1. Prof. Kenia Kodel

2. Extrato
 Organização de Arquivos
 Arquivos Sequenciais Desordenados
 Arquivos Sequenciais Ordenados Fisicamente
 Arquivos Sequenciais Ordenados por Link
 Arquivos Diretos Mantidos por Dicionário de Dados
 Arquivos Diretos Mantidos por Hashing
 Arquivos Sequenciais Indexados
 Recuperação de Chave Secundária – Multilista
 Recuperação de Chave Secundária – Arquivos Invertidos
 Recuperação de Chave Secundária – Árvores de Assinaturas
 Estruturas de Busca em Texto
 Árvores B e B+
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3. O que é
árvore?
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4. Conhece os termos
ao lado?
Árvore: Terminologia
árvore nó grau folha nível
ramo raiz altura
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5. Árvore...
 árvore binária
 árvore binária de pesquisa
 aplicações de árvores
O que você
sabe sobre...  vantagens
 árvores balanceadas
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6. Árvore B
As árvores B são árvores cujos critérios de
organização (crescimento / armazenamento
de dados) as conservam balanceadas.
Apresentam crescimento bottom up – das folhas
para a raiz.
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7. Árvore B
Cada nó de uma árvore B tem mais de uma
entrada e múltiplas descendências.
Em cada entrada é mantido registro de
dados; apesar de nestes slides serem
apresentadas apenas as chaves de busca.
astro caju
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8. Árvore B
O tamanho dos nós das árvores B é
determinado pela capacidade de
armazenamento da memória principal.
astro caju
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9. Árvore B
Para alguns estudiosos, as árvores B nasceram da
paginação (blocos de nós) das árvores binárias de busca.
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10. Árvore B
Numa árvore B de ordem x:
1. Todos os nós, exceto a raiz, devem
armazenar de x a 2x dados.
2. A raiz deve armazenar de 1 a 2x dados.
3. Todo nó ou é folha ou tem k+1
descendentes, onde k é o número de
dados mantidos no nó.
4. Todas as folhas devem apresentar-se
num mesmo nível.
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11. Árvore B
Numa árvore B de ordem x:
1. Todos os nós, exceto a Segue uma árvore B de ordem 1,
raiz, devem armazenar entretanto, vale esclarecer
de x a 2x dados.
que as árvores B, na prática,
2. A raiz deve armazenar
de 1 a 2x dados. são usadas para armazenar
3. Todo nó ou é folha ou grande quantidade de
tem k+1 descendentes, dados; apresentando, em
onde k é o número de geral, ordens elevadas.
dados mantidos no nó.
4. Todas as folhas devem
apresentar-se num cajá
mesmo nível.
astro caju
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12. Árvore B
Numa árvore B de ordem x:
1. Todos os nós, exceto a Importante observar que,
raiz, devem armazenar
de x a 2x dados. sendo uma árvores B de
2. A raiz deve armazenar ordem x, seus nós devem
de 1 a 2x dados. ser compostos por 2x
3. Todo nó ou é folha ou entradas para dados e
tem k+1 descendentes,
onde k é o número de 2x+1 apontadores.
dados mantidos no nó.
4. Todas as folhas devem
apresentar-se num cajá
mesmo nível.
astro caju
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13. Como efetuar
consulta em
árvore B?
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14. Consulta
Efetuar consultas
gato nesta árvore B?
cajá loja
astro boca caju gota zebra
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15. Consulta
cajá gato
astro boca caju gota zebra
Efetuar consultas
nesta árvore B?
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16. Como efetuar
inclusão em
árvore B?
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17. Inclusão
cajá gato
astro boca caju gota zebra
Como efetuar a
inclusão do dado loja
na árvore dada?
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18. Inclusão
cajá
astro caju
Como efetuar a inclusão
dos dados boca e loja na
árvore dada?
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19. Inclusão
caju
É possível estudar o processo de inserção
de dados em árvores B através da
construção, por exemplo, de uma árvore
de ordem 1 composta por: caju1, cajá2,
astro3, boca4, loja5, gato6, gota7, zebra8.
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20. Inclusão
1 caju
Inserindo cajá:
2 cajá caju
Há o deslocamento do primeiro valor
para manter a estrutura ordenada.
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21. Inclusão
2 cajá caju
Inserindo astro:
3 cajá caju
a st r o
Observa-se o estouro da capacidade de
armazenamento do nó implicando na
necessidade de crescimento da estrutura.
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22. Inclusão
2 cajá caju
Inserindo astro:
3 cajá
astro caju
Houve estouro da capacidade de armazenamento
do nó e consequente crescimento bottom up da
estrutura.
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23. Inclusão
Inserindo boca e loja:
3 cajá
astro caju
4e5 cajá
astro boca caju loja
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24. Inclusão
Na inclusão de boca, compara-se esta com a raiz,
sendo menor, segue-se pela esquerda. Compara-
se a nova palavra com o valor encontrado: astro,
sendo maior, segue pela direita, havendo espaço,
faz-se a inclusão.
