a uma “progressão” geométrica do tipo: progressão a 0 , a0 k , a0 k 2 , a0 k 3 , Representando o termo inicial da série geométrica por a0, vem que: ∞ ∑ a 0 k r = a0 + a 0 k + a 0 k 2 + a0 k 3 + , com a0 , k ∈ IR r =0FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 9
  10. 10. Estudo de séries directamente a partir da definição Séries geométricas Obtenção da “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n: Caso em que k = 1 k = 1 ⇒ S n = a0 + a0 + a 0 + + a0 = ( n + 1) a0 ⇒ ⇒ lim S n = lim ( n + 1) a0 = ± ∞ ⇒ a série é divergente n→∞ n→∞ k = −1 ⇒ {S n } = {a0 , 0, a0 , 0, a0 , }⇒ ⇒ lim S n não existe e portanto a série é divergente existe, n →∞ Caso em que k ≠ 1 n S n = ∑ a 0 k r = a 0 + a0 k + + a0 k n r =0 kS n = a0 k + a0 k 2 + + a0 k n + a0 k n +1 a0 S n − k S n = a 0 − a0 k n +1 ⇒ S n (1 − k ) = a0 (1 − k n +1 ) ⇒ Sn = (1 − k n +1 ) 1− kFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 10
  11. 11. Estudo de séries directamente a partir da definição Séries geométricas A “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n quando k ≠ 1 a0 Sn = (1 − k n +1 ) 1− k Aplicando a definição de série convergente, conclui-se o seguinte: Se k > 1, lim k n +1 não existe ⇒ lim S n não existe, e a série é divergente n →∞ n →∞ S k < 1, lim k n +1 = 0 ⇒ lim S n = a0 , e a série converge: Se éi n→∞ n→∞ 1− k ∞ a0 ∑ a0 k r = 1− k , sse k < 1 r =0 ∞ r ∞ r ∞ r ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛ e⎞ Exemplos ∑ ⎜ ⎟ ⎝π ⎠ ∑ ⎜ ⎟ ⎝π ⎠ ∑ ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠ r =0 r =1 r =0FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 11
  12. 12. Estudo de séries directamente a partir da definição Séries geométricas Exemplo de aplicação: Racionalizar na forma irredutível a dízima periódica infinita 0.33333 ...... Exemplo de aplicação: Diz-se que uma bola elástica tem um coeficiente de restituição r, com 0 < r < 1, se a bola ressaltar até à altura rh depois de ter sido deixada cair da altura h. Supondo que a b l é d i d cair d S d bola deixada i de uma altura inicial a (ver figura junta) e depois ressalta infinitas vezes até parar, mostre que a distância total percorrida pela bola é finita, sendo dada por: 1+ r D=a 1− rFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 12
  13. 13. Séries de termos não-negativos Se o termo geral de uma série for não-negativo, a correspondente sucessão das somas parciais é obrigatoriamente crescente: an ≥ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≥ 0 ⇔ S n ≥ S n −1 ⇔ {S n } é crescente Existem apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber: 1ª hipótese: {Sn} é crescente e limitada ⇒ ∞ ⇒ ∑ ar converge para sup {Sn} r =1 2ª hipótese: {Sn} é crescente mas não-limitada ⇒ ∞ ⇒ ∑ ar diverge para ∞ r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 13
  14. 14. Séries de termos não-negativos Não existe nenhum teste universal de convergência para séries de termos não-negativos; No entanto existem vários testes de convergência que, sem serem universais, permitem resolver o problema da convergência das séries de termos não-negativos na maior parte dos casos de interesse prático. Desses testes, vamos estudar apenas os cinco mais importantes: 1. Teste de comparação directa 2. Forma limite do teste de comparação 3. Teste da razão (ou de dAlembert) 4. Teste da raíz 5. Teste do integral (ou de Cauchy)FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 14
  15. 15. Séries de termos não-negativos O teste de comparação directa pode ser utilizado para mostrar a convergência ou a divergência de séries de termos não-negativos: Teorema (Teste de comparação directa) Suponhamos que 0 ≤ ar ≤ br , ∀r ≥ r * então: ∞ ∞ ∑ br converge ⇒ ∑ ar também converge r =1 r =1 ∞ ∞ ∑ ar diverge ⇒ ∑ br também diverge r =1 r =1 Estes resultados são igualmente válidos se as duas séries “começarem em r = 0”, ou em qualquer número inteiro positivo. Se se pretender testar convergência utiliza-se br (o termo “maior”) como termo de comparação Se se pretender testar divergência utiliza-se ar (o termo “menor”) como termo de comparação ∞ ∞ Se 0 ≤ ar ≤ br e ∑ br divergir ou ∑ ar convergir r =1 r =1 nada se pode concluir acerca da outra sérieFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 15
  16. 16. Séries de termos não-negativos Teste de comparação directa Exemplo Utilize o teste de comparação directa para mostrar que a série ∞ sen 2 r ∑ 2r + r 2 r =1 é convergente.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 16
