Î ÅÇË Ä Ê Å Ì ÅýÌÁ
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Å ÜÑÓ× ÅÒÑÓ×´ ÊÓØ ÖÓ Ô ××Ó Ô ××Ó µ

 ÓÓ º
ÓÑ»Ú ÑÓ× Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø 
½/¿
ËÙÑ Ö Ó
½º × Ø Ö 
¾º ÔÐ 
 Ó ½
¿º ÔÐ 
 Ó ¾
¾/¿
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Base teórica
½º × Ø Ö 
 ¿/¿
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ö ÒØ Ü ×Ø Ò
Ì ÓÖ Ñ ÌÓ ÙÒ Ó 
ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ 
 Ó
[a,b] ÔÓ××Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ׺
½º × Ø Ö 
...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ì ÔÓ× ÔÓÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÁÒØ Ö ÓÖ × ÈÓÒØÓ× c ∈ (a,b) ÓÒ f ′
(c) = 0
◦ ÖÓÒØ Ö ÈÓÒØÓ× x = a ÓÙ x = b
½...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Å Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
◦ Å Ü ÑÓ ÐÓ
 Ð f ′
(c) = 0 f ′′
(c)<0
◦ Å Ò ÑÓ ÐÓ
 Ð f ′
(c) ...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º × Ø Ö 
 /¿
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö
½º × Ø Ö 
 /¿
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ...
× Ø Ö 
 ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Ù×
 Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó
½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Aplicação 1
Volume da caixa
¾º ÔÐ 
 Ó ½ /¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ ÍÑ ÓÐ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ô Ô Ð Ø Ñ Ð Ö ÙÖ ÐØÙÖ
׸ Ö ×Ô 
Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ 
Ñ 
Ѻ
◦ Ñ 
 ÙÑ × ÕÙ ØÖÓ ÜØÖ Ñ ×...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ Ñ × Ù × Ð Ø Ö × × Ö Ó Ó Ö × Ô Ö ÓÖÑ Ö
ÙÑ 
 Ü
◦ ÉÙ Ð Ó Ø Ñ Ò Ó Ó Ö 
ÓÖØ Ô Ö ÕÙ ×× 
 Ü Ø Ò
Ó Ñ ÓÖ...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Passo a passo
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½½/¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½¾/¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
◦ Ë Ñ Ö 
ÓÖØ Ò Ó Ø Ñ ÚÓÐÙÑ º ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó¸
Ö 
ÓÖØ Þ ÖÓ¸ ÚÓÐÙÑ Ñ Ò ÑÓ ...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
◦ Ë Ñ Ö 
ÓÖØ Ò Ó Ø Ñ ÚÓÐÙÑ º ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó¸
Ö 
ÓÖØ Þ ÖÓ¸ ÚÓÐÙÑ Ñ Ò ÑÓ ...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
◦ Ë Ñ Ö 
ÓÖØ Ò Ó Ø Ñ ÚÓÐÙÑ º ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó¸
Ö 
ÓÖØ Þ ÖÓ¸ ÚÓÐÙÑ Ñ Ò ÑÓ ...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½¿/¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó ÚÓÐÙÑ 
 Ü
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½¿/¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó ÚÓÐÙÑ 
 Ü
◦ Volume = compr imento ×lar gura × altura
¾º ÔÐ ...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó ÚÓÐÙÑ 
 Ü
◦ Volume = compr imento ×lar gura × altura
V (x) ...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½ /¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½ /¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′
(x) = 0
¾º ÔÐ 
 Ó ½...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′
(x) = 0
V (x) = 4x3...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′
(x) = 0
V (x) = 4x3...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′
(x) = 0
V (x) = 4x3...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′
(x) = 0
V (x) = 4x3...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × x = 1
V ′
(x) = 12x2
−52x +40
V ′...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ V (x) = 4x3
−26x2
+40x
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½ /¿
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ V (x) = 4x3
−26x2
+40x
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × x = 1
V (1) = 4·1...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ V (x) = 4x3
−26x2
+40x
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × x = 1
V (1) = 4·1...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ V (x) = 4x3
−26x2
+40x
V (0) = 0¸ V (2.5) = 0¸ V (1) = 18
¾º ÔÐ...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ V (x) = 4x3
−26x2
+40x
V (0) = 0¸ V (2.5) = 0¸ V (1) = 18
◦ Å Ü...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ V (x) = 4x3
−26x2
+40x
V (0) = 0¸ V (2.5) = 0¸ V (1) = 18
◦ Å Ü...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ

 Ü Ñ ÓÖ ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÕÙ Ò Ó

ÓÖØ ÑÓ× x = 1 
Ñ Ó × Ù ÚÓÐÙÑ V = 18 
Ñ
3
¾...
