Este documento presenta los conceptos fundamentales de la dinámica de fluidos. Explica el concepto de flujo como cantidad de una magnitud física que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Define el flujo másico y el flujo volumétrico. Presenta la ecuación de continuidad para la conservación de la masa en un sistema abierto. Deriva y explica la ecuación de Bernoulli para la conservación de la energía en un fluido ideal en régimen estacionario a lo largo de una línea de corriente. Ilustra la ecuación con

1. DINÁMICA
DE FLUIDOS
1

2. CONCEPTO GENERAL DE FLUJO
S
Una magnitud física...
Carácter vectorial...
A
Una superficie...
θ
A
S
Flujo de A a través de la superficie
r r
Φ = A⋅ S
Φ = A ⋅ S ⋅ cosθ
CANTIDAD
ESCALAR
2

3. CONCEPTO GENERAL DE FLUJO (2)
Transporte de partículas:
El flujo está asociado con el número de partículas transportadas por unidad de tiempo
v
t
S
N
Número de partículas que
atraviesan la superficie en
el intervalo t
N = n⋅S⋅x
x
x = v⋅t
n =
numero partículas
unidad volumen
numero partículas 2 m numero partículas
=
m
3
s
m
s
N = n⋅S⋅v⋅t
Φ=
N
= n⋅S ⋅v
t
3

4. CLASIFICACIÓN DEL FLUJO DE UN FLUIDO
FLUJO DE FLUIDOS
Atendiendo a la
velocidad de las
partículas de
fluido en cada
punto del espacio
Atendiendo a la
velocidad angular
neta del fluido
Atendiendo a las
variaciones de
densidad
Atendiendo a los
rozamientos
internos
Flujo estacionario
Flujo
no estacionario
La velocidad de las partículas de fluido que
pasan por un punto dado es la misma en todo
instante del tiempo
Las velocidades de las partículas de fluido
son una función del tiempo en cualquier
punto dado
Flujo
irrotacional
Si el elemento de fluido en un punto dado no
tiene velocidad angular neta alrededor del punto
Flujo
rotacional
Cuando la velocidad angular neta del elemento
de fluido no es nula
Flujo
compresible
La densidad del fluido varía de punto a punto,
en general es una función de las coordenadas.
Flujo
incompresible
Cuando no hay variaciones de densidad en
función de la posición. Generalmente el
flujo de los líquidos es incompresible
Flujo viscoso
Fuerzas tangenciales entre distintas
capas del fluido: se disipa energía
Flujo
no viscoso
Ausencia rozamientos internos
4

5. LÍNEAS DE CORRIENTE
Supongamos flujo estacionario
línea de corriente
vC
C
B
A
vB
vA
La velocidad en cada punto
es constante en el tiempo
Un patrón de líneas de flujo en un fluido se dibuja
de manera que la dirección de la velocidad
instantánea de una partícula en un punto cualquiera
sea tangente a la línea de flujo que pasa por dicho
punto.
Las líneas de corriente están fijas y coinciden
con la trayectoria de las partículas de fluido solo
si el flujo es estacionario.
En flujo no estacionario el patrón de líneas de
corriente cambia a medida que transcurre el tiempo:
la trayectoria de las partículas individuales no
coincide con una línea de corriente en un instante
dado, sino que la línea de corriente y la trayectoria
de una partícula se tocan en ese punto, pero luego se
separan.
Trazando una curva tangente al campo de
velocidades del fluido, se obtiene la
trayectoria seguida por cada partícula que
pasa sucesivamente por los puntos A, B,
C...
Línea de corriente
5

6. VISCOSIDAD
Viscosidad: propiedad molecular que representa la resistencia del fluido a la deformación
Dentro de un flujo, la viscosidad es la responsable de las fuerzas de fricción entre
capas adyacentes de fluido. Estas fuerzas se denominan de esfuerzo cortante
(“shearing stress”, cizalla) y dependen del gradiente de velocidades del fluido.
ν=
τ=
F
∂c
=η
A
∂z
Gradiente de
velocidad
z
η
ρ
Viscosidad cinemática (m2s-1)
ρ es la densidad
A
F
Viscosidad dinámica
(Pa · s=N·s/m2)
(1 Pa · s = 10 Poise)
c+dc
c
Fluidos viscosos → fricción entre capas, disipación energía cinética como calor →
6
→ aportación de energía para mantener el flujo

