1. El documento describe el origen y desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde los siglos XVII y XVIII, cuando fueron establecidas por Newton y Leibniz. También define los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas. 2. Explica que las ecuaciones diferenciales relacionan una función con sus derivadas y surgen de los principios del cálculo infinitesimal. Familias como los Bernoulli hicieron importantes contribuciones al campo resolviendo ecuaciones de mecánica. 3. Se clasifican las

1. 1. DEFINICIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
¿Qué es una ecuación? Las que conoces son:
065
,642
2
xx
x
02
0
2
yx
yx
Entonces si observas, todas tienen una o varias incógnitas y la relación de
igualdad.
¿Qué es una ecuación diferencial?
2. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Siglos XVII y XVIII origen de las ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del
cálculo, con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el
siglo XVII.
Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las
formas ),(),( yfdxdyxfdxdy y ).,( yxfdxdy
Definición
Una ecuación diferencial es la relación (igualdad) que hay entre una
función y sus derivadas.

2. En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación:
2
2
1
yydy
descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para
resolver las ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales
de primer orden.
A Newton y Leibnitz , siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y
Daniel. Con ayuda del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones
diferenciales de muchos problemas de mecánica. Entre ellos el de la
braquistócroma que conduce a las ecuaciones no lineal de primer orden
cyy
2
)(1
En aquel tiempo, pasar de la ecuaciones 2
1
3223
)( aybay a la forma
diferencial y, entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la
ecuación debían ser iguales, excepto por una constante, constituyó
ciertamente un avance
trascendental. Así por ejemplo, mientras Johann sabía que
)1(
1
paxddxax
pp
no era para p = -1 no sabía que )(ln xdxdx .
Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación axydxdy , que podemos
resolver escribiéndola como
,
x
dx
y
dy
a
tiene la solución cxy
a
.
A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró
ecuaciones de la forma 0,, yyyf .

3. Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica
y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas matemáticos.
También , mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones de
segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor
integrante; en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales
lineales ordinarias con coeficientes constantes; contribuyó al método de las
soluciones en series de potencias y dio un procedimiento numérico para
resolver las ecuaciones diferenciales.
Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-
Louis Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827)
hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales
ordinarias y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones
diferenciales parciales.
3. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
La finalidad no es tanto crear métodos de solución para
ecuaciones diferenciales particulares, sino desarrollar técnicas
apropiadas para el tratamiento de diferentes clases de ecuaciones

4. ORDINARIAS
ECUACINES
DIFERENCIALES
PARCIALES
LINEALES
PRIMER ORDEN
EC. DIFERENCIALES NO LINEALES
ORDINARIAS
ORDEN SUPERIOR
A PARTIR DEL SEGUNDO
Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables
dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice
que es una ecuación diferencial ordinaria. Una ecuación que contiene las
derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes, se llama ecuación diferencial parcial.
Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan porque la variable
dependiente y sus derivadas son de primer grado, esto es la potencia de cada
término que involucra a y es uno. Los coeficientes dependen sólo de la
variable independiente x.

5. Una ecuación que no es lineal se le llama no lineal.
Ejemplo 6.3.1
Las ecuaciones que estudiaremos tienen la forma :
),( tyf
dt
dy
y se llaman ecuaciones diferenciales de primer orden.
4. SOLUCIÓN GENERAL Y PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL.
Sea la ecuación diferencial:
t
dt
dy
2 (1)
Para encontrar una solución de esta ecuación, es necesario contestar la
pregunta:
¿Qué función y(t) al derivarla nos da 2t?. Si recordamos las fórmulas de
derivación podremos contestar la pregunta y decir que es la función :
y(t) = t 2
es decir, esta función es la que satisface la igualdad de la ec. (1), es la
solución de la ec. (1). ¿Es la única solución?

