Transformada Rápida de Fourier

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Transformada Rápida de Fourier

  1. 1. Transformada R´pida de Fourier a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues Instituto Federal do Cear´ a lucasssousa10@gmail.com, murillobarata1@gmail.com December 9, 2013 L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 1 / 48
  2. 2. ´ Indice 1 2 3 4 Conceitos B´sicos a S´ries de Fourier e Transformada de Fourier Representa¸˜o de Sinais ca Ra´ Complexas da Unidade ızes Transformada Discreta de Fourier Defini¸˜o ca Transformada R´pida de Fourier a Introdu¸˜o ca Algoritmo de Cooley-Tukey Passo-a-Passo An´lise da Complexidade Parcial a Continuando com a melhoria An´lise da Complexidade a Borboleta Algoritmo de Cooley-Tukey Referˆncias e Agradecimentos e L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 2 / 48
  3. 3. S´ries de Fourier e Figure: Jean Baptiste Joseph Fourier S´ries de Fourier e “Qualquer fun¸˜o peri´dica, por mais complicada que seja, pode ser ca o decomposta a partir de uma soma de senos e cossenos” L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 3 / 48
  4. 4. S´ries de Fourier e S´ries de Fourier e Uma s´rie de fourier decomp˜e fun¸˜es peri´dicas ou sinais peri´dicos para e o co o o a soma de um conjunto, possivelmente finito, de fun¸oes simples de c˜ oscila¸˜o(Senos e Cossenos). (Wikipedia) ca L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 4 / 48
  5. 5. S´ries de Fourier e L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 5 / 48
  6. 6. Transformada de Fourier A Transformada de Fourier ´ deduzida atrav´s das S´ries de e e e Fourier. ´ E utilizada para mudar o dom´ ınio de uma Representa¸˜o de Sinal. ca L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 6 / 48
  7. 7. Representa¸˜o de Sinais ca Um sinal, naturalmente, ´ representado no dom´ e ınio do tempo. Exibe um grupo de caracter´ ısticas do sinal. Figure: Sinal no dom´ do tempo ınio L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 7 / 48
  8. 8. Representa¸˜o de Sinais ca Para que algumas caracter´ ısticas do sinal sejam exibidas, ´ necess´rio e a que ele esteja no Dom´ ınio da Frequˆncia. e Exibe outro grupo de caracter´ ısticas do sinal. Figure: Sinal no dom´ da frequˆncia. ınio e L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 8 / 48
  9. 9. Ra´ Complexas da Unidade ızes Uma n-´sima raiz complexa da unidade ´ um n´mero W tal que: e e u Wn = 1 Existem exatamente n ra´ n-´simas complexas da unidade, que s˜o: ızes e a e 2πik n , para k = 0, 1, ..., n-1 e iu = cos(u) + isen(u) O valor Wn = e 2πi n ´ a principal ra´ complexa da unidade, assim: e ız 0 1 2 n−1 Wn , Wn , Wn , ..., Wn . S˜o as n ra´ da unidade. a ızes L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 9 / 48
  10. 10. Ra´ Complexas da Unidade ızes Formam o grupo aditivo (Zn , +) m´dulo n. o n 0 Wn = Wn = 1 (j+k)mod(n) j j+k k Wn Wn = Wn = Wn −1 n−1 Wn = Wn Figure: Raizes Complexas n = 8 L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 10 / 48
  11. 11. Transformada Discreta de Fourier Considere a sequˆncia x[n] que ´ peri´dica em tempo T, ou seja. e e o x[n] = x[n + rT ], ∀r Z (1) Tal sequˆncia pode ser representada por uma s´rie de Fourier, e e correspondendo ` soma de sequˆncias exponenciais relacionadas a e harmonicamente. ∞ i2πmn 1 x[n] = X [m]e N N m L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 (2) 11 / 48
  12. 12. Transformada Discreta de Fourier A representa¸˜o em s´rie de Fourier de um sinal peri´dico cont´ ca e o ınuo no tempo, geralmente, precisa de infinitas exponenciais complexas. No entanto, a S´rie de Fourier para qualquer sinal discreto no tempo e com per´ ıodo N requer apenas N exponenciais complexas j´ que elas a s˜o peri´dicas. a o L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 12 / 48
