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Sistemas de Ecuaciones Lineales y
            Matrices

             Oscar G Ibarra-Manzano, DSc

                          ´
  Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de Ingenier´as
                                             ´                  ı
                                 ´        ´               ´
      Facultad de Ingenier´a, Mecanica, Electrica y Electronica
                          ı


                 Trimestre Invierno 2008,
                   10 de enero de 2008
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales




Contenido


        1    Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
                                                          ´
               Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
               Gauss-Jordan
               Resumen

        2    Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Resumen

        3    Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
               Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales




Contenido


        1    Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
                                                          ´
               Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
               Gauss-Jordan
               Resumen

        2    Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Resumen

        3    Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
               Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



    y                                                 La l´nea recta
                                                          ı
                                                      Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                             ı
                                                      recta son:

              (x2 , y2 )
                                                      Propiedad:
                                                                La pendiente m de una recta que pasa por
   ∆y
                         (x1 , y1 )                                                                   ´
                                                                los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) esta dada por:
                                                                                       y2 −y1         ∆y
              ∆x                                                             m=        x2 −x1    =    ∆x        si x1 = x2
                                              x
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



    y                                                 La l´nea recta
                                                          ı
                                                      Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                             ı
                                                      recta son:


                         (x2 , y2 )                   Propiedad:

              ∆y                                                Si x2 − x1 = 0 y y2 = y1 , entonces la recta
                                                                es vertical y se dice que la pendiente es
        ∆x = 0           (x1 , y1 )                             indefinida.
                                              x
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



    y                                                 La l´nea recta
                                                          ı
                                                      Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                             ı
                                                      recta son:
        b
                                                      Propiedad:
                                                                Cualquier recta (excepto una con pendiente
                         y = mx + b                             indefinida) se puede describir escribiendo
    m=        ∆y                                                         ´
                                                                su ecuacion en la forma
              ∆x
                                              x                 pendiente-ordenada y = mx + b, donde m
                                                                es la pendiente de la recta y b es la
                                                                ordenada.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



        y                                              La l´nea recta
                                                           ı
                                                       Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                              ı
                                                       recta son:
            b2
                      y = mx + b                       Propiedad:
                                                                                                         ´
                                                                Dos rectas distintas son paralelas si y solo
                         L2 : m2
            b1                                                  si tienen la misma pendiente.
L1 : m1
                                                   x
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



      y                                               La l´nea recta
                                                          ı
                                                      Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                             ı
                                                      recta son:

                    ax + by = c                       Propiedad:
     a
m = −b                                                                      ´
                                                                Si la ecuacion de la recta se escribe en la
                                                                forma ax + by = c (b = 0), entonces, se
                                                                                ´
                                                                puede calcular facilmente la pendiente de
                                                                                       a
                                                 x              la recta como, m = − b .
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                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



    y                                                 La l´nea recta
                                                          ı
                                                      Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                             ı
                                                      recta son:
                       1
                m2 = − m1
                                                      Propiedad:
                                                                Si m1 es la pendiente de la recta L1 , y m2
 L1 : m1
                                  L2 : m2                       es la pendiente de la recta L2 , m1 = 0 y L1
                                                                y L2 son perpendiculares, entonces
                                                                        1
                                              x                 m2 = − m1 .
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                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



    y                                                 La l´nea recta
                                                          ı
                                                      Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                             ı
                                                      recta son:

                                                      Propiedad:
              L:m=0
                                                                Las rectas paralelas al eje x tienen una
                                                                pendiente de cero.

                                              x
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                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Propiedades de la l´nea recta
                   ı



    y                                                 La l´nea recta
                                                          ı
                                                      Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
                                                                                             ı
                                                      recta son:

                                                      Propiedad:
             L : m → indefinida                                  Las rectas paralelas al eje de las y tienen
                                                                una pendiente indefinida.

                                              x
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


                                   ´
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas


                                                                                   ´ ´
                                                          Un sistema con una solucion unica
                                                          Considere el sistema
 Sistema de ecuaciones
                                                                                            x −y =7
 Consideremos el sistema de
                                                                                            x +y =5
 dos ecuaciones con dos
    ´
 incognitas:
                                                                ´
                                                          Solucion
            a11 x + a12 y = b1                                                            ´
                                                          Sumando ambas ecuaciones y despues
                                                              ´
                                                          restandolas, obtenemos:
            a21 x + a22 y = b2
                                                                                               x =6
                                                                                              y = −1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


                                   ´
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas


                                                          Un sistema con un numero infinito de
                                                                             ´
                                                          soluciones
 Sistema de ecuaciones                                    Considere el sistema
 Consideremos el sistema de
                                                                                          x −y =7
 dos ecuaciones con dos
                                                                                        2x − 2y = 14
    ´
 incognitas:

            a11 x + a12 y = b1                                  ´
                                                          Solucion
                                                          Para este sistema podemos observar que
            a21 x + a22 y = b2
                                                          2(x − y = 7), por lo tanto la solucion es de la
                                                                                              ´
                                                          forma:
                                                                                            y =x −7
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


                                   ´
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas


                                                                               ´
                                                          Un sistema sin solucion
                                                          Considere el sistema
 Sistema de ecuaciones
                                                                                          x −y =7
 Consideremos el sistema de
                                                                                        2x − 2y = 13
 dos ecuaciones con dos
    ´
 incognitas:
                                                                ´
                                                          Solucion
            a11 x + a12 y = b1
                                                          En este caso tenemos 2(x − y = 13 ), por lo
                                                                                              2
            a21 x + a22 y = b2                            tanto las rectas son paralelas y diferentes.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


            ´
Representacion matricial de sistemas lineales




                                                                         ´
                                                                  Definicion
La matriz de coeficientes, A es:
                                                                Una Matriz es un arreglo rectangular de
               2 4     6                                          numeros. Por ejemplo, para el sistema de
                                                                   ´
      A= 4 5          6                                         ecuaciones lineales:
               3 1 −2
                                                                            2x1        +      4x2       +       6x3       =      18
                                                                            4x1        +      5x2       +       6x3       =      24
                                                                            3x1        +      1x2       −       2x3       =       4
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


            ´
Representacion matricial de sistemas lineales




                                        ´
                                Definicion
La matriz aumentada del sistema
es:                             Una Matriz es un arreglo rectangular de
                              numeros. Por ejemplo, para el sistema de
                                 ´
        2 4    6 | 18           ecuaciones lineales:
     4 5      6 | 24 
        3 1 −2 |     4              2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
                                    4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
                                    3x1 + 1x2 − 2x3 =              4
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Operaciones elementales en una matriz:


        Operaciones elementales con renglones
           1                                    ´
                Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.
                                                           ´
           2                                      ´           ´
                Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.
                              ´
           3    Intercambiar dos renglones.

