Procesos 6 del Libro de Roxana Meneses, para los Chicos del Saint Michael de Octavo Año

1. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 1
Página 62.
Nivel Octavo Año
PROCESOS 6: Fracciones Algebraicas Racionales
Nivel de Dificultad 1
1. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes
de cero.
4 a 3b 2
Observemos que todos los
ab 2
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
4 a3 b2 simplificar aplicando la ley de
(1) a b2 potencias de igual base de la
División.
4a 2
4 x2 y
2 xy 3 Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
4 x2 y simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
(2)
2 x y3
División.
2x
y2
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2. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 2
a 3b 2
2 a 5b Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
a3 b2 multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
(3) 2 a5 b potencias de igual base de la
División. Además nunca debe
quedar un negativo en el
b denominador
2a 2
9a 4 x 2 Observemos que todos los
18a 5 x 2 elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
9 a4 x2 simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
(4) 18 a 5 x 2 División. Además los negativos se
aplica la ley de signos y queda
positivo.
1
2a
a 3b 2 Observemos que todos los
ac elementos, tanto de numerador
como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
a3 b2 simplificar aplicando la ley de
potencias de igual base de la
(5)
ac División. Además aquellos
elementos que no tienen pareja se
quedan igual no se les aplica nada
a 2b 2
c
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3. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 3
4a b c Observemos que todos los
elementos, tanto de numerador
2a como del denominador se están
multiplicando, entonces podemos
simplificar aplicando la ley de
4a b c potencias de igual base de la
(6) 2a División. Lo que está entre los
paréntesis no se le aplica nada.
2 b c
w 6
2 w 6 Los elementos del numerador se
ponen entre paréntesis y como se
está multiplicado por el número 1,
entonces se cancela con el
w 6 paréntesis que es igual del
denominador, siempre aplicando
(7) 2 w 6
la ley de potencias de igual base
donde la base es todo el
paréntesis.
1
2
(8)
Esta pregunta está repetida con la número 7.
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4. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 4
5 v
35 v Los elementos del numerador se
ponen entre paréntesis y como se
está multiplicado por el número 1,
entonces se cancela con el
5 v paréntesis que es igual del
denominador, siempre aplicando
(9) 3 5 v
la ley de potencias de igual base
donde la base es todo el
paréntesis.
1
3
3z 2 z 2
6z
3 z2 z 2
(10)
6z
z z 2
2
2. Determinar las restricciones (el denominador no puede ser cero) de las
siguientes fracciones algebraicas.
3a 2b Lo que debemos hacer es igual a
cero el denominador (parte de
c debajo de la fracción) y despejar,
en este caso no fue necesario
despejar por lo que la respuesta
c 0
(1) es cero. Recordemos que la
división no está definida ( E ) no
c 0 existe por lo que buscamos el
valor que indefine la expresión
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5. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 5
a 3b 2
c2 Lo que debemos hacer es igual a
cero el denominador (parte de
debajo de la fracción) y despejar,
c2 0 en este caso no fue necesario
despejar por lo que la respuesta
es cero. Recordemos que la
c2 0 división no está definida ( E ) no
(2) existe por lo que buscamos el
valor que indefine la expresión.
c 0 Eliminamos potencias, aplicando
raíces con igual índice. La raíz de
cero es igual a cero.
c 0
a 3b 2
ac En este caso tenemos dos
elementos multiplicándose en el
denominador, entonces se iguala
a 0 y c 0 a cada uno a cero y se despejan, lo
(3)
valores resultantes serán las
respuestas.
a 0 y c 0
2m 7
2m Para esta expresión solo se toma
las variables (letras) y se igualan a
cero, las constantes (números) no
m 0 se toman en cuenta.
(4)
m 0
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6. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 6
w
v
v 0
(5)
v 0
5
w
w 0
(6)
w 0
b 1
c 1 En este caso debemos igualar toda
la expresión del denominador por
estarse sumando, igual sería el
c 1 0 caso si se estuvieran restando, y
se despejan, esto da el valor que
no debe nunca valer la variable
(7)
c 1 del denominador para no indefinir
le expresión.
c 1
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7. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 7
h 2
En este caso debemos igualar toda
u 1 la expresión del denominador por
estarse sumando, igual sería el
caso si se estuvieran restando, y
u 1 0 se despejan, esto da el valor que
no debe nunca valer la variable
(8) del denominador para no indefinir
u 1 le expresión.
u 1
b 3
En este caso debemos igualar toda
c 3 la expresión del denominador por
estarse sumando, igual sería el
caso si se estuvieran restando, y
c 3 0 se despejan, esto da el valor que
no debe nunca valer la variable
(9) del denominador para no indefinir
c 3 le expresión.
c 3
h 1
u 3
u 3 0
(10)
u 3
u 3
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8. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 8
w z
El denominador está compuesto
v z de dos variables que se están
sumando, se iguala toda la
expresión a cero y se despeja, lo
v z 0 que nos da que la otra variable no
puede asumir el valor opuesto de
(11) la variable que se suma, porque si
v z no se convierte en una resta y nos
quedaría cero.
v z
w 1
v z
v z 0 El mismo caso del anterior
ejercicio.
