2. Algemene inleiding
1. Rekenwonders
Rekenwonders is een programma dat u als leraar handvatten biedt om voor uw leerlingen het rekenwiskundeonderwijs op
een betekenisvolle, uitdagende en breinvriendelijke manier vorm te geven. Het rekenwiskundeonderwijs dat wij met het pro-
gramma van Rekenwonders nastreven, gaat uit van de volgende principes:
ffLeerlingen leren het best in een positieve fysieke, emotionele en sociale omgeving, een omgeving die zowel veilig is als
stimuleert.
ffLeerlingen leren het best als ze volledig en actief betrokken zijn en de verantwoordelijkheid nemen voor hun eigen leerproces.
ffKennis wordt actief geconstrueerd en niet passief geabsorbeerd. De leerlingen zijn ‘de motor’ van hun eigen ontwikkeling.
ffLeerlingen leren het best wanneer ze een rijke verscheidenheid aan leeropties hebben, die hen in staat stelt om al hun
zintuigen te gebruiken en aansluit bij hun favoriete leerstijl.
ffHet beste leren komt voort uit het zelf doen en exploreren in realistische betekenis in een proces van feedback, reflectie en
evaluatie.
ffHet beste leren komt voort vanuit verdiepend leren, waarbij de fase van non-verbale representatie aansluit op de fase van
het materieel handelen en doelgericht gewerkt wordt naar een fase van mentaal en symbolisch handelen.
ff het goede leren is sociaal. Mensen leren over het algemeen het beste in een omgeving van samenwerking.
Al
Rekenwonders is een programma dat beoogt de creativiteit van de leerlingen en de leraar te prikkelen. Er is ruimte voor eigen
invullingen en passende oplossingen in elke specifieke situatie. Dit programma ziet u in uw rol van leraar als regisseur van uw
rekenwiskundeonderwijs en als expert van het leren van uw leerlingen, waarbij u Rekenwonders inzet naar eigen inzichten en
mogelijkheden om uw leerlingen vertrouwd te maken met rekenen en wiskunde. Behoud daarom werkwijze, activiteiten en
materialen die werken, maar blijf of word u er vooral van bewust waarom deze werken.
Rekenwonders is een bewerking van My Pals Are Here! Maths, een rekenwiskundeprogramma dat veel van de scholen in
S
ingapore hanteren als bron om hun rekenwiskundelessen op een effectieve wijze te organiseren. Rekenwonders voldoet
aan de Nederlandse kerndoelen voor primair onderwijs en is afgestemd op de referentieniveaus.
2. Hogere leerprestaties, hogere motivatie
In internationale onderzoeken naar rekenwiskundeprestaties van leerlingen in verschillende leeftijden, scoort Singapore in
opeenvolgende onderzoeken constant in de top 3, waarbij vooral de score op toepassingsniveau, waarvoor hogere denkvaar-
digheden en integratie van concepten is vereist, zeer opvallend is. Naast de hoge score die door Singapore op het gebied van
probleemoplossen wordt geboekt, is onderzocht dat de leerlingen een positieve houding ten opzichte van rekenen-wiskunde
ontwikkelen, waarbij de sleutel ligt in conceptueel begrip. Leerlingen die betekenisvol leren, proberen constant verbindingen
te maken tussen bekende en nieuwe informatie, terwijl leerlingen die niet betekenisvol leren, feiten leren onthouden. Door
betekenisvol leren wordt conceptueel begrip ontwikkeld in plaats van alleen procedureel begrip. Inmiddels is in veel andere
landen dit programma al bewerkt en is deze aanpak met succes toegepast.
3. Probleemoplossen en denkkracht
In essentie richt Rekenwonders zich op het ontwikkelen van probleemoplossend (denk)vermogen bij leerlingen. In het onder-
staande diagram zijn vijf verschillende componenten afgebeeld die bijdragen aan de ontwikkeling van leerlingen tot efficiënte,
creatieve denkers en goede probleemoplossers.
ffHet conceptueel begrijpen van de rekenwiskundige ideeën, waarbij de leerlingen Me
es tac
rekenwiskundige ideeën weten te verbinden op basis van logische argumenten. ud og
tit nit
ffHet beheersen van vlotte, accurate en flexibele rekenvaardigheden. At ie
ffHet kunnen toepassen van strategieën en benutten van denkkracht: reken iskundige
w Problemen
Vaa
problemen kunnen analyseren, formuleren, representeren en oplossen.
sen
leren
rd
ffHet beschikken over metacognitieve vaardigheden. Het eigen leren kunnen reguleren:
ighe
oplossen
es
vermogen om logisch na te denken, te reflecteren, uitleg te geven en verklaringen en
Proc
bewijzen te zoeken voor ideeën.
den
ffHet beschikken over zelfvertrouwen in handelen en durven vertrouwen op het eigen Concepten
denken.
Algemene inleiding 5
3. Waarom leren we leerlingen probleemoplossende vaardigheden?
Probleemoplossende vaardigheden aanleren bij leerlingen:
ff helpt hen op een effectieve en creatieve wijze om te gaan met problemen;
ff stimuleert hen en ontwikkelt hun denkvaardigheden en probleemoplossende strategieën in zowel gelijke als onbe-
kende situaties;
ff ontwikkelt, versterkt, verdiept en stretcht hun begrip van wiskundige concepten en vaardigheden;
ff helpt hen de problemen die voortkomen uit wiskundige ideeën op een fantasierijke en creatieve wijze aan te pakken.
4. Creativiteit, flexibiliteit en samenwerking
Creativiteit, flexibiliteit en samenwerking worden gezien als kerncompetenties voor de 21ste eeuw. Het ontwikkelen van
creativiteit en flexibiliteit vraagt naast begrip om inzicht en vertrouwen. Creativiteit bij rekenen en wiskunde beschouwen
we als het vinden van originele en ‘nieuwe’ oplossingen voor problemen en het zelf kunnen creëren van nieuwe proble-
men. Via reflectie op eigen producties en handelen wordt flexibiliteit in handelen en denken bij de leerlingen ontwikkeld.
