Î ÅÇË Ä Ê Å Ì ÅýÌÁ
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÈÖ Ò
 Ô Ó ÁÒ Ù Ó × Ñ ØÖ ÙÑ ×

 ÓÓ º
ÓÑ»Ú ÑÓ× Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø 
½/¾
ËÙÑ Ö Ó
½º ×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö ×
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó
¿º Ç ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
º Ü ÑÔÐÓ×
¾/¾
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Descobrindo padrões
½º ×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ¿/¾
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç × ÖÚ Ò Ó Ô Ö ×
ÓÒ 

 ¸ Ö 
Ø ×¸ Ò Ñ ÖÓ× ØÖ Ò ÙÐ Ö ×
½º ×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÅÓ ÐÓ ÂÓ Ó× Ñ ÙÑ ØÓÖÒ Ó ÙØ ÓÐ
Ö 
Ø Ö ×Ø 
 ×
◦ n ÕÙ Ô ×
◦ ÌÓ Ó× Ó Ñ 
ÓÒØÖ ØÓ Ó×
ÙÑ Ò 
 Ú Þ
...
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
½º ×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´¾µ A,B A ×B ½
½º ×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´¾µ A,B A ×B ½
´¿µ A,B,C
A ×B B ×C
¾·½ ¿
A ×C
½º ×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´¾µ A,B A ×B ½
´¿µ A,B,C
A ×B B ×C
¾·½ ¿
A ×C
´ µ A,B,C,D
A ×B B ×C C ×...
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´¾µ A,B A ×B ½
´¿µ A,B,C
A ×B B ×C
¾·½ ¿
A ×C
´ µ A,B,C,D
A ×B B ×C C ×...
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´¾µ A,B A ×B ½
´¿µ A,B,C
A ×B B ×C
¾·½ ¿
A ×C
´ µ A,B,C,D
A ×B B ×C C ×...
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´ µ A,B,C,D,E
A ×B B ×C C ×D D ×E
·¿·¾·½ ½¼
A ×C B ×D C ×E
A ×D B ×E
A ...
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´ µ A,B,C,D,E
A ×B B ×C C ×D D ×E
·¿·¾·½ ½¼
A ×C B ×D C ×E
A ×D B ×E
A ...
×
Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
´ µ A,B,C,D,E
A ×B B ×C C ×D D ×E
·¿·¾·½ ½¼
A ×C B ×D C ×E
A ×D B ×E
A ...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Comprovando o padrão
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó /¾
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò
ÓÒØÖ Ó
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó /¾
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò
ÓÒØÖ Ó
ÇÔ Ó ½ ÓÒØ ÒÙ Ö Þ Ò Ó Ø Ð ×
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
A ×B B ×C C ...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò
ÓÒØÖ Ó
ÇÔ Ó ½ ÓÒØ ÒÙ Ö Þ Ò Ó Ø Ð ×
ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð
A ×B B ×C C ...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò
ÓÒØÖ Ó
ÇÔ Ó ¾ ÓÑÓ ×Ø 
ÓÖÖ ØÓ Ô Ö n = 1,2,3,4,5,6¸

 Ø Ö ÕÙ Ú Ð Ô Ö...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö Ó ÕÙ Ó
ÓÖÖ 
ÓÑ Ó× Ú ÐÓÖ × Ó Ø Ó×
ØÖ Ú × ÜÔÖ ×× Ó
p(n) = n2
+n +41
¾º ÓÑÔ...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö Ó ÕÙ Ó
ÓÖÖ 
ÓÑ Ó× Ú ÐÓÖ × Ó Ø Ó×
ØÖ Ú × ÜÔÖ ×× Ó
p(n) = n2
+n +41
¾º ÓÑÔ...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Î ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö Ó ÕÙ Ó
ÓÖÖ 
ÓÑ Ó× Ú ÐÓÖ × Ó Ø Ó×
ØÖ Ú × ÜÔÖ ×× Ó
p(n) = n2
+n +41
Ë Ö ÕÙ...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
p(40) = 402
+40+41
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
p(40) = 402
+40+41
= 40×(40+1)+41
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
p(40) = 402
+40+41
= 40×(40+1)+41
= 40×41+41
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
p(40) = 402
+40+41
= 40×(40+1)+41
= 40×41+41
= 41×(40+1)
¾º ÓÑÔÖ...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
p(40) = 402
+40+41
= 40×(40+1)+41
= 40×41+41
= 41×(40+1)
= 41×41...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
p(40) = 402
+40+41
= 40×(40+1)+41
= 40×41+41
= 41×(40+1)
= 41×41...