  17. 17. Séries de termos não-negativos Forma limite do teste de comparação Teorema (Forma limite do teste de comparação) ar Suponhamos que ar > 0 e br > 0, ∀r ≥ r * e seja L = lim então: r →∞ br ∞ ∞ L>0 ⇒ ∑ br e ∑ ar convergem ambas ou divergem ambas r =1 r =1 ∞ ∞ L=0 e ∑ br convergir ⇒ ∑ ar também converge r =1 r =1 ∞ ∞ L=0 e ∑ br d eg divergir ⇒ ∑ ar também diverge r =1 r =1 Neste caso fazemos uma comparação indirecta entre duas séries, isto é, utilizamos o cálculo do limite L para fazer a comparação entre duas séries. A série de termo geral ar é aquela cuja convergência estamos a estudar, e a série de termo geral br é uma série conhecida, que é usada como termo de comparação Escolha de br : inspeccionar o termo geral ar da série que estamos a estudar, e verificar qual é a “parte dominante” de ar quando r se torna muito grande.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 17
  18. 18. Séries de termos não-negativos Forma limite do teste de comparação Exemplo Utilize a forma limite do teste de comparação para mostrar que a série ∞ 5 ∑ 3r − 1 r =1 é convergente.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 18
  19. 19. Séries de termos não-negativos Teste da razão (ou de D’Alembert) Teorema (Teste da razão, ou de D’Alembert) Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então: r →∞ a r ∞ 0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge r =1 ∞ ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge r =1 ρ = 1 este teste é inconclusivo, excepto se ar +1 > ar , ∀r ≥ r ** caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0 →∞ O teste da razão é, em geral, o teste mais indicado para séries cujo termo geral inclua factoriais. Definição de factorial def + ( r + 1)! ≡ ( r + 1) r! , ∀r ∈ Z 0 def 0! ≡ 1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 19
  20. 20. Séries de termos não-negativos Teste da razão (ou de D’Alembert) Exemplo Utilize o teste da razão para estudar a convergência da série ∞ rr ∑ r! r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 20
  21. 21. Séries de termos não-negativos Teste da raiz Teorema (Teste da raiz) Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então: r →∞ ∞ 0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge r =1 ∞ ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge r =1 ρ = 1 este teste é i t t t inconclusivo, excepto se l i t r ar > 1 , ∀r ≥ r ** caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0 →∞ O teste da razão e o teste da raiz estão intimamente relacionados, como se pode concluir do seguinte teorema: Teorema ar +1 lim = ρ ⇒ lim r ar = ρ r →∞ ar r →∞ É aconselhável começar por tentar utilizar o teste da razão, por ser o mais fácil de aplicar.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 21
  22. 22. Séries de termos não-negativos Exemplo Estude a convergência da série ∞ r ∑ 5r r =1 pelo teste da razão e pelo teste da raiz.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 22
  23. 23. Séries de termos não-negativos Teste do integral (ou de Cauchy) O teste do integral permite relacionar a convergência de séries de termos positivos com a convergência de integrais impróprios do 1º tipo: Teorema (Teste do integral, ou de Cauchy) Suponhamos que ar > 0 e ar +1 < ar , ∀r ≥ r * e seja, f (x) uma função positiva, decrescente e integrável em [1, ∞ [, tal que f ( x) = ar , ∀r ∈ IN então: ∞ ∞ ∑ ar converge sse ∫1 f ( x) dx convergir r =1 Generalizando, se a série não “começar em r = 1”, vem: ∞ ∞ ∑ ar converge sse ∫k f ( x) dx convergir + ∀k ∈ Z 0 r =kFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 23
  24. 24. Séries de termos não-negativos Teste do integral (ou de Cauchy) Para demonstrar este teorema, comecemos por mostrar que o integral impróprio do 1º tipo pode sempre ser escrito como uma série infinita de números reais: ∞ = ∑⎛∫ f ( x ) dx ⎞ ∞ 2 3 r +1 ∫1 f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + 1 2 ⎜ r r =1 ⎝ ⎟ ⎠ r +1 r +1 f ( r + 1) < ∫ f ( x) dx < f ( r ) ⇔ ar +1 < ∫ f ( x ) dx < ar r r Aplicando o teste de comparação àqueladupla desigualdade, conclui-se que ∞a série ∑ ar e o integral ∞ r =1 ∫1 f ( x ) dxou convergem ambos ou divergem ambosFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 24
  25. 25. Séries de termos não-negativos Teste do integral (ou de Cauchy) Exemplo Utilize o teste do integral para estudar a convergência das séries ∞ ∞ 1 1 ∑ r ∑ r2 r =1 r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 25
