Solução de equações de 2º grau 
Por prof. Luis Claudio 
Professor de Matemática do estado 
de Pernambuco
Equação de 2º grau é uma equação na forma ax² + bx + c = 0 
Exemplos :3 x² - 2x + 4= 0 (Equação do tipo 
completa com a=3,...
Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0 
• Lembrando que raízes são os números que ao serem 
substituído no valor da va...
Devemos inicialmente isolar o termo independente “c” no outro 
membro . 
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Montaremos a figura 
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Observe o resultado 
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É só somar 49 unidades nos dois membros da equação 
X² -14x + 49 = -13 + 49, obtemos: 
X² -14x + 49 = 36, 
na forma fatora...
Como 36 possui duas raízes trabalharemos com as duas: 
X’ - 7 = + 6 X" - 7 = -6 
X' = + 6 + 7 X" = -6 + 7 
X' = 13 X" = 1 ...
Verificação: x = 13 
X² - 14x + 13 = 0 
13² - 14. 13 + 13 = 169 - 182 + 13 = 0 O. K 
Verificação: X= 1 
X² - 14x + 13 = 0 ...
Obtemos a fórmula de Bhaskara, através do método achado 
Se ax² + bx + c = 0, devemos isolar a incógnita 
x em um dos memb...
Devemos dividir o termo em x por dois e elevá-lo ao quadrado 
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Podemos simplificar a expressão desta forma 
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, que fica assim 
• 푥 = 
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Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0 ? 
• a = 1, b= -14 e c = 13 
• Δ = (-14)² - 4 . 1 . 13 
• Δ = 196 – 52 
• Δ = 1...
Quais as raízes de -6m² + 12m = 0 ? 
• a = -6; b = 12; c = 0 
• Δ = 12² - 4. (-6). 0 =144 
• m = 
−12± 144 
2.(−6) 
= 
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Quais as raízes de 5y² -125 = 0? 
a = 5, b = 0 e c = -125 
Δ = 0² - 4. 5. (-125) = 2500 
Y = 
−0± 2500 
2.5 
= 
0 ±50 
10 ...
Exemplo prático: A temperatura em grau Celsius de um forno é regulada 
de modo que varie com o tempo t em minutos de acord...
Observações 
1. Se Δ > 0 então a equação possui duas raízes reais 
e diferentes, isto é, x’ ≠ x” 
2. Se Δ= 0 então a equaç...
Exercícios de Fixação 
Determinar os conjuntos soluções das equações a 
seguir: 
a) X² -6x -7 = 0 
b) 5x² - 11x + 6 = 0 
c...
Respostas 
a) S = {-1, 7} 
b) S = {-1; 6/5} 
c) S = { 1/4} 
d) S = ø 
e) S = ø
Bibliografia 
• Dante, L. R. Projeto Teláris Matemática, 9º ano. 1 edição. 1º 
impressão. Ed Ática. 2013. São Paulo-SP 
• ...
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Solução de equaes de 2º grau

  1. 1. Solução de equações de 2º grau Por prof. Luis Claudio Professor de Matemática do estado de Pernambuco
  2. 2. Equação de 2º grau é uma equação na forma ax² + bx + c = 0 Exemplos :3 x² - 2x + 4= 0 (Equação do tipo completa com a=3, b=-2, c=4) 2x² -4 = 0 ( equação do tipo incompleta com a= 2, b=0 e c=-4) 5x² - 10x = 0(a=5, b=-10, c=0) -6x²=0 (a=-6; b=0; c=0) a,b,c são números reais e a ≠ 0
  3. 3. Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0 • Lembrando que raízes são os números que ao serem substituído no valor da variável solucionam a equação, isto é fazem seu valor numérico ser igual ao valor que encontra-se após o sinal de igualdade. • Aplicaremos o método de completar os quadrados.
  4. 4. Devemos inicialmente isolar o termo independente “c” no outro membro . X² -14x = -13 Montaremos a figura x 7 X X² x 7x 7 7x x Falta um quadrado para completar a figura, como os lados que faltam medem 7 unidades sua área será 49 unidades.