        Ejemplo:
                                                                                                          
               2 4  6 | 18            1 2                                                             3 |  9
                                  1 
             4 5   6 | 24  R1 → R1 4 5                                                              6 | 24 
                                  2
               3 1 −2 |  4 −− − −
                              − − −→ 3 1                                                             −2 |  4
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Operaciones elementales en una matriz:


        Operaciones elementales con renglones
           1                                    ´
                Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.
                                                           ´
           2                                      ´           ´
                Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.
                              ´
           3    Intercambiar dos renglones.

        Ejemplo:

                                                                                                                       
             2 4             6 | 18                   2                                        4  6 |                  18
            4 5             6 | 24  R2 → R2 − 2R1  0                                       −3 −6 |                 −12 
                                      −− − − − −
                                       − − − − −→
             3 1            −2 |  4                   3                                        1 −2 |                   4
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


Operaciones elementales en una matriz:


        Operaciones elementales con renglones
           1                                    ´
                Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.
                                                           ´
           2                                      ´           ´
                Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.
                              ´
           3    Intercambiar dos renglones.

        Ejemplo:
                                                                 
                      2 4             6 | 18            4 5  6 | 24
                     4 5             6 | 24  R1  R2  2 4  6 | 18 
                                               −− −→
                                               −−−
                      3 1            −2 |  4            3 1 −2 |  4
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

   2x1       +      4x2       +      6x3       =       18                          
                                                                                     2          4      6 | 18
                                                                                                              
   4x1       +      5x2       +      6x3       =       24                           4          5      6 | 24 
   3x1       +      1x2       −      2x3       =        4                            3          1     −2 |  4


Procedimiento:
  1    Se selecciona el pivote.
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

   2x1       +      4x2       +      6x3       =       18                          
                                                                                     2          4      6 | 18
                                                                                                              
   4x1       +      5x2       +      6x3       =       24                           4          5      6 | 24 
   3x1       +      1x2       −      2x3       =        4                            3          1     −2 |  4

                                                                                                R1 → 1 R1
                                                                                                − − −2−
                                                                                                 − − −→
Procedimiento:                                                                                               
                                                                                     1          2      3 |  9
  1    Se selecciona el pivote.                                                     4          5      6 | 24 
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                     3          1     −2 |  4
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

   2x1       +      4x2       +      6x3       =       18                          
                                                                                     1          2      3 |  9
                                                                                                              
   4x1       +      5x2       +      6x3       =       24                           4          5      6 | 24 
   3x1       +      1x2       −      2x3       =        4                            3          1     −2 |  4
                                                                                           R2 → R2 − 4R1
                                                                                           R3 → R3 − 3R1
Procedimiento:                                                                             −− − − − −
                                                                                            − − − − −→
       Se selecciona el pivote.
  1
                                                                                                       
                                                                                 1          2   3 |   9
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                0         −3  −6 | −12 
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri                                                0         −5 −11 | −23
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

   2x1       +      4x2       +      6x3       =       18                      
                                                                                 1          2   3 |   9
                                                                                                        
   4x1       +      5x2       +      6x3       =       24                       0         −3  −6 | −12 
   3x1       +      1x2       −      2x3       =        4                        0         −5 −11 | −23
                                                                                                      1
                                                                                               R2 → − 3 R2
                                                                                               −− − −→
                                                                                                −−−−
Procedimiento:                                                                                         
                                                                                 1          2   3 |   9
  1    Se selecciona el pivote.                                                 0          1   2 |   4 
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                 0         −5 −11 | −23
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

   2x1       +      4x2       +      6x3       =       18                      
                                                                                 1          2   3 |   9
                                                                                                        
   4x1       +      5x2       +      6x3       =       24                       0          1   2 |   4 
   3x1       +      1x2       −      2x3       =        4                        0         −5 −11 | −23
                                                                                           R3 → R3 + 5R2
                                                                                           −− − − − −
                                                                                            − − − − −→
Procedimiento:                                                                                                        
                                                                                     1 2  3 |                        9
  1    Se selecciona el pivote.                                                     0 1  2 |                        4 
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                     0 0 −1 |                       −3
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

   2x1       +      4x2       +      6x3       =       18                          
                                                                                     1 2  3 |                        9
                                                                                                                       
   4x1       +      5x2       +      6x3       =       24                           0 1  2 |                        4 
   3x1       +      1x2       −      2x3       =        4                            0 0 −1 |                       −3

                                                                                               R3 → − 1 R3
                                                                                                − − − 1−
                                                                                               −− − −→
Procedimiento:                                                                                                    
                                                                                        1            2 3       | 9
  1    Se selecciona el pivote.                                                        0            1 2       | 4 
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                        0            0 1       | 3
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss

Ejemplo

   2x1       +      4x2       +      6x3       =       18                             
                                                                                        1            2 3       | 9
                                                                                                                   
   4x1       +      5x2       +      6x3       =       24                              0            1 2       | 4 
   3x1       +      1x2       −      2x3       =        4                               0            0 1       | 3
                                                                           1x1        +      2x2       +       3x3       =         9
                                                                                             1x2       +       2x3       =         4
Procedimiento:
                                                                                                               1x3       =         3
  1    Se selecciona el pivote.                                                                                                
                                                                              x1       9 − 2x2 − 3x3
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                             x2  =     4 − 2x3    
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri                                             x3             3
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

 2x1        + 4x2            +  6x3             = 18                                
                                                                                      2         4      6 | 18
                                                                                                              
 4x1        + 5x2            +  6x3             = 24                                 4         5      6 | 24 
 2x1        + 7x2            + 12x3             = 30                                  2         7     12 | 30


Procedimiento:
  1    Se selecciona el pivote.
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

 2x1        + 4x2            +  6x3             = 18                                
                                                                                      2         4      6 | 18
                                                                                                              
 4x1        + 5x2            +  6x3             = 24                                 4         5      6 | 24 
 2x1        + 7x2            + 12x3             = 30                                  2         7     12 | 30

                                                                                                R1 → 1 R1
                                                                                                − − −2−
                                                                                                 − − −→
Procedimiento:                                                                                               
  1    Se selecciona el pivote.                                                       1         2      3 |  9
                                                                                     4         5      6 | 24 
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                      2         7     12 | 30
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

 2x1        + 4x2            +  6x3             = 18                                
                                                                                      1         2      3 |  9
                                                                                                              
 4x1        + 5x2            +  6x3             = 24                                 4         5      6 | 24 
 2x1        + 7x2            + 12x3             = 30                                  2         7     12 | 30
                                                                                           R2 → R2 − 4R1
Procedimiento:                                                                             R3 → R3 − 2R1
                                                                                           −− − − − −
                                                                                            − − − − −→
  1    Se selecciona el pivote.                                                 
                                                                                  1  2  3 |   9
                                                                                                
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                 0 −3 −6 | −12 
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri                                                 0  3  6 |  12
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

 2x1        + 4x2            +  6x3             = 18                            
                                                                                  1  2  3 |                            9
                                                                                                                         
 4x1        + 5x2            +  6x3             = 24                             0 −3 −6 |                          −12 
 2x1        + 7x2            + 12x3             = 30                              0  3  6 |                           12