ÔÐ 
 Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ Ò Ð × Ö 
 
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö
ØØÔ »»ÛÛÛºÛÓÐ Ö Ñ ÐÔ º
ÓÑ
¾º ÔÐ 
 Ó ½ ½ /¿
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Aplicação 2
Embalagens cilíndricas
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾¼/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ ÍÑ ÑÔÖ × Ö Ó × ÔÖÓ ÙÞ Ö Ñ Ð Ò× 
 Ð Ò Ö 
 ×
◦ Ç Ñ Ø Ö Ð ÙØ Ð Þ Ó Ò Ð Ø Ö Ð 
Ù×Ø Ê° ¼¸¼½»
Ñ2
◦ Ç ...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
◦ Ç ÚÓÐÙÑ Ó× 
 Ð Ò ÖÓ× × Ö Ó ½ Ð ØÖÓ ´½¼¼¼
Ñ3
µ
◦ ÉÙ × × Ñ Ò× × ´Ö Ó × ÐØÙÖ µ Ô Ö ÕÙ
Ø Ò Ñ Ó Ñ ÒÓ...
ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
Passo a passo
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾¿/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
◦ Ç Ö Ó × ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ r ≥ 0
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
◦ Ç Ö Ó × ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ r ≥ 0
◦ ÐØÙÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó
◦ Ç Ö Ó × ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ r ≥ 0
◦ ÐØÙÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó 
Ù×ØÓ ÔÖÓ Ù Ó
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó 
Ù×ØÓ ÔÖÓ Ù Ó
◦ Å Ò Ñ Þ Ö Ó 
Ù×ØÓ 
ÓÑ Ö ØÓØ Ð Ó 
 Ð Ò ÖÓ
¿º...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó 
Ù×ØÓ ÔÖÓ Ù Ó
◦ Å Ò Ñ Þ Ö Ó 
Ù×ØÓ 
ÓÑ Ö ØÓØ Ð Ó 
 Ð Ò ÖÓ
ýÖ...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ Ç ÚÓÐÙÑ 
 Ñ Ð Ñ × Ö V = 1000cm3
◦ Ç ÚÓÐÙÑ ÙÑ 
 Ð Ò ÖÓ Ó ÔÓÖ V = π·r2
·h
¿º ÔÐ 
 ...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ Ç ÚÓÐÙÑ 
 Ñ Ð Ñ × Ö V = 1000cm3
◦ Ç ÚÓÐÙÑ ÙÑ 
 Ð Ò ÖÓ Ó ÔÓÖ V = π·r2
·h
V = 1000...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ Ç ÚÓÐÙÑ 
 Ñ Ð Ñ × Ö V = 1000cm3
◦ Ç ÚÓÐÙÑ ÙÑ 
 Ð Ò ÖÓ Ó ÔÓÖ V = π·r2
·h
V = 1000...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ Ù×ØÓ ØÓØ Ð = 1×ýÖ Ð Ø Ö Ð +4×ýÖ × × ×
´ÍÒ × Ñ 
 ÒØ ÚÓ×µ
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ Ù×ØÓ ØÓØ Ð = 1×ýÖ Ð Ø Ö Ð +4×ýÖ × × ×
´ÍÒ × Ñ 
 ÒØ ÚÓ×µ
◦ C(r) = 1× 2000
r
+4×2π...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ
◦ Ù×ØÓ ØÓØ Ð = 1×ýÖ Ð Ø Ö Ð +4×ýÖ × × ×
´ÍÒ × Ñ 
 ÒØ ÚÓ×µ
◦ C(r) = 1× 2000
r
+4×2π...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö Æ Ó Ø ÑÓ׸ ÔÓ × Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ
(0 , +∞) ÖØÓ
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö Æ Ó Ø ÑÓ׸ ÔÓ × Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ
(0 , +∞) ÖØÓ
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′
(r...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′
(r) = 0
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′
(r) = 0
C′
(r) = 0 ⇒ −
2000
r2
+16πr = 0