Creatief bezig zijn, daagt de leerling er toe uit iets van zichzelf naar buiten te brengen en dit uit te drukken in zijn of haar
werk. Creativiteit kun je niet aanleren of opdragen, het is een intern persoonlijk proces. Creativiteit is wel door de leraar
aan te wakkeren, waarbij de leerling de ruimte moet krijgen om zijn of haar creativiteit tot uiting te brengen. Het is daarom
belangrijk om leerlingen ruimte te bieden voor persoonlijke inbreng en een veilige leeromgeving te scheppen, waarin
nieuwe ideeën kunnen worden besproken én gewaardeerd. De inzet van coöperatieve werkvormen kunnen daartoe een
bijdrage leveren.
Deze didactische werkvormen kunnen worden ingezet om leerlingen de gelegenheid te bieden op gestructureerde wijze
zowel op een individueel als een gezamenlijk niveau met ‘open blik’ naar problemen te kijken, ideeën te bespreken en te
reflecteren op oplossingen, oplossingswijzen en eigen handelen.
Didactische wenken
ffProbeer er als leraar rekening mee te houden dat opdrachten niet ‘te’ afgebakend worden aangeboden. Zorg dat er
ruimte is om problemen op meerdere manieren aan te pakken. Niet elke aangedragen oplossingswijze zal wellicht als
even waardevol kunnen worden beschouwd. Vandaar aan u de taak om bewust te sturen en te streven naar niveauver-
hoging in ideevorming en strategie. Elk idee is echter wel een idee, waarop door u en de leerlingen blijk van waardering
kan worden gegeven.
ffStimuleer de leerlingen om alternatieve oplossingen te bedenken en reflecteren op de functionaliteit van deze strategieën.
ffStreef er naar, waar mogelijk, rekenwiskundige ideeën te verbinden met voorbeelden uit het dagelijks leven. Dit helpt
de leerlingen verbanden te leggen en toepassingsmogelijkheden te zien. Het ervaren van nut en de bruikbaarheid van
rekenwiskundige ideeën oefent een positieve invloed uit op de rekenmotivatie van de leerling.
ffGeef de leerlingen ruimte en tijd om zelf te reflecteren op oplossingen, de probleemoplossende aanpak en het eigen
leerproces. Dit kan bijvoorbeeld door hen regelmatig aantekeningen te laten maken in een logboek ofwel persoonlijk
Rekendagboek.
5. Verdiepend leren: van doen naar representeren naar symboliseren
Heel algemeen gesteld, vereist het leren twee zaken, namelijk het verkrijgen van informatie en het verwerken van de
informatie tot een mentale structuur. Het verkrijgen en verwerken van de informatie kan op verschillende handelingsni-
veaus plaatsvinden, waarbij een concept niet alleen op school wordt ontwikkeld, maar ook buiten de school. De aanwezige
voorkennis is het startpunt voor de ontwikkeling van nieuwe concepten. Beide ontwikkelingen kunnen niet los van elkaar
worden gezien. In Rekenwonders wordt de begripsvorming van concepten structureel opgebouwd van een concreet han-
delingsniveau naar een niveau van representeren tot een niveau van formeel handelen.
In de eerste fase functioneren de leerlingen vooral op een concreet handelingsniveau, waarbij de focus ligt op het zintui-
gelijk waarnemen en beschrijven van rekenwiskundige ideeën. Het handelen is vaak intuïtief, visueel en de juiste bege-
leidende rekentaal ondersteunt de materiële handeling. Geleidelijk aan zal reflectie op het eerdere niveau plaatsvinden,
waarbij patronen en relaties worden ontdekt en categorieën en regels ontstaan. Er zal een verschuiving plaatsvinden van
een fysieke handeling naar een ander mentaal begrijpen. De leerlingen ervaren dat ze de handeling kunnen voorstellen in
een non-verbale representatie. Ze werken met schema’s en diagrammen, waarbij representaties geleidelijk een rol aan-
nemen van wiskundige denkmodellen. De derde fase van begrijpen is de fase van de logica, het symboliseren. De leerlin-
gen ontdekken wiskundige verbanden en systemen tussen de ideeën en regels. Ze kunnen op een symbolisch niveau de
bewerkingen uitvoeren en uitleggen.
6 Algemene inleiding
4. Concreet Representeren Abstract/Symboliseren
Fase van de logica
Fase van de analyse
Symboliseren
Fase van concreet Non-verbaal
handelen representeren
7 Geef de delers van:
Mentaal handelen, verwoorden en communiceren
a 12 b 28
Les
4 Delers 7 Geef de delers van: c 56 d 100
Deze fasen van begrijpen zoals in het Singaporese onderwijs wordt toegepast, komtb 28
a 12 overeen met het handelingsmodel Leren
Leren van begrijpen aangeduid met CRA, wat staat voor concreet
van het ERWD-protocol. In Rekenwonders worden deze fasen
c 56 Gemeenschappelijke delers van twee getallen
d 100
naar product van een naar en haar delers
Het representatie getal abstract.
8
Leren
Wat zijn de gemeenschappelijke delers van 8 en 12?
1 Gemeenschappelijke delers van twee getallen
6=1×6
8 12 De grootste
× × gemeenschappelijke
Kan 6 precies gedeeld worden door 1? Ja, dus 1 is een deler van 6.
8 Wat zijn de gemeenschappelijke delers van 8 en 12? deler van 8 en 12 is 4
1 8 1 12
2 4 2 6
2
6=6×1 8 12 De grootste 4
3
× × gemeenschappelijke
Gehele getallen (2) 1
Kan 6 precies gedeeld worden door 6? Ja, dus 6 is een deler van 6. 8 1 12
deler van 8 en 12 is 4.
2 4 2 6 De delers van 8 zijn 1 , 2 , 4 en 8.
6 is een product van 1 en 6. 3 4
1 en 6 zijn delers van 6. De delers van 12 zijn 1 , 2 ,3 4 , 6 en 12.
De deler van een getal is Hieronder zie je een deel van de lijst van stadions naar grootte,
een geheel getal. De gemeenschappelijke delers van 8 en 12 zijn 1, 2 en 4.
zijn 1 , 2 , 4
In de praktijk is het aan u als door zijn om goed geen restgetal over. delers van 8 leerling zichen 8.
De
Als een getal wordt gedeeld leraar deler blijft er te observeren waar internet.
zoals deze te vinden is op de bevindt in zijn of haar ontwikkeling om
instructie, materiaal en taal af betekent dus 'zonder rest'. ontwikkeling. Hierbij1willen wij6 vermelden dat het eveneens goed is om
‘Deelbaar door’ te stemmen op deze
Aantal
De delers van 12 zijn , 2 ,3 4 , en 12.