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ç ÕÙ 
ÓÒØ 
 
ÓÑ n = 40
p(40) = 402
+40+41
= 40×(40+1)+41
= 40×41+41
= 41×(40+1)
= 41×41...
Ç ÈÊÁÅÇ
¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
ÓÑÓ 
ÓÑÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó × ÑÔÖ Ú Ö Ö
× Ñ Ø Ö ÕÙ Ú Ö 
 ¹Ð Ô Ö 
 Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð
¾º ÓÑÔÖÓÚ...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
O Princípio de indução finita
¿º Ç ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
È Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×× ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÑÓ× Ù×
 Ö Ò×Ô Ö Ó Ñ
ÙÑ Ö Ò
 Ö ×Ø ÒØ 
ÓÒ 
 Ø 
ÓÑ ÓÑ Ò ×º
¿º Ç...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ È ××Ó ½ ÎÓ
 ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò
¿º Ç ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ È ××Ó ½ ÎÓ
 ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò
ÓÖ ÚÓ
 × 
 ÖØ 
 ÕÙ
¿º Ç ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ È ××Ó ½ ÎÓ
 ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò
ÓÖ ÚÓ
 × 
 ÖØ 
 ÕÙ
◦ È ××Ó ¾ Ë ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ô Ó ÓÑ Ò 
...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ È ××Ó ½ ÎÓ
 ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò
ÓÖ ÚÓ
 × 
 ÖØ 
 ÕÙ
◦ È ××Ó ¾ Ë ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ô Ó ÓÑ Ò 
...
Ç
¿º Ç ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø 
 Ñ ÒØ
ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó×
Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø 
 Ñ ÒØ
ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó×
Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø 
 Ñ ÒØ
ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó×
Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø 
 Ñ ÒØ
ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó×
Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø 
 Ñ ÒØ
ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó×
Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø 
 Ñ ÒØ
ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó×
Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ ×...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Exemplos
º Ü ÑÔÐÓ× ¾¼/¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹×
1+2+···+n =
n ×(n +1)
2
º Ü ÑÔÐÓ× ¾½/¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹×
1+2+···+n =
n ×(n +1)
2
È ××Ó ½ Î Ö 
 Ö ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹×
1+2+···+n =
n ×(n +1)
2
È ××Ó ½ Î Ö 
 Ö ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹×
1+2+···+n =
n ×(n +1)
2
È ××Ó ½ Î Ö 
 Ö ×...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¾ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k
1+2+···+k =
k ×(k +1)
2
, para k ≥ 1
´× ...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1
´Ó ÓÑ Ò k ÖÖÙ Ö Ó ÓÑ Ò k +1...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1
´Ó ÓÑ Ò k ÖÖÙ Ö Ó ÓÑ Ò k +1...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1
´Ó ÓÑ Ò k ÖÖÙ Ö Ó ÓÑ Ò k +1...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
1+2+···+k
passo 2
+(k +1) =
k ×(k +1)
2
+(k +1)
º Ü ÑÔÐÓ× ¾...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
1+2+···+k
passo 2
+(k +1) =
k ×(k +1)
2
+(k +1)
=
k ×(k +1)...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
1+2+···+k
passo 2
+(k +1) =
k ×(k +1)
2
+(k +1)
=
k ×(k +1)...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
1+2+···+k
passo 2
+(k +1) =
k ×(k +1)
2
+(k +1)
=
k ×(k +1)...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
1+2+···+k
passo 2
+(k +1) =
k ×(k +1)
2
+(k +1)
=
k ×(k +1)...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ½º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
1+2+···+k
passo 2
+(k +1) =
k ×(k +1)
2
+(k +1)
=
k ×(k +1)...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n
Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7
º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n
Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7
È ××Ó ½ Î Ö 
 Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7
º ...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n
Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7
È ××Ó ½ Î Ö 
 Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7
(6...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n
Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7
È ××Ó ½ Î Ö 
 Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7
(6...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n
Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7
È ××Ó ½ Î Ö 
 Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7
(6...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¾ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k
k! > 3k
º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1
ÍË Æ Ç Ç È ËËÇ ¾ ÕÙ Ö ÑÓ× Ô...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
(k +1)! = (k +1)× k!
passo 2
º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
(k +1)! = (k +1)× k!
passo 2
> (k +1)×3k
(k ≥ 7)
º Ü ÑÔÐÓ× ...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
(k +1)! = (k +1)× k!
passo 2
> (k +1)×3k
(k ≥ 7)
= (k +1)
≥...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
(k +1)! = (k +1)× k!
passo 2
> (k +1)×3k
(k ≥ 7)
= (k +1)
≥...
