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  1. 1. CED 01 (CENTRÃO): PROFESSOR MANOEL TEORIA DOS CONJUNTOS 1. Definição Conjunto é um agrupamento, uma classe, uma coleção de elementos. Exemplos: a) Conjunto das vogais = {a, e, i, o, u} b) Conjunto dos números pares positivos = {0, 2, 4, 6, 8, ...} Cada membro que entra na formação de um conjunto é chamado de elemento. Logo, no conjunto das vogais há cinco elementos e no conjunto dos números pares positivos há infinitos elementos. Sejam A um conjunto e x um elemento do conjunto A, escrevemos: x Î A para indicar que x é um elemento do conjunto A x Ï A para indicar que x não é um elemento do conjunto A 2. Descrição de um conjunto 2.1 Descrição pela citação dos elementos Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. Exemplos: a) Conjunto das vogais = {a, e, i, o, u} b) Conjunto dos números pares positivos = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 2.2 Descrição por uma propriedade Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade característica P de seus elementos x, escrevemos: A = {x | x tem a propriedade P} e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P” Exemplos: a) A = {x | x é número inteiro e 0 x 5 } b) B = {x | x é divisor positivo de 16} Os conjuntos A e B, também, poderiam ser descritos pela citação de seus elementos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 4, 8, 16} 3. Conjunto unitário É aquele que possui somente um único elemento. Exemplos: a) A = Conjunto das soluções da equação 2x = 6 A = {3} b) B = Conjunto dos números inteiros positivos entre 4 e 6 B = {5} 4. Conjunto vazio
  2. 2. É aquele que não possui elemento. O símbolo para o conjunto vazio é . Exemplos: a) A = {x | x é maior que 3 e menor que 2} A= b) B = {x | x é ímpar e múltiplo de 4} B= 5. Subconjuntos A B A Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. O símbolo indica sinal de inclusão. B indica que A é subconjunto de B ou A está contido em B A indica que B contém A B indica que A não é subconjunto de B ou A não está contido em B Exemplos: a) {1, 2} {1, 2, 3, 4} b) {1} {1, 2} c) {1, 2} {1, 2} d) {1, 2} {3, 4, 5} e) Qualquer que seja o conjunto A, temos: A 6. Conjunto das Partes Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A, P(A), aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. P(A) = {x | x A} Exemplos: a) A = {1} P(A) = { , {1}} b) A = {1, 2} P(A) = { , {1}, {2}, {1,2}} c) A = {1, 2, 3} P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Note que no exemplo um o conjunto A tem 1 elemento e o conjunto das partes tem 2 elementos que é igual a 21. No exemplo dois o conjunto A tem 2elementos e o conjunto das partes tem 4 elementos que é igual a 22. No exemplo três o conjunto A tem 3 elementos e o conjunto das partes tem 8 elementos que é igual a 23. O número de subconjuntos de um conjunto A = 2n, onde n é o número de elementos do conjunto A. 7. União de conjuntos A Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formadopelos elementos que pertencem a A ou a B. O conjunto A B lê-se A uniãoB. B = A ou B = {x | x A ou x B} Exemplos: a) {1, 2} {3, 4} = {1, 2, 3, 4} b) {1, 2} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} c) {1, 2, 3} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} d) {1, 2, 3} = {1, 2, 3} e) =
  3. 3. 7.1 Propriedades da união a) A A = A b) A Æ = A c) A B=B A d) (A B) C=A (B C) 8. Interseção de conjuntos A Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjuntoformado pelos elementos que pertencem a A e a B. O conjunto A B lê-se A interseção B. B= {x | x A e x B} Exemplos: a) {1, 2, 3} {2, 3, 4, 5} = {2, 3} b) {1, 2} {1, 2, 3, 4} = {1, 2} c) {1, 2, 3} {1, 2, 3} = {1, 2, 3} d) {1, 2} {3, 4} = e) {1, 2} = Quando A B= , exemplo d, os conjuntos A e B são denominados conjuntos disjuntos. 8.1 Propriedades da interseção a) A A = A b) A B=B A c) (A B) C=A (B C) 9. Diferença de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjuntoformado pelos elementos de A que não pertencem a B. A – B = {x | x A e x B} Exemplos: a) {1, 2, 3} – {2, 3, 4, 5} = {1} b) {3, 4, 5} – {4, 5} = {3} c) {1, 2} – {3, 4, 5, 6} = {1, 2} d) {1, 2} – {1, 2, 3, 4, 5} = 10. Complementar de B em A Dados dois conjuntos A e B, tais que B conjunto A – B. A, chama-se complementar de B em relaçãoa A o

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