Nueva versión-Problema 8 (p. 203) del libro de Elon Lages Lima para la Maestría PUCP

1. PROBLEMA 8 (p. 203). Observaciones a lo largo del tiempo muestran que,
después de períodos de la misma duración, la población de la Tierra queda
multiplicada por el mismo factor. Sabiendo que esa población era de 2,68 billones
en 1956 y 3,78 billones en 1972, se pide:
(a) El tiempo necesario para que la población de la Tierra duplique su valor.
(b) La población de la tierra para el año 2012
(c) ¿En qué año la población de la tierra era de un billón?
Para resolver las tres partes de este problema es necesario escribir el
modelo matemático del fenómeno que se observa. Tomando como “año 0” a 1956
y como “año 16” a 1972 podemos observar que:
A 0 años ------> 2,68 (billones de habitantes. En lo sucesivo esto se dará por
sobreentendido)
A 16 años --- 3,78
Ello equivale a poner en correspondencia funcional a los términos de una
progresión aritmética (que conforman el conjunto de valores de la variable
independiente) con una progresión geométrica (elementos del conjunto de valores
de la variable dependiente). Es decir:
𝑥1 → 𝑦1 = 𝑓( 𝑥1)
𝑥2 → 𝑦2 = 𝑓( 𝑥2),…
𝑥 𝑛 → 𝑦 𝑛 = 𝑓( 𝑥 𝑛)
Ahora es cuando emplearemos el teorema de la página 177 del libro:
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂: 𝑺𝒆𝒂 𝒇: ℝ → ℝ+
una función monótona inyectiva (esto es, creciente o
decreciente) que transforma toda progresión aritmética x1, x2,…, xn,… en una
progresión geométrica y1, y2,…, yn = f(xn). Si ponemos b = f(0) y a = f(1)/f(0)
tendremos f(x) = bax para todo 𝒙𝝐ℝ.
Es claro que f(0) = 2,68 = b. Para el cálculo a, es decir, de f(1), debemos
recordar que la población de la Tierra en cada año describe los términos de una
progresión geométrica. Luego, de la ecuación a16 = a0.r16 tenemos r = 1,06. De
esta forma, la función exponencial que describe el crecimiento poblacional de la
Tierra es:
f(x) = 2,68(1,02)x, donde x representa el número de años transcurridos.

2. Con la función en la mano, podemos resolver cada una de las partes del
problema:
(a) La ecuación que representa las condiciones del problema es la
siguiente:
2,68(1.02) 𝑥
= 2(2,68)
𝑥 =
𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔1,02
𝑥 = 35
La población del planeta se duplicó en 35 años a partir de 1956. Es decir,
esto debió ocurrir en 1991.
(b) Determinar la población de la Tierra en el año 2012, significa determinar
el valor de la función cuando x = 56.
2,68(1.02)56
≈ 8,12 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠
(c) Se trata de resolver la ecuación
2,68(1.02) 𝑥
= 1
𝑥 = −49,78 ≈ −50
La Tierra tuvo 1 billón de habitantes 50 años antes de 1956, es decir,
en 1906.