UFF: Resistência dos Materiais IX

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
CENTRO TECNOLÓGICO
ESCOLA DE ENGENHARIA
Departamento de Engenharia Civil
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX
Flávia Moll de Souza Judice
Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro
2005

Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice
Mayra Soares P. L. Perlingeiro
________________________________________________________________________________________________
Notas de Aula Resistência dos Materiais IX
1
SUMÁRIO
I – Introdução.................................................................................................................... 2
II – Isostática..................................................................................................................... 4
III – Tração e Compressão ............................................................................................... 17
IV – Cisalhamento Puro.................................................................................................... 26
V – Torção ........................................................................................................................ 28
VI – Tensões em Vigas..................................................................................................... 32
VII – Flexão Composta ..................................................................................................... 40
VIII – Análise de Tensões................................................................................................. 45
IX – Deformação em Vigas............................................................................................... 54
X – Flambagem ................................................................................................................ 62
Bibliografia........................................................................................................................ 69

________________________________________________________________________________________________
2
I – INTRODUÇÃO
A Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Sólidos ou
Mecânica dos Corpos Deformáveis, tem por objetivo prover métodos simples para a análise
dos elementos mais comuns em estruturas.
O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma combinação de
teoria e experiência. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) e Galileu
Galilei (1564-1642) fizeram experiências para determinar a resistência de fios, barras e
vigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) para
explicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveram
teorias matemáticas muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância do
seu achado.
O curso aqui apresentado inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais,
tais como tensões e deformações, para em seguida, investigar o comportamento de
elementos estruturais simples sujeitos à tração, à compressão e ao cisalhamento.
Sistema Internacional de Unidades (SI):
Quantidade Símbolo
Dimensional
Unidade
Básica
Comprimento L metro (m)
Tempo T segundo (s)
Massa M quilograma (kg)
Força F Newton (N)
A força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por definição,
um Newton é a força que fornece a um quilograma massa a aceleração de um metro por
segundo ao quadrado. A equivalência entre unidades é 2
m/s1kg1N1 ⋅= .
Outras unidades derivadas do SI:
Quantidade Unidade Básica
Área metro quadrado (m2
)
Tensão Newton por metro quadrado (N/m2
)
ou Pascal (Pa)
Prefixos de Unidades:
Prefixo Símbolo Fator
Giga G 109
Mega M 106
Quilo k 103
Deci d 10-1
Centi c 10-2
Mili m 10-3
Micro µ 10-6
Nano n 10-9

________________________________________________________________________________________________
3
Na prática, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kN), o quilopascal (kPa), o
megapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa).
2232
1
cm/kgf1m/kN10N/mm1MPa1
tf1kN10
kgf01N1
≈==
≈
≈ −

________________________________________________________________________________________________
4
II – ISOSTÁTICA
1 – Grandezas Fundamentais
1.1 – Força
As forças são grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e intensidade.
1.2 – Momento
O momento representa a tendência de giro (rotação) em torno de um ponto
provocada por uma força.
2 – Condições de Equilíbrio
Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estático
caso não haja qualquer tendência à translação ou à rotação.
As equações universais da Estática que regem o equilíbrio de um sistema de forças
no espaço são:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0F
0F
0F
z
y
x
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
0M
0M
0M
z
y
x
F1
F2
F3
Fn
.....
iii dFM ⋅=
M2
F1
F3
F2
M1
Fidi
O
.

________________________________________________________________________________________________
5
3 – Graus de Liberdade
Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e três
rotações segundo três eixos ortogonais.
A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade
precisam ser restringidos.
Esta restrição é dada pelos apoios (vínculos), que são dispositivos mecânicos que,
por meio de esforços reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforços
reativos (reações), juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um
sistema em equilíbrio estático.
3.1 – Tipos de Apoio
Classificam-se em três categorias:
a) Apoio móvel ou do 1º gênero – é capaz de impedir o movimento do ponto
vinculado do corpo numa direção pré-determinada;
A representação esquemática indica a reação de apoio R na direção do único
movimento impedido (deslocamento na vertical).
b) Apoio fixo ou do 2º gênero ou rótula – é capaz de impedir qualquer movimento do
ponto vinculado do corpo em todas as direções, permanecendo livre apenas a
rotação;
APOIO
FIXO
SÍMBOLO
rótula V
H
APOIO
MÓVEL SÍMBOLO
Pino deslizante
rolete R

