Geometria Analitica e Software Dinamico Geogebra

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Informática Educativa I :: Projeto em Informática Educativa
Título: Roteiro Pedagógico de Geometria Analítica
Nome do Aluno: Márcia Maria Martins
1. Disciplina e anos envolvidos:
Matemática – 3º ano Ensino Médio

2. Tema central :

ALGUNS EXEMPOS DE APLICAÇÕES DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DA GEOMETRIA ANALÍTICA
3. Temas de apoio:

O USO DO GEOGEBRA
4. Justificativa:
Este projeto tem por objetivo permitir que os alunos conheçam Geometria Analítica suas aplicações mostrando sua eficácia para a solução de problemas e as conexões com outros tópicos da matemática, usando o software GeoGebra para uma aprendizagem significativa.
É possível verificar, no dia a dia como professora de matemática, alguns dos problemas gerados em sala de aula devido ao desinteresse dos alunos. Uma das formas de combater esse desinteresse pode ser a utilização de tecnologias em sala de aula e na Educação Matemática.
Foi elaborado visando a transmissão do conhecimento sobre Geometria Analítica através da construção feita pelos alunos com resoluções de situações problema e generalizações, para que a aprendizagem significativa aconteça.

5. Objetivos gerais e específicos:
• Apresentar o software GeoGebra aos alunos e, trabalhar as principais ferramentas dando um pouco de prática aos mesmos.
• Analisar a movimentação de um ponto no plano, de um ponto em um segmento de reta,
e de um ponto na interseção de dois segmentos de retas;
• Propiciar uma investigação da posição de pontos no plano;
• Investigar o ponto de interseção de dois segmentos.
• Calcular a distância entre dois pontos e resolver problemas de: distância, ponto médio e baricentro.
• Plotar retas no plano cartesiano e estudar a posição relativa de duas retas.
• Investigar as condições para que um ponto pertença ou não a uma reta;
• Explorar as possíveis soluções de uma equação de grau um com duas incógnitas;
• Investigar quantos pontos no plano cartesiano são necessários para traçar uma reta;
• Compreender e explorar a reta como possíveis soluções para a uma equação de grau um com duas incógnitas;
• Investigar a solução geométrica da interseção de duas retas;
6. Enfoque pedagógico :
As atividades aqui apresentadas possuem um enfoque construtivista pois buscam possibilitar aos alunos a elaboração de conjecturas, o desenvolvimento da autonomia, capacidade e valores, pois os mesmos poderão fazer novas descobertas e novos caminhos que não é previsto pelo professor, este é um fato próprio das atividades de investigação e exploração.

6. Recursos tecnológicos:

Laboratório de informática com internet
Software de geometria dinâmica GeoGebra
Projetor multimídia e computador para uso em sala das apresentações dos vídeos

8. Etapas e suas estratégias de realização:
O trabalho prático será desenvolvido em várias aulas, sendo aplicado, simultaneamente, no laboratório de informática e na sala de aula, que dispõe de computador e data show.

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Geometria Analitica e Software Dinamico Geogebra