ÈÖ Ò
 Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ü ÑÔÐÓ ¾º
È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº
(k +1)! = (k +1)× k!
passo 2
> (k +1)×3k
(k ≥ 7)
= (k +1)
≥...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Principio de indução finita (parte1)

34 visualizações

Publicada em

Princípio de indução finita explicado nos mínimos detalhes.

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
34
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
3
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Principio de indução finita (parte1)

  1. 1. Î ÅÇË Ä Ê Å Ì ÅýÌÁ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÈÖ Ò Ô Ó ÁÒ Ù Ó × Ñ ØÖ ÙÑ × ÓÓ º ÓÑ»Ú ÑÓ× Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø ½/¾
  2. 2. ËÙÑ Ö Ó ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø º Ü ÑÔÐÓ× ¾/¾
  3. 3. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Descobrindo padrões ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ¿/¾
  4. 4. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç × ÖÚ Ò Ó Ô Ö × ÓÒ ¸ Ö Ø ×¸ Ò Ñ ÖÓ× ØÖ Ò ÙÐ Ö × ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  5. 5. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÅÓ ÐÓ ÂÓ Ó× Ñ ÙÑ ØÓÖÒ Ó ÙØ ÓÐ Ö Ø Ö ×Ø × ◦ n ÕÙ Ô × ◦ ÌÓ Ó× Ó Ñ ÓÒØÖ ØÓ Ó× ÙÑ Ò Ú Þ ÉÙ Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ó Ó× ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  6. 6. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  7. 7. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´¾µ A,B A ×B ½ ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  8. 8. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´¾µ A,B A ×B ½ ´¿µ A,B,C A ×B B ×C ¾·½ ¿ A ×C ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  9. 9. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´¾µ A,B A ×B ½ ´¿µ A,B,C A ×B B ×C ¾·½ ¿ A ×C ´ µ A,B,C,D A ×B B ×C C ×D ¿·¾·½A ×C B ×D A ×D ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  10. 10. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´¾µ A,B A ×B ½ ´¿µ A,B,C A ×B B ×C ¾·½ ¿ A ×C ´ µ A,B,C,D A ×B B ×C C ×D ¿·¾·½A ×C B ×D A ×D ◦ Ç ÕÙ ×Ô Ö ÑÓ× Ô Ö ÕÙ Ô × ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  11. 11. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´¾µ A,B A ×B ½ ´¿µ A,B,C A ×B B ×C ¾·½ ¿ A ×C ´ µ A,B,C,D A ×B B ×C C ×D ¿·¾·½A ×C B ×D A ×D ◦ Ç ÕÙ ×Ô Ö ÑÓ× Ô Ö ÕÙ Ô × ´ ·¿·¾·½ ½¼µ ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  12. 12. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´ µ A,B,C,D,E A ×B B ×C C ×D D ×E ·¿·¾·½ ½¼ A ×C B ×D C ×E A ×D B ×E A ×E ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  13. 13. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´ µ A,B,C,D,E A ×B B ×C C ×D D ×E ·¿·¾·½ ½¼ A ×C B ×D C ×E A ×D B ×E A ×E ◦ ÆÓ×× Ô Ø × ×Ø Ú ÓÖÖ Ø ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  14. 14. × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð ´ µ A,B,C,D,E A ×B B ×C C ×D D ×E ·¿·¾·½ ½¼ A ×C B ×D C ×E A ×D B ×E A ×E ◦ ÆÓ×× Ô Ø × ×Ø Ú ÓÖÖ Ø ◦ ÈÓ ÑÓ× ×Ø Ò Ö ÒÓ×× Ô Ø × Ô Ö n ÕÙ Ô × (n −1)+(n −2)+...+2+1 ½º × Ó Ö Ò Ó Ô Ö × /¾
  15. 15. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Comprovando o padrão ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó /¾
  16. 16. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò ÓÒØÖ Ó ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó /¾
  17. 17. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò ÓÒØÖ Ó ÇÔ Ó ½ ÓÒØ ÒÙ Ö Þ Ò Ó Ø Ð × ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð A ×B B ×C C ×D D ×E E ×F · ·¿·¾·½ ½ ´ µ A,B,C A ×C B ×D C ×E D ×F D,E,F A ×D B ×E C ×F A ×E B ×F A ×F ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó /¾
  18. 18. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò ÓÒØÖ Ó ÇÔ Ó ½ ÓÒØ ÒÙ Ö Þ Ò Ó Ø Ð × ÕÙ Ô × ÂÓ Ó× ÌÓØ Ð A ×B B ×C C ×D D ×E E ×F · ·¿·¾·½ ½ ´ µ A,B,C A ×C B ×D C ×E D ×F D,E,F A ×D B ×E C ×F A ×E B ×F A ×F ÓÒØ ÒÙ Ö Ô Ö ¸ ¸ ¸½¼¸º º º ÕÙ Ô × ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó /¾