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¾ /¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′
(r) = 0
C′
(r) = 0 ⇒ −
2000
r2
+16πr = 0
⇒ 16πr =
2000
r2
...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′
(r) = 0
C′
(r) = 0 ⇒ −
2000
r2
+16πr = 0
⇒ 16πr =
2000
r2
...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′
(r) = 0
C′
(r) = 0 ⇒ −
2000
r2
+16πr = 0
⇒ 16πr =
2000
r2
...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ×
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′
(r) = 0
C′
(r) = 0 ⇒ −
2000
r2
+16πr = 0
⇒ 16πr =
2000
r2
...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¿¼/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5
3
π
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¿¼/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5
3
π
C′
(r) = −2000
r2 +16πr...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5
3
π
C′
(r) = −2000
r2 +16πr...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5
3
π
C′
(r) = −2000
r2 +16πr...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ
 ×
´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ
◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5
3
π
C′
(r) = −2000
r2 +16πr...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò
ÓÒØÖ Ó
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¿½/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò
ÓÒØÖ Ó
◦ C(r) = 2000
r +8πr2
= 2000
r + 8πr 3
r = 2000+8πr 3
r
¿º ÔÐ 
 ...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò
ÓÒØÖ Ó
◦ C(r) = 2000
r +8πr2
= 2000
r + 8πr 3
r = 2000+8πr 3
r
C
5
3
π
...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¿¾/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ Å Ü ÑÓ ×ÓÐÙØÓ
Æ Ó Ü ×Ø
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¿¾/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ð ×× 
 Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò
ÓÒØÖ Ó×
◦ Å Ü ÑÓ ×ÓÐÙØÓ
Æ Ó Ü ×Ø
◦ Å Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ
Î ÐÓÖ ´
Ù×ØÓµ C =Ê° ¸ (p...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ
¿º ÔÐ 
 Ó ¾ ¿¿/¿
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ
Ñ Ð Ñ Ñ ÒÓÖ 
Ù×ØÓ Ó Ø ÕÙ Ò Ó Ó
Ö Ó Ó 
 Ð Ò ÖÓ r = 3,4
Ñ × Ù 
Ù×ØÓ × Ö...
ÔÐ 
 Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö
 ÐÓ Ñ
º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ
Ñ Ð Ñ Ñ ÒÓÖ 
Ù×ØÓ Ó Ø ÕÙ Ò Ó Ó
Ö Ó Ó 
 Ð Ò ÖÓ r = 3,4
Ñ × Ù 
Ù×ØÓ × Ö...
Ç ÊÁ Ç È Ä Ì Æ
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Maximos e mínimos

22 visualizações

Publicada em

Dois problemas onde é aplicada a teoria de Máximos e Mínimos de funções de uma variável. Na resolução desses problemas descrevemos um roteiro passo a passo que pode ser utilizado para resolver problemas desse tipo.