  5. 5. Observe o resultado x 7 X X² 7x 7 7x 49
  6. 6. É só somar 49 unidades nos dois membros da equação X² -14x + 49 = -13 + 49, obtemos: X² -14x + 49 = 36, na forma fatorada fica, ( X - 7)²= 36, isolaremos X, X - 7 = 36 X - 7 = ± 6
  7. 7. Como 36 possui duas raízes trabalharemos com as duas: X’ - 7 = + 6 X" - 7 = -6 X' = + 6 + 7 X" = -6 + 7 X' = 13 X" = 1 S = { 1, 13}
  8. 8. Verificação: x = 13 X² - 14x + 13 = 0 13² - 14. 13 + 13 = 169 - 182 + 13 = 0 O. K Verificação: X= 1 X² - 14x + 13 = 0 1² - 14. 1 + 13 = 1 - 14 + 13 = 0 O. K
  9. 9. Obtemos a fórmula de Bhaskara, através do método achado Se ax² + bx + c = 0, devemos isolar a incógnita x em um dos membros da equação; para tal isolamos, incialmente, o termo independente no 2º membro da equação: ax² + bx = - c Dividindoos dois membros por “a” para que o coeficiente seja igual a 1 x² + 푏푥 푎 = - 푐 푎
  10. 10. Devemos dividir o termo em x por dois e elevá-lo ao quadrado X 푏 2푎 X X² 푏푥 2푎 x 푏 2푎 푏푥 2푎 푏² 4푎² 푏 2푎
  11. 11. Somando o termo b²/4ª aos dois membros x² + 푏푥 푎 + 푏² 4푎² = 푏² 4푎² - 푐 푎 Colocando o 1º membro na forma fatorada e calculando o m.m.c. dos denominadores do 2º membro para obter frações de mesmo denominador (X + 푏 2푎 )² = 푏² −4푎푐 4푎² X + 푏 2푎 = 푏² −4푎푐 4푎² X + 푏 2푎 = ± 푏² −4푎푐 2푎
  12. 12. Podemos simplificar a expressão desta forma • X = - 푏 2푎 ± 푏² −4푎푐 4푎² , que fica assim • 푥 = −푏± 푏2−4푎푐 2푎 • Esta é a forma geral da Fórmula de Bhaskara que apesar do nome não foi criada por ele.
  13. 13. Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0 ? • a = 1, b= -14 e c = 13 • Δ = (-14)² - 4 . 1 . 13 • Δ = 196 – 52 • Δ = 144 • 푥 = − −14 ± 144 2.1 x = 14 ± 12 2 • x’ = 14+12 2 = 13 • x” = 14 −12 2 = 1 S = { 1, 13}
  14. 14. Quais as raízes de -6m² + 12m = 0 ? • a = -6; b = 12; c = 0 • Δ = 12² - 4. (-6). 0 =144 • m = −12± 144 2.(−6) = −12 ±12 −12 • m’ = −12+12 −12 = 0 −12 = 0 • m” = −12−12 −12 = −24 −12 = 2 • S = {0;2}
  15. 15. Quais as raízes de 5y² -125 = 0? a = 5, b = 0 e c = -125 Δ = 0² - 4. 5. (-125) = 2500 Y = −0± 2500 2.5 = 0 ±50 10 y’ = 50 10 = 5 y” = −50 10 = -5 S = {-5;5}
  16. 16. Exemplo prático: A temperatura em grau Celsius de um forno é regulada de modo que varie com o tempo t em minutos de acordo com a lei C = -0,5t² + 15t + 400 . calcule o instante em que a temperatura alcançar 200 graus. -0,5t² + 15t + 400 = 200 -0,5t² + 15t + 200 = 0 a = -0,5 ; b= 15; c= 200 Δ = 15² - 4 . (-0,5) . 200 Δ = 225 + 400 = 625 −15± 625 t = 2 . 0,5 = −15 ± 25 1 t’ = −15 + 25 −1 = -10 (não convém, pois não tempo negativo t” −15 − 25 −1 = 40 Resposta: 40 minutos.
  17. 17. Observações 1. Se Δ > 0 então a equação possui duas raízes reais e diferentes, isto é, x’ ≠ x” 2. Se Δ= 0 então a equação possui apenas uma raiz, isto é, x’= x” 3. Se Δ < 0 então a equação não possui raiz real pois no conjunto dos números reais não é possível extrair raiz de número negativo e S =∅
  18. 18. Exercícios de Fixação Determinar os conjuntos soluções das equações a seguir: a) X² -6x -7 = 0 b) 5x² - 11x + 6 = 0 c) 16y² - 8y + 1 = 0 d) - 6x² - x + 1 = 0 e) X² + 9 = 0
  19. 19. Respostas a) S = {-1, 7} b) S = {-1; 6/5} c) S = { 1/4} d) S = ø e) S = ø
  20. 20. Bibliografia • Dante, L. R. Projeto Teláris Matemática, 9º ano. 1 edição. 1º impressão. Ed Ática. 2013. São Paulo-SP • Spinelli, W. , Souza, M. H. S. de. Matemática oficina de conceitos, 8º série. 1º edição. 1º impressão. Ed. Ática. 2002. São Paulo-SP • Souza, J. Pataro, P. M. Vontade de saber Matemática, 9º ano. • 1ª edição. 1º impressão. Ed. FTD.2009. São Paulo-SP

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