ACRÓNIMO DE PARÍS PARA SU OLIMPIADA 2024. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
3054
1. 1. Para resolver un límite con ayuda de la gráfica de la función hay que fijarse hacia donde tienden
las imágenes de la función (los valores de y) cuando los valores de x se aproximan hacia el punto donde
quiere calcularse el límite.
a)
2
3
)x(fLím
x
−=
−∞→
b) −∞=
∞→
)x(fLím
x
c) +∞=
−
−→
)x(fLím
2x
d) −∞=
+
−→
)x(fLím
2x
e) 1)x(fLím
0x
=
−
→
f) 2)x(fLím
0x
=
+
→
g) 3)x(fLím
2x
=
−
→
h) 3)x(fLím
2x
=
+
→
La condición para que una función tenga límite en un punto es que en ese punto existan sus
límites laterales y además coincidan.
i) ∃/=
−→
)x(fLím
2x
Porque )x(fLím)x(fLím
2x2x +−
−→−→
≠
j) 3)x(fLím
2x
=
→
Porque 3)x(fLím)x(fLím
2x2x
==
+−
→→
k) ∃/=
→
)x(fLím
0x
Porque )x(fLím)x(fLím
0x0x +−
−→−→
≠
2. Calcula el límite de las siguientes funciones:
a)
( ) ( )
( )
?
1xx
2x31x2
lím
22
23
x
=
∞
∞
=
+
++
∞→
La indeterminación se resuelve ordenando los polinomios y
simplificando todos los términos por x5
(monomio de mayor grado del denominador)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) =
++
++⋅+++
=
+
++
∞→∞→ 1x2xx
4x12x91x6x12x8
lím
1xx
2x31x2
lím
24
223
x22
23
x
2. =
++
+++++
=
++
+++++
=
∞→÷∞→
42
5432
xx
35
2345
x
x
1
x
2
1
x
4
x
36
x
129
x
230
x
204
72
lím
xx2x
4x36x129x230x204x72
lím
5
72
001
0000072
12
1
436129230204
72
42
5432
=
++
+++++
=
∞
+
∞
+
∞
+
∞
+
∞
+
∞
+
∞
+
=
b) ?
1x
x
1x
x
lím
2
32
x
=∞−∞=
+
−
+∞→
Se restan las fracciones algebraicas y se transforma en
∞
∞
.
( ) ( )
( ) ( ) ?
1xxx
xx
lím
1xxx
xxxx
lím
1x1x
1xx1xx
lím
1x
x
1x
x
lím
23
32
x23
3424
x2
322
x2
32
x
=
∞
∞
=
+++
−
=
+++
−−+
=
+⋅+
+−+
=
+
−
+ ∞→∞→∞→∞→
Se dividen todos los términos por x3
(monomio de mayor grado del denominador).
1
0001
10
111
1
1
1
x
1
x
1
x
1
1
1
x
1
lím
1xxx
xx
lím
3232
x
x
23
32
x
3
−=
+++
−
=
∞
+
∞
+
∞
+
−
∞=
+++
−
=
+++
−
∞→
÷
∞→
c) ?
xx
1x2
lím
3 2x
=
∞
∞
=
+
−
∞→
Se dividen todos los términos por x (monomio de mayor grado del
denominador).
<= xxx 3
23 2
2
01
02
1
1
1
2
x
1
1
x
1
2
lím
x
x
1
x
1
2
lím
x
x
1
x
1
2
lím
xx
1x2
lím
3
33
x
3
3
2x3 2x
x
3 2x
=
+
−
=
∞
+
∞
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
∞→∞→∞→
÷
∞→
d) ( ) ( )( ) ?5x5²xlím5x5²xlím
xx
=∞−∞=−−−=+−−
∞→∞→
Se multiplica y divide por el
conjugado de la expresión irracional, buscando en el numerador la expresión notable suma × diferencia.
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
=
−+−
−−
−
=
−+−
−+−
−−−
=−−−
∞→∞→∞→
5x5x
5x5x
lím
5x5x
5x5x5x5x
lím5x5²xlím
2
2
2
2
x2
22
xx
( )
( )
=
−+
−
−
=
−+
−
−
=
−+−
−
=
−+−
+−−−
=
∞→∞→
∞
∞
÷∞→∞→
x
5
1
x
5x
x
30
10
lím
x
5
1
x
5x
x
30
10
lím
5x5x
30x10
lím
5x5x
25x10x5x
lím
2
2x2xx2x2
22
x
5
2
10
0101
010
5
1
5
1
30
10
x
5
1
x
5
1
x
30
10
lím
22
x
==
−+−
−
=
∞
−+
∞
−
∞
−
=
−+−
−
=
∞→
e) ( ) ?xxxlímx1xxlímx1x·xlím 224
x
222
x
2
x
=∞−∞=
−+=
−+=
−+
∞→∞→∞→
Se multiplica y divide por el conjugado de la expresión irracional, buscando en el numerador la
expresión notable suma × diferencia.
3. ( )
=
++
−
+
=
++
++⋅
−+
=
−+
∞→∞→∞→ 224
22
2
24
x224
224224
x
224
x
xxx
xxx
lím
xxx
xxxxxx
límxxxlím
=
+
+
=
+
+
=
++
=
++
−+
=
∞→∞→
∞
∞
÷∞→∞→
1
x
xx
1
lím
1
x
xx
1
lím
xxx
x
lím
xxx
xxx
lím
4
24x
2
24xx224
2
x224
424
x 2
2
1
101
1
1
1
1
1
1
x
1
1
1
lím
22
x
=
++
=
+
∞
+
=
++
=
∞→
f) ?xx2x3xlím 22
x
=∞−∞=
−−−−
∞→
Se multiplica y divide por el conjugado de la
expresión irracional, buscando en el numerador la expresión notable suma × diferencia.
=
−+−−
−+−−⋅
−−−−
=
−−−−
∞→∞→
xx2x3x
xx2x3xxx2x3x
límxx2x3xlím
22
2222
x
22
x
( ) =
−+−−
−−−−
=
−+−−
−−
−−
=
∞→∞→
xx2x3x
xx2x3x
lím
xx2x3x
xx2x3x
lím
22
22
x22
2
2
2
2
x
=
−
+
−−
−−
=
−
+
−−
−−
=
−+−−
−−
=
∞→∞→
∞
∞
÷∞→
2
2
2
2x22xx22x
x
xx
x
2x3x
x
2
2
lím
x
xx
x
2x3x
x
2
2
lím
xx2x3x
2x2
lím
1
2
2
01001
02
1
1
23
1
2
2
x
1
1
x
2
x
3
1
x
2
2
lím
22
x
−=
−
=
−+−−
−−
=
∞
−+
∞
−
∞
−
∞
−−
=
−+−−
−−
=
∞→
g) ?1
1x
1x
lím
2
x
3
3
x
==
+
− ∞
∞→
La indeterminación se resuelve mediante el número e.
( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )( )1xfxgLím
xx
xxxg
xx
oxx
o
o
o
e
xgLím
1xfLím
xfLím
−⋅
→
→
→
→
=
±∞=
=
=
( )
====
+
−
+
−−−
⋅
+
+⋅−−
⋅
−
+
−
⋅
∞→
∞→∞→∞→ 1x
1x1x
xlím
1x
1x11x
xlím1
1x
1x
xlímx
3
3
x
3
33
2
x3
33
2
x3
3
2
x
2
eee
1x
1x
lím
1eeeeee 001
01
1
2
x
1
1
x
2
lím
x
1x
x2
lím
1x
2
xlím
33
x
3
3
2
x3
2
x
======= +∞
+
∞
−
+
−
∞
∞
÷
+
−
+
− ∞→
∞→∞→
4. h) ?1
1x
1xx
lím
x
1x
2
2
x
2
==
+
++ ∞
+
∞→
Indeterminación del número e.
( )
====
+
++
+
⋅
+
+
+⋅−++
⋅
+
−
+
++
⋅
++
∞→
∞→∞→∞→ 1x
x
x
1x
lím
1x
1x11xx
x
1x
lím1
1x
1xx
x
1x
lím
x
1x
2
2
x
2
2
x2
222
x2
22
x
2
eee
1x
1xx
lím
eee 1
1lím
x === ∞→
i) ?1
5x
x2x
lím
1x2
2
2
x
==
+
− ∞−
−
−∞→
Indeterminación del número e.
