1. WONDER Masonry
Firenze, 10-11 novembre 2011
L’analisi pushover per la verifica sismica
di torri in muratura
M. Lucchesi, B. Pintucchi, N. Zani
DiCR - Dipartimento di Costruzioni e Restauro,
Università di Firenze
This research was supported by the Region of Tuscany (project "Tools for
modelling and assessing the structural behaviour of ancient constructions: the
NOSA-ITACA code'', PAR FAS 2007-2013).
This support is gratefully acknowledged.

2. Obiettivo
Verificare la capacità di previsione del
comportamento sismico di analisi statiche non
lineari per torri snelle in muratura (confronto
con analisi dinamiche non lineari al passo)
Strutture ad elevata vulnerabilità sismica
Analisi pushover ampiamente riconosciute
soprattutto con riferimento alle verifiche di capacità
delle strutture esistenti
(Ministero per i Beni e le Attività Culturali, 2011;
Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti,
2008, 2009; UNI EN 1998-1:2005).

3. Modello utilizzato
Modello monodimensionale a massa distribuita (modello
continuo) a solo comportamento flessionale
Materiale isotropo elastico non lineare non resistente a
trazione e con limitata resistenza a compressione
Equazione costitutiva, formulata in termini
di caratteristiche della sollecitazione e della
deformazione, appositamente determinata
per sezioni rettangolari cave (torri). Ipotesi:
ε0
1) Si considera solo la componente assiale dello sforzo. ε
2) Ipotesi di Eulero-Bernoulli.
σ0

4. SEZIONE RETTANGOLARE CAVA
σo σo σo σo
T.a. T.a. T.a. T.a.
t N.a.
M s
2
N
x x x
h G G G G x
N.a.
N.a.
b
N.a. y y y
y
Case 1 Case 2 Case 3 Case 4
σo σo σo
T.a.
T.a.
G G G
x x x
T.a.
M >0 y
N.a.
y
N.a.
y
N.a.
Case 5 Case 6 Case 7
σo σo σo
T.a.
T.a.
G x G x G x
N.a. N.a. T.a.
N.a.
y y y
Case 8 Case 9 Case 10
σo σo σo
T.a.
T.a.
T.a. N.a.
G
x G
x G
x
N.a. N.a.
y y y
Case 11 Case 12 Case 13

5. SEZIONE RETTANGOLARE CAVA
2 (ε−εo) 2ε
E10 (h -2t) (h - 2t) E13
E12 2(ε−εo)
h
E9
E11 2ε
E7 E4 h
E8 E3
E6 E5 E2
εo E1 0
'
E1 ε
E'
5
'
E2
' '
E3
E6 E'
8
E'
7 ' - 2ε
E4 h
'
E9 '
E12 E'
11
- 2 (ε−εo)
h
'
E10 '
- 2 (ε−εo)
(h -2t)
- 2ε
(h - 2t)
E13

6. SEZIONE RETTANGOLARE CAVA
m
2
3 (1 − α β ) Ω 12 D Γ2
2
3 − α (2 β + 1 )
2 B G C
3 (1 − α )
Ω 11 Ω8 Ω9
K L
3 Γ1 Γ3
2 (1 − α β ) A
Ω 13 Ω 3 Ω2 Ω 5 Ω 6 Ω 10
(2 + α )(1 − α )
E F
r1 Ω1 r2
Ω7
Ω4
H n
0 (1 − α ) 2 (1 − α ) 2 (1 − α β ) 2 (1 + α − 2 α β ) (α − 4 α β + 3 ) 4 (1 − α β )

7. EQUAZIONI DEL MOTO
• La torre è modellata come una struttura monodimensionale ad asse
rettilineo e sezione cava, con massa distribuita.
2 2
∂ M ∂ v
−m 2 +q=0
∂ x2 ∂t
∂2u ∂ N
m 2− − p=0
∂t ∂x
• Metodo numerico agli elementi finiti implementato nel programma
di calcolo MADY:
- Tre gradi di libertà per ogni nodo.
- Elementi conformi e funzioni di forma di Hermite per il problema
flessionale, funzioni lineari per gli spostamneti assiali.
- Metodo di Newmark e metodo di Newton-Raphson.

8. Modello utilizzato
Il modello è sufficientemente raffinato da rappresentare le
non linearità meccaniche e geometriche proprie di
strutture snelle in muratura ma abbastanza semplice da
consentire lo svolgimento di analisi pushover e di analisi
dinamiche al passo, utilizzate per verificare l'attendibilità
delle prime.
Il comportamento non lineare del materiale viene
considerato in tutte le sezioni (non solo alla base).
Per l'equazione costitutiva usata è garantita l'unicità della
soluzione anche in termini di spostamento.