6. y(t)= t 2
+ 1
y(t) = t 2
+ 2
y(t) = t 2
+ c donde c R (2)
Como podemos observar existe una infinidad de soluciones ver Fig. 6.4.1 y a
(2) le llamaremos solución general de la ec. dif. (1).
¿Cuándo existe una única solución?. Que pasaría si en (2) sustituimos los
valores x=1 y y=3, observemos que al despejar c=2 y al sustituirlo en la
solución (2) obtendremos una solución particular:
y(t)= t 2
+2
es decir, basta fijar un punto (t 0,y 0) para obtener una solución particular.
¿Siempre existe una solución particular para el problema ),( tyf
dt
dy
con
valores iniciales (t 0,y 0)?. La respuesta sería si, siempre y cuando, en el
problema la función ),( tyf y su derivada sean funciones continuas en un
intervalo I que contenga al punto (t 0,y 0) .
5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO.
Para poder aplicar los diferentes métodos para encontrar la solución de una
ecuación diferencial de la forma:
),( tyf
dt
dy
es necesario seguir los dos pasos siguientes:

7. 1.- Identificar la ecuación.
2.- Aplicar el método correspondiente para encontrar su solución.
5.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES
SEPARABLES.
Método
Cuando una ecuación diferencial se puede llevar a una ecuación de variables
separables, el método para resolverla consiste en: poner en uno de los
miembros de la igualdad todo lo que esta en términos de la variable
dependiente y en el otro todo lo que esta en términos de la variable
independiente, posteriormente se integran ambos miembros con respecto a su
variable y de esta manera obtenemos la solución general de la ecuación.
5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Definición
Una ecuación diferencial que se puede poner de la forma:
)(
)(
yg
tf
dt
dy
recibe el nombre de ecuación diferencial de variables separables.
Definición.
Si una ecuación diferencial se puede llevar a la forma
x
y
f
dx
dy
entonces decimos que se trata de una ecuación homogénea.

8. Una ecuación homogénea puede ser resuelta con el cambio de variable
x
y
u
o bien
y
x
v , donde u y v son variables dependientes y transformaran la
ecuación en una ecuación de variables separables.
5.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.
Si la ecuación (1) es exacta entonces existe una función f(x,y) tal que
dy
y
yxf
dx
x
yxf
dyyxNdxyxM
),(),(
,,
Para toda (x,y), es decir
3...................,
,
2.................,
,
yxN
y
yxf
yxM
x
yxf
Definición.
Una ecuación diferencial de la forma
0,, dyyxNdxyxM (1)
se dice que es exacta si
x
yxN
y
yxM ,,

9. Método de solución para resolver una ecuación diferencial exacta:
Integrando (2) con respecto a la variable x obtenemos
yhdxyxMyxf ),(, (4)
Derivando (4) con respecto a la variable y tenemos
yhdxyxM
yy
yxf
),(
,
Igualando esta expresión con (3) obtenemos )( yh
dxyxM
y
yxN
y
yh
),(),(
)(
La cual al integrarla nos da )( yh , que sustituyendo en (4), obtenemos la
solución general de la ecuación diferencial exacta (1):
dydxyxM
y
yxNdxyxMyxf ),(),(),(,
La integración con respecto a la variable y se obtiene de una manera similar.

10. 5.4 ECUACIONES DIFERENCIALES, LINEALES DE PRIMER
ORDEN.
El procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, consiste en:
Primer paso. Encontrar el factor integrante.
dxxp
e
Segundo paso. Multiplicamos la ecuación (1) por el factor integrante.
xqeyxp
dx
dy
e
dxxpdxxp
)(
la cual es equivalente a la ecuación
dxxqeyed
dxxpdxxp
)(
Definición.
Una ecuación diferencial de la forma
xqyxp
dx
dy
(1)
se llama ecuación diferencial lineal , de primer orden.

11. Tercer paso. Integramos esta última ecuación y resulta
cdxxqeye
dxxpdxxp
o bien
dxxpdxxpdxxp
cedxxqeey (2)
en otras palabras la solución de la ecuación (1) es de la forma (2).
5.5 ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI.
El procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones, consiste en realizar el
cambio de variable
n
yv
1
, para convertir la ecuación (1) en una ecuación
lineal y resolverla de esa manera.
Definición.
Una ecuación diferencial de la forma
n
yxqyxp
dx
dy
(1)
donde n es un número real diferente de 0 y 1, se llama ecuación de
bernoulli.