( ) ( ) ( ) ( )
====
+
−
+
−−
⋅−
+
+⋅−−
⋅−
−
+
−
⋅−−
−∞→
−∞→−∞→−∞→
5x
6x2
1x2lím
5x
5x1x2x
1x2lím1
5x
x2x
1x2lím1x2
2
2
x
2x
2
22
x2
2
x
eee
5x
x2x
lím
( )
( ) 401
0045
1
610
4
x
5
1
x
6
x
10
4
lím
x
5x
6x10x4
lím
eeeee
2
2
2
2
x
2
2
2
x −+
+−−
∞−
+
∞−
+
∞−
−−
+
+−−
÷
+
+−−
====
−∞→
−∞→
3. Calcula el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a menos infinito:
a) ( ) ( ) +∞=−∞⋅−=∞−−=−+−
−∞→
331x2x3lím 33
x
Los límites de polinomios cuando la variable
tiende a infinito solo dependen del monomio de mayor grado
b) ?1
x2
1x2
lím
2x3
x
==
+ ∞−
−
−∞→
Se resuelve con el número e.
( ) ( )
======
+
∞−
−−
÷
−
⋅−
−
+
⋅−−
−∞→
−∞→−∞→−∞→−∞→ 2
2
3
2
x
2
3
lím
x
x2
2x3
lím
x2
1
2x3lím1
x2
1x2
2x3lím2x3
x
eeeee
x2
1x2
lím xxxx
2
3
2
03
ee ==
+
c) ?2xx2xlím 22
x
=∞−∞=−−+
−∞→
Se multiplica y divide por el conjugado de la
expresión irracional, buscando en el numerador la expresión notable suma × diferencia.
=
−++
−++⋅
−−+
=−−+
−∞→−∞→
2xx2x
2xx2x2xx2x
lím2xx2xlím
22
2222
x
22
x
( )
∞
∞−
÷−∞→−∞→−∞→
=
−++
−
=
−++
−−+
=
−++
−−
+
=
x22x22
22
x22
2
2
2
2
x
2xx2x
2x2
lím
2xx2x
2xx2x
lím
2xx2x
2xx2x
lím
=
−++
−
=
−
+
+
−
=
−
+
+
−
=
−∞→−∞→−∞→
2
x
2
2
2
2x22x
x
2
1
x
2
1
x
2
2
lím
x
2x
x
x2x
x
2
2
lím
x
2x
x
x2x
x
2
2
lím
5. ( )
1
2
2
0101
02
2
1
2
1
2
2
2
==
−+−
+
=
∞−
−+
∞−
+
∞−
−
=
4. Calcula el límite cuando x→±∞ de las siguientes funciones:
a) ?
3x
x3
1x
x
Lím
2
2
3
x
=∞−∞=
−
−
++∞→
Se restan las fracciones algebraicas y se transforma en
∞
∞
.
( ) ( )
( ) ( )
∞
∞
÷+∞→+∞→+∞→
=
−+−
−−−
=
−⋅+
+⋅−−⋅
=
−
−
+ 3
x
23
234
x2
223
x
2
2
3
x 3xx3x
x3x3x2
Lím
3x1x
1xx33xx
Lím
3x
x3
1x
x
Lím
−∞=
−+−
−−∞−
=
∞
−
∞
+
∞
−
∞
−−∞⋅−
=
−+−
−−−
=
+∞→ 0001
03
313
1
3
32
x
3
x
1
x
3
1
x
3
3x2
Lím
3232
x
( ) ( )
( ) ( )
∞
∞
÷−∞→−∞→−∞→
=
−+−
−−−
=
−⋅+
+⋅−−⋅
=
−
−
+ 3
x
23
234
x2
223
x
2
2
3
x 3xx3x
x3x3x2
Lím
3x1x
1xx33xx
Lím
3x
x3
1x
x
Lím
( )
( ) ( )
+∞=
+++
+−∞
=
∞−
−
∞−
+
∞−
−
∞−
−−∞−⋅−
=
−+−
−−−
=
−∞→ 0001
03
313
1
3
32
x
3
x
1
x
3
1
x
3
3x2
Lím
3232
x
b) ∞=
=
=
∞
∞→∞→ 4
5
4
5
Lím
4
5
Lím
x
xx
x
x
0
4
5
4
5
Lím
4
5
Lím
x
xx
x
x
=
=
=
−∞
−∞→−∞→
c) =
−
+
=
−
+
==
−
+
=
−
+
∞→±∞→
∞
∞
÷±∞→±∞→
4
4
x
2
2
xx
2
2
x2
2
x
x
x2
1
x
x2
1
Lím
x
x2
1
x
x2
1
Lím
x2x
x2x
Lím
x2x
x2x
Lím
2
( )
( )
1
01
01
2
1
2
1
x
2
1
x
2
1
Lím
3
3
3
3
x
=
−
+
=
∞±
−
∞±
+
=
−
+
=
±∞→
5. Calcula m con la condición:
6
4²x
)3x2)(mx1(
lím
x
=
−
+−
−∞→
Solución.