                                                                                               R2 → − 1 R2
                                                                                                      3
                                                                                               −− − −→
                                                                                                −−−−
Procedimiento:                                                                                           
  1    Se selecciona el pivote.                                                        1         2 3 |  9
                                                                                      0         1 2 |  4 
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                       0         3 6 | 12
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

 2x1        + 4x2            +  6x3             = 18                                 
                                                                                       1         2 3 |  9
                                                                                                          
 4x1        + 5x2            +  6x3             = 24                                  0         1 2 |  4 
 2x1        + 7x2            + 12x3             = 30                                   0         3 6 | 12
                                                                                           R → R1 − 2R
                                                                                           −1− − − − − 2
                                                                                            − − − − −→
Procedimiento:                                                                             R3 → R3 − 3R2
                                                                                           −− − − − −
                                                                                            − − − − −→
  1    Se selecciona el pivote.                                                                                    
                                                                                      1          0 −1           | 1
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri                                                     0          1  2           | 4 
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri                                                     0          0  0           | 0
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                                           ´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan


       ´
Reduccion de Gauss-Jordan

Ejemplo

 2x1        + 4x2            +  6x3             = 18                                
                                                                                      1          0     −1       | 1
                                                                                                                    
 4x1        + 5x2            +  6x3             = 24                                 0          1      2       | 4 
 2x1        + 7x2            + 12x3             = 30                                  0          0      0       | 0
                                                                             1x1          −   x3 =     1
Procedimiento:                                                                              1x2
                                                                                          + 2x3 =      4
                                                                                                  
  1    Se selecciona el pivote.                                                     x1       1 + x3
                                                                                   x2  =  4 − 2x3 
  2    Se calcula Ri → (1/ci )Ri
                                                                                    x3         x3
  3    Se calcula Rj → Rj − cj Ri
  4    Se repite para todos los
       elementos del pivote.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Resumen


Resumen




        Teorema
        El sistema
                                                       a11 x + a12 y = b1
                                                       a21 x + a22 y = b2

                Tiene una solucion unica si y solo si a11 a22 − a12 a21 = 0.
                                   ´ ´           ´
                                 ´
                No tiene solucion o tiene un numero infinito de soluciones si y
                                               ´
                solo si a11 a22 − a12 a21 = 0.
                 ´
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Resumen


Resumen




               ´
        Reduccion de Gauss & Gauss-Jordan
                                ´                                 ´
                En la eliminacion Gaussiana se reduce por renglon la matriz de
                coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el
                                       ´            ´                     ´
                valor de la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia
                            ´
                   ´                 ´    ´
                atras para las demas incognitas.
                               ´                                      ´
                En la eliminacion de Gauss-Jordan se reduce por renglon la
                matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por
                renglones usando el procedimiento descrito.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Resumen


Resumen




        Problemas - Tarea
           1    Pruebe que la distancia entre un punto (x1 , y1 ) y la recta
                               ´
                ax + by = c esta dada por:
                                                                      |ax1 +by1 +c|
                                                             d=          √
                                                                             a2 +b2

           2    Encuentre la distancia entre la recta 2x − y = 6 y el punto de
                interseccion de las rectas 2x − 3y = 1 y 3x + 6y = 12.
                          ´
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Resumen


Resumen




                                   ´
        Problemas - Tarea - Reduccion de Gauss-Jordan
           1             ´                ´
                ¿Para que valor de k tendra soluciones no triviales el siguiente
                sistema?:

                                                 1x       +       1y       + 1z            = 0
                                                 2x       +       3y       + 4z            = 0
                                                 3x       +       4y       + kz            = 0
           2                                               ´
                Comprueba el resultado aplicando la reduccion de Gauss-Jordan
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales




Contenido


        1    Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
                                                          ´
               Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
               Gauss-Jordan
               Resumen

        2    Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Resumen

        3    Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
               Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices     Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                           ´
Definiciones y operaciones basicas


                    ´
        Vector renglon de n componentes
                                  ´
        Se define a un vector renglon de n componentes como un
        conjunto ordenado de n numeros escritos de la siguiente manera:
                                ´

                                                         x1       x2      ···       xn

                               ´
        Ejemplo: 5-vector renglon

                                                 x=          2     1      3      5 −1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices     Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                           ´
Definiciones y operaciones basicas


        Vector columna de n componentes
        Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado
        de n numeros escritos de la siguiente manera:
              ´
                                            
                                         x1
                                       x2 
                                            
                                       . 
                                       . 
                                          .
                                                                       xn

        Ejemplo: 3-vector columna
                                                                   
                                                               −1
                                                            u= 1 
                                                                0
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices     Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                           ´
Definiciones y operaciones basicas


        Espacio vectorial Rn
        Se usa el s´mbolo Rn para denotar al conjunto de todos los
                    ı
        n-vectores:
                                           
                                        a1
                                      a2 
                                           
                                      . 
                                      . 
                                         .
                                                                       an
        cada ai es un numero real
                       ´
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices     Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                           ´
Definiciones y operaciones basicas


        Matriz
        Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn numeros
                                                               ´
        agrupados en m renglones y n columnas.
                                                          
                           a11 a12 · · · a1j · · · a1n
                         a21 a22            a2j       a2n 
                         .       .           .          . 
                                                          
                         .  .    .
                                  .           .
                                              .          . 
                                                         . 
                    A=  ai1 ai2 · · · aij · · · ain 
                                                          
                         .       .           .          . 
                         .  .    .
                                  .           .
                                              .          . 
                                                         .
                           am1 am2 · · · amj · · · amn
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices     Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Suma de matrices
        Consideremos A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices m × n. Entonces la
        suma de A y B es una matriz m × n, A + B dada por:

                   A+B            = aij + bij
                                                                                                                          
                                        a11 + b11                      a12 + b12             ···       a1n + b1n
                                     a21 + b21                        a22 + b22             ···       a2n + b2n           
                                  = 
                                                                                                                          
                                              .
                                              .                            .
                                                                           .                               .
                                                                                                           .               
                                             .                            .                               .               
                                                am1 + bm1             am2 + bm2              ···       amn + bmn

        Es decir, A + B es una matriz de m × n que se obtiene al sumar las
        componentes correspondientes de A y B.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices     Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


                    ´
        Multiplicacion de una matriz por un escalar
        Si A = (aij ) es una matriz m × n y si α es un escalar, entonces la
        matriz m × n, αA, esta dada por:
                              ´

                                   αA         = (αaij )
                                                                                                          
                                                   αa11                 αa12          ···       αa1n
                                                 αa21                  αa22          ···       αa2n       
                                              =  .
                                                                                                          
                                                                         .                       .
                                                 .                      .                       .         
                                                       .                 .                       .         
                                                          αam1          αam2          ···       αamn