  19. 19. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ò ÓÒØÖ Ó ÇÔ Ó ¾ ÓÑÓ ×Ø ÓÖÖ ØÓ Ô Ö n = 1,2,3,4,5,6¸ Ø Ö ÕÙ Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó× Ú ÐÓÖ × nº ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¼/¾
  20. 20. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö Ó ÕÙ Ó ÓÖÖ ÓÑ Ó× Ú ÐÓÖ × Ó Ø Ó× ØÖ Ú × ÜÔÖ ×× Ó p(n) = n2 +n +41 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½½/¾
  21. 21. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö Ó ÕÙ Ó ÓÖÖ ÓÑ Ó× Ú ÐÓÖ × Ó Ø Ó× ØÖ Ú × ÜÔÖ ×× Ó p(n) = n2 +n +41 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½½/¾
  22. 22. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Î ÑÓ× Ó × ÖÚ Ö Ó ÕÙ Ó ÓÖÖ ÓÑ Ó× Ú ÐÓÖ × Ó Ø Ó× ØÖ Ú × ÜÔÖ ×× Ó p(n) = n2 +n +41 Ë Ö ÕÙ ×Ø ÜÔÖ ×× Ó Ö × ÑÔÖ Ö Ö Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ× ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½½/¾
  23. 23. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  24. 24. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 p(40) = 402 +40+41 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  25. 25. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 p(40) = 402 +40+41 = 40×(40+1)+41 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  26. 26. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 p(40) = 402 +40+41 = 40×(40+1)+41 = 40×41+41 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  27. 27. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 p(40) = 402 +40+41 = 40×(40+1)+41 = 40×41+41 = 41×(40+1) ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  28. 28. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 p(40) = 402 +40+41 = 40×(40+1)+41 = 40×41+41 = 41×(40+1) = 41×41 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  29. 29. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 p(40) = 402 +40+41 = 40×(40+1)+41 = 40×41+41 = 41×(40+1) = 41×41 ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  30. 30. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ç ÕÙ ÓÒØ ÓÑ n = 40 p(40) = 402 +40+41 = 40×(40+1)+41 = 40×41+41 = 41×(40+1) = 41×41 ÈÓÖØ ÒØÓ¸ p(40) = 1681 = 41×41 Æ
  31. 31. Ç ÈÊÁÅÇ ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¾/¾
  32. 32. ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ÓÑÓ ÓÑÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó × ÑÔÖ Ú Ö Ö × Ñ Ø Ö ÕÙ Ú Ö ¹Ð Ô Ö Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð ¾º ÓÑÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ô Ö Ó ½¿/¾
  33. 33. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ O Princípio de indução finita ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  34. 34. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ È Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ×× ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÑÓ× Ù× Ö Ò×Ô Ö Ó Ñ ÙÑ Ö Ò Ö ×Ø ÒØ ÓÒ Ø ÓÑ ÓÑ Ò ×º ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  35. 35. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ È ××Ó ½ ÎÓ ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  36. 36. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ È ××Ó ½ ÎÓ ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ÓÖ ÚÓ × ÖØ ÕÙ ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  37. 37. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ È ××Ó ½ ÎÓ ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ÓÖ ÚÓ × ÖØ ÕÙ ◦ È ××Ó ¾ Ë ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ô Ó ÓÑ Ò Öººº ◦ È ××Ó ¿ Ð Ö ÖÖÙ Ö ÔÖ Ü Ñ ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  38. 38. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ È ××Ó ½ ÎÓ ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ÓÖ ÚÓ × ÖØ ÕÙ ◦ È ××Ó ¾ Ë ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ô Ó ÓÑ Ò Öººº ◦ È ××Ó ¿ Ð Ö ÖÖÙ Ö ÔÖ Ü Ñ ×Ó ÚÓ ÔÓ×× ×× ÙÖ Ö ÕÙ ×× × ØÖ × Ô ××Ó× Ú Ó ÓÒØ Ö¸ ÒØ Ó ÔÓ ×Ø Ö ÖØÓ ÕÙ ÌÇ Ë Ë È Ë ÁÊ