Se calcula el límite en función del parámetro (m), y se iguala con el valor del límite.
( )
( )
=
−
+
−
+−
=
−
+−+−
=
−
+−
−∞→
∞
∞
÷−∞→−∞→
2
2
xx
2
2
xx
x
4
1
x
3
x
m32
m2
lím
4x
3xm32mx2
lím
4²x
)3x2)(mx1(
lím
2
6. ( )
m2
01
00m2
4
1
3m32
m2
2
2
−=
−
++−
=
∞
−
∞
+
∞
−
+−
=
3
2
6
m:6m2 −=
−
==−
6. Dada
x4²x
8x6²x2
)x(f
−
−−
= , calcula su límite:
a) Cuando x tiende a 1
b) Cuando x tiende a 0
c) Cuando x tiende a 4
Solución.
a) 4
3
12
14²1
816²12
x4²x
8x6²x2
Lím
1x
=
−
−
=
⋅−
−⋅−⋅
=
−
−−
→
b) −∞=
−
=
⋅−
−⋅−⋅
=
−
−−
→ 0
8
04²0
806²02
x4²x
8x6²x2
Lím
0x
. Si al sustituir x por el valor al que tiende queda
la expresión
0
k
, se estudian los límites laterales.
Mi consejo para calcular los límites laterales es factorizar el denominador, y solo sustituir x por
los valores laterales en la x del factor del denominador que se este anulando.
•
( ) ( )
∞−
−
=
⋅−
−
=
⋅−
−⋅−⋅
=
−
−−
+−−
→ −
0
8
04
8
040
806²02
x4x
8x6²x2
Lím
0x
•
( ) ( )
∞+
−
=
⋅−
−
=
⋅−
−⋅−⋅
=
−
−−
−++
→ +
0
8
04
8
040
806²02
x4x
8x6²x2
Lím
0x
Conclusión: Como lo límites laterales son distintos, no existe límite cuando x tiende a cero
c) ?
0
0
44²4
846²42
x4²x
8x6²x2
Lím
4x
==
⋅−
−⋅−⋅
=
−
−−
→
. La indeterminación se resuelve descomponiendo
numerador y denominador factorialmente, y eliminando el factor común. La descomposición se puede
hacer por el método de Ruffini, mediante el empleo de expresiones notables o en el caso de polinomios de
segundo grado o bicuadradas por su método. Mi consejo es hacerlo por Ruffini, dividiendo siempre por
el valor al que tiende la variable.
( ) ( )
( )
( )
2
5
4
10
x
2x2
Lím
4xx
4x2x2
Lím
x4x
8x6x2
Lím
4x4x2
2
4x
==
+
=
−⋅
−⋅+
=
−
−−
→→→
7. Calcula el límite de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a)
6x5x
4x
Lim
2
2
2x +−
−
→
b)
3x2x
1x
Lim
2
2
1x −−
−
−→
c)
4x
2x3x
Lím
2
3
2x −
−−
→
d)
x1
)x2(x
Lím
2
1x +
++
−→
e)
8x4x2x
8x12x6x
lím
23
23
2x +−−
+++
−→
f)
2x4x
8x
Lím
2
3
2x ++
+
−→
Solución.
a)
( ) ( )
( ) ( )
4
1
4
3x
2x
Lim
2x3x
2x2x
Lim
6x5x
4x
Lim
2x2x
0
0
Ruffini2
2
2x
−=
−
=
−
+
=
−⋅−
−⋅+
=
+−
−
→→→