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1. TRAVAUX DIRIGÉS
Analyse Mathématiques I
Filière Sciences Economiques et Gestion
Semestre 1
Mohamed HACHIMI
Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales d’Agadir
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2. Chapitre III
Développements limités
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3. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 1
Les fonctions
f (x) = x2 + 3x
et
g(x) = x2 + 1
sont-elles équivalentes au voisinage de +∞ ? au voisinage
de 0 ?
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4. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 1
On a :
f (x)
x2 + 3x
= lim
=1
x→+∞ g(x)
x→+∞ x2 + 1
lim
les fonctions f et g sont donc équivalentes en +∞.
x2 + 3x
f (x)
= lim 2
=0
x→0 x + 1
x→0 g(x)
lim
les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en 0.
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5. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 2
Etant donné que
x ∼ x + 1,
+∞
ex
les fonctions et
sinage de +∞ ?
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ex+1
sont-elles aussi équivalentes au voi-
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6. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 2
Posons f (x) = ex et g(x) = ex+1 . On a :
ex
f (x)
1
= lim x+1 = = 1
x→+∞ g(x)
x→+∞ e
e
lim
les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en +∞,
malgré que x ∼ x + 1.
+∞
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7. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 3
Déterminer, en utilisant les fonctions équivalentes :
1◦
1
x3 + 2x2 + 1
sin
x→∞ 4x2 + 3x + 2
x
2◦
lim
lim
(x2 + x) ln(1 + x)
x→0
x3 + 3x2
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8. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 3
1◦
On a : x3 + 2x2 + 1 ∼ x3 ,
∞
donc
4x2 + 3x + 2 ∼ 4x2 ,
sin
∞
1 1
∼
x∞x
x3 + 2x2 + 1
1
x3 1
1
sin = lim 2 =
x→∞ 4x2 + 3x + 2
x→∞ 4x x
x
4
lim
2◦
On a : x2 + x ∼ x,
0
donc
x3 + 3x2 ∼ 3x2 ,
0
ln(1 + x) ∼ x
0
(x2 + x) ln(1 + x)
x2
1
= lim 2 =
3 + 3x2
x→0
x→0 3x
x
3
lim
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9. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 4
Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], on a :
x5
x2 x3 x4
+
1+x+ + +
2
6 24 120
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ex
x2 x3 x4
3x5
1+x+ + +
+
2
6 24 120
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10. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 4
La fonction f (x) = ex est plusieurs fois dérivable sur R. On peut lui
appliquer la formule de Mac-Laurin à l’ordre 5 sur [0, 1]. Il existe
c ∈]0, 1[ tel que :
f (x) = f (0) +
f ′ (0)
f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3 f (4) (0) 4 f (5) (c) 5
x+
x +
x +
x +
x
1!
2!
3!
4!
5!
On a : f (x) = f ′ (x) = f ′′ (x) = f (3) (x) = f (4) (x) = f (5) (x) = ex
donc : f (0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = f (3) (0) = f (4) (0) = 1 et f (5) (c) = ec
D’où :
ex = 1 + x +
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ec 5
x2 x3
x4
+
+
+
x
2
6
24 120
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11. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 4
Comme 0
1, il vient 1
c
1
ec
3
soit
ec
1 5
x
120
e. D’où :
ec 5
x
120
3 5
x
120
On en déduit :
1+x+
x4
x5
x2 x3
+
+
+
2
6
24 120
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ex
1+x+
x2 x3
x4
3x5
+
+
+
2
6
24 120
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12. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 5
Ecrire la formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, des fonctions suivantes :
1
, pour a = 1 ;
1◦ f (x) =
1+x
2◦
g(x) = ln x, pour a = 1
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13. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 5
1◦
f est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a :
1
2
f ′′ (x) =
(1 + x)2
(1 + x)3
6
24
f (3) (x) = −
f (4) (x) =
(1 + x)4
(1 + x)5
f ′ (x)
=−
La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est
(x−1)2 ′′
(x−1)3 (3)
(x−1)4 (4)
f (1)+
f (1)+
f (c)
2
6
24
1 1
1
1
(x − 1)4
= − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 +
2 2
8
16
(1 + c)5
f (x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+
avec c dans l’intervalle ]1, x[.
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14. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 5
2◦
g est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a :
f ′ (x) =
1
,
x
f ′′ (x) = −
1
,
x2
f (3) (x) =
2
,
x3
f (4) (x) = −
6
x4
La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est
(x−1)2 ′′
(x−1)3 (3)
(x−1)4 (4)
f (1)+
f (1)+
f (c)
2
6
24
1
1
(x − 1)4
= x − 1 − (x − 1)2 + (x − 1)3 −
2
3
4(1 − c)4
g(x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+
avec c dans l’intervalle ]1, x[.