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
22
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Maximos e mínimos

  1. 1. Î ÅÇË Ä Ê Å Ì ÅýÌÁ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Å ÜÑÓ× ÅÒÑÓ×´ ÊÓØ ÖÓ Ô ××Ó Ô ××Ó µ ÓÓ º ÓÑ»Ú ÑÓ× Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø ½/¿
  2. 2. ËÙÑ Ö Ó ½º × Ø Ö ¾º ÔÐ Ó ½ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾/¿
  3. 3. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Base teórica ½º × Ø Ö ¿/¿
  4. 4. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ö ÒØ Ü ×Ø Ò Ì ÓÖ Ñ ÌÓ ÙÒ Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó [a,b] ÔÓ××Ù Ñ Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ׺ ½º × Ø Ö /¿
  5. 5. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ì ÔÓ× ÔÓÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÁÒØ Ö ÓÖ × ÈÓÒØÓ× c ∈ (a,b) ÓÒ f ′ (c) = 0 ◦ ÖÓÒØ Ö ÈÓÒØÓ× x = a ÓÙ x = b ½º × Ø Ö /¿
  6. 6. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Å Ü ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ◦ Å Ü ÑÓ ÐÓ Ð f ′ (c) = 0 f ′′ (c)<0 ◦ Å Ò ÑÓ ÐÓ Ð f ′ (c) = 0 f ′′ (c)>0 ½º × Ø Ö /¿
  7. 7. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º × Ø Ö /¿
  8. 8. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö ½º × Ø Ö /¿
  9. 9. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ó Ú Ö × Ö ÓØ Ñ Þ ½º × Ø Ö /¿
  10. 10. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ó Ú Ö × Ö ÓØ Ñ Þ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÁÒØ Ö ÓÖ × ´f ′ (c) = 0µ ÖÓÒØ Ö ½º × Ø Ö /¿
  11. 11. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ó Ú Ö × Ö ÓØ Ñ Þ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÁÒØ Ö ÓÖ × ´f ′ (c) = 0µ ÖÓÒØ Ö º Ð ×× Ö ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × Å Ü ´f ′′ (c) < 0µ¸ Å Ò ´f ′′ (c) > 0µ ½º × Ø Ö /¿
  12. 12. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ó Ú Ö × Ö ÓØ Ñ Þ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÁÒØ Ö ÓÖ × ´f ′ (c) = 0µ ÖÓÒØ Ö º Ð ×× Ö ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × Å Ü ´f ′′ (c) < 0µ¸ Å Ò ´f ′′ (c) > 0µ º Ú Ð Ö f Ð ÙÐ Ö f (x) Ñ ØÓ Ó× Ó× ÔÓÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ½º × Ø Ö /¿
  13. 13. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ó Ú Ö × Ö ÓØ Ñ Þ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÁÒØ Ö ÓÖ × ´f ′ (c) = 0µ ÖÓÒØ Ö º Ð ×× Ö ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × Å Ü ´f ′′ (c) < 0µ¸ Å Ò ´f ′′ (c) > 0µ º Ú Ð Ö f Ð ÙÐ Ö f (x) Ñ ØÓ Ó× Ó× ÔÓÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× º Ð ×× Ö ÜØÖ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Å Ü ÑÓ Å Ò ÑÓ ½º × Ø Ö /¿
  14. 14. × Ø Ö ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Ù× Ó× Ñ ÜÑÓ× Ñ Ò ÑÓ× Ô ××Ó Ô ××Ó ½º ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b] ÓÒ Ö ØÖ Ð Ö ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ó Ú Ö × Ö ÓØ Ñ Þ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ÁÒØ Ö ÓÖ × ´f ′ (c) = 0µ ÖÓÒØ Ö º Ð ×× Ö ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × Å Ü ´f ′′ (c) < 0µ¸ Å Ò ´f ′′ (c) > 0µ º Ú Ð Ö f Ð ÙÐ Ö f (x) Ñ ØÓ Ó× Ó× ÔÓÒØÓ× ÜØÖ ÑÓ× º Ð ×× Ö ÜØÖ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Å Ü ÑÓ Å Ò ÑÓ º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ê ×ÔÓ×Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ×ØÓ ½º × Ø Ö /¿
  15. 15. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Aplicação 1 Volume da caixa ¾º ÔÐ Ó ½ /¿