7. RÉGIMEN IDEAL, LAMINAR Y TURBULENTO
• Régimen ideal (Bernoulli)
Viscosidad nula, se conserva la energía ya que se supone
ausencia total de rozamiento.
Se admite que el fluido va deslizando sin rozamiento
sobre la pared del conducto cuando pasa junto a la misma,
de modo que el perfil de velocidades es uniforme en una
sección perpendicular.
• Régimen laminar (Poiseuille)
Ausencia de componentes
transversales de velocidad,
las capas no se mezclan.
Viscosidad no nula. Los fluidos reales se adhieren a las
paredes de conductos y tuberías debido a las interacciones
moleculares. En un fluido real se satisface la condición de
velocidad relativa cero (en la interfase) con respecto de la
superficie del sólido.
En régimen laminar puede considerarse que existen
láminas fluidas en movimiento regular siguiendo líneas de
corriente: se deslizan unas sobre otras, siendo mayor la
velocidad a medida que crece la distancia a la interfase.
Se mantiene el paralelismo entre las diferentes láminas
fluidas, y no hay mezcla de fluido ya que dos líneas de
corriente no pueden cortarse.
7

8. RÉGIMEN IDEAL, LAMINAR Y TURBULENTO (2)
• Régimen turbulento (Venturi)
* El movimiento de las partículas fluidas es caótico.
* No pueden identificarse las líneas de corriente.
* Es muy disipativo (pérdidas de energía).
* Se favorece la mezcla de magnitudes y constituyentes.
* Fuertemente rotacional. Remolinos superpuestos a
circulación general.
El régimen turbulento tiene su origen en la inestabilización del régimen laminar. Cuando la cizalla interna
alcanza un valor suficientemente alto, se produce inicialmente una fase de transición laminar/turbulento, y
finalmente se desarrolla completamente el régimen turbulento.
8

9. NÚMERO DE REYNOLDS
Transición entre flujo laminar y flujo turbulento
velocidad
densidad
Número de Reynolds
Re =
Longitud
característica
ρ ⋅c ⋅l c ⋅l
=
η
ν
Viscosidad dinámica
Viscosidad cinemática
Si Re < Re CRÍTICO → Régimen laminar
Si Re > Re CRÍTICO → Régimen turbulento
Superficie plana: Re CRÍTICO ∼ 5⋅10-5
Valores típicos
Conducto cilíndrico: Re CRÍTICO ∼ 2200
9

10. VOLUMEN DE CONTROL. FLUJO MÁSICO Y FLUJO VOLUMÉTRICO
Sistema abierto: puede intercambiar masa y energía con sus alrededores
También recibe el nombre de volumen de control
Flujo másico
Masa de fluido entrante o saliente que
atraviesa una sección dada por unidad
de tiempo
kg 2 m
dm
m
&
m=
= ρ ⋅S ⋅c
3
m
s
dt
densidad
sección
velocidad
Flujo volumétrico (también caudal o gasto)
Volumen de fluido entrante o saliente que
atraviesa una sección dada por unidad de tiempo
&
& dV = S ⋅ c = m
V=
dt
ρ
10

11. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. CONSERVACIÓN DE LA MASA.
La variación con el tiempo de la masa
contenida en el sistema abierto debe
coincidir con la suma algebraica de los
flujos que atraviesan la frontera del
volumen de control.
3
1
dm
&
&
&
&
= m1 + m2 − m3 − m4 + ...
dt
4
dm
&
&
= ∑ min − ∑ mout
dt
Aplicación a una conducción (régimen estacionario)
2
1
dm
&
&
= m1 − m2
dt
2
dm
= ρ1 ⋅ S1 ⋅ c1 − ρ 2 ⋅ S 2 ⋅ c2
dt
ρ1 ⋅ S1 ⋅ c1 − ρ 2 ⋅ S 2 ⋅ c2 = 0
Régimen
estacionario
Fluido incompresible
S1 ⋅ c1 = S 2 ⋅ c2
11

12. ECUACIÓN DE BERNOULLI
Consideremos un tubo de corriente
Fluido entrante
x2
c2
Trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión a la entrada:
W1 = P ⋅ S1 ⋅ x1
1
P2 ⋅ S 2
Trabajo efectuado por el sistema contra la fuerza de presión a la salida:
W2 = − P2 ⋅ S 2 ⋅ x2
x1
y2
c1
P ⋅ S1
1
Balance de energía
y1
Criterio de signos: trabajo de las fuerzas a favor de la entrada de fluido (1)
trabajo de las fuerzas en contra de la salida de fluido (2)
W1 > 0
W2 < 0
12