________________________________________________________________________________________________
6
c) Engaste ou apoio do 3º gênero – é capaz de impedir qualquer movimento do ponto
vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto.
3.2 – Estaticidade e Estabilidade
a) Estruturas isostáticas
Quando o número de movimentos impedidos é igual ao estritamente necessário para
impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é isostática,
ocorrendo uma situação de equilíbrio estável.
equilíbriodeequaçõesNreaçõesN oo
=
b) Estruturas hipostáticas
Quando o número de movimentos impedidos é menor que o necessário para impedir
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hipostática, ocorrendo
uma situação indesejável de equilíbrio instável.
c) Estruturas hiperestáticas
SÍMBOLO
E
N
G
A
S
T
E
V
H
M
A B
VA VB
HB
C
VC
MC
HC
A B
VA VB
C
VC
HC
A B
VA VB
HB
C
VC
MC
HCHA
D
HD

________________________________________________________________________________________________
7
Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo
uma situação indesejável de equilíbrio estável.
Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de
compatibilidade de deformações.
4 – Classificação das Estruturas
a) Vigas – são elementos estruturais geralmente compostos por barras de eixos
retilíneos que estão contidas no plano em que é aplicado o carregamento.
b) Pórticos (ou Quadros) – são elementos compostos por barras de eixos retilíneos
dispostas em mais de uma direção submetidos a cargas contidas no seu plano.
Apresentam apenas três esforços internos: normal, cortante, momento fletor.
c) Treliças – são sistemas reticulados cujas barras têm todas as extremidades rotuladas
(as barras podem girar independentemente das ligações) e cujas cargas são
aplicadas em seus nós. Apresentam apenas esforços internos axiais.
d) Grelhas – são estruturas planas com cargas na direção perpendicular ao plano,
incluindo momentos em torno de eixos do plano. Apresentam três esforços internos:
esforço cortante, momento fletor, momento torsor.
viga apoiada viga em balanço
pórtico plano

________________________________________________________________________________________________
8
5 – Tipos de Carregamento
a) Cargas concentradas – são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas
segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São
representadas por cargas aplicadas pontualmente;
b) Cargas distribuídas – são cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais
são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (casos de
empuxos de terra ou água).
c) Cargas-momento – são cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um
ponto qualquer da estrutura.
6 – Esforços Simples
Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de forças em equilíbrio
indicadas. Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S,
dividindo-o nas duas partes E e D.
Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta
que apliquemos, na seção S da parte E, um sistema estático equivalente ao das forças que
ficaram na parte da direita e, analogamente, na seção S da parte D, um sistema estático
equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estáticos
equivalentes são obtidos reduzindo as forças à esquerda e à direita da seção S ao centróide
desta seção.
Resumindo: a resultante R
r
que atua na parte da esquerda é obtida pelas forças da direita
e vice-versa. O momento resultante m
r
que atua na parte da esquerda foi obtido pelas
forças da direita e vice-versa.
F
M
q q
E
m
S
R
D
m
S
R

________________________________________________________________________________________________
9
Uma seção S de um corpo em equilíbrio está, em equilíbrio, submetida a um par de
forças R
r
e (- R
r
) e a um par de momentos m
r
e (- m
r
) aplicados no seu centróide e
resultantes da redução, a este centróide, das forças atuantes, respectivamente, à esquerda
e à direita da seção S.
Decompondo os vetores R
r
e m
r
em duas componentes, uma perpendicular à seção
S e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as forças N
r
(perpendicular a S) e
Q
r
(pertencente a S) e os momentos T
r
(perpendicular a S) e M
r
(pertencente a S), aos
quais chamamos esforços simples atuantes na seção S.
OBS: É indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção entrando com as
forças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção na prática. Usaremos as forças do
lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo.
a) Esforço normal N
r
– tende a promover variação da distância que separa as seções,
permanecendo as mesmas paralelas uma à outra.
O esforço normal será positivo quando de tração, ou seja, quando tender a afastar
duas seções infinitamente próximas, e negativo quando de compressão.
b) Esforço cortante Q
r
– tende a promover o deslizamento relativo de uma seção em
relação à outra (tendência de corte).
Dizemos que o esforço cortante Q
r
é positivo quando, calculado pelas forças
situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo do eixo y e quando calculado
pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o sentido oposto ao sentido positivo do
eixo y.
M
R
m
x
N
Q
T
x
C
C
N
N NN
ds
⊕
m
R
m
SR C
C

________________________________________________________________________________________________
10
c) Momento torsor T
r
– tende a promover uma rotação relativa entre duas seções
infinitamente próximas em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo
seu centro de gravidade (tendência de torcer a peça).
O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estiver
como que tracionando a seção.
d) Momento fletor M
r
– tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eixo
situado em seu próprio plano.
Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de M
r
pode ser
assimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma das
partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deixando a peça fletida.
Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e que
fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por exemplo,
sabermos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à
tração).
A figura mostra a convenção de sinais adotada.
T
ds
⊕
T
M
ds
M
Tração
Compressão
⊕
Q
Q
QQ
ds
⊕