  39. 39. Ç ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  40. 40. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ × Ô ÖØ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð n0 ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  41. 41. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ × Ô ÖØ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð n0 ◦ È ××Ó ½ ÎÓ ÑÔÙÖÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ◦ È ××Ó ½ Ö ÓÖÑÙÐ Ó ÎÓ Ú Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = n0 ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  42. 42. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ × Ô ÖØ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð n0 ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  43. 43. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ × Ô ÖØ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð n0 ◦ È ××Ó ¾ Ë ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ô Ó ÓÑ Ò Öººº ◦ È ××Ó ¾ Ö ÓÖÑÙÐ Ó ÎÓ ×ÙÔ ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k Ê × Ö Ú ÖÑ Ó ×Ù ×Ø ØÙ Ò Ó n ÔÓÖ k ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  44. 44. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ × Ô ÖØ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð n0 ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  45. 45. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ê ÓÖÑÙÐ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó× Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ × Ô ÖØ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð n0 ◦ È ××Ó ¿ ººº Ð Ö ÖÖÙ Ö ÔÖ Ü Ñ ◦ È ××Ó ¿ Ö ÓÖÑÙÐ Ó ÎÓ Ø Ö ÕÙ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k¸ ÒØ Ó Ð Ú Ð Ö Ô Ö n = k +1 ¿º Ç ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ½ /¾
  46. 46. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Exemplos º Ü ÑÔÐÓ× ¾¼/¾
  47. 47. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹× 1+2+···+n = n ×(n +1) 2 º Ü ÑÔÐÓ× ¾½/¾
  48. 48. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹× 1+2+···+n = n ×(n +1) 2 È ××Ó ½ Î Ö Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 1 1 = 1×(1+1) 2 = 1×2 2 = 2 2 = 1 º Ü ÑÔÐÓ× ¾½/¾
  49. 49. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹× 1+2+···+n = n ×(n +1) 2 È ××Ó ½ Î Ö Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 1 1 = 1×(1+1) 2 = 1×2 2 = 2 2 = 1 ÈÓÖØ ÒØÓ¸ Ù Ð Ú Ö Ö º Ü ÑÔÐÓ× ¾½/¾
  50. 50. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º ÈÖÓÚ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 1 Ø Ñ¹× 1+2+···+n = n ×(n +1) 2 È ××Ó ½ Î Ö Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 1 1 = 1×(1+1) 2 = 1×2 2 = 2 2 = 1 ÈÓÖØ ÒØÓ¸ Ù Ð Ú Ö Ö ººº ÚÓ ÖÖÙ ÓÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÑ Ò º Ü ÑÔÐÓ× ¾½/¾
  51. 51. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¾ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k 1+2+···+k = k ×(k +1) 2 , para k ≥ 1 ´× Ó k¹ × ÑÓ ÓÑ Ò Öºººµ º Ü ÑÔÐÓ× ¾¾/¾
  52. 52. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1 ´Ó ÓÑ Ò k ÖÖÙ Ö Ó ÓÑ Ò k +1µ º Ü ÑÔÐÓ× ¾¿/¾
  53. 53. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1 ´Ó ÓÑ Ò k ÖÖÙ Ö Ó ÓÑ Ò k +1µ ÍË Æ Ç Ç È ËËÇ ¾ ÕÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ 1+2+···+k +(k +1) = (k +1)×(k +2) 2 , para k ≥ 1 º Ü ÑÔÐÓ× ¾¿/¾
  54. 54. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1 ´Ó ÓÑ Ò k ÖÖÙ Ö Ó ÓÑ Ò k +1µ ÍË Æ Ç Ç È ËËÇ ¾ ÕÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ 1+2+···+k +(k +1) = (k +1)×(k +2) 2 , para k ≥ 1 È Ö × Ö Ú Ö ××Ó ×Ù ×Ø ØÙ ÑÓ× n ÔÓÖ k +1 Ò ÜÔÖ ×× Ó Ò Ð 1+2+···+n = n ×(n +1) 2 º Ü ÑÔÐÓ× ¾¿/¾