  26. 26. Séries de termos não-negativos As séries dos “pp” (ou de Riemann) são frequentemente utilizadas como termo de comparação ao estudar a convergência de outras séries. ∞ 1 1 1 Definição ∑ rp =1+ p + p + 2 3 , com p ∈ IR r =1 1 Se p ≤ 0 ⇒ lim p ≠ 0 ⇒ que a série diverge r →∞ r 1 Se p > 0 ⇒ lim p = 0 ⇒ que a série pode convergir ou r →∞ r divergir 1 Aplicando directamente o teste do integral, com f ( x) = definida em [1, ∞ [: rp ∞ Como o ∫1 f ( x) dx converge sse p > 1, concluímos pelo teste do integral que: A série dos “pp” (ou de Riemann) converge sse p > 1 ∞ 1 1 1 1Se p = 1, temos a série harmónica ∑ r =1+ 2 + 3 + 4 + que diverge. r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 26
  27. 27. Séries de termos não-negativos Estimativa do resto a partir do teste do integral Definição de resto de ordem n duma série convergente para S def ∞ Rn ≡ S − S n = an +1 + an+ 2 + = ∑ ar r = n +1 Se o teste do integral puder ser aplicado a esta série convergente, não é difícil obter uma estimativa do resto Rn. De facto, como vimos acima: r +1 r ar +1 < ∫ f ( x) dx < ar ∧ ar < ∫ f ( x) dx < ar −1 ⇒ r r −1 r +1 ∞ r +1 ∞ ∞ ∑ ∫r ∑ ar < ∑ ∫r −1 f ( x) r r ∫r f ( x) dx < ar < ∫r −1 f ( x) dx ⇒ r = n +1 f ( x ) dx < r = n +1 r = n +1 dx ⇒ ∞ ∞ ∫n+1 f ( x) dx < Rn < ∫n f ( x) dx estimativa do resto Rn ∞ ∞ Sn + ∫n+1 f ( x) dx < S < S n + ∫n f ( x ) dx estimativa da soma da sérieFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 27
  28. 28. Séries de termos não-negativos Estimativa do resto a partir do teste do integral Exemplo Calcular a soma da série dos “pp” ∞ 1 ∑ r3 r =1 com erro inferior a 0.005.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 28
  29. 29. Séries de termos não-positivos Se o termo geral de uma série for não-positivo, a correspondente sucessão das somas parciais é obrigatoriamente decrescente: an ≤ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≤ 0 ⇔ S n ≤ S n −1 ⇔ {S n } é decrescente Temos então apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber: 1ª hipótese: {Sn} é decrescente e limitada ⇒ ∞ ⇒ ∑ ar converge para inf {Sn} r =1 2ª hipótese: {Sn} é decrescente mas não-limitada ⇒ ∞ ⇒ ∑ ar diverge para -∞ r =1 ∞ ∞ Como ∑ ar ≡ − ∑ ( − ar ) , se a série de termos não-negativos convergir r =1 r =1 para S, a correspondente série de termos não- positivos (isto é, a série simétrica da série dada) converge obrigatoriamente para - SFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 29
  30. 30. Séries alternadas Séries alternadas são séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos são particularmente importantes nas aplicações práticas. Os testes de convergência que estudámos atrás para séries de termos não-negativos nãopodem ser aplicados directamente a estas séries é necessário recorrer a outro teorema para estudar a convergência destas séries. Teorema (Teste das séries alternadas, ou de Leibniz) Seja { ar } uma sucessão de termos positivos tais que: ( i ) ar +1 < ar , ∀r ≥ r * ( ii ) lim ar = 0 r →∞ então as duas séries alternadas associadas a { ar } ∞ ∑ (−1) r +1 ar = a1 − a2 + a3 − r =1 ∞ e ∑ (−1) r ar = −a1 + a2 − a3 + r =1 são ambas convergentes. Se a 1ª condição não for satisfeita, a série alternada pode convergir ou divergir. Se a 2ª condição não for satisfeita, podemos concluir que a série alternada em causa é obrigatoriamente divergente. FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 30
  31. 31. Séries alternadas Exemplo Estude a convergência da série harmónica alternada ∞ ( −1) r +1 ∑ r r =1 e da série alternada ∞ ( −1) r +1 ( r + 3) ∑ r +1 r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 31
  32. 32. Estimativa do resto de séries alternadas convergentes Resto de ordem n def ∞ def ∞ Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r +1 ar ou Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r ar r = n +1 r = n +1 Para uma série alternada convergente é sempre possível obter uma estimativa tão precisa quanto se quiser do valor absoluto de Rn e/ou da soma da série: Teorema O valor absoluto do resto de ordem n de uma série alternada convergente é menor do que o valor absoluto do primeiro termo “desprezado” no cálculo de Sn : 0 < Rn < an +1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 32
  33. 33. Séries alternadas r ar Sn Exemplo 1 1 1 2 0.5 0.5 Calcular a soma da série harmónica alternada 3 0.333333 0.83333333 ∞ ( −1) r +1 4 0.25 0.58333333 ∑ r 5 0.2 0.78333333 r =1 6 0.166667 0.61666667 7 0.142857 0.75952381 com erro inferior a 0.1. 8 0.125 0.63452381 9 0.111111 0.74563492 10 0.1 0.64563492 Quando estudarmos a representação de funções por meio de séries de potências: ∞ ( −1) r +1 ∑ r = ln 2 = 0.6931471805 ..... r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 33