  1. 1. GEOMETRIA ANALITICA E SOFTWARE DINÂMICO MARCIA MARIA MARTINS Universidade Federal Fluminense Especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática Informática Educativa I
  2. 2. OO qquuee éé oo GGeeooGGeebbrraa?? ÉÉ uumm ssooffttwwaarree ddee mmaatteemmááttiiccaa ddiinnââmmiiccaa ppaarraa uuttiilliizzaarr eemm aammbbiieennttee ddee ssaallaa ddee aauullaa,, qquuee rreeúúnnee GGEEOOmmeettrriiaa,, áállGGEEBBRRAA ee ccáállccuulloo.. RReecceebbeeuu mmuuiittooss pprrêêmmiiooss iinntteerrnnaacciioonnaaiiss iinncclluuiinnddoo oo pprrêêmmiioo ssooffttwwaarree eedduuccaacciioonnaall AAlleemmããoo ee EEuurrooppeeuu..
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  4. 4. MMaarrkkuuss HHoohheennwwaarrtteerr
  5. 5. O software possui uma janela algébrica e uma janela geométrica, podendo na janela geométrica inserirmos uma malha quadriculada. O software oferece na parte inferior um quadro de entrada de comando. E também uma planilha para dados, similar à do Excel. Essas qualidades estão ilustradas na figura a seguir.
  6. 6. AAttiivviiddaaddee 11:: Para esta atividade inicial, iremos construir alguns elementos gráficos com eles, tais como: 1) Ponto no plano cartesiano; 2) Reta no plano cartesiano; 3) Polígonos convexos; 4) Retas paralelas; 5) Retas perpendiculares; 6) Interseção de objetos; 7) Ponto médio; 8) Mediatriz de um segmento; 9) Ângulo.
  7. 7. Usando a barra de botões abaixo, construa os seguintes itens: 1º) Insira os pontos A = (3 , -1), B = (-2 , -1) e C = (1 , 4) no plano cartesiano (estes pontos podem ser inseridos através da janela entrada na parte inferior da tela do GeoGebra); 2º) Traçar as retas AB, AC e BC, usando o terceiro botão da barra acima; 3º) Traçar a reta r paralela à reta AB e que passa pelo ponto C, usando o comando oculto dentro do quarto botão da barra acima;
  8. 8. 4º) Inserir os pontos médios M, N e P dos lados AB, AC e BC do triângulo ABC, usando o comando oculto dentro do segundo botão da barra acima; 5º) Traçar a reta s perpendicular à reta r e que passa pelo ponto A, usando o comando oculto dentro do quarto botão da barra acima; 6º) Traçar o ponto D, interseção da reta s com a reta BC, usando o comando oculto dentro do segundo botão da barra acima; 7º) Traçar a reta mediatriz t, do segmento BC, usando o comando oculto dentro do quarto botão da barra acima; 8º) Medir os ângulos do triângulo ABC, usando o comando oculto dentro do oitavo botão da barra acima.
  9. 9. AAttiivviiddaaddee 22:: 1º Construa três segmentos de retas, AB, CD e EF sendo que os segmentos CD e EF devem se cruzar, e o segmento AB, não deverá se cruzar com nenhum dos outros dois segmentos. 2º Crie um ponto G no plano cartesiano, fora dos segmentos de reta que foram construídas. 3º Crie um ponto H sobre o segmento de reta AB. 4º Crie um ponto na I, interseção dos segmentos CD e EF.
  10. 10. a) Arraste os pontos G, H e I de maneira aleatória. Como se comportam os deslocamentos destes pontos no plano cartesiano? São iguais ou diferentes? Justifique. b) Movimente agora as extremidades dos segmentos CD e EF. O que você pode observar em relação ao ponto I? Justifique. c) Construa um segmento de reta com extremidades no ponto I (interseção das retas CD e EF), e um ponto J, que não esteja contido em nenhum dos segmentos de reta. Movimente o ponto J, o que você observa? d) Movimente novamente as extremidades dos segmentos CD e EF, o que acontece com o novo segmento construído?
  11. 11. AAttiivviiddaaddee 33:: Nesta atividade iremos traçar as medianas de um triângulo, localizar o baricentro e mostrar que a distância do mesmo ao vértice é o dobro da distância do mesmo ao ponto médio. Marcar três pontos A, B e C usando a ferramenta Traçar os lados do triângulo ABC, usando a ferramenta Marcar os pontos médios M de AB, N de AC e P de BC, usando a ferramenta . Traçar as medianas AP, BN e CM usando a ferramenta . Marcar o baricentro (ponto G) do triângulo usando a ferramenta . Medir a distância do ponto G aos vértices do triângulo e aos pontos médios dos lados, usando a ferramenta .