        Es decir, αA = (αaij ) es una matriz obtenida al multiplicar cada
        componente de A por α.
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Teorema
        Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
        Entonces:
         1  A+0=A
            2    0A = 0
            3    A + B = B + A (ley conmutativa)
            4    (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
            5    α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
            6    1A = A
            7    (α + β)A = αA + βA
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                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Teorema
        Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
        Entonces:
         1  A+0=A
            2    0A = 0
            3    A + B = B + A (ley conmutativa)
            4    (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
            5    α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
            6    1A = A
            7    (α + β)A = αA + βA
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                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Teorema
        Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
        Entonces:
         1  A+0=A
            2    0A = 0
            3    A + B = B + A (ley conmutativa)
            4    (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
            5    α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
            6    1A = A
            7    (α + β)A = αA + βA
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                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Teorema
        Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
        Entonces:
         1  A+0=A
            2    0A = 0
            3    A + B = B + A (ley conmutativa)
            4    (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
            5    α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
            6    1A = A
            7    (α + β)A = αA + βA
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                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Teorema
        Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
        Entonces:
         1  A+0=A
            2    0A = 0
            3    A + B = B + A (ley conmutativa)
            4    (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
            5    α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
            6    1A = A
            7    (α + β)A = αA + βA
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                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Teorema
        Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
        Entonces:
         1  A+0=A
            2    0A = 0
            3    A + B = B + A (ley conmutativa)
            4    (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
            5    α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
            6    1A = A
            7    (α + β)A = αA + βA
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


                   ´
Suma y multiplicacion de matrices


        Teorema
        Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
        Entonces:
         1  A+0=A
            2    0A = 0
            3    A + B = B + A (ley conmutativa)
            4    (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
            5    α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
            6    1A = A
            7    (α + β)A = αA + βA
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Producto escalar



               ´
        Definicion: Producto escalar
                                                                 
                    a1           b1
                  a2         b2                                  
        Sean a =  .  y b =  .                                     dos vectores. Entonces el
                                                                 
                  . 
                     .         . .                                 
                   an              bn
        producto escalar de a y b, representado por a · b, esta definido
                                                              ´
        como:
                          a · b = a1 b1 + a2 b2 + · · · an bn
        Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el
        mismo numero de componentes
                ´
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Producto escalar



        Teorema
        Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
            1    a·0=0
            2    a · b = b · a (ley conmutativa)
            3    a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
            4    (αa) · b = α(a · b)
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Producto escalar



        Teorema
        Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
            1    a·0=0
            2    a · b = b · a (ley conmutativa)
            3    a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
            4    (αa) · b = α(a · b)
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Producto escalar



        Teorema
        Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
            1    a·0=0
            2    a · b = b · a (ley conmutativa)
            3    a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
            4    (αa) · b = α(a · b)
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Producto escalar



        Teorema
        Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
            1    a·0=0
            2    a · b = b · a (ley conmutativa)
            3    a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
            4    (αa) · b = α(a · b)
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Producto de dos matrices


               ´
        Definicion:
        Sea A = (aij ) una matriz m × n, y sea B = (bij ) una matriz de n × p.
        Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p, C = (cij ), en
        donde:

                                    cij = (renglon i de A) · (columna j de B)
                                                ´

                                                                     ´
        Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglon i de A
        y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:

                                           cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
        Si el numero de columnas de A es igual al numero de renglones de B, entonces se
               ´                                    ´
                                                           ´
        dice que A y B son compatibles bajo la multiplicacion.
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial


Producto de dos matrices


                    ´                    ´
        Ejemplificacion de la multiplicacion matricial

                              a11       a12       ···      a1n
                                                                  
                             a21       a22       ···      a2n      b               b12       ···     b1j      ···      b1p
                                                                                                                                 
                                                                        11
                               .         .                  .
                                                                  
                     
                              .
                               .         .
                                         .                  .
                                                            .
                                                                    b
                                                                     21             b22       ···     b2j      ···      b2p    
            (cij ) =                                               .                .                 .                 .
                                                                                                                                 
                              ai1       ai2       ···      ain      .                .                 .                 .
                                                                                                                                 
                                                                       .               .                 .                 .
                                                                                                                                
                                                                  
                              .
                               .         .
                                         .                  .
                                                            .
                                                                   
                                                                      bn1             bn2       ···     bnj      ···      bnp
                              .         .                  .      
                              am1       am2       ···      amn
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Resumen


Resumen

                 ´
        La notacion Σ
                                             ´
        El producto escalar y la multiplicacion de dos matrices puede ser
        expresada de la siguiente forma:
                Producto escalar

                                             a·b        = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
                                                                  n
                                                        =              ai bi
                                                                 i=1

                            ´
                Multiplicacion de dos matrices

                                             cij    = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
                                                             n
                                                    =             aik bkj
                                                           k=1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Resumen


Resumen

        Problemas - Tarea
           1    Sean a11 , a12 , a21 y a22 numeros reales dados tales que
                                            ´
                a11 a22 − a12 a21 = 0. Encuentre los numeros b11 , b12 , b21 y b22
                                                      ´
                              a11 a12         b11 b12        1 0
                tales que                                =            .
                              a21 a22         b21 b22        0 1
                                                      −1        2
           2    Calcule A2 si A =                                      .
                                                       3        4
           3    Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a · b = 0.
                Determine todos los umeros α y β tales que los vectores
                                 n´
                     1           4
                 −α           5 
                 2  y  −2β  sean ortogonales.
                                 

                     3           7
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales




Contenido


        1    Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
                                                          ´
               Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
               Gauss-Jordan
               Resumen

        2    Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
               Resumen

        3    Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
               Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


            ´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales


                                       ´
        Sistema de m ecuaciones y n incognitas
                                                                  ´
        Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

                           a11 x1        +       a12 x2        +       ···       +       a1n xn        =       b1
                           a21 x1        +       a22 x2        +       ···       +       a2n xn        =       b2
                             .
                             .                     .
                                                   .                                       .
                                                                                           .                    .
                                                                                                                .
                             .                     .                                       .                    .
                           am1 x1        + am2 x2              +       ···       + amn xn              = bm



        La matriz de coeficientes es:
                                                                                                
                                a11 a12                                       ···       a1n
                              a21 a22                                        ···       a2n      
                         A= .
                                                                                                
                                     .                                                   .
                              .     .                                                   .       
                                  .  .                                                   .       
                                am1 am2                                       ···       amn
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


            ´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales


                                       ´
        Sistema de m ecuaciones y n incognitas
                                                                  ´
        Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

                           a11 x1        +       a12 x2        +       ···       +       a1n xn        =       b1
                           a21 x1        +       a22 x2        +       ···       +       a2n xn        =       b2
                             .
                             .                     .
                                                   .                                       .
                                                                                           .                    .
                                                                                                                .
                             .                     .                                       .                    .
                           am1 x1        + am2 x2              +       ···       + amn xn              = bm



        Los vectores x y b son:
                                                                                             
                                                        x1                               b1
                                                       x2                             b2     
                                             x=                           b=
                                                                                             
                                                         .
                                                         .                               .
                                                                                          .     
                                                        .                              .     
                                                        xn                               bm
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