Positie
zitplaatsen niveau gemeenschappelijkeen land 89 Gebruik gemeenschappelijke delers van 9 en 36.
leerlingen een duwtje te geven om tot een andereNaam Devan begrijpen te komen.en 12 zijn de2 en 4.
Plaats
delers van
Vind
1,
2 1 150 000 1 mei stadion Pyongyang Noord-Korea Divers
9 36
2 120 000 Yuba Bharati Kirarangan Calcutta India Voetbal × ×
6. Focus en samenhang in leerlijnen 9 Vind de gemeenschappelijke delers van 9 en 36.
De rekeninhouden zijn in Rekenwonders ondergebracht in blokken. Arbor blok staat slechts één 9
4 106 201 Michigan Stadium Ann Per V.S. Rugby
1
3 3
1 36
leerlijn centraal, waarbinnen
2 18
een gevarieerd aanbod aan9activiteiten aanwezig is om de leerlingen zowel 36
98 772 Camp Nou 9 Barcelona Spanjeleerlijnoverstijgende als verdiepende leerer-
Voetbal 3 12
varingen op te laten doen. Het concentrisch leren en actief leren zijn daarbij× × belangrijke principes. De leerlingen krijgen
4 9
21 91 000 Nationale stadion van Peking 9Peking China 1 36 Divers
meerdere kansen om hetzelfde te leren op verschillende manieren. Deze verschillende manieren zijn steeds6meer gericht
6=2×3 6=3×2 1 6
op een verdiepend niveau van competentieontwikkeling. De3blokken zijnNederland Voetbal onderverdeeld in lessen en de
< 150 52 960 Amsterdam Arena
3 2 18
Amsterdam in Rekenwonders
3 12
blokken6zijn weer een onderdeel vanIs 6 deelbaar door 3?
a Is deelbaar door 2? b de domeinen: 4 9 a De delers van 9 zijn , en .
•fGehele getallen en bewerkingen 6 6
b De delers van 36 zijn , , , , , , ,
c Is 6 deelbaar door 4? d Is 6 deelbaar door 5?
•fDecimale getallen en bewerkingen, breuken, procenten en verhoudingen
en .
•fMeten 6 is een product van 2 en 3. a De delers van 9 zijn , en .
•fMeetkunde 3 en 2 zijn delers van 6. c De gemeenschappelijke delers van 9 en 36 zijn , , en .
6 is deelbaar door 1, 2, 3 en 6. b De delers van 36 zijn , , , , , , , ,
en .
2
c De gemeenschappelijke delers van 9 en 36 zijn
43 , , en .
Gehele getallen (2) 45
Lessen
Hieronder zie je een deel van de lijst van stadions naar grootte,
zoals deze te vinden is op internet.
Les 1: Getallen afronden naar de dichtstbijzijnde tien
Aantal
Les 2:
Positie Getallen afronden naar de Naam
dichtstbijzijnde honderdPlaats en land Gebruik
zitplaatsen
Les 3: Schatten
Les 4:
1 Delers 000
150 1 mei stadion Pyongyang Noord-Korea Divers
Les 5: Veelvouden
2 120 000 Yuba Bharati Kirarangan Calcutta India Voetbal
4 106 201 Michigan Stadium Ann Arbor V.S. Rugby 27
9 98 772 Camp Nou Barcelona Spanje Voetbal
Algemene inleiding 7
21 91 000 Nationale stadion van Peking Peking China Divers
< 150 52 960 Amsterdam Arena Amsterdam Nederland Voetbal
5. 7. Uitgekiende variatie in activiteiten
Naast het concentrische aanbod van kennis, vaardigheden en inzichten kent Rekenwonders een rijke variatie in werkvor-
men. Dit gevarieerde scala aan ‘leerlingacties’ zijn ondergebracht in tien verschillende activiteiten die elk één of meerdere
specifieke leerdoelen en denkvaardigheden nastreven en te herkennen zijn aan een eigen kleur. De variatie van deze acti-
viteiten neemt toe naarmate de leerlingen in hogere leerjaren komen. Twee van deze activiteiten betreffen de blokopener
en het ophalen van de voorkennis.
blokopener voorkennis
1
Voorkennis
Gehele getallen (1)
1
a Schrijf 5 101 in woorden.
b Schrijf zesduizend negentig in cijfers.
Speel dit spel met klasgenoten. Zorg ervoor dat iedereen de Je hebt nodig:
benodigde materialen heeft en lees samen de speelwijze. • een 10-zijdige dobbelsteen
• een werkblad voor elke speler Duizenden Honderden Tienen Enen
Dobbel een getal dicht bij 10 000
Het doel van het spel is om een getal bij elkaar te dobbelen zo dicht mogelijk bij 10 000. Als jouw getal groter
is dan elk van de getallen van je klasgenoten, win je de ronde. Probeer je klasgenoten te slim af te zijn, door
strategisch te denken. Elke speler mag één keer per ronde een verkregen cijfer weigeren en een nieuw cijfer
dobbelen. c Schrijf 2 407 op per cijferwaarde.
Speelwijze
1. De speler die het hoogste getal dobbelt, mag beginnen. 2 Tel door met enen, tienen, honderden of duizenden.
2. Speler A rolt de dobbelsteen om een cijfer te krijgen. Dit cijfer kan staan voor een waarde in duizenden,
honderden, tienen of enen. Speler A mag beslissen en schrijft de cijferwaarde in een kolom op zijn of haar a Tel door met enen: 5 101, 5 102, , , .
werkblad.
3. Spelers wisselen van beurt tot elke speler zijn of haar grootst mogelijke 5-cijferige getal heeft gemaakt. b Tel door met tienen: , 2 011, 2 021, , .
4. Getallen worden vergeleken ten opzichte van 10 000. Wie heeft het grootste getal en het kleinste verschil
ten opzichte van 10 000? Deze speler wint 1 punt. Spreek vooraf een afgesproken aantal speelrondes af. c Tel door met honderden: 3 900, , , , .
Tien- Verschil met d Tel door met duizenden: 3 800, , , 6 800, .