(12)
v z
v z
12
k 3
k 3 0
(13)
k 3
k 3
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9. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 9
12
k 3
k 3 0
(14)
k 3
k 3
12
k 3
Recordar que la variable que se
k 3 0 despeja nunca debe quedar con
un signo negativo, entonces se le
(15) cambia de signo y esto se repite
k 3 en el valor despejado por igual.
k 3
a 6
2 a c El denominador está compuesto
de dos variables que se están
sumando, se iguala toda la
expresión a cero y se despeja, lo
a c 0
que nos da que la otra variable no
puede asumir el valor opuesto de
(16) la variable que se suma, porque si
a c
no se convierte en una resta y nos
quedaría cero.
a c
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10. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 10
ab 2
Cuando en el denominador hay
a b 1 dos expresiones multiplicándose
se igualan a cero por separado y
se despejan aquellas que lo
a 0 y b 1 0 permitan, al final cualquiera de los
dos valores serían aquellos que
me indefinen la expresión.
(17)
b 1
a 0 y b 1
a 5 Aunque esta expresión se puede
2 a 5 simplificar y nos quedaría como
a 5
2 a 5
a 5 0
(18) a 5
a 5
respuesta
2 a 5
lo que
a 5
1
2
No indefine la expresión nunca.
Nivel de Dificultad 2
5 x
3. El numerador y el denominador en la expresión con x 5 son
x 5
inversos aditivos ya que 1 x 5 x 5 5 x. Entonces podeos
simplificar:
5 x x 5
1
x 5 x 5
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11. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 11
Hallar la mínima expresión de las siguientes fracciones racionales algebraicas.
x 4
Cuando se le da vuelta a la
4 x
expresión, automáticamente se
le pone un negativo afuera de
x 4 los paréntesis y se simplifica la
expresión.
(1) x 4
1
2 a
a 2 Observemos que se le puede
dar vuelta a la parte de arriba o
abajo, siempre que
a 2 mantengamos que al darle
vuelta a la expresión debemos
(2) a 2
poner un negativo afuera de
paréntesis.
1
3b 1
1 b
31 b
(3) 1 b
3
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12. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 12
3 w
4 w 3
w 3
(4) 4 w 3
1
4
3c 9
3 c En este caso debemos
factorizar la expresión del
numerador (Arriba de la
3 c 3
fracción) para que luego
3 c podemos tener los mismos
(5) 3 3 c elementos que el
denominador, por último
3 c aplicar darle vuelta y poner un
negativo afuera del paréntesis.
3
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13. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 13
1 a
2a 2
a 1
2 a 1
(6) a 1
2 a 1
1
2
5 2d
6d 15
2d 5
3 2d 5
(7) 2d 5
3 2d 5
1
3
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14. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 14
4h 12
6 2h
4 3 h
2 3 h
4 3 h
2 3 h
(8)
4
2
2
k 2 2k
4 2k
k 2 k
2 2 k
(9) k 2 k
2 2 k
k
2
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15. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 15
z3 2z
6 z 2 12
z z2 2
6 z2 2
(10) z z2 2
6 z2 2
z
6
4. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes
de cero.
4 x 12 4 x 3 4 x 3 x 3
(1)
4x 4x 4x x
2y 6 2 y 3 2 y 3 y 3
(2)
4y 4y 4y 2y
5c 2 5c 2 5 c2 5c
(3)
5c 2 c c 5c 1 c 5c 1 5c 1
12d 3 12d 3 12 d 3 4d 2
(4)
3d 2 6d 3d d 2 3d d 2 d 2
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16. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 16
3m2 3m 3m m 1 3m m 1 m 1
(5)
6m 2 9m 3m 2m 3 3m 2m 3 2m 3
4 y2 2 y 2y 2y 1 2 y 2y 1 2
(6)
10 y 2 5 y 5y 2y 1 5 y 2y 1 5
6 x5 x4 x4 6x 1 x4 6x 1 x3 6 x 1
(7)
x2 x x x 1 x x 1 x 1
a6 a5 a5 a 1 a5 a 1 1
(8)
a8 a7 a a 17
a7 a 1 a2
Nivel de dificultad 3.
