Resumex gasl distâncias atualizado

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Resumex gasl distâncias atualizado

  1. 1. Resumex GASL Considerações Básicas Caros alunos, este material, creio eu, pode ajudar e muito no estudo de vocês para a 3ª Prova de GASL a ocorrer no dia 20/10, assim como na possível prova opcional que possam precisar fazer. Meus amigos(as), como eu sempre comento nas minhas aulas de GASL, esta é uma disciplina que depende muito da “visão geométrica” do aluno. Eu vou tentar ao máximo expor figuras para vocês conseguirem visualizar a matéria mas NÃO SE ENGANEM: se vocês não conseguirem ver (mentalmente) o que se passa no exercício ou no problema em questão, as fórmulas aqui presentes terão sua utilidade MUITO REDUZIDA!! Enfim, espero que utilizem bastante e que coloquem todo o conhecimento aqui presente “no sangue”(isso inclui a parte da “visão geométrica” que eu falei acima). Se fizerem isso, EU TENHO CERTEZA que vocês farão uma EXCELENTE prova. Sobre o RESUMEX Quando eu pensei em fazer esse RESUMEX, a ideia era apenas juntar todas as fórmulas numa grande tabela. Depois de refletir melhor, vi que não custava nada colocar algumas explicações. Desta forma, dividi o RESUMEX em duas partes. A primeira é um resumo(óbvio) da matéria que foi dada. Já a segunda parte é a tabela com as fórmulas que eu iria fazer inicialmente. Sem mais rodeios, vamos ao que interessa. Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado
  2. 2. I - Resumo - Distâncias Como veremos a seguir, existem basicamente 6 “tipos de distâncias” (vocês vão entender o que seriam os “tipos de distâncias” =p), a saber: i) PONTO X PONTO; ii) PONTO X RETA; iii) PONTO X PLANO; iv) RETA X RETA: ! a)Retas Concorrentes; ! b)Retas Paralelas; ! c) Retas Reversas. v) RETA PLANO; vi) PLANO X PLANO. Por outro lado, como veremos a seguir, existem apenas 4 fórmulas de distância!! Isso se dá pois em alguns dos casos acima se reduzem a um dos CASOS BÁSICOS. Sem mais delongas, vamos ao primeiro caso! i ) PONTO X PONTO Esse é o caso mais simples de todos. Sem muitos comentários a serem feitos e até a fórmula é intuitiva. Sendo assim, sejam A = (xa,ya,za ) e B = (xb,yb,zb ) pontos do espaço. A distância entre os pontos A e B é dada pela norma do vetor AB   = (xb − xa,yb − ya,zb − za ) , isto é: Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado CASOS BÁSICOS d(A,B) =|| AB   ||= (xb − xa )2 + (yb − ya )2 + (zb − za )2
  3. 3. ! ! Observação: É importante notar o fato óbvio de que a distância entre A e B é a mesma distância entre B e A, isto é, d(A,B) =|| AB   ||=|| BA   ||= d(B,A) . ii) PONTO X RETA Neste caso já há bastante coisa para ser comentada. Primeiramente, seja A = (xa,ya,za ) um ponto do espaço e seja r uma reta que passa por A e tem direção dada pelo vetor  v = (vx ,vy,vz ) . Seja também P(x,y,z) um ponto do plano. Por um lado, temos que a área S do paralelogramo acima é dada por: S = d⋅|| v  || . Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado A B A  v P d
  4. 4. Por outro lado, temos que a área pode ser calculada utilizando o produto vetorial AP   × v  , isto é: S =|| AB   × v  || . Assim, dividindo por || v  || obtemos: Observação: Note que caso o ponto P pertença à reta r , também podemos concluir o fato óbvio de que a distância entre eles é nula através da fórmula acima pois nesse caso AP   × v  = 0 . iii) PONTO X PLANO Este é outro item interessante. Sejam π :ax + by + cz + d = 0 um plano que contém o ponto A = (xa,ya,za ) e seja P(x,y,z) um ponto qualquer do espaço. Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado d = d(P,r) = || AP   × v  || || v  || n  A P π