  34. 34. Séries de termos positivos e negativos ∞ ∞ ∑ ar ∑ ar r =1 r =1 série dos valores absolutos Se ar ≥ 0, as duas séries são coincidentes. Se ar ≤ 0, as duas séries são simétricas. ∞ Se ∑ ar for uma série de termos positivos e negativos, a correspondente série dos valores absolutos será uma r =1 série completamente distinta da série original. Convergência absoluta e convergência condicional Como |ar |≥ 0, ∀r, a convergência da série dos valores absolutos pode sempre ser analisada recorrendo aos cinco testes de convergência atrás estudados. Teorema (Teste da convergência absoluta) ∞ ∞ Se ∑ ar converge ⇒ ∑ ar converge r =1 r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 34
  35. 35. Séries de termos positivos e negativos Podemos classificar as séries de termos positivos e negativos da seguinte forma: ∞ ∞ ∑ ar ∑ ar Tipo de convergência r =1 r =1 absolutamente convergente convergente convergente condicionalmente convergente divergente convergente divergente divergente divergente Para séries de termos positivos e negativos, os conceitos de “absolutamente convergente”, “condicionalmente convergente” e “divergente”, são mutuamente exclusivos: apenas uma destas três possibilidades poderá ser verdadeira. Qualquer série convergente de termos não-negativos pode gerar infinitas séries de termos positivos e negativos que são absolutamente convergentes: basta para tal inserir sinais “menos” à sorte em qualquer ponto da série dada.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 35
  36. 36. Séries de termos positivos e negativos Testes de convergência absoluta Teorema (Teste da razão para convergência absoluta) Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então: r →∞ ar ∞ 0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente r =1 ∞ ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge r =1 ρ = 1 este teste é inconclusivo Teorema (Teste da raiz para convergência absoluta) Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então: r →∞ ∞ 0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente r =1 ∞ ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge r =1 ρ = 1 este teste é inconclusivoFEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 36
  37. 37. Séries de termos positivos e negativos Exemplo Analise a convergência da série ∞ ( −1) r 2 r ∑ r! r =1FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 37
  38. 38. Séries de termos positivos e negativos Rearranjo dos termos de uma série Definição Uma sucessão de números reais {bn} diz-se um rearranjo de uma outra sucessão {an}, quando a sucessão {bn} contiver todos os termos da sucessão original {an}, mas colocados por uma ordem diferente. Ao rearranjarmos a sucessão {an}, transformando-a na sucessão {bn}, ∞ também a correspondente série ∑ ar será rearranjada, transformando-se ∞ numa nova série ∑ br r =1 r =1 Em princípio, se as duas séries forem ambas convergentes, elas poderão convergir para valores diferentes, pois por definição tem-se que: ∞ def def ∞ def def ∑ ar ≡ lim S n ≡ lim ( a1 + a2 + n →∞ n →∞ + an ) ∑ br ≡ lim S n ≡ lim ( b1 + b2 + n→∞ n→∞ + bn ) r =1 r =1 Nada nos garante que estes dois limites sejam iguais.FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 38
  39. 39. Séries de termos positivos e negativos Testes de convergência absoluta As séries absolutamente convergentes e as condicionalmente convergentes têmum comportamento distinto no que concerne ao rearranjo dos seus termos: Teorema (Rearranjo das séries absolutamente convergentes) ∞ Se série ∑ ar for absolutamente convergente para S, e se {bn} for um rearranjo r =1 ∞ qualquer de {an}, a série ∑ br também é absolutamente convergente para S. r =1 Ou seja, podemos alterar à vontade a ordem dos termos de uma série absolutamente convergente, pois este t b l t t t i t teorema garante-nos que ela continua a t l ti ser absolutamente convergente para o mesmo número. Teorema (Rearranjo das séries condicionalmente convergentes) ∞ Se série ∑ ar for condicionalmente convergente para S, existe um rearranjo r =1 ∞ {bn} de {an}, tal que a série ∑ br converge para T, ∀T ∈ IR. r =1 Neste caso, portanto, já não é válido alterar a ordem dos termos da série, pois se o fizermos ela poderá convergir para um valor diferente (ou até divergir!).FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 39

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