4e5 cajá
astro boca caju loja
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25. Inclusão
cajá
astro boca caju loja
gato
Inserindo gato:
6 cajá gato
astro boca caju loja
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26. Inclusão
cajá
astro boca caju loja
gato
Há o estou da capacidade de armazenamento do nó
composto por caju||loja, então o elemento mediano
gato é remetido ao nível ascendente – crescimento
bottom up.
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27. Inclusão
6 cajá gato
astro boca caju loja
Inserindo gota:
7 cajá gato
astro boca caju gota loja
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28. Inclusão
6 cajá gato
astro boca caju gota loja
Inserindo zebra:
7 cajá gato
loja
zebr
astro boca caju gota a
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29. Inclusão
Inserindo zebra:
7 cajá gato
loja
zebr
astro boca caju gota a
gato
7 cajá loja
zebr
astro boca caju gota a
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30. Inclusão
gato
cajá loja
astro boca caju gota zebra
O estouro do nó gota||loja provoca o estouro do nó
ascendente cajá||gato.
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31. Como efetuar
exclusão em
árvore B?
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32. Exclusão
gato
cajá loja
astro boca caju gota zebra
Como efetuar a
exclusão do dado
boca na árvore dada?
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33. Exclusão
gato
cajá loja
astro caju gota loja
Como efetuar a
exclusão do dado gato
na árvore dada?
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34. Exclusão
O estudo da exclusão em árvores B pode ser
efetuado pelo acompanhamento do
processo de execução desta operação;
partindo, por exemplo, da árvore antes
construída.
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35. Exclusão gato
cajá loja
astro boca caju gota zebra
Importante ressaltar que, em toda e
qualquer operação de manipulação
de dados mantidos em árvore B, é
indispensável preservar suas
características.
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36. Exclusão
Excluindo boca:
gato
cajá loja
astro X
boca caju gota zebra
Este constitui um caso trivial, não provoca
nenhuma alteração na estrutura da árvore.
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37. Numa árvore B de ordem x:
1. Todos os nós, exceto a raiz, devem
armazenar de x a 2x dados.
Exclusão 2.
3.
A raiz deve armazenar de 1 a 2x
dados.
Todo nó ou é folha ou tem k+1
descendentes, onde k é o número
Excluindo cajá: 4.
de dados mantidos no nó.
Todas as folhas devem apresentar-
se num mesmo nível.
gato
X
cajá loja
astro boca caju gota zebra
A simples remoção da palavra violaria a definição de
árvore B. Então este é substituído pelo seu
antecessor imediato – o nó mais a direita do ramo da
esquerda. UFS - DComp - Prof. Kenia Kodel 37

38. Exclusão
Excluindo cajá: gato
X
cajá loja
astro boca caju gota zebra
Somente o antecessor
imediato pode substituir
um nó excluído?
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39. Exclusão
Excluindo caju: gato
cajá loja
astro boca X
caju gota zebra
Neste, o elemento não tem antecessor imediato, então faz-se uso do nó ascendente: cajá.
... ...
X
cajá boca

JÁ VISTO
astro boca cajá astro X
boca cajá
Árvore final: gato
boca loja
astro X
boca cajá gota
UFS - DComp - Prof. Kenia Kodel zebra 39

40. Exclusão
Excluindo zebra:
gato
cajá loja
astro caju gota X
zebra
Neste caso o elemento não tem antecessor imediato,
então faz-se uso do nó ascendente, no caso: loja.
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41. Exclusão
Excluindo zebra:
gato
cajá X
loja
astro caju gota loja
Este elemento – loja – também não tem antecessor
imediato,então faz-se uso do nó ascendente, no
caso: gato.
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42. Exclusão
Excluindo zebra:
X
gato
cajá gato
astro caju gota loja
Este elemento – gato – não tem antecessor
imediato nem nó ascendente, então há a
combinação de nós. - Prof. Kenia Kodel
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43. Exclusão
X
gato
cajá gato
astro caju gota loja
cajá gato
astro caju gota loja
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44. Quando aplicar
árvores B?
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45. Exercício
Esquematizar a construção de uma árvore
B de ordem 2.
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46. Exercício
Propor e esquematizar 5 exclusões a serem
efetuadas sobre a árvore obtida em
resposta à questão anterior de forma a
aplicar os 4 casos vistos no estudo desta
operação.
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47. Exercício
Descrever consulta a ser efetuada sobre a
árvore obtida em resposta à questão 17:
(a) de item existente (b) de item
inexistente.
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48. Exercício
Quando aplicar árvores B?
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49. Árvore B+
Consiste numa variante da árvore B que,
como sugere o nome, apresenta vantagens
em relação à estrutura original.
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50. Árvore B+
Geralmente as árvores B+ apresentam menor
profundidade que as árvores B com mesmos
dados, pois nas B+ há aumento do número de
entradas mantidas por nó.
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51. Árvore B+
O tamanho dos nós é determinado pela capacidade
da memória principal. Nas B+ só as chaves são
mantidas nos nós não terminais, assim tem-se
árvores com maior número de entradas por nó e
menos profundidade, pois as chaves constituem
apenas um subconjunto dos registros completos.
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52. Árvore B+
Nas árvores B+ os registros completos são
armazenados exclusivamente nas folhas.