  12. 12. Preencha os espaços abaixo, de acordo com os dados obtidos na figura construída. A = (.......... , .........) B = (.......... , ..........) C = (.......... , ........) M = (.......... , ..........) N = (.......... , ........) P = (.......... , ..........) G = (.......... , ..........) AG = ....................... GP = ....................... AG = ......... GP BG = ....................... GN = ....................... BG = ......... GN CG = ....................... GM = ....................... CG = ........ GM
  13. 13. AAttiivviiddaaddee 44:: Nesta atividade iremos traçar retas paralelas e concorrentes (em especial as perpendiculares) e verificar a condição de paralelismo, perpendicularismo e concorrência entre duas retas a partir de seus gráficos e de suas equações. 1º) Vamos plotar o gráfico das retas r e s no GeoGebra: r: 2x + 3y – 5 = 0 e s: 4x + 6y + 5 = 0 2º) Pela observação dos gráficos, o que você pode concluir acerca das retas? 3º) Na janela de álgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equação da reta r, clicar com o botão direito do mouse em “Equação y = ax + b” e obter a equação reduzida da reta. Agora, vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo após, façamos o mesmo com a reta s. r: _________________ ar = _______ br = ____________ s: _______________ as = _______ bs = ___________ 4º) A partir do que você observou e analisou no item anterior, o que você pode concluir acerca da condição geral para que duas retas sejam paralelas?
  14. 14. 5º) Construindo um feixe de retas paralelas. Vamos criar um seletor c  [– 15 , 9] com incremento 3. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação da reta r: x – 2y + c = 0. Agora, vamos movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que você observa? 6º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 7º) Vamos escolher alguns valores para c no intervalo dado (por exemplo, um valor positivo, um valor negativo e o valor nulo) e anotar a equação geral de cada uma das retas. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra, obter a equação reduzida e identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear de cada uma das retas. r1: ________ a1 = ________ b1 = ___________ r2: ________ a2 = ________ b2 = ___________ r3_________ a3 = ________ b3 = ___________ 8º) A partir do que você observou, agora vamos tentar generalizar. Como seria a equação geral do feixe de retas paralelas a uma certa reta a0x + b0y + c0 = 0?
  15. 15. 9º) Vamos plotar o gráfico das retas r e s no GeoGebra: r: 3x – 4y – 10 = 0 e s: x + y – 1 = 0. 10º) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 2º botão e, em seguida, em “Interseção de Dois Objetos”. Agora, vamos clicar sobre o ponto de interseção na tela. Qual é o ponto de interseção das duas retas? P = (........ , .........) 11º) Na janela de álgebra do GeoGebra, vamos selecionar a equação da reta r, clicar com o botão direito do mouse em “Equação y = ax + b” e obter a equação reduzida da reta. Agora, vamos identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta r. Logo após, façamos o mesmo com a reta s. Finalmente, verifique algebricamente qual é o ponto de interseção das duas retas: r: _________________ ar = _______ br = ____________ s: ________________ as = _______ bs = ___________ 12º) A partir do que você observou e analisou no item anterior, o que você pode concluir acerca da condição geral para que duas retas sejam concorrentes?