  55. 55. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  56. 56. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº 1+2+···+k passo 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 +(k +1) º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  57. 57. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº 1+2+···+k passo 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 + 2×(k +1) 2 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  58. 58. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº 1+2+···+k passo 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 + 2×(k +1) 2 = (k +1) 2 ×(k +2) º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  59. 59. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº 1+2+···+k passo 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 + 2×(k +1) 2 = (k +1) 2 ×(k +2) = (k +1)×(k +2) 2 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  60. 60. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº 1+2+···+k passo 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 + 2×(k +1) 2 = (k +1) 2 ×(k +2) = (k +1)×(k +2) 2 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  61. 61. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ½º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº 1+2+···+k passo 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 +(k +1) = k ×(k +1) 2 + 2×(k +1) 2 = (k +1) 2 ×(k +2) = (k +1)×(k +2) 2 ÈÓÖØ ÒØÓ¸ ÖÑ Ó Ú Ö Ö Ô Ö ØÓ Ó n ≥ 1º º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  62. 62. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  63. 63. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7 È ××Ó ½ Î Ö Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  64. 64. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7 È ××Ó ½ Î Ö Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7 (6! = 720 e 36 = 729, ou seja, 6! < 36 ) º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  65. 65. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7 È ××Ó ½ Î Ö Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7 (6! = 720 e 36 = 729, ou seja, 6! < 36 ) 7! = 5040 e 37 = 2187, ou seja, 7! > 37 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  66. 66. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º ÈÖÓÚ ÕÙ n! > 3n Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n ≥ 7 È ××Ó ½ Î Ö Ö × ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = 7 (6! = 720 e 36 = 729, ou seja, 6! < 36 ) 7! = 5040 e 37 = 2187, ou seja, 7! > 37 ÈÓÖØ ÒØÓ¸ ÖÑ Ó Ú Ö Ö Ô Ö n = 7 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  67. 67. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¾ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k k! > 3k º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  68. 68. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÉÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖÑ Ó Ú Ð Ô Ö n = k +1 ÍË Æ Ç Ç È ËËÇ ¾ ÕÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÚ Ö ÕÙ (k +1)! > 3k+1 È Ö × Ö Ú Ö ××Ó ×Ù ×Ø ØÙ ÑÓ× n ÔÓÖ k +1 Ò ÜÔÖ ×× Ó Ò Ð n! > 3n º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  69. 69. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  70. 70. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº (k +1)! = (k +1)× k! passo 2 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  71. 71. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº (k +1)! = (k +1)× k! passo 2 > (k +1)×3k (k ≥ 7) º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  72. 72. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº (k +1)! = (k +1)× k! passo 2 > (k +1)×3k (k ≥ 7) = (k +1) ≥8>3 ×3k º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  73. 73. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº (k +1)! = (k +1)× k! passo 2 > (k +1)×3k (k ≥ 7) = (k +1) ≥8>3 ×3k > 3×3k = 3k+1 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  74. 74. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº (k +1)! = (k +1)× k! passo 2 > (k +1)×3k (k ≥ 7) = (k +1) ≥8>3 ×3k > 3×3k = 3k+1 º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  75. 75. ÈÖ Ò Ô Ó Ò Ù Ó Ò Ø ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º È ××Ó ¿ ÔÖÓÚ ººº (k +1)! = (k +1)× k! passo 2 > (k +1)×3k (k ≥ 7) = (k +1) ≥8>3 ×3k > 3×3k = 3k+1 ÈÓÖØ ÒØÓ¸ ÖÑ Ó Ú Ö Ö Ô Ö ØÓ Ó n ≥ 7º º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾
  76. 76. Ç ÊÁ Ç È Ä Ì Æ
  77. 77. Ç ÈÖÓ ××ÓÖ Å Ö ÐÓ Ñ È Ö Ö Ö Ñ × × ÓÑÓ ×× ÓÑÔ Ò Ñ Ù ØÖ Ð Ó ØÖ Ú × × Ö × ×Ó × ◦ ÙÖØ Ñ Ò Ô Ò ÒÓ ÓÓ Î ÑÓ× Ð Ö Å Ø Ñ Ø ◦ ÁÒ× Ö Ú ¹× ÒÓ Ñ Ù Ò Ð Ò Ð Ó ÓÙÌÙ Î ÑÓ× Ð Ö Å Ø Ñ Ø ◦ Ë Ñ Ù Ô Ö Ð ÒÓ ËÐ × Ö Å Ö ÐÓ Ñ ¾ º Ü ÑÔÐÓ× ¾ /¾

×