5. Decir cuáles expresiones racionales están simplificadas correctamente. Las que
no son correctas, decir qué error se cometió. Considerar los denominadores
diferentes de cero.
8x4 y 2
4x
2 x3 y 2
Si es correcta la respuesta
(1)
8x4 y 2 8 x4 y 2
4x
2 x3 y 2 2 x3 y 2
14a 4b3
7ab No es correcta la respuesta. Se
7 a 5b 2 simplificaron mal los números y
las letras al aplicar ley de
(2) potencias de división de igual
14a 4b3 14 a 4 b3 2b base.
7 a 5b 2 7 a5 b2 a
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17. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 17
5 2n
1
2n 5 No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
(3) más.
5 2n 2n 5
NO
2n 5 2n 5
2m 7
7
2m No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
(4) más.
2m 7
NO
2m
No es correcta la respuesta. No se
w z w puede simplificar la expresión
v z v más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
(5) multiplicando entre sí, de lo
w z contrario no se pueden eliminar.
NO
v z
No es correcta la respuesta. No se
b 3 b 1 puede simplificar la expresión
c 3 c 1 más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
(6) multiplicando entre sí, de lo
b 3 contrario no se pueden eliminar.
NO
c 3
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18. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 18
5 x 1 5 No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
w x 1 w más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
(7) multiplicando entre sí, de lo
5 x 1 5x 5
NO contrario no se pueden eliminar.
w x 1 w x 1
2 3v 1 2 v 1 No es correcta la respuesta. No se
puede simplificar la expresión
9 3 más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
(8) multiplicando entre sí, de lo
2 3v 1 2 3v 3 contrario no se pueden eliminar.
NO
9 9
No es correcta la respuesta. No se
u h 2 puede simplificar la expresión
h 2
u más. Para poder simplificar las
letras se deben estar
(9) multiplicando entre sí, de lo
u h 2 u h 2 contrario no se pueden eliminar.
NO
u u
2 k 3 No es correcta la respuesta. La
2
k 3 simplificación correcta da -2,
como vemos en el desarrollo.
(10)
2 k 3 2 k 3 2 k 3 2
2
k 3 k 3 k 3 1
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19. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 19
6. Parear las respuestas.
2 c 1 2 c 1 2 c 1 2
(1) (1) 2 2
c 1 c 1 c 1 1
21 c 1 21 c 2 c 1 2
(2) (4) 2
c 1 2 c 1 c 1 1
c 1 c 1 c 1 c 1 1 1
(3) (2) 2
21 c 21 c 2 c 1 2 c 1 2 2
c 1 c 1 c 1
(4) (NO esta ) 1 c 1 1
2 c 1 2 c 1 2 c 1 2 c 1 2
c 2 c 2 c 2 c 2
(5) (5) 1 1
2 c 2 c c 2 c 2
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20. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 20
Nivel de Dificultad 4
7. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes de cero.
a 1 a 1 1
(1)
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
a 1 a 1 a 1 a 1
(2) a 1
a 1 a 1
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
(3) 2 2
a 1 a 1 a 1
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21. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 21
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
(4) 2 2
a 1 a 1 a 1
2 2
a 1 a 1 a 1
(5)
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
2 2
a 1 a 1 a 1
(6)
a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
4 a 1 b a 1 a 1 4 b a 1 4 b
(7) 4 b
a 1 a 1 a 1
5 a 1 c a 1 a 1 5 c a 1 5 c
(8) a 1
5 c 5 c 5 c
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22. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 22
a b 2 b b 2 b 2 b 2 a b 1 b 2 a b 1
(9) b 2
a b 1 a b 1 a b 1
v 1 w z 1 w w 1 v w 1 z w 1 w 1 w 1 v z 1
(10)
w 1 w 1 w 1
w 1 v z 1
v z 1 ó z v 1
w 1
u z 3 w 3 z z 3 u z 3 w z 3 z 3 z 3 u w 1
(11)
u w 1 u w 1 u w 1
z 3 u w 1 z 3 u w 1
z 3
u w 1 u w 1
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23. Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 23
u v h3 u v h2 u v h u v h3 h2 h u v h h2 h 1
(12)
h u v h u v h u v
u v h h2 h 1 h h2 h 1
h2 h 1
h u v h
2
a 1 2 a 1 a 1 1 2 a 1 a 1 1 2 a 1
(13) 1 2a 2 2a 1
a 1 a 1 a 1
a2 a 2b a 2 c a2 1 b c a2 1 b c
(14) a2
b c 1 1 b c 1 b c
2c 6c 2 8c3 2c 1 3c 4c 2 2c 1 3c 4c 2
(15) 1 3c 4c 2 4c 2 3c 1
2c 2c 2c
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