Este documento presenta conceptos clave relacionados con experimentos aleatorios, incluyendo: (1) Un experimento es aleatorio si tiene más de un resultado posible y el resultado depende del azar; (2) El espacio muestral consiste en todos los posibles resultados de un experimento; (3) Existen diferentes técnicas de conteo como diagramas de árbol, permutaciones y combinaciones para determinar el número de posibilidades de un experimento.
1. Armando Saúl
García Favela
Proceso
Eventos aleatorios, Espacio Industriales
muestral y Técnicas de Conteo 2° D
2. Conceptos
Experimentos aleatorios:Experimento o ensayo aleatorio es
aquel que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser
previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en
la realización del experimento.
Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores
Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser
finito o infinito.
Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que
toma una variable aleatoria
Técnicas de Conteo: Si el número de posibles resultados de un
experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar
todos los posibles resultados
3. Un experimento es aleatorio si hay más de un resultado
posible y no podemos decir con
anterioridad lo que va a suceder. En este caso se dice que el
resultado depende del azar.
Ejemplos:
Todos los juegos de azar son experimentos aleatorios. Como
ejemplos
podemos poner:
Lanzar una moneda al aire podrá salir cara o cruz.
Sacar una bola de una urna que contiene bolas de distinto
color, si no
vemos su interior,
Obtener una carta de una baraja, etc...
4. Ejemplos:
Consideremos los experimentos aleatorios siguientes:
Lanzar una moneda. Se puede obtener cara (que representaremos
por C) o cruz (que representamos por X). El espacio muestral es E =
{ C, X } Lanzar un dado de quinielas. Se puede obtener 1, X, 2. El
espacio muestral es E = {1, X, 2} Lanzar un dado. Se puede obtener
uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 y el
espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
5. Espacio Muestral
Consiste en todos los posibles resultados de un experimento.
Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).
5
6. Métodos de conteo
Los métodos de conteo son estrategias
utilizadas para determinar el número
de posibilidades diferentes que existen
al realizar un experimento. Entre estos
métodos destacan el diagrama de
árbol, permutaciones, combinaciones,
principio multiplicativo, principio de la
suma
7. Permutaciones
Definición.
Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una
permutación .
El numero resultante de ordenar n objetos diferentes
tomando r a la vez será representado por el símbolo
Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!
Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de
Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de
acomodar dichos libros.
{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden
3*2*1=6
8. Diagramas de árbol
En casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en
forma sistemática.
Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento
que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada
componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta
que se obtiene una falla.
A1
L1 A2
A3
A1
L2 A2
A3 12 tratamientos
A1
L3 A2
A3
A1
L4 A2
A3
9. El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares
diferentes es :
n! n(n 1 n 2)...(2)(1
)( )
n! se lee como n factorial
¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n
objetos, tal Que n es mayor o igual que r?
En este caso el numero de arreglos resulta ser:
n(n 1)(n 2)...(n [r 2])(n [r 1]) Pn
r
n n!
Pr
(n r)!
10. Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un
tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes
intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de
administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se
ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.
10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.
Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..
10 10!
P 2 9 0.
8!
11. Combinaciones
Una combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una
combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es
distinto.
!! En este caso no es importante el orden de los
objetos !!
Definición. (Combinaciones).
El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero
de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto
se denota como:
n n n
n Prn
n!
C r C r
r r r! r !( n r )!
Teorema 2.
12. Ejemplo: En un lote de producción 100 chips
de computadora, un comprador desea adquirir
10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden
seleccionar 10 chips de ese lote?.
n
n n! 100!
Cr
r r!(n r)! 10!(100 10)!