  5. 5. O desenho acima não facilita muito o entendimento. Vamos mudar a perspectiva. Vamos “olhar” o plano de “perfil”. O desenho fica da seguinte maneira: Com o esboço acima, fica muito mais fácil. Note que o valor da distância d é exatamente o “tamanho”, ou melhor, a norma da projeção do vetor AP   sobre o vetor n  . Assim, temos que: d =|| projn  AP   ||=|| AP   ⋅n  || n  ||2 v  ||= | AP   ⋅n  |⋅|| n  || || n  ||2 = | AP   ⋅n  | || n  || Note agora que AP   ⋅n  = ax + by + cz + d . Já sei o que você está pensando agora: Professor, não entendi de onde você tirou essa equação não!! Peraí rapaz! Vamos explicar com mais calma então. Nós sabemos que o ponto A = (xa,ya,za ) pertence ao plano π . Assim, temos que este ponto deve satisfazer a equação do plano, isto é, temos que: axa + bya + cza + d = 0 Vamos fazer AP   ⋅n  ? AP   ⋅n  = (x − xa )a + (y − ya )b + (z − za )c = ax + by + cz − axa − bya − cza E aí? Já entendeu né? Aposto que sim! Juntando as equações acima obtemos que AP   ⋅n  = ax + by + cz + d , ou seja Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado π A P AP   d n  d = d(P,π ) = | ax + by + cz + d | || n  ||
  6. 6. iv) RETA X RETA Neste caso, temos 3 casos possíveis. Desses 3 casos, veremos que 1 é óbvio, e outro recai sobre o caso (ii) estudado anteriormente. Vamos aos casos: a)Retas concorrentes: Se as retas são concorrentes, elas tem um ponto em comum e consequentemente a distância entre elas é ZERO! b) Retas Paralelas: Se as retas são paralelas, então a distância entre elas é a mesma distância entre um ponto de uma delas até a outra reta. Assim, recaímos sobre o caso (ii) estudado anteriormente (Distância PONTO X RETA). c) Retas Reversas: Se as retas são reversas teremos que nos virar com nosso super conhecimento de geometria. Vamos lá! Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado dddd
  7. 7. No paralelogramo acima temos duas retas reversas r1 e r2 que passam pelos pontos A(xa,ya,za ) e B(xb,yb,zb ) e possuem vetores diretores v1  e v2  respectivamente. A ideia aqui é parecida com a ideia do item (ii). Por um lado, temos que o volume do paralelogramo acima é dado pelo produto misto dos vetores AB   , v1  e v2  , isto é: V =| v1  ,v2  ,AB   ( )| . Por outro lado, temos que o volume de um paralelogramo é ! ! V=ÁREA DA BASE X ALTURA. Assim, temos que: V = AREA⋅ ALTURA =|| v1  × v2  ||⋅d . Como estamos assumindo que as retas são reversas, temos que estas não podem ser paralelas. Logo, || v1  × v2  ||≠ 0 e dividindo obtemos: Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado d = d(r1,r2 ) = | (v1  ,v2  ,AB   )| || v1  × v  2 || AB   v1  v1  v1 A B d v2  v2 v2  v2  v1  AB  
  8. 8. Observações: i) Se as retas forem concorrentes, a fórmula acima também nos diz que a distância é ZERO. ii) Um bom “primeiro passo” para obter a distância entre duas retas é calcular || v1  × v2  || . Se o resultado for nulo, já sabemos que as retas são paralelas e basta aplicar a fórmula obtida em (ii). Caso contrário aplicamos a fórmula acima. v) RETA X PLANO Caro aluno, aqui vou ter que foçar você a utilizar sua “visão geométrica” ok? Vou fazer isso por dois motivos. O primeiro é que faz bem para o cérebro e consequentemente para a sua nota. O segundo é que fica muito difícil desenhar no computador. Quero que faça o seguinte exercício mental. Pense em um plano no espaço. Pensou? Ok, então agora pensa em uma reta que não cruza esse plano! Pensou? Pergunta para você: Qual a posição relativa entre a reta e o plano? EXATAMENTE! Eles são paralelos!! Neste caso, a distância entre eles recai no item (iii). E se a reta cruzar o plano? Aí é mais fácil ainda, eles têm um ponto em comum e consequentemente a distância é ZERO!! Vamos esquematizar? Observações: i) O ponto P na equação acima pode ser qualquer ponto da RETA em questão. Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado Situação Distância Sem intersecão, ou seja, reta paralela ao plano. v  ⋅n  = 0 d = d(P,π) = | ax + by + cz + d | || n  || Com interseção, ou seja, a reta e o plano têm um ponto em comum. v  ⋅n  ≠ 0 d = 0