            ´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales


                                       ´
        Sistema de m ecuaciones y n incognitas
                                                                  ´
        Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

                           a11 x1        +       a12 x2        +       ···       +       a1n xn        =       b1
                           a21 x1        +       a22 x2        +       ···       +       a2n xn        =       b2
                             .
                             .                     .
                                                   .                                       .
                                                                                           .                    .
                                                                                                                .
                             .                     .                                       .                    .
                           am1 x1        + am2 x2              +       ···       + amn xn              = bm



                    ´
        Representacion matricial de un sistema de ecuaciones:

                                                                Ax = b
                                                  ´
        Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo si:

                                                                Ax = 0
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


            ´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales


                                       ´
        Sistema de m ecuaciones y n incognitas
                                                                  ´
        Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

                           a11 x1        +       a12 x2        +       ···       +       a1n xn        =       b1
                           a21 x1        +       a22 x2        +       ···       +       a2n xn        =       b2
                             .
                             .                     .
                                                   .                                       .
                                                                                           .                    .
                                                                                                                .
                             .                     .                                       .                    .
                           am1 x1        + am2 x2              +       ···       + amn xn              = bm



        Ejemplo:
                                                                                                              
                         1x1 + 4x2 − 2x3                  = 10                       1 4                    −2
                         2x1 + 5x2 + 3x3                  =  8                   A= 2 5                     3 
                         3x1 + 1x2 − 2x3                  =  4                       3 1                    −2
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


            ´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales


                                       ´
        Sistema de m ecuaciones y n incognitas
                                                                  ´
        Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

                           a11 x1        +       a12 x2        +       ···       +       a1n xn        =       b1
                           a21 x1        +       a22 x2        +       ···       +       a2n xn        =       b2
                             .
                             .                     .
                                                   .                                       .
                                                                                           .                    .
                                                                                                                .
                             .                     .                                       .                    .
                           am1 x1        + am2 x2              +       ···       + amn xn              = bm



                           ´
        Ejemplo (continuacion):
                                                                                              
                    1x1 + 4x2 − 2x3                 = 10                         x1           10
                    2x1 + 5x2 + 3x3                 =  8                   x =  x2  , b =  8 
                    3x1 + 1x2 − 2x3                 =  4                         x3            4
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                       ´              ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo



                                                                         ´
                                                          La representacion de la                         matriz aumentada
                                                          de Ax = b es:
 Ejemplo:
                                                                                                                
                                                                      1    1 −1                             |  7
                                                                    4 −1       5                           |  4 
     1x1 + 1x2 − 1x3                 =  7                             6    1    3                           | 18
     4x1 − 1x2 + 5x3                 =  4
     6x1 + 1x2 + 3x3                 = 18
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                       ´              ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo



                                                          Reduciendo la matriz aumentada a la forma
                                                          escalonada, tenemos:
 Ejemplo:
                                                                                       
                                                                      1   1 −1 |      7
                                                                   4 −1        5 |   4 
     1x1 + 1x2 − 1x3                 =  7                             6   1     3 | 18
     4x1 − 1x2 + 5x3                 =  4
     6x1 + 1x2 + 3x3                 = 18                                             R2 → R2 − 4R1
                                                                                      R3 → R3 − 6R1
                                                                                      −− − − − −
                                                                                       − − − − −→
                                                                                                                   
                                                                             1  1 −1 |                            7
                                                                            0 −5  9 |                          −24 
                                                                             0 −5  9 |                          −24
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                       ´              ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo



                                                          Reduciendo la matriz aumentada a la forma
                                                                                         ´
                                                          escalonada, tenemos (continuacion):
 Ejemplo:                                                         
                                                                     1    1 −1 |       7
                                                                                           
                                                                   0 −5       9 | −24 
     1x1 + 1x2 − 1x3                 =  7                            0 −5      9 | −24
     4x1 − 1x2 + 5x3                 =  4
     6x1 + 1x2 + 3x3                 = 18                                                  R2 → − R2
                                                                                                  5
                                                                                           −− − −
                                                                                            − − −→
                                                                                                  
                                                                             1          1 −1 |   7
                                                                            0          1 −9 |
                                                                                           5
                                                                                                24 
                                                                                                 5
                                                                             0         −5  9 | −24
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                       ´              ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo



                                                          Reduciendo la matriz aumentada a la forma
                                                                                          ´
                                                          escalonada, tenemos (continuacion):
 Ejemplo:                                                         
                                                                    1     1 −1 |        7
                                                                                            
                                                                   0     1 −9 |
                                                                               5
                                                                                       24 
                                                                                        5
     1x1 + 1x2 − 1x3                 =  7                           0 −5       9 | −24
     4x1 − 1x2 + 5x3                 =  4
     6x1 + 1x2 + 3x3                 = 18                                             R1 → R1 − R2
                                                                                      R3 → R3 + 5R2
                                                                                      −− − − − −
                                                                                       − − − − −→
                                                                                                  4              11
                                                                                                                     
                                                                                1 0               5    |          5
                                                                                                  9              24
                                                                               0 1              −5    |          5
                                                                                                                      
                                                                                0 0                  0 |          0
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices   Vectores y matrices - productos vectorial y matricial   Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


                       ´              ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo



                                                                    ´
                                                          La reduccion queda como:
                                                                               4                                 11
                                                                                                                     
                                                                       1 0     5 |                                5
 Ejemplo:                                                            0 1 −9 |                                   24   
                                                                               5                                  5
                                                                       0 0     0 |                                0
     1x1 + 1x2 − 1x3                 =  7
     4x1 − 1x2 + 5x3                 =  4                          ´
                                                          La solucion ser´a:
                                                                         ı
     6x1 + 1x2 + 3x3                 = 18                                                              11
                                                                                                            − 4 x3
                                                                                                                
                                                                      x1                                5      5
                                                                                                       24
                                                                    x2  = 
                                                                                                        5   + 9 x3 
                                                                                                               5
                                                                      x3                                    x3
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                       ´              ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo



                                                          Considerando las soluciones x1 y x2 para
                                                          x3 = 1 y x3 = 2, respectivamente:
 Ejemplo:                                                                      11 4         
                                                                          x1          5 − 5 x3
                                                                x1,2 =  x2  =  24 + 9 x3 
                                                                                      5    5
     1x1 + 1x2 − 1x3                 =  7                                 x3            x3
     4x1 − 1x2 + 5x3                 =  4
     6x1 + 1x2 + 3x3                 = 18                 La soluciones ser´an:
                                                                           ı
                                                                       7                                            3
                                                                                                                            
                                                                                          5                            5
                                                                                         33                           42
                                                                        x1 =             5
                                                                                                      x2 =           5
                                                                                                                            
                                                                                         1                             2
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                       ´              ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo



                                                          Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
                                                                  7   3   4 
                                                                                 5                     5                      5
 Ejemplo:                                                         x=            33    −            42 =  −9 
                                                                                 5                     5       5
                                                                                 1                    2       −1
     1x1 + 1x2 − 1x3                 =  7
     4x1 − 1x2 + 5x3                 =  4                                           ´
                                                          efectuando la multiplicacion Ax:
     6x1 + 1x2 + 3x3                 = 18                                    4          
                                                                1    1 −1             5    0
                                                              4 −1       5   −9  =  0 
                                                                                      5
                                                                6    1    3         −1     0
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                                                          Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
                                                                  7   3   4 
                                                                                 5                     5                      5
 Teorema                                                          x=            33    −            42 =  −9 
                                                                                 5                     5       5
 Sean x1 y x2 soluciones al                                                      1                    2       −1
                    ´
 sistema no homogeneo.
 Entonces su diferencia x1 − x2 ,                                                   ´
                                                          efectuando la multiplicacion Ax:
              ´
 es una solucion al sistema                                                  4          
        ´
 homogeneo relacionado                                          1    1 −1                  0
                                                                                      5
                                                              4 −1       5   −9  =  0 
                                                                                      5
    A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 = 0
                                                                6    1    3         −1     0

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  • 1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc ´ Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de Ingenier´as ´ ı ´ ´ ´ Facultad de Ingenier´a, Mecanica, Electrica y Electronica ı Trimestre Invierno 2008, 10 de enero de 2008
  • 2. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Contenido 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Resumen 2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen 3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
  • 3. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Contenido 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Resumen 2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen 3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
  • 4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: (x2 , y2 ) Propiedad: La pendiente m de una recta que pasa por ∆y (x1 , y1 ) ´ los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) esta dada por: y2 −y1 ∆y ∆x m= x2 −x1 = ∆x si x1 = x2 x
  • 5. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: (x2 , y2 ) Propiedad: ∆y Si x2 − x1 = 0 y y2 = y1 , entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es ∆x = 0 (x1 , y1 ) indefinida. x
  • 6. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: b Propiedad: Cualquier recta (excepto una con pendiente y = mx + b indefinida) se puede describir escribiendo m= ∆y ´ su ecuacion en la forma ∆x x pendiente-ordenada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada.
  • 7. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: b2 y = mx + b Propiedad: ´ Dos rectas distintas son paralelas si y solo L2 : m2 b1 si tienen la misma pendiente. L1 : m1 x
  • 8. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: ax + by = c Propiedad: a m = −b ´ Si la ecuacion de la recta se escribe en la forma ax + by = c (b = 0), entonces, se ´ puede calcular facilmente la pendiente de a x la recta como, m = − b .
  • 9. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: 1 m2 = − m1 Propiedad: Si m1 es la pendiente de la recta L1 , y m2 L1 : m1 L2 : m2 es la pendiente de la recta L2 , m1 = 0 y L1 y L2 son perpendiculares, entonces 1 x m2 = − m1 .
  • 10. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: Propiedad: L:m=0 Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente de cero. x
  • 11. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Propiedades de la l´nea recta ı y La l´nea recta ı Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea ı recta son: Propiedad: L : m → indefinida Las rectas paralelas al eje de las y tienen una pendiente indefinida. x
  • 12. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Dos ecuaciones lineales con dos incognitas ´ ´ Un sistema con una solucion unica Considere el sistema Sistema de ecuaciones x −y =7 Consideremos el sistema de x +y =5 dos ecuaciones con dos ´ incognitas: ´ Solucion a11 x + a12 y = b1 ´ Sumando ambas ecuaciones y despues ´ restandolas, obtenemos: a21 x + a22 y = b2 x =6 y = −1
  • 13. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Dos ecuaciones lineales con dos incognitas Un sistema con un numero infinito de ´ soluciones Sistema de ecuaciones Considere el sistema Consideremos el sistema de x −y =7 dos ecuaciones con dos 2x − 2y = 14 ´ incognitas: a11 x + a12 y = b1 ´ Solucion Para este sistema podemos observar que a21 x + a22 y = b2 2(x − y = 7), por lo tanto la solucion es de la ´ forma: y =x −7
  • 14. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Dos ecuaciones lineales con dos incognitas ´ Un sistema sin solucion Considere el sistema Sistema de ecuaciones x −y =7 Consideremos el sistema de 2x − 2y = 13 dos ecuaciones con dos ´ incognitas: ´ Solucion a11 x + a12 y = b1 En este caso tenemos 2(x − y = 13 ), por lo 2 a21 x + a22 y = b2 tanto las rectas son paralelas y diferentes.
  • 15. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Representacion matricial de sistemas lineales ´ Definicion La matriz de coeficientes, A es:   Una Matriz es un arreglo rectangular de 2 4 6 numeros. Por ejemplo, para el sistema de ´ A= 4 5 6  ecuaciones lineales: 3 1 −2 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + 1x2 − 2x3 = 4
  • 16. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Representacion matricial de sistemas lineales ´ Definicion La matriz aumentada del sistema es: Una Matriz es un arreglo rectangular de   numeros. Por ejemplo, para el sistema de ´ 2 4 6 | 18 ecuaciones lineales:  4 5 6 | 24  3 1 −2 | 4 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + 1x2 − 2x3 = 4
  • 17. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Operaciones elementales en una matriz: Operaciones elementales con renglones 1 ´ Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero. ´ 2 ´ ´ Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon. ´ 3 Intercambiar dos renglones. Ejemplo:     2 4 6 | 18 1 2 3 | 9 1   4 5 6 | 24  R1 → R1 4 5 6 | 24  2 3 1 −2 | 4 −− − − − − −→ 3 1 −2 | 4
  • 18. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Operaciones elementales en una matriz: Operaciones elementales con renglones 1 ´ Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero. ´ 2 ´ ´ Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon. ´ 3 Intercambiar dos renglones. Ejemplo:     2 4 6 | 18 2 4 6 | 18  4 5 6 | 24  R2 → R2 − 2R1  0 −3 −6 | −12  −− − − − − − − − − −→ 3 1 −2 | 4 3 1 −2 | 4
  • 19. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Operaciones elementales en una matriz: Operaciones elementales con renglones 1 ´ Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero. ´ 2 ´ ´ Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon. ´ 3 Intercambiar dos renglones. Ejemplo:     2 4 6 | 18 4 5 6 | 24  4 5 6 | 24  R1 R2  2 4 6 | 18  −− −→ −−− 3 1 −2 | 4 3 1 −2 | 4