Os nós não terminais atuam como índices de
acesso aos dados contidos nos nós terminais.
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53. Árvore B+
Então, em resumo, uma árvore B+ é uma árvore B
em que os registros de dados são mantidos nos nós
folhas e os nós não terminais constituem somente
chaves que servem como índices de acesso aos
dados.
Índices
Dados
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54. Árvore B+
Índices
Dados ...
O processamento linear é garantido pelos
links que mantêm os nós folhas dispostos em
sequência.
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55. Árvore B+
Para manutenção da ordenação dos dados de
uma árvore B+ não é necessário
movimentação de nós.
É possível efetuar processamento direto ou
sequencial sobre os dados mantidos em
árvores B+.
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56. Índices
Dados ...
Como efetuar
inserção em
árvores B+?
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57. Árvore B+
Na inserção de dados em árvores B+ os
registros são armazenados nos nós folhas e as
chaves são incluídas no nós índices com um
ponteiro, ou caminho, para o respectivo nó
terminal.
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58. Árvore B+
É possível estudar o processo de inserção de
dados em árvores B+ através da construção,
por exemplo, de uma árvore composta pelas
chaves: 801 – 502 – 983 – 904 – 605 – 656 – 707 –
558 – 649.
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59. Árvore B+
Considera-se uma árvores B+ de ordem 2.
1 Incluindo 80:
80
80...
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60. Árvore B+
2 Incluindo 50:
80
50... 80...
3 e 4 Incluindo 98 e 90:
80
50... 80... 90... 98...
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61. Árvore B+
A inserção em árvores B+ segue os
processo trivial de inclusão em árvore
de pesquisa: dados menores ou iguais ao
nó pai são mantidos no ramo esquerdo e
os maiores, à direita deste.
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62. Árvore B+
5 Incluindo 60:
80
50... 80... 90... 98...
60
Esta implica em estouro do nó 50|80 e provoca
os encaminhamentos da chave mediana para o
nó ascendente e do 80 para próximo espaço.
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63. Árvore B+
5 Incluindo 60: 80
50... 80... 90... 98...
60
60 80
50... 60... 80... 90... 98...
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64. Árvore B+
6 Incluindo 65:
60 80
50... 60... 80... 90... 98...
60 80
50... 60... 65... 80... 90... 98...
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65. 7 Incluindo 70:
60 80
50... 60... 65... 80... 90... 98...
70
60 70 80
50... 60... 65... 70... 80... 90... 98...
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66. Árvore B+
8 Incluindo 55:
60 70 80
50... 60... 65... 70... 80... 90... 98...
55
55 60 70 80
50... 55... 60... 65... 70... 75... 80... 90... 98...
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67. Árvore B+
9 Incluindo 64:
55 60 70 80
50... 55... 60... 65... 70... 75... 80... 90... 98...
64
55 60 70 80
65
50... 55... 60... 64... 65... 70... 75... 80... 90... 98...
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68. Árvore B+
9 Incluindo 64: 55 60 70 80
65
50... 55... 60... 64... 65... 70... 75... 80... 90... 98...
65
55 60 70 80
50... 55... 60... 64... 65... 70... 75... 80... 90... 98...
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69. Árvore B+
A inserção de 64 provoca o estouro do
nó 65||70 e o encaminhamento de 65
ao nó ascendente que, por sua vez,
implica no estouro do nó 55||60||70||
80 e consequente encaminhamento de
65 ao nível ascendente, com
crescimento da estrutura.
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70. Índices
Dados ...
Como efetuar
remoção em
árvores B+?
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71. Árvore B+
Em função da forma de organização das
árvores B+, nem toda exclusão provoca
alterações nas duas áreas de composição
da estrutura de dados e de índices.
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72. Árvore B+
A remoção de nós da área de dados é
equivalente à remoção em estruturas
lineares.
Já a exclusão na área de índices é similar
a que ocorre em árvores B.
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73. Árvore B+
Discutir remoção das chaves 55 e 60 da
estrutura dada abaixo:
65
55 60 70 80
50... 55... 60... 64... 65... 70... 75... 80... 90... 98...
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74. Exercício
Esquematize a inclusão dos nós 51, 76, 77, 78,
200, 300 e 150 na estrutura dada a seguir:
65
55 60 70 80
50... 55... 60... 64... 65... 70... 75... 80... 90... 98...
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75. Exercício
Esquematize a exclusão dos nós 55, 60,
65 e 78 da estrutura obtida em resposta
à questão anterior.
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76. Exercício
Descreva a operação de consulta em
árvore B+.
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77. Exercício
Pesquise definição, operações e
aplicação de estrutura tipo árvore
distinta das estudadas até então.
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78. Exercício
Descreva os passos gerais da operação de
consulta em árvores digitais de pesquisa.
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79. Complementar
Estudos...
File Organization and Processing
Allan L Tharp
Capítulo 9
B-Trees and Derivatives
B Trees & B+ Trees
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80. Próximos
passos...
Classificação Externa
UFS - DCOMP - Prof. Kenia 80
Kodel
UFS - DComp - Prof. Kenia Kodel 80