Duizenden Honderden Tienen Enen
duizenden 10 000
1 0 0 0 0 Ronde
3 Geef de waarde van elk cijfer in het getal 4 728.
1
2 Duizenden Honderden Tienen Enen
3
4 a 2 8
Aantal punten
staat voor staat voor staat voor staat voor
4 duizenden b honderden c tienen d enen
oftewel oftewel oftewel oftewel
Lessen 4 000
Les 1: Getallen tot en met 100 000
Les 2: Getallen vergelijken
9 10
De andere activiteiten worden hieronder kort toegelicht.
Leren
Deze activiteiten staan in het teken van het bespreken en verkennen van nieuwe rekeninhouden en heb-
ben als doel de leerlingen iets te leren voordat u als leraar gaat onderwijzen.
Zelf aan de slag
Na het leren volgt altijd oefening. Leerlingen gaan zelf op ontdekking naar wat concepten inhouden voor
situaties die gelijk of net iets anders zijn. De leerlingen werken zelfstandig, wat betekent dat het initiatief
bij de leerlingen ligt en ze vooral veel samenwerken. U als leraar heeft een ondersteunende rol.
Op onderzoek
Deze activiteit stelt de leerlingen in de gelegenheid om rekenregels, observaties, stellingen en problemen
tegen het licht te houden en te onderzoeken. Sommige van deze onderzoekstaken hebben een open
karakter, waardoor ze op verschillende manieren kunnen worden benaderd.
8 Algemene inleiding
6. Speel dit spel
Leerlingen verkennen spelenderwijs met elkaar rekenwiskundige ideeën en regels en consolideren kennis
en vaardigheden.
Mijn Rekendagboek
De activiteiten in Mijn Rekendagboek dragen er toe bij dat leerlingen na verkenning van één of meerdere
concepten reflecteren op hun begrip van de concepten en hun vaardigheden, hun gevoel over de mate
van beheersing en over het nut en toepassing van de concepten binnen realistische contexten. Dit is een
schriftelijke en persoonlijke activiteit.
Zet je denkpet op
In deze activiteit worden de leerlingen uitgedaagd tot creatieve denkvaardigheden en strategieën om
complexe, vaak niet-routinematige problemen op te lossen. Deze activiteit draagt er toe bij dat de leerlin-
gen probleemoplossende competenties ontwikkelen, waaronder de toepassing van heuristieken.
Oefenen
Elke blokles wordt afgesloten met een uitgebreide serie opgaven die tot doel hebben om de leerlingen in
staat stellen de geleerde vaardigheden te consolideren.
Samenvatten
De kernconcepten die binnen een blok zijn verkend, worden bondig samengevat. Van de leerlingen wordt
gevraagd te reflecteren op hun leerproces, begrip, kennis en vaardigheid met betrekking tot deze concep-
ten. Dit is een mondelinge activiteit en vindt plaats in interactie.
Terugblik
Terugblik biedt een uitgewerkte voorbeeldopgave, waarin de geleerde kernvaardigheden zijn uitgewerkt. De
leerlingen worden zodoende handvatten geboden om te reflecteren op hun leerproces.
De terugblik komt overeen met de voorkennis op een volgende leerstap die de leerlingen zullen maken.
Algemene inleiding 9
7. 8. De opbouw van het materiaal
handleiding
Elk blok begint met een algemene inleiding over het
Gehele getallen (1)
1 betreffende rekenkundige domein, waarna een meer
specifieke beschrijving volgt van de vaardigheden en
Algemene inleiding
inzichten die binnen dit blok aan bod zullen komen.
Hoewel het domein van gehele getallen zich niet beperkt tot getallen en getalrelaties, maar juist ook het rekenen met
gehele getallen in vele rekenvormen betreft, gaat het in dit blok om de betekenis en de structuur van de grotere getallen.
Getalaspecten en getalrelaties betreffen een rekenonderwerp dat niet beperkt is tot het rekenen in de onderbouw, het
betreft het volledige primair onderwijs. In Rekenwonders is ervoor gekozen om getallen en operaties voorafgaand aan de
basisbewerkingen apart te beschouwen. Vaak blijven deze aspecten van getalbegrip onderbelicht, terwijl ze ons inziens
juist vooraf dienen te gaan aan de bewerkingen en later dienen te worden beschouwd in verbinding met de basisbewer-
kingen. Een goed ontwikkeld begrip van getallen is de beste garantie voor een goede rekenvaardigheid. Leerlingen zullen
aan de hand van de activiteiten in dit blok ervaren dat het samen onderzoeken van getallen en de getalrelaties een heel
leerzame en uitdagende bezigheid kan zijn.
Getallen en getalrelaties worden binnen Rekenwonders eerst beschouwd in contextsituaties, zowel door inbreng van de
leraar als door inbreng van de leerlingen, waarna de getallen worden bezien naar de orden van grootte en plaatswaarde.
Door getallen te beschouwen op hun specifieke structuurkenmerken, de relatie tot andere getallen en de verschillende
manieren waarop ze kunnen voorkomen en kunnen worden gerepresenteerd, worden via de handelingsniveaus van con-
creet naar representatie naar abstract de kansen vergroot om de leerlingen te helpen een sterk maatgevoel voor getallen
te ontwikkelen en wordt bij hen een stevige basis tot gecijferdheid gelegd.
Blokspecifieke inleiding
In dit eerste blok van de drie blokken over gehele getallen gaat het om het contextualiseren, positioneren en structuren
van getallen tot honderdduizend. De kennis van getallen en vaardigheid ten aanzien van de basisbewerkingen die de leer-
lingen in voorgaande leerjaren hebben opgedaan, wordt systematisch uitgebreid. In dit blok vindt de overgang plaats van
gebruik van proportioneel materiaal (MAB) naar niet-proportioneel materiaal (getalfiches) om getallen te representeren.
