"EL MARAVILLOSO MUNDO DE LA MATEMÁTICA"

1. TRIGONOMETRIA
La Trigonometría constituye el quinto y último nivel de Matemáticas en los
estudios secundarios; su objeto es la medición de los ángulos y lados de un
triángulo rectángulo inscrito o circunscrito en una circunferencia en cuyo
centro se ha construido un sistema de coordenadas cartesianas, con el
propósito de establecer las funciones trigonométricas en base a las relaciones
entre lados y ángulos del triángulo rectángulo en c/u de los cuadrantes, cuya
aplicación representa uno de los avances más notables del pensamiento
matemático.
A continuación veremos: - EL ANGULO TRIGONOMÉTRICO
- SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
- PRACTICA CALIFICADA
Prof. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO
AREA MATEMÁTICA

2. INTRODUCCION
Se aplica para medir los desniveles de los terrenos y con la ayuda de la
TOPOGRAFIA se encuentran los ángulos, para hacer planos horizontales para la
Construcción civil. Asimismo, los aviones, cohetes, balas tienen un ángulo de
salida para llegar al destino, los ingenieros hacen los cálculos necesarios para
encontrar el ángulo adecuado. También se usa en la recreación, en el deporte
como el Windsurfing, etc.
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
 ) POSITIVO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN. B
SENTIDO DE GIRO HORARIO
O )
A
OA : LADO INICIAL ) NEGATIVO
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE

4. MEDICION DE ANGULOS
Los ángulos pueden ser
medidos con un
instrumento llamado
TRANSPORTADOR.
ANGULO DE UNA VUELTA
Se genera por la rotación
completa de un rayo; es
decir que el Lado Inicial
coincide con el Lado
Final. Lado Final B
Así: < AOB = 360º
Ejercicios
Graficar ángulos utilizando el transportador:
a) < PQR = 65º b) < A = - 125º c) < M = 400º d) < T = ½ vuelta
d) < D = - 1 130 e) < C = ¾ vuelta f) < S = 155º g) < B = 105º

5. Los sistemas de medición fueron inventados para medir con exactitud y precisión
los ángulos, recogiendo los datos, para calcular y procesar la información tomada
de los hechos. Los sistemas más conocidos son tres:
1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLES): S
2.- SISTEMA CENTESIMAL ( FRANCES). C
3.- SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL): R
Siendo el primer sistema mas utilizado, por su aplicación en la
Ingeniería, topografía y navegación.
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

6. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
GRADO :1 o MINUTO : 1 ' SEGUNDO : 1 "
EQUIVALENCIAS
1  60 1  60 1  3600
o ' ' " o "
1vuelta= 360
o
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

7. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar
en grados, minutos y segundos
A B' C''  A  B ' C ''
o o
Los números de y C deben ser menores de 60
Para convertir B grados a segundos se multiplica por 3600
RELACIONESdede minutos a segundos se multiplica por 60
Para convertir DE CONVERSIÓN
Para convertir
grados a minutos se multiplica por 60
x 3600
x 60
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600
x 60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 60 : 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
: 3600
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

8. EJEMPLO :   20 36 ' 45 ''
o
EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES
  20  36  45
o ' ''
36 45
o o
3o 1o
  20 
o
  20o  
60 3600 5 80
1649o 60 y
Al número 36 se le divide entre

CONCLUSIÓN: 45 se le divide entre 3600
Al número 80
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

9. EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su
número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato : 60S  2S  155 62S  155
155 5(31) 5
S  S
62 2(31) 2
5º 4º 60 '
El ángulo mide :   2º 30 '
2 2

10. ¿ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

11. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
2.- SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
GRADO : 1
g
MINUTO : 1
m
SEGUNDO : 1 s
EQUIVALENCIAS
1  100 1  100 1  10000
g m m s g s
1vuelta= 400 g
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

12. En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en
grados, minutos y segundos
C A  B C
g m s
A B g m s
Los números de y C deben ser menores de 100
Para convertir B grados a segundos se multiplica por 10000
RELACIONES DEminutos a segundos se multiplica por 100
Para convertir de de CONVERSIÓN
Para convertir grados a minutos se multiplica por 100
x 10 000
x 100
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000
x 100
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 100 : 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
: 10 000
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

13. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS
y SEGUNDOS
SABES QUE :
9º  10g SABES QUE :
NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES 200g
SABEMOS QUE 180º
9º  10 g g = C
9(1º )  10(1 ) 9(1º n ) = )
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES )( 10(1 100C
g
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
' 9º CENTESIMALES 10(10000S ) 000C
 109(3600'' )  ( q ) = 10
g
NÚMERO DE SEGUNDOS 10(100m )
9(60 ) 
RELACIÓN ENTRE LOS 50
81''  250s
27  SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
' m
CENTESIMAL
9 O  10g 27'  50m 81"  250s
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
S C m n p q
  
9 10 27 50 81 250

14. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
3.- SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
R
MEDIDA ES EL
RADIÁN. R
UN RADIÁN ES LA
.
.
)1rad
MEDIDA DEL R
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA 1vuelta  2rad
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL
1rad  57 17 45
o ' ''
AL RADIO.

15. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
180  200  rad
0 g
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
A)  540
EL rad DE 3 VUELTA
SABES QUEO ÁNGULO  UNA 
54  o  
rad
 180   400  2rad
360º 10
MIDE : g
B)  125 g
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
 rad  5
125  
g
g 
rad
 200  8

16. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL
2 2(180o )
A)
3
rad ...........  120 o
3
B)70 ................. 70 
9  g
o
 63
g o
g 
 10 
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL
3 3(200g )
A) rad ........... 150g
4 4
o  10 
g
B)27 ................ 27  o   30g
o
 9 

17. FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES rad
A RADIANES 180 o
DE GRADOS SEXAGESIMALES 10 g
A CENTESIMALES
9 o
DE GRADOS CENTESIMALES rad
A RADIANES
200 g
DE GRADOS CENTESIMALES 9 o
A SEXAGESIMALES
10 g
DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES rad  180 o
rad  200 g
DE RADIANES A GRADOS
CENTESIMALES

18. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR
FAVOR

19. FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S C R
 
180 200 
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S  2C   37

SOLUCIÓN
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN

20. S C R S  180k
   K R  k
180 200  C  200k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8(k)
3(180k)  2(200k)   37,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

148k  37
1
k 
4
 1 
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R    
4 4
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA
DE LA SIGUIENTE MANERA
S  9k
S C 20R
  C  10k
9 10  k
R 
20

21. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 90o  100g  rad
2
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180O  200g  rad
SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO
SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S
CENTESIMAL C 100 - C 200 - C

RADIAL R  R R
2
* EQUIVALENCIAS USUALES:
  
rad  60 o rad  45 o rad  30 o
3 4 6

22. EJERCICIOS

1. CALCULAR :
45º  rad
E 12
50g  33º
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los
valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA
SEXAGESIMAL
 180º 9º
rad   15º ; 50 ( g )  45º
g
12 12 10
Reemplazamos en E
45º 15º 60º
E   5
45º 33º 12º

23. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que : S C
 =K S = 9K y C = 10K
9 10
Dato : S + 3C = 78
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2
El número de radianes es :
k 2 
R R 
20 20 10

24. 3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad  180
B ) El complemento de 30g es 70g
24º 2º
C)  g
36 g
3
D ) Los ángulos interiores de un triángulo
suman rad
E )   180º
F) 1º  1 g
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al
90% de su número de grados centesimales

25. PRACTICA CALIFICADA Nº 01
http://www.slideshare.net/leninlewis/sistema-de-medidas-angulares
1.- Convertir agrados centesimales: a) 225° b) 549° c) 3 π rad d) ¾ π rad
2.- Convertir a radianes: a) 15° b) 120° c) 756° d) 210g e) 1200g
3.- Convertir a grados sexagesimales: a) 200g b) 40g c) 5/7 πrad d) 3/5 πrad
4.- Convertir 82° 240’ 1800” a grados sexagesimales
5.- Convertir 305, 81° a grados, minutos y segundos sexagesimales
6.- Convertir 12g 43m 12s solo en minutos Centesimales.
7.- Los ángulos A y B de un triángulo ABC mide π/6 rad y 80°, respectivamente.
¿Cuánto mide el ángulo C?
8.- El radio de una circunferencia mide 23 cm. ¿Cuál es la longitud del arco L, si el
ángulo central mide 60° ?
9.- Hallar el valor de R en:
10.- Simplificar la expresión
Prof. Luis R. Pacheco Huarotto.

26. TRIGONOMETRIA
¡ MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION !
PROF. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO