1. Sistemas de Ecuaciones Lineales y
Matrices
Oscar G Ibarra-Manzano, DSc
´
Departamento de Area Basica - Tronco Comun DES de Ingenier´as
´ ı
´ ´ ´
Facultad de Ingenier´a, Mecanica, Electrica y Electronica
ı
Trimestre Invierno 2008,
10 de enero de 2008
2. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
Gauss-Jordan
Resumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
3. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
Gauss-Jordan
Resumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
4. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
(x2 , y2 )
Propiedad:
La pendiente m de una recta que pasa por
∆y
(x1 , y1 ) ´
los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) esta dada por:
y2 −y1 ∆y
∆x m= x2 −x1 = ∆x si x1 = x2
x
5. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
(x2 , y2 ) Propiedad:
∆y Si x2 − x1 = 0 y y2 = y1 , entonces la recta
es vertical y se dice que la pendiente es
∆x = 0 (x1 , y1 ) indefinida.
x
6. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
b
Propiedad:
Cualquier recta (excepto una con pendiente
y = mx + b indefinida) se puede describir escribiendo
m= ∆y ´
su ecuacion en la forma
∆x
x pendiente-ordenada y = mx + b, donde m
es la pendiente de la recta y b es la
ordenada.
7. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
b2
y = mx + b Propiedad:
´
Dos rectas distintas son paralelas si y solo
L2 : m2
b1 si tienen la misma pendiente.
L1 : m1
x
8. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
ax + by = c Propiedad:
a
m = −b ´
Si la ecuacion de la recta se escribe en la
forma ax + by = c (b = 0), entonces, se
´
puede calcular facilmente la pendiente de
a
x la recta como, m = − b .
9. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
1
m2 = − m1
Propiedad:
Si m1 es la pendiente de la recta L1 , y m2
L1 : m1
L2 : m2 es la pendiente de la recta L2 , m1 = 0 y L1
y L2 son perpendiculares, entonces
1
x m2 = − m1 .
10. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
Propiedad:
L:m=0
Las rectas paralelas al eje x tienen una
pendiente de cero.
x
11. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Propiedades de la l´nea recta
ı
y La l´nea recta
ı
Algunos hechos fundamentales sobre la l´nea
ı
recta son:
Propiedad:
L : m → indefinida Las rectas paralelas al eje de las y tienen
una pendiente indefinida.
x
12. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas
´ ´
Un sistema con una solucion unica
Considere el sistema
Sistema de ecuaciones
x −y =7
Consideremos el sistema de
x +y =5
dos ecuaciones con dos
´
incognitas:
´
Solucion
a11 x + a12 y = b1 ´
Sumando ambas ecuaciones y despues
´
restandolas, obtenemos:
a21 x + a22 y = b2
x =6
y = −1
13. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas
Un sistema con un numero infinito de
´
soluciones
Sistema de ecuaciones Considere el sistema
Consideremos el sistema de
x −y =7
dos ecuaciones con dos
2x − 2y = 14
´
incognitas:
a11 x + a12 y = b1 ´
Solucion
Para este sistema podemos observar que
a21 x + a22 y = b2
2(x − y = 7), por lo tanto la solucion es de la
´
forma:
y =x −7
14. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Dos ecuaciones lineales con dos incognitas
´
Un sistema sin solucion
Considere el sistema
Sistema de ecuaciones
x −y =7
Consideremos el sistema de
2x − 2y = 13
dos ecuaciones con dos
´
incognitas:
´
Solucion
a11 x + a12 y = b1
En este caso tenemos 2(x − y = 13 ), por lo
2
a21 x + a22 y = b2 tanto las rectas son paralelas y diferentes.
15. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Representacion matricial de sistemas lineales
´
Definicion
La matriz de coeficientes, A es:
Una Matriz es un arreglo rectangular de
2 4 6 numeros. Por ejemplo, para el sistema de
´
A= 4 5 6 ecuaciones lineales:
3 1 −2
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4
16. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Representacion matricial de sistemas lineales
´
Definicion
La matriz aumentada del sistema
es: Una Matriz es un arreglo rectangular de
numeros. Por ejemplo, para el sistema de
´
2 4 6 | 18 ecuaciones lineales:
4 5 6 | 24
3 1 −2 | 4 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4
17. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones
1 ´
Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.
´
2 ´ ´
Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.
´
3 Intercambiar dos renglones.
Ejemplo:
2 4 6 | 18 1 2 3 | 9
1
4 5 6 | 24 R1 → R1 4 5 6 | 24
2
3 1 −2 | 4 −− − −
− − −→ 3 1 −2 | 4
18. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones
1 ´
Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.
´
2 ´ ´
Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.
´
3 Intercambiar dos renglones.
Ejemplo:
2 4 6 | 18 2 4 6 | 18
4 5 6 | 24 R2 → R2 − 2R1 0 −3 −6 | −12
−− − − − −
− − − − −→
3 1 −2 | 4 3 1 −2 | 4
19. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones
1 ´
Multiplicar (o dividir) un renglon por un numero diferente de cero.
´
2 ´ ´
Sumar un multiplo de un renglon a otro renglon.
´
3 Intercambiar dos renglones.
Ejemplo:
2 4 6 | 18 4 5 6 | 24
4 5 6 | 24 R1 R2 2 4 6 | 18
−− −→
−−−
3 1 −2 | 4 3 1 −2 | 4
20. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
2 4 6 | 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 4 5 6 | 24
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4
Procedimiento:
1 Se selecciona el pivote.
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
21. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
2 4 6 | 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 4 5 6 | 24
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4
R1 → 1 R1
− − −2−
− − −→
Procedimiento:
1 2 3 | 9
1 Se selecciona el pivote. 4 5 6 | 24
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 3 1 −2 | 4
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
22. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 4 5 6 | 24
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2 | 4
R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 3R1
Procedimiento: −− − − − −
− − − − −→
Se selecciona el pivote.
1
1 2 3 | 9
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 −3 −6 | −12
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 −5 −11 | −23
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
23. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 0 −3 −6 | −12
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 −5 −11 | −23
1
R2 → − 3 R2
−− − −→
−−−−
Procedimiento:
1 2 3 | 9
1 Se selecciona el pivote. 0 1 2 | 4
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 −5 −11 | −23
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
24. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 0 1 2 | 4
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 −5 −11 | −23
R3 → R3 + 5R2
−− − − − −
− − − − −→
Procedimiento:
1 2 3 | 9
1 Se selecciona el pivote. 0 1 2 | 4
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 0 −1 | −3
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
25. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 0 1 2 | 4
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 0 −1 | −3
R3 → − 1 R3
− − − 1−
−− − −→
Procedimiento:
1 2 3 | 9
1 Se selecciona el pivote. 0 1 2 | 4
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 0 1 | 3
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
26. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 0 1 2 | 4
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 0 0 1 | 3
1x1 + 2x2 + 3x3 = 9
1x2 + 2x3 = 4
Procedimiento:
1x3 = 3
1 Se selecciona el pivote.
x1 9 − 2x2 − 3x3
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri x2 = 4 − 2x3
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri x3 3
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
27. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
2 4 6 | 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 4 5 6 | 24
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30
Procedimiento:
1 Se selecciona el pivote.
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
28. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
2 4 6 | 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 4 5 6 | 24
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30
R1 → 1 R1
− − −2−
− − −→
Procedimiento:
1 Se selecciona el pivote. 1 2 3 | 9
4 5 6 | 24
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 2 7 12 | 30
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
29. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 4 5 6 | 24
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 2 7 12 | 30
R2 → R2 − 4R1
Procedimiento: R3 → R3 − 2R1
−− − − − −
− − − − −→
1 Se selecciona el pivote.
1 2 3 | 9
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 −3 −6 | −12
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 3 6 | 12
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
30. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 0 −3 −6 | −12
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 3 6 | 12
R2 → − 1 R2
3
−− − −→
−−−−
Procedimiento:
1 Se selecciona el pivote. 1 2 3 | 9
0 1 2 | 4
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 3 6 | 12
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
31. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 2 3 | 9
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 0 1 2 | 4
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 3 6 | 12
R → R1 − 2R
−1− − − − − 2
− − − − −→
Procedimiento: R3 → R3 − 3R2
−− − − − −
− − − − −→
1 Se selecciona el pivote.
1 0 −1 | 1
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri 0 1 2 | 4
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri 0 0 0 | 0
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
32. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de Gauss-Jordan
´
Reduccion de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
1 0 −1 | 1
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 0 1 2 | 4
2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 0 0 0 | 0
1x1 − x3 = 1
Procedimiento: 1x2
+ 2x3 = 4
1 Se selecciona el pivote. x1 1 + x3
x2 = 4 − 2x3
2 Se calcula Ri → (1/ci )Ri
x3 x3
3 Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4 Se repite para todos los
elementos del pivote.
33. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Teorema
El sistema
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
Tiene una solucion unica si y solo si a11 a22 − a12 a21 = 0.
´ ´ ´
´
No tiene solucion o tiene un numero infinito de soluciones si y
´
solo si a11 a22 − a12 a21 = 0.
´
34. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
´
Reduccion de Gauss & Gauss-Jordan
´ ´
En la eliminacion Gaussiana se reduce por renglon la matriz de
coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el
´ ´ ´
valor de la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia
´
´ ´ ´
atras para las demas incognitas.
´ ´
En la eliminacion de Gauss-Jordan se reduce por renglon la
matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por
renglones usando el procedimiento descrito.
35. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Problemas - Tarea
1 Pruebe que la distancia entre un punto (x1 , y1 ) y la recta
´
ax + by = c esta dada por:
|ax1 +by1 +c|
d= √
a2 +b2
2 Encuentre la distancia entre la recta 2x − y = 6 y el punto de
interseccion de las rectas 2x − 3y = 1 y 3x + 6y = 12.
´
36. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
´
Problemas - Tarea - Reduccion de Gauss-Jordan
1 ´ ´
¿Para que valor de k tendra soluciones no triviales el siguiente
sistema?:
1x + 1y + 1z = 0
2x + 3y + 4z = 0
3x + 4y + kz = 0
2 ´
Comprueba el resultado aplicando la reduccion de Gauss-Jordan
37. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
Gauss-Jordan
Resumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
38. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Definiciones y operaciones basicas
´
Vector renglon de n componentes
´
Se define a un vector renglon de n componentes como un
conjunto ordenado de n numeros escritos de la siguiente manera:
´
x1 x2 ··· xn
´
Ejemplo: 5-vector renglon
x= 2 1 3 5 −1
39. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Definiciones y operaciones basicas
Vector columna de n componentes
Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado
de n numeros escritos de la siguiente manera:
´
x1
x2
.
.
.
xn
Ejemplo: 3-vector columna
−1
u= 1
0
40. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Definiciones y operaciones basicas
Espacio vectorial Rn
Se usa el s´mbolo Rn para denotar al conjunto de todos los
ı
n-vectores:
a1
a2
.
.
.
an
cada ai es un numero real
´
41. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Definiciones y operaciones basicas
Matriz
Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn numeros
´
agrupados en m renglones y n columnas.
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 a2j a2n
. . . .
. . .
. .
. .
.
A= ai1 ai2 · · · aij · · · ain
. . . .
. . .
. .
. .
.
am1 am2 · · · amj · · · amn
42. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Suma de matrices
Consideremos A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices m × n. Entonces la
suma de A y B es una matriz m × n, A + B dada por:
A+B = aij + bij
a11 + b11 a12 + b12 ··· a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 ··· a2n + b2n
=
.
. .
. .
.
. . .
am1 + bm1 am2 + bm2 ··· amn + bmn
Es decir, A + B es una matriz de m × n que se obtiene al sumar las
componentes correspondientes de A y B.
43. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
´
Multiplicacion de una matriz por un escalar
Si A = (aij ) es una matriz m × n y si α es un escalar, entonces la
matriz m × n, αA, esta dada por:
´
αA = (αaij )
αa11 αa12 ··· αa1n
αa21 αa22 ··· αa2n
= .
. .
. . .
. . .
αam1 αam2 ··· αamn
Es decir, αA = (αaij ) es una matriz obtenida al multiplicar cada
componente de A por α.
44. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA
45. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA
46. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA
47. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA
48. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA
49. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA
50. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
´
Suma y multiplicacion de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1 A+0=A
2 0A = 0
3 A + B = B + A (ley conmutativa)
4 (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5 α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6 1A = A
7 (α + β)A = αA + βA
51. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
´
Definicion: Producto escalar
a1 b1
a2 b2
Sean a = . y b = . dos vectores. Entonces el
.
. . .
an bn
producto escalar de a y b, representado por a · b, esta definido
´
como:
a · b = a1 b1 + a2 b2 + · · · an bn
Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el
mismo numero de componentes
´
52. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a·0=0
2 a · b = b · a (ley conmutativa)
3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4 (αa) · b = α(a · b)
53. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a·0=0
2 a · b = b · a (ley conmutativa)
3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4 (αa) · b = α(a · b)
54. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a·0=0
2 a · b = b · a (ley conmutativa)
3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4 (αa) · b = α(a · b)
55. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1 a·0=0
2 a · b = b · a (ley conmutativa)
3 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4 (αa) · b = α(a · b)
56. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto de dos matrices
´
Definicion:
Sea A = (aij ) una matriz m × n, y sea B = (bij ) una matriz de n × p.
Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p, C = (cij ), en
donde:
cij = (renglon i de A) · (columna j de B)
´
´
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglon i de A
y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
Si el numero de columnas de A es igual al numero de renglones de B, entonces se
´ ´
´
dice que A y B son compatibles bajo la multiplicacion.
57. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto de dos matrices
´ ´
Ejemplificacion de la multiplicacion matricial
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n b b12 ··· b1j ··· b1p
11
. . .
.
. .
. .
.
b
21 b22 ··· b2j ··· b2p
(cij ) = . . . .
ai1 ai2 ··· ain . . . .
. . . .
.
. .
. .