  13. 13. Transformada Discreta de Fourier Assim, a representa¸˜o torna-se: ca x[n] = 1 N N−1 X [m]e i2πmn N (3) m=0 E os coeficientes da s´rie de Fourier X[m] s˜o obtidos a partir de x[n] e a pela rela¸˜o. ca N−1 X [m] = x[n]e −i2πmn N (4) n=0 L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 13 / 48
  14. 14. Transformada Discreta de Fourier 2π Se fizermos Wn = e −i( N ) Temos que: Equa¸˜o de An´lise: ca a N−1 kn x[n]WN X [k] = n=0 (5) (DFT ) Equa¸˜o de S´ ca ıntese: X [k] = L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) 1 N N−1 −kn X [k]WN k=0 (6) (IDFT ) FFT December 9, 2013 14 / 48
  15. 15. Transformada Discreta de Fourier Alta complexidade computacional com custo assint´tico de O(n2 ) o Para diminuir essa complexidade, ´ proposto o uso da Transformada e R´pida de Fourier. a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 15 / 48
  16. 16. Introdu¸˜o ca Algoritmo criado em 1965 Autores: J.W. Cooley(IBM) e J.W. Tukey(Bell Labs) Dividir a subsequˆncia x[n] em duas sequˆncias. e e Decima¸˜o em Tempo ca Algoritmos no qual a sequˆncia ´ decomposta sucessivamente em e e sequˆncias menores. e L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 16 / 48
  17. 17. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 17 / 48
  18. 18. Algoritmo de Cooley-Tukey ∞ ∞ nk x[n]WN X (k) = nPar nk x[n]WN + (7) nImpar Fazendo n = 2r e n = 2r + 1, temos que: N/2−1 N/2−1 2rk x[2r ]WN X (k) = (2r +1)k + r =0 x[2r + 1]WN N/2−1 N/2−1 2 rk x[2r ](WN ) X (k) = + r =0 L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) (8) r =0 k WN 2 x[2r + 1](WN ) rk (9) r =0 FFT December 9, 2013 18 / 48
  19. 19. Algoritmo de Cooley-Tukey 2 Mas WN = WN/2 j´ que: a 2π 2 WN = e −2i( N ) = e π −2i( (N/2) ) = WN/2 Logo (9) pode ser reescrito como: N/2−1 N/2−1 rk x[2r ]WN/2 X (k) = + r =0 k WN rk x[2r + 1]WN/2 k X (k) = G [k] + WN H[k] L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) (10) r =0 FFT (11) December 9, 2013 19 / 48
  20. 20. Algoritmo de Cooley-Tukey Cada parcela da equa¸˜o (11) ´ uma DFT de N/2 pontos: ca e G[k] e H[k] No caso de uma DFT de 8 pontos, o resultado da decima¸˜o no ca tempo gera o seguinte diagrama de fluxo. L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 20 / 48
  21. 21. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 21 / 48
  22. 22. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 22 / 48
  23. 23. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 23 / 48
  24. 24. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 24 / 48
  25. 25. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 25 / 48
  26. 26. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 26 / 48
  27. 27. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 27 / 48
  28. 28. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 28 / 48
  29. 29. Algoritmo de Cooley-Tukey Figure: Algoritmo de Cooley-Tukey L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 29 / 48
  30. 30. Complexidade An´lise de Complexidade: a DFT Cl´ssica a N 2 Multiplica¸˜es complexas e adi¸˜es. co co Cooley-Tukey k X (k) = G [k] + WN H[k] G [k] e H[k] s˜o duas DFTs de N/2 pontos, portanto, ambas realizam a 2 (N/2) opera¸˜es. co k A multiplica¸˜o WN H[k] ´ realizada N vezes. ca e Assim, o custo do algoritmo de Cooley-Tukey ´ 2(N/2)2 + N. e L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 30 / 48
  31. 31. Complexidade Assim, usando o algoritmo de Cooley-Tukey, para N > 2, temos uma complexidade menor do que usando o algoritmo de DFT cl´ssico. a Ainda podemos melhorar a complexidade se aplicarmos novamente a ideia de divis˜o de Cooley-Tukey. a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 31 / 48
  32. 32. Complexidade Figure: Divis˜o a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 32 / 48
  33. 33. Algoritmo de Cooley-Tukey Se N ´ potˆncia de 2, podemos dividir novamente o conjunto de e e dados: N/4−1 N/4−1 lk g [2l]WN/4 G [k] = + k WN/2 l=0 lk h[2l + 1]WN/4 (13) N/4−1 lk h[2l]WN/4 + k WN/2 l=0 L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) (12) l=0 N/4−1 H[k] = lk g [2l + 1]WN/4 l=0 FFT December 9, 2013 33 / 48