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15. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 6
Montrer que la fonction
f (x) = x + 5x2 + x3 sin x
admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0.
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16. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 6
On peut écrire f sous la forme :
f (x) = 0 + x + 5x2 + 0x3 + x3 (sin x) avec
lim sin x = 0
x→0
donc f admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0
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17. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 7
En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer le DL
d’ordre 3, au voisinage de 0 de
f (x) = ln(1 + ex )
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18. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 7
f est plusieurs fois dérivable sur R. En particulier f (3) (0) existe,
on peut appliquer la formule de Taylor-Young à l’ordre 3 :
f (x) = f (0) +
On a : f ′ (x) =
f ′ (0)
f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3
x+
x +
x + x3 ε(x)
1!
2!
3!
ex
,
1 + ex
d’où : f (0) = ln 2,
f ′′ (x) =
f ′ (0) =
1
,
2
ex
,
(1 + ex )2
f ′′ (0) =
1
,
4
f (3) (x) =
ex (1 + ex )
(1 + ex )3
f (3) (0) = 0
Ainsi,
ln(1 + ex ) = ln 2 +
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x x2
+
+ x3 ε(x)
2
8
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19. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 8
Trouver le DL d’ordre 4, au voisinage de 0 de la fonction
√
f (x) = 1 + x
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20. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 8
On a :
f (x) = (1 + x)α avec α =
1
2
1
1
5 4
1
x + x4 ε(x)
= 1 + x − x2 + x3 −
2
8
16
128
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21. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 9
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 1 de la fonction
f (x) = ex
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22. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 9
En posant t = x − 1, on est ramené au voisinage de 0 :
ex = e1+t = e · et
=e 1+t+
t2 t3
+ + t3 ε(t)
2
6
ainsi, au voisinage de 1, on a :
ex = e 1 + (x − 1) +
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(x − 1)2 (x − 1)3
+
+ (x − 1)3 ε(x − 1)
2
6
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23. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 10
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = e4x sin 3x
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24. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 10
Au voisinage de 0, on a :
4x (4x)2
(4x)3
+
+
+ x3 ε(x)
1!
2!
3!
32
= 1 + 4x + 8x2 + x3 + x3 ε(x)
3
3
9
(3x)
+ x3 ε(x) = 3x − x3 + x3 ε(x)
sin 3x = 3x −
3!
2
e4x = 1 +
D’où : e4x sin 3x =
1 + 4x + 8x2 +
= 3x + 12x2 +
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32 3
x
3
9
3x − x3
2
+ x3 ε(x)
39 3
x + x3 ε(x)
2
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25. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 11
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) =
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ln(1 + x)
cos x
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26. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 11
Au voisinage de 0, on a :
ln(1 + x) = x −
cos x = 1 −
x2 x3
+
+ x3 ε(x)
2
3
x2
+ x3 ε(x)
2
Donc
x2 5x3 3
ln(1 + x)
= x− +
+x ε(x)
cos x
2
6
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x2
x3
+
2
3
x3
−x
+
2
5x3
x2
+
−
2
6
x2
2
5x3
+
6
x−
x2
2
x2
5x3
x−
+
2
6
1−
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27. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 12
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = esin x
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28. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 12
Au voisinage de 0, on a :
sin x = x −
x3
+ x3 ε(x)
6
et
eu = 1 + u +
u2 u3
+
+ u3 ε(u)
2
6
Comme sin 0 = 0, on peut donc remplacer u, dans l’expression
x3
:
de eu , par le terme x −
6
esin x = 1 + x −
=1+x+
x3
6
+
1
2
x−
x3
6
2
+
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x−
x3
6
3
+ x3 ε(x)
x2
+ x3 ε(x)
2
(On ne garde que les termes de degré
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6
3).
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29. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 13
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = ecos x
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30. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 13
Puisque cos 0 = 1 = 0, on écrit ecos x sous la forme :
ecos x = e1+(cos x)−1 = e e(cos x)−1
Au voisinage de 0, on a :
(cos x) − 1 = −
x2
+ x3 ε(x)
2
et
eu = 1 + u +
En remplaçant u, dans eu , par le terme −
ecos x = e 1 −
x2
+ x3 ε(x)
2
u2 u3
+
+ u3 ε(u)
2
6
x2
, on a :
2
= e−
e2 2
x + x3 ε(x)
2
(On ne garde que les termes de degré 3). economie et gestion
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