De leerlingen zullen in les 1 de telrij en telstrategieën verder verkennen bij grotere getallen, waarna direct de koppeling
Doorgaande leerlijn
plaatsvindt met de concepten van plaatswaarde. In les 2 wordt de structuur van de getallen verder verkend door getallen
te vergelijken via plaatswaarde en te rangschikken naar grootte. In de activiteiten aan het eind van dit blok oefenen de
Groep 6
kinderen nog een keer met het positioneren van getallen tot 100 000 op de getallenlijn. Groep 6 (blok 2)
Groep 5
De leerlingen kunnen:
• doortellen met duizenden naar
De leerlingen kunnen:
• doortellen met duizenden en tiendui-
zenden naar honderdduizend;
De leerlingen kunnen:
• gehele getallen tot en met 5 cijfers
Elk blok biedt een globaal overzicht van de doorgaande
leerlijn in opeenvolgende jaren. Als leraar weet u wat
tienduizend; afronden naar de dichtstbijzijnde tien
• uitleggen dat 10 tienduizenden = 1
• uitleggen dat 10 duizenden = 1 tien- of honderd;
honderdduizend;
duizend; • de getallenlijn gebruiken als model
• plaatswaardemodellen van 5-cijfe-
• plaatswaardemodellen van 4-cijfe-
rige getallen vertalen naar cijfers en
woorden en andersom;
rige getallen vertalen naar cijfers en
woorden en andersom;
voor het regelgeleid afronden;
• op basis van een gegeven getal de
boven- en ondergrens aangeven
er in dit blok centraal staat, welke voorkennis daaraan
• de plaats en waarde benoemen van
• de plaats en waarde benoemen van
elk cijfer in een 4-cijferig getal;
• een 4-cijferig getal uitdrukken in
elk cijfer in een 5-cijferig getal;
• een 5-cijferig getal schrijven als de
waartussen een oorspronkelijk getal
kan hebben gelegen;
• schattend optellen en aftrekken,
voorafging en hoe dat in een volgend blok vervolg
krijgt.
som van de getalwaarden;
termen van duizenden, honderden, vermenigvuldigen en delen;
• een set 5-cijferige getallen vergelij-
tienen en enen; • schatten om te controleren of een
ken en rangschikken in oplopende en
• een set 4-cijferige getallen vergelij- verkregen antwoord redelijk kan zijn;
in aflopende volgorde van grootte;
ken en rangschikken in oplopende of • de delers van een geheel getal tot
• vaststellen hoeveel een getal meer
in aflopende volgorde van grootte; 100 geven;
of minder is in vergelijking tot een
• het getal benoemen dat 1, 10, 100 • de eerste twaalf veelvouden van een
ander getal;
of 1 000 meer of minder is dan een gegeven 1-cijferig getal geven;
• patronen herkennen in complexere
gegeven getal; • de gemeenschappelijke delers en
getalreeksen en deze reeksen com-
• patronen herkennen in getalreeksen veelvouden van twee gehele getallen
pleteren en voortzetten.
en reeksen completeren en voortzet- benoemen;
ten. • de concepten van delers en veelvou-
den relateren.
Blok 1: Gehele getallen (1) 13
Rekenwiskundetaal
Plaatswaarde en het tientallig positiestelsel
De binnen een blok specifieke rekenwiskundetaal wordt
Het plaatswaardeconcept houdt kortgezegd in dat de waarde van een cijfer wordt bepaald door de plaats die het
inneemt in een getal. Omdat de 10 de basis is van dit stelsel, spreken we ook wel van het ‘tientallig positiestelsel’. De
bouwstenen van ons tientallig stelsel zijn de cijfers 0 t/m 9. Door cijfers te combineren kunnen alle natuurlijke getal-
len worden verkregen. Voorbeeld: 9 876 = 9 × 1 000 + 8 × 100 + 7 × 10 + 6 × 1 oftewel 9 duizenden 8 honderden 7
tienen 6 enen. kort en bondig toegelicht.
Orde van grootte van getallen
Een ongelijkheid is in de wiskunde een relatie die iets zegt over de relatieve grootte van, in dit verband, twee ge-
hele getallen. Voor reële getallen volstaan drie beweringen, namelijk: a is groter dan b; b is kleiner dan a en a is gelijk
aan b. De termen grootst en kleinst worden gebruikt om de boven- en ondergrens te bepalen van een set vergele-
ken getallen.
Patroon en reeks
In Rekenwonders duidt de term reeks op een oneindige rij getallen die een patroon volgen oftewel een bepaalde
regelmaat. Door de overeenkomsten en verschillen tussen opeenvolgende getallen te observeren, kan een regel
worden afgeleid. Voorbeeld: 4, 8, 16, 32 en 64 (Regel: elk getal verdubbeld met zichzelf geeft het volgende getal).
Blokoverzicht 1 Gehele getallen (1)
Week Aantal Instructiedoelen Denkvaardigheden Elk blok heeft een blokoverzicht om u te helpen uw
perioden en heuristieken
14
1 2 Blokopener en voorkennis
Blok 10: Geld getallen (1)
1: Gehele
• Toepassen van de plaatswaardecon- lessen gedurende een bepaalde periode te plannen.
cepten
• Strategisch denken
• Terug in herinnering roepen van aan-
U krijgt op één of enkele pagina’s een overzicht van
instructiedoelen per les, leerdoelen van de specifieke
wezige voorkennis en vaardigheden
• Reflecteren
1 6 Les 1 Getallen tot en met 100 000
De leerlingen kunnen:
• doortellen met duizenden naar tienduizend;
• Vergelijken
• Rangschikken
• Identificeren van relaties en patronen
activiteiten en de denkvaardigheden en de probleem-
• doortellen met tienduizenden naar honderduizend;
• uitleggen dat 10 duizenden = 1 tienduizend en dat 10 tiendui- oplossende strategieën.
zenden = 1 honderdduizend;
• plaatswaardemodellen van getallen tot honderdduizend verta-
len naar cijfers en woorden en andersom;
• de plaats en waarde benoemen van elk cijfer in een 5-cijferig
getal;
• een getal schrijven als de som van de getalwaarden.
1-2 6 Les 2 Getallen vergelijken • Vergelijken
De leerlingen kunnen: • Sequentiëren
• een set 5-cijferige getallen vergelijken en rangschikken in oplo- • Identificeren van patronen en relaties
pende en in aflopende volgorde;
• vaststellen hoeveel meer of minder een getal is in vergelijking
tot een ander getal;
Rekenwonders is een programma dat per leerjaar een
• patronen herkennen in getalreeksen en op basis van deze con-
ditie of condities een reeks compleet maken en voortzetten. aanbod heeft voor 36 onderwijsweken. Om u te helpen
2 1 Op onderzoek
De leerlingen onderzoeken: een tijdplanning te maken voor de organisatie van uw
rekenwiskundeonderwijs gedurende een blok, is er
• de patronen in de opeenvolgende getalreeksen in kolommen
en rijen van een tabel.