  16. 16. 13º) Vamos construir um feixe de retas concorrentes. Vamos criar um seletor m  [– 10 , 10] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar a equação r : y + 1 = m.(x – 2). Agora, vamos movimentar o seletor e observar o movimento da reta. O que você observa? 14º) Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar, para verificar a validade de suas observações do item anterior. 15º) Vamos escolher alguns valores para m no intervalo dado (por exemplo, um valor positivo, um valor negativo e o valor nulo) e anotar a equação geral de cada uma das retas. Agora, vamos plotá-las no GeoGebra e obter o ponto de interseção entre elas. A seguir, vamos verificar que este ponto satisfaz à equação de cada uma das retas. r1: _______________ ___________________________ r2: _______________ ___________________________ r3: _______________ ___________________________ 16º) A partir do que você observou, agora vamos tentar generalizar. Como seria a equação fundamental do feixe de retas concorrentes em um certo ponto P = (x0 , y0)?
  17. 17. 17º) Vamos plotar o gráfico das retas r e s no GeoGebra, utilizando a : r: 3x – 4y – 10 = 0 e s: 4x + 3y – 1 = 0. 18º) Utilizando a barra de ferramentas, vamos clicar no 8º botão e, em seguida, em “ângulo” para medir o ângulo formado pelas retas r e s. 19º) Vamos construir um feixe de retas perpendiculares. Vamos criar um seletor c  [– 12 , 12] com incremento 1. No campo de entrada de dados do GeoGebra, vamos digitar as equações r: 5x – 2y + c = 0 e s: 2x + 5y – 3 = 0. Agora, vamos clicar com o botão direito do mouse sobre a reta r, selecionar “Habilitar Rastro” e movimentar o seletor e observar o movimento da reta r sobre a reta s. O que você observa? 20º) A partir do que você observou, agora vamos tentar generalizar. Como seria a equação fundamental do feixe de retas perpendiculares a uma dada reta s: ax + by + c = 0?
  18. 18. RReeffeerrêênncciiaass hhttttpp::////ppoorrttaallddoopprrooffeessssoorr..mmeecc..ggoovv..bbrr//ffiicchhaaTTeeccnniiccaaAAuullaa..hhttmmll??aauullaa==1144669955 ((aacceessssaaddoo eemm 0011//0099//22001144)) hhttttpp::////ppoorrttaallddoopprrooffeessssoorr..mmeecc..ggoovv..bbrr//ffiicchhaaTTeeccnniiccaaAAuullaa..hhttmmll??aauullaa==11991133 ((aacceessssaaddoo eemm 0011//0099//22001144)) hhttttpp::////ppoorrttaallddoopprrooffeessssoorr..mmeecc..ggoovv..bbrr//ffiicchhaaTTeeccnniiccaaAAuullaa..hhttmmll??aauullaa==447788 ((aacceessssaaddoo eemm 0011//0099//22001144)) hhttttpp::////wwwwww..ppppggeeddmmaatt..uuffoopp..bbrr//aarrqquuiivvooss//PPRROODDUUTTOO%%2200FFIINNAALL__WWaarrlleeyy..ppddff ((aacceessssaaddoo eemm 0011//0099//22001144)) BBRRAASSIILL,, SSeeccrreettaarriiaa ddaa EEdduuccaaççããoo MMééddiiaa ee TTeeccnnoollóóggiiccaa.. PPCCNNEEMM:: PPaarrââmmeettrrooss CCuurrrriiccuullaarreess NNaacciioonnaaiiss ppaarraa oo EEnnssiinnoo MMééddiioo.. BBrraassíílliiaa:: MMEECC,, 11999999..
  19. 19. Secretaria da Educação Básica. Orientações CCuurrrriiccuullaarreess ppaarraa oo EEnnssiinnoo MMééddiioo:: CCiiêênncciiaass ddaa NNaattuurreezzaa,, MMaatteemmááttiiccaa ee ssuuaass TTeeccnnoolloo­­ggiiaass.. BBrraassíílliiaa,, MMEECC,, 22000066.. MMaatteemmááttiiccaa aauullaa ppoorr aauullaa// BBeenniiggnnoo BBaarrrreettoo FFiillhhoo,, CCllááuuddiioo XXaavviieerr ddaa SSiillvvaa.. –– 11.. eedd..­­SSããoo PPaauulloo:: FFTTDD,, 22000033.. –– (( CCoolleeççããoo mmaatteemmááttiiccaa aauullaa ppoorr aauullaa)).. DDAANNTTEE,, LLuuiizz RRoobbeerrttoo MMaatteemmááttiiccaa,, VVoolluummee UUnniiccoo.. 11ª eeddiiççããoo SSããoo PPaauulloo:: AAttiiccaa.. 22000055 GGIIOOVVAANNNNII,, JJoosséé RRuuyy;; DDAANNTTEE,, LLuuiizz RRoobbeerrttoo.. MMaatteemmááttiiccaa:: TTeeoorriiaa –– EExxeerrccíícciiooss –– AApplliiccaaççõõeess.. EEddiittoorraa FFTTDD SS..AA­­SSããoo PPaauulloo 11998888

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