.
bn1 bn2 ··· bnj ··· bnp
. . .
am1 am2 ··· amn
58. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
´
La notacion Σ
´
El producto escalar y la multiplicacion de dos matrices puede ser
expresada de la siguiente forma:
Producto escalar
a·b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
n
= ai bi
i=1
´
Multiplicacion de dos matrices
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
n
= aik bkj
k=1
59. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Problemas - Tarea
1 Sean a11 , a12 , a21 y a22 numeros reales dados tales que
´
a11 a22 − a12 a21 = 0. Encuentre los numeros b11 , b12 , b21 y b22
´
a11 a12 b11 b12 1 0
tales que = .
a21 a22 b21 b22 0 1
−1 2
2 Calcule A2 si A = .
3 4
3 Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a · b = 0.
Determine todos los umeros α y β tales que los vectores
n´
1 4
−α 5
2 y −2β sean ortogonales.
3 7
60. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
´
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminacion de
Gauss-Jordan
Resumen
2 Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
61. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
´
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
´
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm
La matriz de coeficientes es:
a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
A= .
. .
. . .
. . .
am1 am2 ··· amn
62. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
´
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
´
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm
Los vectores x y b son:
x1 b1
x2 b2
x= b=
.
. .
.
. .
xn bm
63. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
´
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
´
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm
´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones:
Ax = b
´
Un sistema de ecuaciones lineales es homogeneo si:
Ax = 0
64. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
´
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
´
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm
Ejemplo:
1x1 + 4x2 − 2x3 = 10 1 4 −2
2x1 + 5x2 + 3x3 = 8 A= 2 5 3
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 3 1 −2
65. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´
Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales
´
Sistema de m ecuaciones y n incognitas
´
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
.
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm
´
Ejemplo (continuacion):
1x1 + 4x2 − 2x3 = 10 x1 10
2x1 + 5x2 + 3x3 = 8 x = x2 , b = 8
3x1 + 1x2 − 2x3 = 4 x3 4
66. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
´
La representacion de la matriz aumentada
de Ax = b es:
Ejemplo:
1 1 −1 | 7
4 −1 5 | 4
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 6 1 3 | 18
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18
67. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Reduciendo la matriz aumentada a la forma
escalonada, tenemos:
Ejemplo:
1 1 −1 | 7
4 −1 5 | 4
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 6 1 3 | 18
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 6R1
−− − − − −
− − − − −→
1 1 −1 | 7
0 −5 9 | −24
0 −5 9 | −24
68. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Reduciendo la matriz aumentada a la forma
´
escalonada, tenemos (continuacion):
Ejemplo:
1 1 −1 | 7
0 −5 9 | −24
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 0 −5 9 | −24
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R2 → − R2
5
−− − −
− − −→
1 1 −1 | 7
0 1 −9 |
5
24
5
0 −5 9 | −24
69. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Reduciendo la matriz aumentada a la forma
´
escalonada, tenemos (continuacion):
Ejemplo:
1 1 −1 | 7
0 1 −9 |
5
24
5
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 0 −5 9 | −24
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 R1 → R1 − R2
R3 → R3 + 5R2
−− − − − −
− − − − −→
4 11
1 0 5 | 5
9 24
0 1 −5 | 5
0 0 0 | 0
70. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
´
La reduccion queda como:
4 11
1 0 5 | 5
Ejemplo: 0 1 −9 | 24
5 5
0 0 0 | 0
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 ´
La solucion ser´a:
ı
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 11
− 4 x3
x1 5 5
24
x2 =
5 + 9 x3
5
x3 x3
71. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Considerando las soluciones x1 y x2 para
x3 = 1 y x3 = 2, respectivamente:
Ejemplo: 11 4
x1 5 − 5 x3
x1,2 = x2 = 24 + 9 x3
5 5
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7 x3 x3
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 La soluciones ser´an:
ı
7 3
5 5
33 42
x1 = 5
x2 = 5
1 2
72. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
7 3 4
5 5 5
Ejemplo: x= 33 − 42 = −9
5 5 5
1 2 −1
1x1 + 1x2 − 1x3 = 7
4x1 − 1x2 + 5x3 = 4 ´
efectuando la multiplicacion Ax:
6x1 + 1x2 + 3x3 = 18 4
1 1 −1 5 0
4 −1 5 −9 = 0
5
6 1 3 −1 0
73. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Vectores y matrices - productos vectorial y matricial Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
´ ´
Ejemplo - Sistema homogeneo y no homogeneo
Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
7 3 4
5 5 5
Teorema x= 33 − 42 = −9
5 5 5
Sean x1 y x2 soluciones al 1 2 −1
´
sistema no homogeneo.
Entonces su diferencia x1 − x2 , ´
efectuando la multiplicacion Ax:
´
es una solucion al sistema 4
´
homogeneo relacionado 1 1 −1 0
5
4 −1 5 −9 = 0
5
A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 = 0
6 1 3 −1 0