  9. 9. ii) Para saber se a reta é ou não paralela ao plano basta calcular o PRODUTO ESCALAR entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta. Se o resultado for zero, então os vetores são ortogonais e consequentemente a reta e o plano são paralelos. Caso contrário eles têm um ponto em comum e consequentemente a distância é zero! vi) PLANO X PLANO Esse caso é semelhante ao anterior. Novamente, vou forçar sua intuição geométrica. Vamos lá! Quero que você pense em um plano π1 no espaço. Pensou? Ok, então agora pensa em um outro plano π2 que NÃO cruze este. Qual a posição relativa entre eles? EXATAMENTE! Eles são paralelos! Neste caso, recaimos novamente sobre o item (iii). Se os planos se cruzarem, então eles tem uma infinidade de pontos em comum (uma reta na verdade...). Logo, a distância será ZERO! Vamos esquematizar? Observações: i) O ponto P1 na equação acima pode ser qualquer ponto do plano π1 . ii) Para saber se dois planos são paralelos, basta verificar se os vetores diretores são múltiplos, isto é, se n1  = αn2  . No caso afirmativo, os planos são paralelos. Por outro lado, se n1  ≠ αn2  , então os planos se cruzam e portanto a distância é ZERO!! Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado Situação Distância Sem intersecão, ou seja, planos paralelos. n1  = αn2  d = d(P1,π2 ) = | a2x + b2y + c2z + d | || n2  || Com interseção, ou seja, os planos se cruzam formando uma reta. n1  ≠ αn2  d = 0
  10. 10. II - Fórmulas Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado Situação Fórmula PONTO X PONTO d(A,B) =|| AB   ||= (xb − xa )2 + (yb − ya )2 + (zb − za )2 PONTO X RETA d = d(P,r) = || AP   × v  || || v  || PONTO X PLANO d = d(P,π ) = | ax + by + cz + d | || n  || RETA X RETA i) Retas Concorrentes d = 0 ii) Retas Paralelas (Recai no caso PONTO X RETA) d = d(P1,r2 ) = || A2P1   × v  2 || || v  2 || iii) Retas Reversas d = d(r1,r2 ) = | (v1  ,v2  ,AB   )| || v1  × v  2 || RETA X PLANO i) Reta Tocando o Plano d = 0 ii) Reta Paralela ao Plano (Recai no caso PONTO X PLANO) d = d(Pr ,π ) = | axr + byr + czr + d | || n  || PLANO X PLANO i) Planos NÃO paralelos d = 0 ii) Planos Paralelos (Recai no caso PONTO X PLANO) d = d(P1,π2 ) = | a2x1 + b2y1 + c2z1 + d | || n1  ||
  11. 11. Palavras Finais Pessoal, decidi por fazer dois arquivos separados. Um para distâncias e outro para a parte das cônicas. Vou fazer isto pois vou não sei quando vai ficar pronta a outra parte (a princípio a previsão é para o dia 15/10 mas pode ser antecipado) e assim vocês já podem ir revisando a matéria. Espero que gostem e que façam bom proveito. Podem ter certeza de que vou ficar muito satisfeito se este material ajudar na sua aprovação. Como eu não tenho um editor que revisa tudo, é possível que encontrem erros d e d i g i t a ç ã o . S e n d o a s s i m , p e ç o q u e m e e n c a m i n h e m u m e m a i l (andre.maldonado@ufjf.edu.br) avisando, assim como para possíveis elogios, críticas e sugestões. Resumex GASL - Distâncias Prof: André Desiderio Maldonado

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