9. CASO STUDIO
Dati geometrici e valori dei parametri meccanici:
Altezza (H) 35 m
Sezione (b,h) 6mx6m H
Spessore muratura (s,t) 1.6 m
t
Modulo di Young (E) 1500 MPa s h
b
Densità di massa (ρ) 1900 kg/m3
Resistenza a compressione (σo) 1.7 MPa
Smorzamento 2%
Analisi statica non-lineare:
procedura prevista dalle normative italiane ed europee le quali
ripropongono essenzialmente il “Metodo N2” (Fajfar, 2000).

11. Fy∗= 9.78 105 N Γ = 1.538
m* = 7.5 105 kg
k* = 1.474 107 N/m
T* = 1.29 s
uy∗= 0.07 m

12. Say (g) = 0.132
uy∗= 0.07 m

13. CONFRONTO DOMANDA – CAPACITA’
Tb = 0.15s
Tc = 0.5s
T∗ = 1.29s
Td = 2.0s
ud∗= 22.18 cm

14. Ud = 22.18*Γ = 34.1 cm

15. ANALISI DINAMICHE: INPUT UTILIZZATO
Sette terremoti reali selezionati dall’European Strong motion
Database.
Magni- Fault Duration X-dir
Code Earthquake Date Soil tude distance (s) PGA(g) Station
(Km)
0187 Tabas Sept. 16, stiff 7.4 3 63.40 0.925 Tabas
1978
0196 Montenegro Apr. 15, stiff 6.9 12 48.22 0.453 Petrovac-Hotel Oliva
1979
0199 Montenegro Apr. 15, stiff 6.9 12 47.80 0.374 Bar-Skupstina Opstine
1979
0230 Montenegro May 24, stiff 6.2 9 32.52 0.119 Budva-PTT
1979
0291 Campano Lucano Nov. 11, stiff 6.9 13 86.03 0.155 Calitri

16. ANALISI DINAMICHE: INPUT UTILIZZATO
Accelerogrammi compatibili con lo spettro di risposta elastico
dell’EC8, zona 1 e suolo di classe B.
Sa(g) x-Components
4
EC8
mean
3.5
000187
000196
3 000199
000230
2.5 000291
006263
006334
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2
T [s]

17. CONFRONTO ANALISI PUSHOVER E
DINAMICA
Sisma (code) Spost. (m) Volume Volume
fessurato % schiacciato %
187 0.953 71 11
196 0.244 38 5
199 0.299 37 6
230 0.176 22 3
291 0.224 27
crush: 8.9%
4
6263 0.162 65 6
6334 0.173 33 3
media 0.32 42 5
Pushover 0.34 31 5

18. CONFRONTO ANALISI PUSHOVER E DINAMICA
Parametri di danneggiamento globali
Percentuale di volume soggetta a schiacciamento rispetto al volume totale della torre (Cv) vs:
1) il tempo adimensionalizzato t/tu (analisi dinamica)
2) lo spostamento in sommità adimensinalizzato s/su (analisi pushover)
La previsione del danneggiamento globale ottenuto con l'analisi pushover, qualunque sia la
richiesta di spostamento, risulta non conservativa.

19. CONFRONTO ANALISI PUSHOVER E DINAMICA
Parametri di danneggiamento globali
Percentuale di volume soggetta a fessurazione rispetto al volume totale della torre (Fv) vs:
1) il tempo adimensionalizzato t/tu (analisi dinamica)
2) lo spostamento in sommità adimensinalizzato s/su (analisi pushover)

20. ANALISI STATICHE NON LINEARI NON CONVENZIONALI
ANALISI PUSHOVER MULTIMODALI:
- Modal pushover analysis (MPA) (Chopra & Goel, 2002)
- Procedure che utilizzano il contributo pesato di più forme modali per la
definizione del profilo di carico
ANALISI PUSHOVER ADATTIVE:
- Il vettore di carico viene aggiornato ad ogni step dell'analisi in funzione delle
variate caratteristiche dinamiche della struttura.
ANALISI PUSHOVER IN SPOSTAMENTO

21. ANALISI PUSHOVER A CONTROLLO DI SPOSTAMENTO

22. CONCLUSIONI
La procedura statica non lineare suggerita dalle più recenti normative
italiane ed europee viene applicata al caso di torri in muratura isolate.
I risultati ottenuti da un caso studio sembrano suggerire che l'analisi
pushover:
1) fornisce un'accettabile previsione del comportamento sismico della
torre sia in termini di spostamento che di danneggiamento localizzato
nella sezione di base.
2) sottostima l'estensione lungo l'altezza della torre del
danneggiamento (fessurazione e schiacciamento) nonché la sua entità
in queste zone della struttura, a prescindere dalla domanda di
spostamento.
Analisi pushover a forze imposte: Non si ottengono significativi
miglioramenti considerando analisi pushover multimodali o adattive.
Più promettente appare l'utilizzo di analisi pushover a spostamenti
imposti.