2 1 Mijn Rekendagboek
De leerlingen reflecteren:
• op hun begrip van de concepten die vereist zijn voor vergelij-
• Reflecteren
een suggestie gegeven van een tijdpad.
ken en rangschikken van getallen;
• op hun begrip van de concepten van plaatswaarde door een
getal te beschrijven in termen van de cijferwaarden.
2 1 Zet je denkpet op • Vergelijken
Het is belangrijk te weten dat binnen Rekenwonders
wordt uitgegaan van 1 uur rekenen per dag en geteld
De leerlingen kunnen: • Ruimtelijk inzicht
• de gegeven patronen onderzoeken en de concepten van • Toepassen van de plaatswaardecon-
plaatswaarde toepassen om de gevraagde getallen te vinden; cepten
• gegeven getallen markeren op een getallenlijn tussen 10 000 en
20 000, 16 500 en 16 600.
• hun begrip van de concepten van plaatswaarde toepassen door
Heuristieken voor probleemoplossen
• Een patroon zoeken
wordt in perioden van een half uur.
een getal te beschrijven in termen van de cijfers. • Een diagram tekenen
10 Algemene inleiding
8. In de kaders met blauwe achtergrond wordt een overzicht gegeven van de:
ff Instructiedoelen
ff Kernconcepten
ff Benodigdheden
ff Denkvaardigheden
ff Heuristieken
ff Additionele activiteiten
ff Individueel werk (verwijzing naar de corresponderende oefeningen in het Rekenschrift)
ff Bronnen voor differentiatie (verwijzing naar het Dubbelboek)
Instructiedoelen
De leerlingen kunnen:
„ doortellen met duizenden naar tiendui-
zend; Les
„ doortellen met tienduizenden naar
honderduizend;
1 Getallen tot en met 100 000
„ uitleggen dat 10 duizenden = 1 tien- Terugblik
duizend en dat 10 tienduizenden = 1
Voor het gebruikersgemak is een pagina van het Reken-
Tellen met duizenden naar tienduizend
honderdduizend;
„ plaatswaardemodellen van getallen tot 1
honderdduizend vertalen naar cijfers en
woorden en andersom;
„ de plaats en waarde benoemen van elk
a 1 000, 2 000, 3 000, 4 000, 5 000, 6 000, 7 000, 8 000, 9 000, 10 000
+ 1 000
boek opgenomen in de handleiding.
cijfer in een 5-cijferig getal; 9 000 10 000
„ een getal schrijven als de som van de
getalwaarden. 10 duizenden = 1 tienduizend
We schrijven dit als
10 000 of tienduizend.
Tienduizenden Duizenden Honderden Tienen Enen
Kernconcepten
9 000
„ 10 000 = 10 duizenden en 100 000 = 10
tienduizenden
„ Een getal kan worden gerepresenteerd Tienduizenden Duizenden Honderden Tienen Enen
in concrete, schematische of symboli-
sche vorm.
Tienduizenden Duizenden Honderden Tienen Enen
Denkvaardigheden 10 000
„ Vergelijken
„ Rangschikken
„ Identificeren van relaties en patronen 10 duizenden = 1 tienduizend
b
Sven Kramer opnieuw kampioen
Benodigdheden Thialf/Heerenveen - Sven Kramer rijdt een nieuw
baanrecord op de 10 000 m langebaanschaatsen.
Voor elke leerling:
„ een plaatswaardetabel (werkblad 2)
„ een set fiches 12
1
De witte kaders beschrijven een voorgesteld instructiepad
„ Blik samen met de leerlingen terug op de concepten van plaatswaarde bij 4- en 5-cijferige getallen, welke reeds zijn ver-
kend in groep 5. Introduceer het getal 10 000 door gebruik te maken van een contextsituatie, bijvoorbeeld via de schaats-
afstand van 10 000 m voor de mannen. Vraag de leerlingen zelf ook zinvolle benoemingen voor 10 000 te bedenken.
“10 000 m is dat ver? Is het eigenlijk vreemd om deze afstand in meters uit te drukken? Wat vind jij?”
“Kun je je iets voorstellen bij een afstand van 10 000 meter? Hoeveel voetbalvelden in lengte zijn dit?” bij de activiteiten op de betreffende pagina in het leerlin-
“Deze afstand wordt gereden over 25 rondes van 400 meter. Als het wereldrecord werd gereden in ongeveer 12 min. 41 sec., deed de
„
schaatser er dan meer of minder dan een minuut over om 1 ronde af te leggen?”
Herhaal het tellen met stappen van 1 000 naar 10 000. Maak gebruik van fiches en een plaatswaardetabel om de activi-
genboek. Eveneens worden er voorbeelden van vraagstel-
teit op een niveau van concreet handelen te laten plaatsvinden. U kunt de leerlingen bijvoorbeeld vragen om het getal
4 997 te representeren met fiches op een plaatswaardetabel. Moedig hen aan om hardop te tellen. lingen en aanwijzingen ten aanzien van de verwerking van
“1 duizend, 2 duizenden,[ ...] 4 duizenden.”
“4 tienduizenden. Hoe is dat met de andere cijferwaarden van 4 997?”
“Wat is de waarde van het cijfer 9 op elke plaats in dit getal?”
de opgaven gegeven.
“Als we nog twee enen toevoegen aan 4 997, wat verandert er dan aan de waarde van dit getal? En als we geen twee, maar drie
enen zouden toevoegen? Leg uit.”
„ Verduidelijk de procedure van hergroeperen en maak inzichtelijk dat 9 duizenden + 10 honderden = 9 000 + 1 000 =
10 000. Schrijf 10 000 in woorden en in cijfers op het bord en benadruk dat 10 tienduizenden = 1 honderdduizend.
“Wat gebeurt er wanneer je 1 optelt bij 9 999? Leg uit. Hoe zit dat wanneer je 1 aftrekt van 10 000?”
20 Blok 1: Gehele getallen (1) Blok 1: Gehele getallen (1) 21
Additionele activiteiten
In aanvulling op de activiteiten uit het Rekenboek, zijn in de handleiding op veel plaatsen additionele activiteiten opgeno-
men, die u kan inzetten om de leerlingen te helpen hun vaardigheden te vergroten en inzichten te verdiepen. Deze hebben
geenszins een verplicht karakter, maar vaak wel een aanvullende waarde op de leerstof. Deze activiteiten kunnen voor de
hele groep worden ingezet, maar ook gericht worden ingezet voor een groepje leerlingen.