13. ECUACIÓN DE BERNOULLI (2)
Trabajo fuerza de presión entrada:
1. Sistema sin
rozamientos
W1 = P ⋅ S1 ⋅ x1
1
Trabajo fuerza de presión salida:
HIPÓTESIS
W2 = − P2 ⋅ S 2 ⋅ x2
2. Fluido
incompresible
3. Régimen
estacionario
WNETO = W1 + W2
TRABAJO NETO:
WNETO = P ⋅ S1 ⋅ x1 − P2 ⋅ S 2 ⋅ x2
1
x2
c2
P2 ⋅ S 2
Volumen
VARIACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA:
x1
(
)
1
2
2
∆EC + ∆EP = m c2 − c1 + mg ( y2 − y1 )
2
c1
y2
P ⋅ S1
1
y1
m masa de fluido entrante/saliente
Es la misma! El fluido es incompresible
Criterio de signos: trabajo de las fuerzas a favor de la entrada de fluido (1)
trabajo de las fuerzas en contra de la salida de fluido (2)
W1 > 0
W2 < 0
13

14. ECUACIÓN DE BERNOULLI (3)
WNETO = P ⋅ S1 ⋅ x1 − P2 ⋅ S 2 ⋅ x2
1
WNETO = ∆EC + ∆EP
1
2
2
∆EC + ∆EP = m c2 − c1 + mg ( y2 − y1 )
2
1
2
2
P ⋅ S1 ⋅ x1 − P2 ⋅ S2 ⋅ x2 = m c2 − c1 + mg ( y2 − y1 )
1
2
(
)
(
x2
c2
)
P2 ⋅ S 2
1 2
1 2
P ⋅ V1 + mc1 + mgy1 = P2 ⋅ V2 + mc2 + mgy2
1
2
2
x1
c1
P ⋅ S1
1
y1
1
P ⋅ V + mc 2 + mgy = constante
2
y2
Observación:
Ecuación válida para una línea de corriente
de un fluido ideal en régimen estacionario
Criterio de signos: trabajo de las fuerzas a favor de la entrada de fluido (1)
trabajo de las fuerzas en contra de la salida de fluido (2)
W1 > 0
W2 < 0
14

15. ECUACIÓN DE BERNOULLI (4)
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
1
P ⋅ V + mc 2 + mgy = constante
2
1. Conservación de la energía
2. Conservación de la carga
P+
(ρ =
m
es la densidad)
V
1m 2 m
constante
c + gy =
V
V
2V
P es la carga estática
Unidades de
energía
1
Unidades de
P + ρc 2 + ρgy = constante
presión
2
1 2
ρc es la carga cinética
2
ρgy es la carga geométrica
3. Conservación de las alturas
P
1 2
constante
+
c +y=
ρg 2 g
ρg
y es la altura geométrica
1 2
c es la altura cinética
2g
1 2
P
+
c + y = constante
ρg 2 g
Unidades de
longitud
1 2
c + y es la altura piezométrica
2g
15

16. ECUACIÓN DE BERNOULLI (5)
EJEMPLO 1. Circulación fluido incompresible en un estrechamiento.
1 2
1 2
P + ρc1 + ρgy1 = P2 + ρc2 + ρgy2
1
2
2
c2
c1
R1
1
y1
La ecuación de continuidad
implica que c2 > c1
R2
2
y2
S1 ⋅ c1 = S 2 ⋅ c2
(
1
2
2
P − P2 = ρ c2 − c1
1
2
)
P > P2
1
* El fluido circula a mayor velocidad en los estrechamientos
* La presión es menor en los estrechamientos
16

17. ECUACIÓN DE BERNOULLI (6)
EJEMPLO 2. Conducción fluido incompresible con tubos abiertos al exterior.
Diferencia de alturas.
1 2
1 2
P + ρc1 + ρgy1 = P2 + ρc2 + ρgy2
1
2
2
h
z1
z2
c2
c1
R1
1
y1
)
1
2
2
P − P2 = ρ c2 − c1
1
2
P2 = Patm + ρgz2
P − P2 = ρg ( z1 − z2 ) = ρgh
1
y2
P = Patm + ρgz1
1
(
2
R2
Como P1 > P2, z1-z2 = h > 0
El fluido asciende más sobre la
parte ancha de la conducción
Fundamento del Venturímetro. Véase ejemplo más adelante.
Pregunta: ¿qué diferencia de altura debe haber entre los dos
tubos abiertos si R1 = R2?
17

18. Aplicable a una línea de
corriente de un fluido ideal
en régimen estacionario
ECUACIÓN DE BERNOULLI (7)
APROXIMACIÓN A FLUIDOS REALES
1. Aparecen efectos de rozamiento interno debidos a la viscosidad del fluido.
Esto se resume en el efecto de pérdidas de carga.
h
1
2
Situación ideal. Sin pérdidas de carga
1
2
Situación real. Con pérdidas de carga
1 2
P
1 2
P
1
c1 + y1 − Φ = 2 +
+
c2 + y2
ρg 2 g
ρg 2 g
Pérdida de altura por
rozamientos internos.
Así se cuantifica la
pérdida de carga
2. Presencia de bombas (aportan energía al fluido circulante) o turbinas (retiran
energía del fluido circulante).
Altura equivalente añadida por la bomba que impulsa el fluido
1 2
P
1 2
P
1
c + y2
c1 + y1 − Φ + H B − H T = 2 +
+
ρg 2 g 2
ρg 2 g
Altura que reduce la pérdida de energía transferida en la turbina
18

19. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: EC. DE TORRICELLI
Velocidad de salida de líquido de un depósito abierto
Líquido densidad ρ
1 2
1 2
P + ρc1 + ρgy1 = P2 + ρc2 + ρgy2
1
2
2
1
h
y1
c
2 c2
Gran volumen contenido en el
depósito, bajada de nivel de la
superficie muy lenta, c1 ≈ 0
P = P2 = Patm
1
c2 = 2 g ( y1 − y2 ) = 2 gh
y2
x0
Cálculo adicional: distancia horizontal x0 recorrida por el chorro de líquido
Tiempo de caída (inicialmente no hay componente vertical de velocidad):
t = 2 y2 g
Espacio horizontal recorrido:
x0 = c2t = 2 gh 2 y2 g
x0 = 4h ⋅ y2
19

20. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. TUBO DE VENTURI
Determinación de velocidad de un fluido
1 c1
S1
2
z0
y1
h
A
c2
B
A
Aplicamos Bernoulli entre 1 y 2
S2
y2
1 2
1 2
P + ρc1 + ρgy1 = P2 + ρc2 + ρgy2
1
2
2
Ecuación de continuidad
S
c2 = 1 ⋅ c1
S1 ⋅ c1 = S 2 ⋅ c2
S2
Fluido manométrico, densidad ρm
PA = P + ρg (h + z0 )
1
PB = P2 + ρgz0
PA = PB + ρ m gh
PA − PB = ρ m gh
P − P2 =
1
⎡⎛ S ⎞
⎤
1
( ρ m − ρ )gh =
⎢⎜ ⎟ − 1⎥
2 ⎢⎜ S2 ⎟
⎥
⎣⎝ ⎠
⎦
2
(c
2
ρ
2
2
2
− c1
)
⎡⎛ S ⎞ 2 ⎤
P − P2 =
⎢⎜ 1 ⎟ − 1⎥
1
2 ⎢⎜ S 2 ⎟
⎥
⎣⎝ ⎠
⎦
ρc12
P − P2 = PA − PB − ρgh = ( ρ m − ρ )gh
1
ρc12
DISMINUCIÓN PRESIÓN,
AUMENTO VELOCIDAD
Fluido, densidad ρ
Modelo de Venturímetro
c1 =
2( ρ m − ρ )gh
ρ (S1 S 2 )2 − 1
[
]
20

21. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. TUBO DE PRANDTL
Medidas de velocidad en flujo de gases
Las aberturas son paralelas a la dirección del flujo
cA
Punto de remanso:
el gas se detiene
Punto de remanso pB
Presión de la corriente
fluida pA
pA
pB
p A + ρ m gh = pB
h
pB
ρm → densidad
Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre A y B
1 2
p A + ρc A = pB
2
ρ → densidad gas
Líquido
manométrico
liquido
manom.
(despreciamos diferencias de altura entre A y B, pues la densidad de los gases es baja)
1 2
ρc A = ρ m gh
2
c A = 2 gh
ρm
ρ
21

22. CIRCULACIÓN DE FLUIDOS VISCOSOS EN RÉGIMEN LAMINAR
Ecuación de Poisseuille
Expresa la caída de presión a lo largo de una longitud L de recorrido de un fluido
viscoso por un tubo circular de radio r.
L
2r
∆P =
8ηL &
V
πr 4
Ejemplo. Un líquido de densidad 1,060 g/cm3
circula a 30 cm/s por un conducto horizontal
de 1,0 cm de radio. La viscosidad del líquido
es 4 mPa·s. ¿Cuál es la pérdida de presión en
un recorrido de 20 cm?
Cálculo del número de Reynolds para comprobar que se trata de
flujo laminar. En el caso de una tubería circular, la longitud
característica es el diámetro.
Re =
ρ ⋅ c ⋅ l ρ ⋅ c ⋅ 2r 1060 ⋅ 0.30 ⋅ 0.02
=
=
= 1590 < 2200
η
η
4 ⋅10−3
8ηL & 8 ⋅ 4 ⋅10−3 ⋅ 0.20
∆P = 4 V =
π ⋅ 0.012 ⋅ 0.03 = 19.2 Pa
πr
π ⋅ 0.014
(
)
22