  16. 16. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ ÍÑ ÓÐ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ô Ô Ð Ø Ñ Ð Ö ÙÖ ÐØÙÖ ×¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ Ñ Ñº ◦ Ñ ÙÑ × ÕÙ ØÖÓ ÜØÖ Ñ × × Ö Ö ÓÖØ Ó ÙÑ ÕÙ Ö Ó ¾º ÔÐ Ó ½ /¿
  17. 17. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ Ñ × Ù × Ð Ø Ö × × Ö Ó Ó Ö × Ô Ö ÓÖÑ Ö ÙÑ Ü ◦ ÉÙ Ð Ó Ø Ñ Ò Ó Ó Ö ÓÖØ Ô Ö ÕÙ ×× Ü Ø Ò Ó Ñ ÓÖ ÚÓÐÙÑ ÔÓ×× Ú Ð ¾º ÔÐ Ó ½ ½¼/¿
  18. 18. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Passo a passo ¾º ÔÐ Ó ½ ½½/¿
  19. 19. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ¾º ÔÐ Ó ½ ½¾/¿
  20. 20. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ◦ Ë Ñ Ö ÓÖØ Ò Ó Ø Ñ ÚÓÐÙÑ º ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ö ÓÖØ Þ ÖÓ¸ ÚÓÐÙÑ Ñ Ò ÑÓ Þ ÖÓ a = 0 ¾º ÔÐ Ó ½ ½¾/¿
  21. 21. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ◦ Ë Ñ Ö ÓÖØ Ò Ó Ø Ñ ÚÓÐÙÑ º ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ö ÓÖØ Þ ÖÓ¸ ÚÓÐÙÑ Ñ Ò ÑÓ Þ ÖÓ a = 0 ◦ Ç ÓÖØ Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ø Ó Ô Ô Ð b = 2.5 ¾º ÔÐ Ó ½ ½¾/¿
  22. 22. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ◦ Ë Ñ Ö ÓÖØ Ò Ó Ø Ñ ÚÓÐÙÑ º ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó¸ Ö ÓÖØ Þ ÖÓ¸ ÚÓÐÙÑ Ñ Ò ÑÓ Þ ÖÓ a = 0 ◦ Ç ÓÖØ Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ Ø Ó Ô Ô Ð b = 2.5 ◦ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ [0 ; 2.5] ¾º ÔÐ Ó ½ ½¾/¿
  23. 23. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ¾º ÔÐ Ó ½ ½¿/¿
  24. 24. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó ÚÓÐÙÑ Ü ¾º ÔÐ Ó ½ ½¿/¿
  25. 25. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó ÚÓÐÙÑ Ü ◦ Volume = compr imento ×lar gura × altura ¾º ÔÐ Ó ½ ½¿/¿
  26. 26. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó ÚÓÐÙÑ Ü ◦ Volume = compr imento ×lar gura × altura V (x) = (8−2x)·(5−2x)· x = 4x3 −26x2 +40x ¾º ÔÐ Ó ½ ½¿/¿
  27. 27. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  28. 28. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  29. 29. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5 ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′ (x) = 0 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  30. 30. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5 ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′ (x) = 0 V (x) = 4x3 −26x2 +40x ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  31. 31. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5 ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′ (x) = 0 V (x) = 4x3 −26x2 +40x V ′ (x) = 12x2 −52x +40 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  32. 32. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5 ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′ (x) = 0 V (x) = 4x3 −26x2 +40x V ′ (x) = 12x2 −52x +40 V ′ (x) = 0 ⇒ x = 1 ou x = 10/3 ´ ÓÖ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓµ ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  33. 33. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = a = 0 x = b = 2.5 ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × V ′ (x) = 0 V (x) = 4x3 −26x2 +40x V ′ (x) = 12x2 −52x +40 V ′ (x) = 0 ⇒ x = 1 ou x = 10/3 ´ ÓÖ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓµ ◦ Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× x = 0¸ x = 2.5¸ x = 1 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  34. 34. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × x = 1 V ′ (x) = 12x2 −52x +40 V ′′ (x) = 24x −52 V ′′ (1) = 24·1−52 = −28 < 0 Å Ü ÑÓ ÐÓ Ð ´ÓÙ Ö Ð Ø ÚÓµ ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  35. 35. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ V (x) = 4x3 −26x2 +40x ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  36. 36. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ V (x) = 4x3 −26x2 +40x ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × x = 1 V (1) = 4·13 −26·12 +40·1 = ½ ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  37. 37. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ× ÔÓÒØÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ V (x) = 4x3 −26x2 +40x ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × x = 1 V (1) = 4·13 −26·12 +40·1 = ½ ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö x = 0 x = 2.5 V (0) = 4·03 −26·02 +40·0 = ¼ V (2.5) = 4·(2.5)3 −26·(2.5)2 +40·2.5 = ¼ ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  38. 38. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ V (x) = 4x3 −26x2 +40x V (0) = 0¸ V (2.5) = 0¸ V (1) = 18 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  39. 39. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ V (x) = 4x3 −26x2 +40x V (0) = 0¸ V (2.5) = 0¸ V (1) = 18 ◦ Å Ü ÑÓ ×ÓÐÙØÓ Î ÐÓÖ V = 18 Ç ÓÖÖ Ô Ö x = 1 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  40. 40. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ V (x) = 4x3 −26x2 +40x V (0) = 0¸ V (2.5) = 0¸ V (1) = 18 ◦ Å Ü ÑÓ ×ÓÐÙØÓ Î ÐÓÖ V = 18 Ç ÓÖÖ Ô Ö x = 1 ◦ Å Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ Î ÐÓÖ V = 0 Ç ÓÖÖ Ô Ö x = 0 x = 2.5 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  41. 41. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ü Ñ ÓÖ ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÕÙ Ò Ó ÓÖØ ÑÓ× x = 1 Ñ Ó × Ù ÚÓÐÙÑ V = 18 Ñ 3 ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  42. 42. ÔÐ Ó ½ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ Ò Ð × Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ØØÔ »»ÛÛÛºÛÓÐ Ö Ñ ÐÔ º ÓÑ ¾º ÔÐ Ó ½ ½ /¿
  43. 43. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Aplicação 2 Embalagens cilíndricas ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾¼/¿
  44. 44. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ ÍÑ ÑÔÖ × Ö Ó × ÔÖÓ ÙÞ Ö Ñ Ð Ò× Ð Ò Ö × ◦ Ç Ñ Ø Ö Ð ÙØ Ð Þ Ó Ò Ð Ø Ö Ð Ù×Ø Ê° ¼¸¼½» Ñ2 ◦ Ç Ñ Ø Ö Ð ÙØ Ð Þ Ó Ò × × × Ù×Ø Ê° ¼¸¼ » Ñ2 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾½/¿
  45. 45. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ◦ Ç ÚÓÐÙÑ Ó× Ð Ò ÖÓ× × Ö Ó ½ Ð ØÖÓ ´½¼¼¼ Ñ3 µ ◦ ÉÙ × × Ñ Ò× × ´Ö Ó × ÐØÙÖ µ Ô Ö ÕÙ Ø Ò Ñ Ó Ñ ÒÓÖ Ù×ØÓ ÔÓ×× Ú Ð ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾¾/¿
  46. 46. ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ Passo a passo ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾¿/¿
  47. 47. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  48. 48. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ◦ Ç Ö Ó × ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ r ≥ 0 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  49. 49. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ◦ Ç Ö Ó × ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ r ≥ 0 ◦ ÐØÙÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ h ≥ 0 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  50. 50. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ØÖ Ð Ó ◦ Ç Ö Ó × ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ r ≥ 0 ◦ ÐØÙÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ó Ò Ø ÚÓ h ≥ 0 ◦ ÈÓÖ ÒÕÙ ÒØÓ r,h ∈ [0 ; +∞) ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  51. 51. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  52. 52. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ù×ØÓ ÔÖÓ Ù Ó ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  53. 53. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ù×ØÓ ÔÖÓ Ù Ó ◦ Å Ò Ñ Þ Ö Ó Ù×ØÓ ÓÑ Ö ØÓØ Ð Ó Ð Ò ÖÓ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  54. 54. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ ÉÙ Ö ÑÓ× Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ù×ØÓ ÔÖÓ Ù Ó ◦ Å Ò Ñ Þ Ö Ó Ù×ØÓ ÓÑ Ö ØÓØ Ð Ó Ð Ò ÖÓ ýÖ Ð Ø Ö Ð = (2πr)·h ýÖ × × × = 2·(πr2 ) ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  55. 55. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ Ç ÚÓÐÙÑ Ñ Ð Ñ × Ö V = 1000cm3 ◦ Ç ÚÓÐÙÑ ÙÑ Ð Ò ÖÓ Ó ÔÓÖ V = π·r2 ·h ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  56. 56. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ Ç ÚÓÐÙÑ Ñ Ð Ñ × Ö V = 1000cm3 ◦ Ç ÚÓÐÙÑ ÙÑ Ð Ò ÖÓ Ó ÔÓÖ V = π·r2 ·h V = 1000 ⇒ πr2 h = 1000 ⇒ h = 1000/πr2 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  57. 57. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ Ç ÚÓÐÙÑ Ñ Ð Ñ × Ö V = 1000cm3 ◦ Ç ÚÓÐÙÑ ÙÑ Ð Ò ÖÓ Ó ÔÓÖ V = π·r2 ·h V = 1000 ⇒ πr2 h = 1000 ⇒ h = 1000/πr2 ◦ ýÖ Ð Ø Ö Ð = (2πr)·h = (2πr).1000/πr2 = 2000/r ◦ ýÖ × × × = 2·(πr2 ) ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  58. 58. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ Ù×ØÓ ØÓØ Ð = 1×ýÖ Ð Ø Ö Ð +4×ýÖ × × × ´ÍÒ × Ñ ÒØ ÚÓ×µ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  59. 59. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ Ù×ØÓ ØÓØ Ð = 1×ýÖ Ð Ø Ö Ð +4×ýÖ × × × ´ÍÒ × Ñ ÒØ ÚÓ×µ ◦ C(r) = 1× 2000 r +4×2πr2 C(r) = 2000 r +8πr2 ¸ ´r = 0µ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  60. 60. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¾º ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ ◦ Ù×ØÓ ØÓØ Ð = 1×ýÖ Ð Ø Ö Ð +4×ýÖ × × × ´ÍÒ × Ñ ÒØ ÚÓ×µ ◦ C(r) = 1× 2000 r +4×2πr2 C(r) = 2000 r +8πr2 ¸ ´r = 0µ ◦ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ó r ∈ (0 , +∞) ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  61. 61. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö Æ Ó Ø ÑÓ׸ ÔÓ × Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ (0 , +∞) ÖØÓ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  62. 62. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÖÓÒØ Ö Æ Ó Ø ÑÓ׸ ÔÓ × Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ (0 , +∞) ÖØÓ ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′ (r) = 0 C(r) = 2000 r +8πr2 C′ (r) = −2000 r2 +16πr ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  63. 63. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′ (r) = 0 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  64. 64. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′ (r) = 0 C′ (r) = 0 ⇒ − 2000 r2 +16πr = 0 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  65. 65. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′ (r) = 0 C′ (r) = 0 ⇒ − 2000 r2 +16πr = 0 ⇒ 16πr = 2000 r2 (×r2 ) ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  66. 66. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′ (r) = 0 C′ (r) = 0 ⇒ − 2000 r2 +16πr = 0 ⇒ 16πr = 2000 r2 (×r2 ) ⇒ 16πr3 = 2000 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  67. 67. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′ (r) = 0 C′ (r) = 0 ⇒ − 2000 r2 +16πr = 0 ⇒ 16πr = 2000 r2 (×r2 ) ⇒ 16πr3 = 2000 ⇒ r3 = 2000 16π = 125 π ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  68. 68. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ ¿º Ò ØÓ× ÜØÖ ÑÓ× ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × C′ (r) = 0 C′ (r) = 0 ⇒ − 2000 r2 +16πr = 0 ⇒ 16πr = 2000 r2 (×r2 ) ⇒ 16πr3 = 2000 ⇒ r3 = 2000 16π = 125 π ⇒ r = 3 125 π = 5 3 π ¿º ÔÐ Ó ¾ ¾ /¿