  34. 34. Algoritmo de Cooley-Tukey G[k] = [ x[0], x[2], x[4], x[6] ], tal que x[0] = 0, x[2] = 1, x[4] = 2, x[6] = 3 Figure: Divis˜o a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 34 / 48
  35. 35. Algoritmo de Cooley-Tukey G[k] = [ x[0], x[2], x[4], x[6] ], tal que x[0] = 0, x[2] = 1, x[4] = 2, x[6] = 3 Figure: Divis˜o a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 35 / 48
  36. 36. Algoritmo de Cooley-Tukey G[k] = [ x[0], x[2], x[4], x[6] ], tal que x[0] = 0, x[2] = 1, x[4] = 2, x[6] = 3 Figure: Divis˜o a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 36 / 48
  37. 37. Algoritmo de Cooley-Tukey G[k] = [ x[0], x[2], x[4], x[6] ], tal que x[0] = 0, x[2] = 1, x[4] = 2, x[6] = 3 Figure: Divis˜o a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 37 / 48
  38. 38. Algoritmo de Cooley-Tukey G[k] = [ x[0], x[2], x[4], x[6] ], tal que x[0] = 0, x[2] = 1, x[4] = 2, x[6] = 3 Figure: Divis˜o a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 38 / 48
  39. 39. Algoritmo de Cooley-Tukey G[k] = [ x[0], x[2], x[4], x[6] ], tal que x[0] = 0, x[2] = 1, x[4] = 2, x[6] = 3 Figure: Fluxo Completo DFT 8 Pontos L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 39 / 48
  40. 40. An´lise da Complexidade a A equa¸˜o de recorrˆncia que descreve o problema ´ ca e e T (n) = 2T (n/2) + O(n). Aplicando o m´todo mestre, tempos que 2 = 21 , da´ temos que o e ı custo ´ O(n log n). e L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 40 / 48
  41. 41. Processo da Borboleta A DFT de 8 pontos teve sua computa¸˜o reduzida at´ a DFT de 2 ca e pontos: Figure: Butterfly L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 41 / 48
  42. 42. Processo da Borboleta A obten¸˜o de um par de valores de um est´gio depende apenas de ca a um par de valores do est´gio anterior. a Figure: Butterfly N/2 Mas WN = e −i(2π/N)N/2 = e −iπ = −1 r +(N/2) Assim, o fator WN pode ser escrito como: r +(N/2) WN L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) N/2 = WN FFT r r WN = −WN (14) December 9, 2013 42 / 48
  43. 43. Processo da Borboleta Isso muda o gr´fico da borboleta para: a Figure: Gr´fico Butterfly Simplificado a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 43 / 48
  44. 44. Fluxo Completo FFT 8 pontos Figure: Fluxo Completo FFT 8 Pontos L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 44 / 48
  45. 45. Fluxo Completo FFT 8 pontos Figure: Fluxo Completo FFT 8 Pontos L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 45 / 48
  46. 46. Pseudoc´digo FFT o FFT(a, w) se n = 1 ent˜o a retorne y = a x = w 0 # x ir´ armazenar as potˆncias de w, ent˜o inicialmente x = 1. a e a # Etapa de divis˜o que separa ´ a ındices pares e ´ ımpares apar = [a0 , a2 , a4 , ..., an−2 ] aimpar = [a1 , a3 , a5 , ..., an−2 ] # Chamadas Recursivas, com W 2 como (n/2)-´sima raiz da unidade, pela e propriedade da redu¸˜o ca y par = FFT (apar , w 2 ) y impar = FFT (aimpar , w 2 ) # Etapa de combina¸˜o, usando x = w i ca para i = 0 a n/2-1 fa¸a c yi = yipar + xyiimpar #Usa a propriedade reflexiva yi+n/2 = yipar − xyiimpar x = xw retorne y L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 46 / 48
  47. 47. MATLAB Aplica¸˜o no MATLAB ca Barata exibir´ um exemplo no MATLAB da FFT em um sinal. a L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 47 / 48
  48. 48. Referˆncias e Agradecimentos e Referˆncias e Centro de Inform´tica - UFPE - Carlos Alexandre Mello a Fundamentos da Matem´tica Elementar - Volume 6 - Gelson Iezzi a Discrete-Time Signal Processing, J.R.Buck, A.Oppenheim e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1999 Agradecimentos Obrigado pela aten¸˜o! ca L. S. Sousa, M. B. Rodrigues (IFCE) FFT December 9, 2013 48 / 48

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