Specifieke activiteiten in dit kader zijn die gebaseerd op coöperatieve leerstructuren. Ze zijn te herkennen aan de benaming
van de activiteit met de toevoeging CLS. Kenmerkend voor deze activiteiten is dat leerlingen zodanig met elkaar samen-
werken, dat de betrokkenheid van alle deelnemers optimaal en gelijkwaardig is. Dit komt omdat de activiteit voldoet aan
zogenaamde GIPS-criteria:
GIPS is wat coöperatieve leerstrategieën onderscheidt van andere onderwijsstrategieën. Deze vier principes vormen de
essentie van een coöperatieve samenwerking en genereren een hoog leerrendement, mits uitgevoerd volgens de beschreven
coöperatieve structuur.
Algemene inleiding 11
9. 9. Bronnen voor differentiatie: Rekenboek, Rekenschriften en Dubbelboeken
Goed onderwijs gaat uit van verschillen tussen leerlingen. Om u handreikingen te bieden om het rekenwiskundeonderwijs
zo af te stemmen op de onderwijsbehoeften van uw leerlingen, zijn er bij Rekenwonders een aantal additionele materialen
ontwikkeld. Deze materialen stemmen overeen met het basisprogramma en bieden mogelijkheden voor zowel variatie
qua werkvorm als opdrachten, inhouden en materieel handelen.
Rekenboek
Het Rekenboek biedt een overzicht aan verschillende ‘leerlingacties’ waarbinnen slechts één rekenwiskundig onderwerp
per blok centraal staat. Deze activiteiten volgen elkaar min of meer op in graad van moeilijkheid. Het Rekenboek kan wor-
den ingezet voor het bespreken van inhouden, voor zelfstandig of individueel oefenen en als reflectiemiddel.
Rekenschriften
De rekenschriften bieden individuele oefenkansen van rekenvaardigheden, maar bieden eveneens rekenuitdagingen en
momenten voor reflectie.
Dubbelboeken
Het dubbelboek is een ‘omkeerboek’ dat dubbel inzetbaar is. Meer oefenen biedt inhouden die in meer oefenstof voorzien.
Verder oefenen biedt inhouden die in verrijkingsstof voorzien. De inhouden van het verrijkingsdeel dagen de leerlingen
uit rekenwiskundige kennis, concepten en formules toe te passen en te produceren in een meer complexe en andere
context dan is onderwezen, terwijl de inhouden van het andere deel meer uitgaan van bekende contexten en geoefende
situaties.
Didactische wenken
ffHoud boeken, mits mogelijk, zolang mogelijk van de tafels van de leerlingen.
ffHoud bij elke ‘Leren-activiteit’ de boeken gesloten. Verken met de leerlingen de rekenwiskundige ideeën die bij ‘Leren’
beschreven staan en zet de gepresenteerde modellen en teksten in het Rekenboek vervolgens in als middel tot reflectie.
ffLaat de leerlingen in het rekenschrift niet van kaft tot kaft werken. Selecteer opgaven die bruikbaar zijn voor uw leerlin-
gen binnen uw werksituatie.
ffHoud er rekening mee dat het verrijkingsdeel (Verder oefenen) van het Dubbelboek inhouden biedt die niet synchroon
lopen met de lessen.
ffLaat leerlingen zoveel mogelijk samen werken aan de opgaven in het Dubbelboek en moedig aan dat ze ideeën, reken-
stappen naar elkaar toe verwoorden en elkaar controleren en coachen.
10. Formatieve en summatieve evaluatie
Rekenwonders biedt handreikingen tot formatieve evaluatie en materiaal voor summatieve evaluatie. Onder formatieve
evaluatie verstaan wij een evaluatie die gericht is op bijsturing van het leerproces in de gewenste richting binnen de leer-
situatie zelf. Summatieve evaluatie beschouwen wij als een evaluatie die plaatsvindt aan het einde van een specifiek deel
van het leerproces.
Formatieve evaluatie en feedback
Het rekenwiskundeonderwijs dat we met het programma Rekenwonders nastreven, vertrekt vanuit de opvatting dat effec-
tief onderwijs is gebaseerd op voortdurende feedback van de leraar over de voortgang van de leerling. Als leraar obser-
veert u continu en authentiek leerlingen in de situatie zelf om instructie, werkwijze, taal en materiaal af te stemmen op de
ontwikkeling van de leerlingen. Het handelingsmodel, zoals beschreven bij punt 3 in deze inleiding, maar dat ook uitvoerig
beschreven wordt in het ERWD-protocol, biedt u als leraar handvatten om passend onderwijs te realiseren.
Didactische wenken
ffObserveer de leerlingen en toets informeel hun begrip en vaardigheid terwijl ze in individueel of samenwerkend in actie
zijn. Ook bij introductie van nieuwe leerstof of activiteiten met de hele groep leerlingen, heeft u als leraar de mogelijk-
heid om individuele leerlingen te observeren. Deze observaties kunnen er toe leiden dat u besluit, in navolging van de
introductie, de ontwikkeling van een aantal leerlingen specifieker te volgen tijdens het zelfstandig werken.
ffHoud zicht op de individuele voortgang van de leerlingen door per leerling notities te maken in een logboek. Laat de
leerlingen zelf ook notities maken over hun leren in een logboek ofwel Rekendagboek.
ffNeem kennis van de Rekendagboeken van uw leerlingen. De informatie daaruit geeft u zicht op hoe zijzelf vinden dat zij
zich ontwikkelen. De Rekendagboeken van de leerlingen kunnen, mits door hen goed gebruikt, een waardevolle aanvul-
ling vormen op uw eigen observaties.
ffDiscussies met de leerlingen en presentaties van de leerlingen aan het einde van elke activiteit voorzien in kansen voor
zowel individuele evaluatie als gezamenlijke evaluatie.
12 Algemene inleiding
10. Summatieve evaluatie en verantwoording
Voor uw gebruikersgemak zijn er bij Rekenwonders schriftelijke standaardtoetsen ontwikkeld. Deze traditionele evaluatiemid-
delen kunnen worden gezien als een extra bron van informatie over de rekenwiskundige ontwikkeling van de leerlingen, maar
eveneens als middel om de effectiviteit van het rekenwiskundeonderwijs te monitoren.