  69. 69. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¼/¿
  70. 70. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5 3 π ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¼/¿
  71. 71. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5 3 π C′ (r) = −2000 r2 +16πr = −2000r−2 +16πr ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¼/¿
  72. 72. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5 3 π C′ (r) = −2000 r2 +16πr = −2000r−2 +16πr C′′ (r) = 4000r−3 +16π = 4000 r3 +16π ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¼/¿
  73. 73. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5 3 π C′ (r) = −2000 r2 +16πr = −2000r−2 +16πr C′′ (r) = 4000r−3 +16π = 4000 r3 +16π C′′ ( 5 3 π ) = 4000 5 3 π 3 +16π > 0 ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¼/¿
  74. 74. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ó Ó× ÜØÖ ÑÓ× ÐÓ × ´Ø ×Ø × ÙÒ Ö Ú µ ◦ ÈÓÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × r = 5 3 π C′ (r) = −2000 r2 +16πr = −2000r−2 +16πr C′′ (r) = 4000r−3 +16π = 4000 r3 +16π C′′ ( 5 3 π ) = 4000 5 3 π 3 +16π > 0 Å Ò ÑÓ ÐÓ Ð ´ÓÙ Ö Ð Ø ÚÓµ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¼/¿
  75. 75. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò ÓÒØÖ Ó ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿½/¿
  76. 76. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò ÓÒØÖ Ó ◦ C(r) = 2000 r +8πr2 = 2000 r + 8πr 3 r = 2000+8πr 3 r ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿½/¿
  77. 77. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ú Ð Ò Ó ÙÒ Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò ÓÒØÖ Ó ◦ C(r) = 2000 r +8πr2 = 2000 r + 8πr 3 r = 2000+8πr 3 r C 5 3 π = 2000+8π 5 3 π 3 5 3 π = 2000+8π 125 π 5 3 π = (2000+8·125)· 3 π 5 = 3000· 3 π 5 = 878,755 ≈ 879 centavos = R$ 8,79 (por embalagem) ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿½/¿
  78. 78. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¾/¿
  79. 79. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ Å Ü ÑÓ ×ÓÐÙØÓ Æ Ó Ü ×Ø ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¾/¿
  80. 80. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ð ×× Ö Ó× ÜØÖ ÑÓ× Ò ÓÒØÖ Ó× ◦ Å Ü ÑÓ ×ÓÐÙØÓ Æ Ó Ü ×Ø ◦ Å Ò ÑÓ ×ÓÐÙØÓ Î ÐÓÖ ´ Ù×ØÓµ C =Ê° ¸ (por embalagem) Ç ÓÖÖ Ô Ö ´Ö Óµ r = 5 3 π = 3,4cm ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¾/¿
  81. 81. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¿/¿
  82. 82. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ñ ÒÓÖ Ù×ØÓ Ó Ø ÕÙ Ò Ó Ó Ö Ó Ó Ð Ò ÖÓ r = 3,4 Ñ × Ù Ù×ØÓ × Ö C = 8,79 ÔÓÖ Ñ Ð Ñº ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¿/¿
  83. 83. ÔÐ Ó ¾ ÈÖÓ º Å Ö ÐÓ Ñ º Ø ÖÑ Ò Ö ×ÓÐÙ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ñ ÒÓÖ Ù×ØÓ Ó Ø ÕÙ Ò Ó Ó Ö Ó Ó Ð Ò ÖÓ r = 3,4 Ñ × Ù Ù×ØÓ × Ö C = 8,79 ÔÓÖ Ñ Ð Ñº ÓÑÓ Ó ÚÓÐÙÑ Ü ½¼¼¼¸ ÔÓ ÑÓ× Ð ÙÐ Ö ×Ù ÐØÙÖ V = πr2 h = 1000 ⇒ h = 1000 πr2 = 1000 (3,14)·(3,4)2 = 27,5 cm ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿¿/¿
  84. 84. Ç ÊÁ Ç È Ä Ì Æ
  85. 85. Ç ÈÖÓ ××ÓÖ Å Ö ÐÓ Ñ È Ö Ö Ö Ñ × × ÓÑÓ ×× ÓÑÔ Ò Ñ Ù ØÖ Ð Ó ØÖ Ú × × Ö × ×Ó × ◦ ÙÖØ Ñ Ò Ô Ò ÒÓ ÓÓ Î ÑÓ× Ð Ö Å Ø Ñ Ø ◦ ÁÒ× Ö Ú ¹× ÒÓ Ñ Ù Ò Ð Ò Ð Ó ÓÙÌÙ Î ÑÓ× Ð Ö Å Ø Ñ Ø ◦ Ë Ñ Ù Ô Ö Ð ÒÓ ËÐ × Ö Å Ö ÐÓ Ñ ¾ ¿º ÔÐ Ó ¾ ¿ /¿

×