Este documento presenta tres problemas resueltos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales. El primer problema resuelve un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden para ángulos de oscilación. El segundo problema resuelve otro sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden para la posición. El tercer problema resuelve un circuito RC con una fuente de voltaje escalón unitario modelado como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.
1. UNIVERSIDAD AUTONOMA
DE QUERETARO
FACULTAD DE INFORMATICA
ING. EN
TELECOMUNICACIONES
Ecuaciones diferenciales
Proyecto Final
“Sistemas de ecuaciones diferenciales”
PROFESOR: Dr. Saúl Tovar Arriaga
ALUMNOS:
LUIS ANGEL REYES CRUZ Exp. 163986
ALEJANDRO URIBE GARCÍA Exp. 215484
FECHA: 10/12/12
2. Problema 1
Sustituimos los valores que nos da el problema
′′ ′′
(1.5 + 3)(18)2 𝜃1 + 1.5(18)2 𝜃2 + (1.5 + 3)(18)(9.8)𝜃1 = 0
′′ ′′
1.5(18)2 𝜃1 + 1.5(18)2 𝜃2 + (1.5)(18)(9.8)𝜃2 = 0
Aplicamos transformada de Laplace a las dos ecuaciones y sustituimos valores iniciales
972𝑠:486𝑠2 𝜃2 (𝑠)
𝜃1 (𝑠) = 1458𝑠2 :793.8
Ecuación 3
;486𝑠2 𝜃 (𝑠)
1
𝜃2 (𝑠) = 486𝑠2 :264.6 Ecuación 4
Sustituyendo 4 en 3 y despejando 𝜃1 (𝑠)
10. Despejamos Q(s)
50𝑒 ;(𝑠:1) − 𝑄(𝑠)
𝑄(𝑠) =
(𝑠 + 1)2
Obtenemos nuestra ecuación 5 donde ya podemos aplicar transformada inversa de Laplace
50𝑒 ;(𝑠:1)
𝑄(𝑠) =
(𝑠 + 1)2 + 1
Aplicamos la inversa del teorema de traslación en el eje s y t al mismo tiempo.
𝑞(𝑡) = 50𝑒 ;𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 1)𝑈(𝑡 − 1)
Este resultado lo podemos expresar de la siguiente manera
0,0 ≤ 𝑡 < 1
𝑞(𝑡) = {
50𝑒 ;𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 1), 𝑡 ≥ 1
Sustituimos nuestra ecuación 5 en 4
50𝑒 ;(𝑠:1)
(𝑠 + 1)2 + 1
𝐼3 (𝑠) =
(𝑠 + 1)
50𝑒 ;(𝑠:1)
𝐼3 (𝑠) =
(𝑠 + 1)2 + (𝑠 + 1)
Para poder aplicar la inversa de los dos teoremas como con 𝑄(𝑠) vamos a expresar nuestra
ecuación de otra forma.
50𝑒 ;(𝑠:1)
𝐼3 (𝑠) =
(𝑠 + 1),(𝑠 + 1)2 + 1-
Aplicamos los teoremas inversos
𝑖3 (𝑠) = 50𝑒 ;𝑡 ,1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 1)-𝑈(𝑡 − 1)
Al igual que𝑄(𝑠), 𝑖3 (𝑠) se puede expresar de la siguiente manera:
0,0 ≤ 𝑡 < 1
𝑞(𝑡) = {
50𝑒 ;𝑡 ,1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡 − 1)-, 𝑡 ≥ 1