  • 20. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  2 4 6 | 18  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote. 2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 21. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  2 4 6 | 18  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4 R1 → 1 R1 − − −2− − − −→ Procedimiento:   1 2 3 | 9 1 Se selecciona el pivote.  4 5 6 | 24  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 3 1 −2 | 4 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 22. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4 R2 → R2 − 4R1 R3 → R3 − 3R1 Procedimiento: −− − − − − − − − − −→ Se selecciona el pivote. 1   1 2 3 | 9 2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  0 −3 −6 | −12  3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 −5 −11 | −23 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 23. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 −3 −6 | −12  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 −5 −11 | −23 1 R2 → − 3 R2 −− − −→ −−−− Procedimiento:   1 2 3 | 9 1 Se selecciona el pivote.  0 1 2 | 4  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 −5 −11 | −23 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 24. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 −5 −11 | −23 R3 → R3 + 5R2 −− − − − − − − − − −→ Procedimiento:   1 2 3 | 9 1 Se selecciona el pivote.  0 1 2 | 4  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 0 −1 | −3 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 25. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 0 −1 | −3 R3 → − 1 R3 − − − 1− −− − −→ Procedimiento:   1 2 3 | 9 1 Se selecciona el pivote.  0 1 2 | 4  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 0 1 | 3 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 26. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 0 1 | 3 1x1 + 2x2 + 3x3 = 9 1x2 + 2x3 = 4 Procedimiento: 1x3 = 3 1 Se selecciona el pivote.     x1 9 − 2x2 − 3x3 2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  x2  =  4 − 2x3  3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri x3 3 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 27. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss-Jordan Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  2 4 6 | 18  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24  2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30 Procedimiento: 1 Se selecciona el pivote. 2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 28. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss-Jordan Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  2 4 6 | 18  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24  2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30 R1 → 1 R1 − − −2− − − −→ Procedimiento:   1 Se selecciona el pivote. 1 2 3 | 9  4 5 6 | 24  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 2 7 12 | 30 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 29. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss-Jordan Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  4 5 6 | 24  2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30 R2 → R2 − 4R1 Procedimiento: R3 → R3 − 2R1 −− − − − − − − − − −→ 1 Se selecciona el pivote.  1 2 3 | 9  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  0 −3 −6 | −12  3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 3 6 | 12 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 30. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss-Jordan Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 −3 −6 | −12  2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 3 6 | 12 R2 → − 1 R2 3 −− − −→ −−−− Procedimiento:   1 Se selecciona el pivote. 1 2 3 | 9  0 1 2 | 4  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 3 6 | 12 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 31. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss-Jordan Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 2 3 | 9  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4  2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 3 6 | 12 R → R1 − 2R −1− − − − − 2 − − − − −→ Procedimiento: R3 → R3 − 3R2 −− − − − − − − − − −→ 1 Se selecciona el pivote.   1 0 −1 | 1 2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri  0 1 2 | 4  3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 0 0 | 0 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 32. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan ´ Reduccion de Gauss-Jordan Ejemplo 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18  1 0 −1 | 1  4x1 + 5x2 + 6x3 = 24  0 1 2 | 4  2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 0 0 | 0 1x1 − x3 = 1 Procedimiento: 1x2 + 2x3 = 4     1 Se selecciona el pivote. x1 1 + x3  x2  =  4 − 2x3  2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri x3 x3 3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 4 Se repite para todos los elementos del pivote.
  • 33. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Resumen Resumen Teorema El sistema a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 Tiene una solucion unica si y solo si a11 a22 − a12 a21 = 0. ´ ´ ´ ´ No tiene solucion o tiene un numero infinito de soluciones si y ´ solo si a11 a22 − a12 a21 = 0. ´
  • 34. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Resumen Resumen ´ Reduccion de Gauss & Gauss-Jordan ´ ´ En la eliminacion Gaussiana se reduce por renglon la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el ´ ´ ´ valor de la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia ´ ´ ´ ´ atras para las demas incognitas. ´ ´ En la eliminacion de Gauss-Jordan se reduce por renglon la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por renglones usando el procedimiento descrito.
  • 35. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Resumen Resumen Problemas - Tarea 1 Pruebe que la distancia entre un punto (x1 , y1 ) y la recta ´ ax + by = c esta dada por: |ax1 +by1 +c| d= √ a2 +b2 2 Encuentre la distancia entre la recta 2x − y = 6 y el punto de interseccion de las rectas 2x − 3y = 1 y 3x + 6y = 12. ´
  • 36. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Resumen Resumen ´ Problemas - Tarea - Reduccion de Gauss-Jordan 1 ´ ´ ¿Para que valor de k tendra soluciones no triviales el siguiente sistema?: 1x + 1y + 1z = 0 2x + 3y + 4z = 0 3x + 4y + kz = 0 2 ´ Comprueba el resultado aplicando la reduccion de Gauss-Jordan
  • 37. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Contenido 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Resumen 2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen 3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
  • 38. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Definiciones y operaciones basicas ´ Vector renglon de n componentes ´ Se define a un vector renglon de n componentes como un conjunto ordenado de n numeros escritos de la siguiente manera: ´ x1 x2 ··· xn ´ Ejemplo: 5-vector renglon x= 2 1 3 5 −1
  • 39. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Definiciones y operaciones basicas Vector columna de n componentes Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n numeros escritos de la siguiente manera: ´   x1  x2     .   .  . xn Ejemplo: 3-vector columna   −1 u= 1  0
  • 40. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Definiciones y operaciones basicas Espacio vectorial Rn Se usa el s´mbolo Rn para denotar al conjunto de todos los ı n-vectores:   a1  a2     .   .  . an cada ai es un numero real ´
  • 41. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Definiciones y operaciones basicas Matriz Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn numeros ´ agrupados en m renglones y n columnas.   a11 a12 · · · a1j · · · a1n  a21 a22 a2j a2n   . . . .     . . . . . . .  .  A=  ai1 ai2 · · · aij · · · ain     . . . .   . . . . . . .  . am1 am2 · · · amj · · · amn
  • 42. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Suma de matrices Consideremos A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices m × n. Entonces la suma de A y B es una matriz m × n, A + B dada por: A+B = aij + bij   a11 + b11 a12 + b12 ··· a1n + b1n  a21 + b21 a22 + b22 ··· a2n + b2n  =    . . . . . .   . . .  am1 + bm1 am2 + bm2 ··· amn + bmn Es decir, A + B es una matriz de m × n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.
  • 43. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices ´ Multiplicacion de una matriz por un escalar Si A = (aij ) es una matriz m × n y si α es un escalar, entonces la matriz m × n, αA, esta dada por: ´ αA = (αaij )   αa11 αa12 ··· αa1n  αa21 αa22 ··· αa2n  =  .   . .  . . .  . . .  αam1 αam2 ··· αamn Es decir, αA = (αaij ) es una matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por α.
  • 44. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces: 1 A+0=A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) 5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)A = αA + βA
  • 45. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces: 1 A+0=A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) 5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)A = αA + βA
  • 46. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces: 1 A+0=A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) 5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)A = αA + βA
  • 47. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces: 1 A+0=A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) 5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)A = αA + βA
  • 48. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces: 1 A+0=A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) 5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)A = αA + βA
  • 49. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces: 1 A+0=A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) 5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)A = αA + βA
  • 50. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial ´ Suma y multiplicacion de matrices Teorema Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares. Entonces: 1 A+0=A 2 0A = 0 3 A + B = B + A (ley conmutativa) 4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa) 5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares) 6 1A = A 7 (α + β)A = αA + βA
  • 51. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto escalar ´ Definicion: Producto escalar     a1 b1  a2   b2  Sean a =  .  y b =  .  dos vectores. Entonces el      .  .  . .  an bn producto escalar de a y b, representado por a · b, esta definido ´ como: a · b = a1 b1 + a2 b2 + · · · an bn Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el mismo numero de componentes ´
  • 52. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto escalar Teorema Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces: 1 a·0=0 2 a · b = b · a (ley conmutativa) 3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva) 4 (αa) · b = α(a · b)
  • 53. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto escalar Teorema Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces: 1 a·0=0 2 a · b = b · a (ley conmutativa) 3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva) 4 (αa) · b = α(a · b)
  • 54. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto escalar Teorema Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces: 1 a·0=0 2 a · b = b · a (ley conmutativa) 3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva) 4 (αa) · b = α(a · b)
  • 55. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto escalar Teorema Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces: 1 a·0=0 2 a · b = b · a (ley conmutativa) 3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva) 4 (αa) · b = α(a · b)
  • 56. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto de dos matrices ´ Definicion: Sea A = (aij ) una matriz m × n, y sea B = (bij ) una matriz de n × p. Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p, C = (cij ), en donde: cij = (renglon i de A) · (columna j de B) ´ ´ Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglon i de A y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj Si el numero de columnas de A es igual al numero de renglones de B, entonces se ´ ´ ´ dice que A y B son compatibles bajo la multiplicacion.
  • 57. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Producto de dos matrices ´ ´ Ejemplificacion de la multiplicacion matricial a11 a12 ··· a1n    a21 a22 ··· a2n  b b12 ··· b1j ··· b1p  11 . . .     . . . . . .  b   21 b22 ··· b2j ··· b2p  (cij ) =   . . . .  ai1 ai2 ··· ain  . . . .  . . . .      . . . . . .  bn1 bn2 ··· bnj ··· bnp  . . .  am1 am2 ··· amn
  • 58. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Resumen Resumen ´ La notacion Σ ´ El producto escalar y la multiplicacion de dos matrices puede ser expresada de la siguiente forma: Producto escalar a·b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn n = ai bi i=1 ´ Multiplicacion de dos matrices cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj n = aik bkj k=1
  • 59. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Resumen Resumen Problemas - Tarea 1 Sean a11 , a12 , a21 y a22 numeros reales dados tales que ´ a11 a22 − a12 a21 = 0. Encuentre los numeros b11 , b12 , b21 y b22 ´ a11 a12 b11 b12 1 0 tales que = . a21 a22 b21 b22 0 1 −1 2 2 Calcule A2 si A = . 3 4 3 Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a · b = 0. Determine todos los umeros α y β tales que los vectores    n´ 1 4  −α   5   2  y  −2β  sean ortogonales.     3 7
  • 60. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Contenido 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices ´ Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan Resumen 2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Resumen 3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
  • 61. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales ´ Sistema de m ecuaciones y n incognitas ´ Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas: a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm La matriz de coeficientes es:   a11 a12 ··· a1n  a21 a22 ··· a2n  A= .   . .  . . .  . . .  am1 am2 ··· amn
  • 62. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales ´ Sistema de m ecuaciones y n incognitas ´ Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas: a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm Los vectores x y b son:     x1 b1  x2   b2  x= b=     . .  . .   .   .  xn bm
  • 63. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales ´ Sistema de m ecuaciones y n incognitas ´ Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas: a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm ´ Representacion matricial de un sistema de ecuaciones: Ax = b ´ Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo si: Ax = 0
  • 64. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales ´ Sistema de m ecuaciones y n incognitas ´ Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas: a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm Ejemplo:   1x1 + 4x2 − 2x3 = 10 1 4 −2 2x1 + 5x2 + 3x3 = 8 A= 2 5 3  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2
  • 65. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales ´ Sistema de m ecuaciones y n incognitas ´ Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas: a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm ´ Ejemplo (continuacion):    1x1 + 4x2 − 2x3 = 10 x1 10 2x1 + 5x2 + 3x3 = 8 x =  x2  , b =  8  3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 x3 4
  • 66. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo ´ La representacion de la matriz aumentada de Ax = b es: Ejemplo:   1 1 −1 | 7  4 −1 5 | 4  1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 6 1 3 | 18 4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 6x1 + 1x2 + 3x3 = 18
  • 67. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo Reduciendo la matriz aumentada a la forma escalonada, tenemos: Ejemplo:   1 1 −1 | 7  4 −1 5 | 4  1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 6 1 3 | 18 4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R2 → R2 − 4R1 R3 → R3 − 6R1 −− − − − − − − − − −→   1 1 −1 | 7  0 −5 9 | −24  0 −5 9 | −24
  • 68. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo Reduciendo la matriz aumentada a la forma ´ escalonada, tenemos (continuacion): Ejemplo:  1 1 −1 | 7   0 −5 9 | −24  1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 0 −5 9 | −24 4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R2 → − R2 5 −− − − − − −→   1 1 −1 | 7  0 1 −9 | 5 24  5 0 −5 9 | −24
  • 69. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo Reduciendo la matriz aumentada a la forma ´ escalonada, tenemos (continuacion): Ejemplo:  1 1 −1 | 7   0 1 −9 | 5 24  5 1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 0 −5 9 | −24 4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R1 → R1 − R2 R3 → R3 + 5R2 −− − − − − − − − − −→ 4 11   1 0 5 | 5 9 24  0 1 −5 | 5  0 0 0 | 0
  • 70. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo ´ La reduccion queda como: 4 11   1 0 5 | 5 Ejemplo:  0 1 −9 | 24  5 5 0 0 0 | 0 1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 ´ La solucion ser´a: ı 6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 11 − 4 x3     x1 5 5 24  x2  =  5 + 9 x3  5 x3 x3
  • 71. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo Considerando las soluciones x1 y x2 para x3 = 1 y x3 = 2, respectivamente: Ejemplo:    11 4  x1 5 − 5 x3 x1,2 =  x2  =  24 + 9 x3  5 5 1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 x3 x3 4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 La soluciones ser´an: ı  7   3  5 5 33 42 x1 =  5  x2 =  5  1 2
  • 72. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :  7   3   4  5 5 5 Ejemplo: x= 33 − 42 =  −9  5 5 5 1 2 −1 1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 ´ efectuando la multiplicacion Ax: 6x1 + 1x2 + 3x3 = 18   4    1 1 −1 5 0  4 −1 5   −9  =  0  5 6 1 3 −1 0
  • 73. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Matrices y sistemas de ecuaciones lineales ´ ´ Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :  7   3   4  5 5 5 Teorema x= 33 − 42 =  −9  5 5 5 Sean x1 y x2 soluciones al 1 2 −1 ´ sistema no homogeneo. Entonces su diferencia x1 − x2 , ´ efectuando la multiplicacion Ax: ´ es una solucion al sistema   4    ´ homogeneo relacionado 1 1 −1 0 5  4 −1 5   −9  =  0  5 A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 = 0 6 1 3 −1 0