De volgende standaardtoetsen en afname-instructies zijn met uw inlogcode downloadbaar via www.bazalt.nl/rekenwonders:
Toets Aantal per leerjaar Afnameduur
Bloktoetsen Variërend van 6 à 8 per leerjaar Circa 1 uur
Voortgangstoetsen Twee per leerjaar Circa 1 1 uur
2
(Half )jaartoetsen Twee per leerjaar Circa 1 1 uur
2
Coöperatieve Rekenuitdagingen Vier per leerjaar Circa 30 minuten
Bloktoetsen, voortgangstoetsen en halfjaartoetsen
ffBloktoetsen: toetsing op leerinhouden van twee à drie blokken per keer.
ffVoortgangstoetsen: tussentijdse toetsing op leerinhouden die tot dusver aan bod zijn geweest. Deze kunnen vaststellen of
onderwezen inhouden goed beheerst worden en blijven. Meestal 4 à 6 blokken per keer.
ff(Half )jaartoetsen: de eerste toets biedt opgaven over de leerinhouden van het eerste halfjaar. De tweede toets betreft leer-
stof over de leerinhouden van het gehele leerjaar.
Bij elk bloktoets en (half )jaartoets horen herhalingsopdrachten in het rekenschrift die corresponderen met de leerinhouden
van deze blokken. Voortgangstoetsen sluiten aan op de behandelde leerinhouden, maar kennen geen herhalingsopdrachten
in het rekenschrift.
De toetsvragen bij elk van deze drie toetsen zijn opgebouwd in drie delen, A, B en C, die elk een specifiek aspect van het
cognitieve domein aftoetsen: kennis, rekenkundig begrip en toepassingsvaardigheid. De vraagstelling bij elk toetsonderdeel
varieert.
Toetsdeel Aspect van het cognitieve domein Vraagstelling
• Matchen van items
Het kennisaspect dat refereert aan het vermogen om specifieke rekenwiskundige
( 1 = 0,25%)
4
A feiten, concepten en formules te reproduceren en rechttoe rechtaan te gebruiken om
• Multiple-Choice (A,
relatief eenvoudige opgaven te maken.
B, C of D)
Het begripsaspect dat refereert aan het vermogen om informatie te interpreteren en
• Gesloten vragen,
B rekenwiskundige kennis, concepten en formules toe te passen in situaties die geleerd
(korte antwoorden)
en onderwezen zijn.
• Verhaalopgaven
Het toepassingsaspect dat refereert aan het vermogen om informatie te interpreteren,
• Rekenproblemen
C te relateren en rekenwiskundige kennis, concepten en formules toe te passen en te
(rekenstappen en
produceren in een meer complexe en andere context dan is onderwezen.
antwoorden)
Coöperatieve Rekenuitdaging
De coöperatieve Rekenuitdaging is een toets die de leerlingen, in tegenstelling tot de andere toetsen, samen maken. Het be-
treft een klein aantal niet-routinematige rekenproblemen die minder scherp gedefinieerd zijn en lastiger zijn om op te lossen.
De leerlingen worden uitgedaagd complexere begrippen, vaardigheden en informatie tegelijkertijd te hanteren. Dit doet een
beroep op goed georganiseerde kennis.
Het doel van deze opgaven is niet zo zeer om tot een juiste oplossing te komen, maar meer het denken zelf. Dus als object van
denkhandelingen. Dit niveau van denken noemen we metacognitief.
Deze toets kunnen leerlingen maken volgens een coöperatieve structuur, waardoor meer geleerd wordt, hogere betrokken-
heid wordt gegenereerd, de uitdaging leuker wordt en persoonlijke en sociale vaardigheden worden ontwikkeld. De coöpera-
tieve didactische structuur Genummerde Koppen Bij Elkaar leent zich hier uitstekend voor.
Algemene inleiding 13
11. Genummerde Koppen Bij Elkaar (CLS)
De leerlingen werken samen in groepen van 4 of 5 en zitten op genummerde plaatsen.
1. De leraar geeft een opdracht.
2. Leerlingen lezen eerst individueel de opdracht.
3. Individuele denktijd, waarbij leerlingen aantekeningen maken.
4. Leerlingen steken de ‘koppen bij elkaar’ en bespreken samen het probleem en delen hun zienswijze en notities.
5. Leerlingen proberen samen tot consensus te komen over het probleem en een antwoord. Ze coachen, controleren en
waarderen elkaars ideeën.
6. Ze noteren een teamantwoord en zorgen ervoor dat elk groepslid het probleem, de aanpak en de oplossing kan toelichten.
7. De leraar noemt een nummer. De leerlingen van elk team die dat nummer hebben, gaan staan en presenteren om de beurt
hun antwoord.
8. Teamleden vieren hun gezamenlijk succes.
Er is een digitaal systeem ontwikkeld dat door gebruikers van Rekenwonders gratis gedownload kan worden om resultaten
geclusterd per leerjaar overzichtelijk te registreren.
Rekenwonders beschouwt rekentoetsen van Cito zoals ze bedoeld zijn, namelijk als een onafhankelijk volgsysteem van de
leerlingen met betrekking tot hun rekenwiskundige ontwikkeling.
Didactische wenken
ffStel zelf uw toets samen om er zeker van te zijn dat deze aansluit bij de wijze waarop u met uw leerlingen de rekenin-
houden hebt verkend. U kunt de gegeven opgaven hanteren als bron.
ffSelecteer opgaven en toets enkel schriftelijk die leerinhouden af die u nodig acht. Een leerling individueel iets laten
maken waarvan u als leraar, maar ook de leerling zelf, weet dat hij of zij dit niet kan, is naast zinloos erg vervelend.
ffOordeel en markeer positief. Kijk niet enkel naar de antwoorden, maar ook naar de aanpak. De gekozen aanpak voorziet
in meer handelingsgerichte informatie dan het gegeven antwoord.
ffReflecteer gezamenlijk, maar ook individueel met leerlingen op de toetsresultaten. Betrek de leerlingen in hun leerproces.
Praat met de leerlingen over leerdoelen en stel ze samen op.
14 Jaarplanning groep 5