________________________________________________________________________________________________
11
7 – Determinação da Resultante de um Carregamento Distribuído
Uma carga distribuída pode ser tratada como uma soma infinita de cargas
concentradas infinitesimais, dsq ⋅ , cuja resultante é:
∫ ⋅=
B
A
dsqR (1)
A Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribuído é igual à área Ω
limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eixo da estrutura.
Para obtermos a posição desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon ⇒ o
momento de um sistema de forças em equilíbrio é igual ao momento da resultante das
forças.
Chamando s a distância da resultante a um ponto genérico O, temos:
Momento da resultante: ∫ ⋅⋅=⋅
B
A
dsqssR
Soma dos momentos das componentes: ( ) sdsq
B
A
⋅⋅∫
Igualando:
∫
∫
⋅
⋅⋅
=
B
A
B
A
dsq
dssq
s
que é a razão entre o momento estático da área Ω em relação ao eixo z e o valor Ω dessa
área. Isto indica que s é a distância do centróide da área Ω ao eixo z.
Finalmente, a resultante de um carregamento distribuído é igual à área
compreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual
está aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centróide da área referida.
s
s
R
q.ds
z
Ω
A BO
ds

________________________________________________________________________________________________
12
8 – As Equações Fundamentais da Estática. Diagramas de Esforços
As equações fundamentais da Estática, deduzidas para uma viga com carga vertical
uniformemente distribuída, são:
s
s Q
ds
dM
= (2)
)s(q
ds
dQs −= (3)
Essas expressões permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da
viga em função do carregamento q(x) atuante.
A representação gráfica dos esforços nas seções ao longo de todo o elemento é feita
a partir dos diagrama de esforços (linhas de estado).
Com base na Eq. (2), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de
momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante.
A partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de
esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com
o sinal trocado.
8.1 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Concentrada
∑ =⇒= 0H0F Bx
∑ =+⇒= PVV0F BAy
l
bP
V
l
aP
V0aPlV0M ABBA
⋅
=⇒
⋅
=⇒=⋅−⋅⇒=∑
A B
VA VB
HB
a b
P
l
l
baP ⋅⋅
l
aP ⋅
⊕
⊕ DEC
DMF
l
bP ⋅

________________________________________________________________________________________________
13
Pelas Eq. (2) e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( 0q = ), o DEC será
uma reta horizontal ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−= 0q
ds
dQ
e o DMF será uma reta ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== tetanconsQ
ds
dM
.
OBS:
a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos esqs
esqs
Q
ds
dM
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
e
dirs
dirs
Q
ds
dM
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
e, no caso, dirsesqs QQ ≠ ;
b) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da
seção, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P.
Conclusão: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DEC
apresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga.
8.2 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga Uniformemente Distribuída
∑ =⇒= 0H0F Bx
∑ ⋅=+⇒= lqVV0F BAy
2
lq
V
2
lq
V0
2
l
lqlV0M ABBA
⋅
=⇒
⋅
=⇒=⋅⋅−⋅⇒=∑
Numa seção genérica S, temos:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=⋅⋅−⋅
⋅
=
2
22
s
l
x
l
x
2
l
q
2
x
xqx
2
lq
M
xq
2
lq
Qs ⋅−
⋅
=
q
A B
VA VB
HB
x
l
xq ⋅

________________________________________________________________________________________________
14
O DEC será uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremos
correspondentes a 0x = e lx = , que são:
2
lq
QA
⋅
=
2
lq
QB
⋅
−=
O DMF será uma parábola de 2º grau, passando por zero em A e B e por um máximo
em
2
lx = (seção onde 0
dx
dM
Q == ), de valor
8
lq
4
1
2
1
2
lq
M
22
max
⋅
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
⋅
= .
Conclusão: Sob carga uniformemente distribuída, o DMF é parabólico do 2º grau e o DEC é
retilíneo.
* Construção Geométrica do DMF
a) Sendo
8
lq
MM
2
1
⋅
= , marcamos 121 MMMM =
b) Dividimos os segmentos 2AM e 2BM em partes iguais (por exemplo: oito), obtendo
os pontos I a VII e I´ a VII´ que, ligados alternadamente, nos dão tangentes externas
à parábola que é, então, facilmente obtida.
2
lq ⋅
⊕ DEC
8
lqM 2
max ⋅=
DMF
2
lq⋅
⊕
VII´
VI´
V´
IV´
III´
II´
I´
VII
VI
V
IV
III
II
I
BA
M1
M2
M
8
lq 2
⋅
8
lq 2
⋅

________________________________________________________________________________________________
15
8.3 – Caso de Vigas Biapoiadas Sujeitas à Carga-Momento
∑ =⇒= 0H0F Bx
∑ =+⇒= 0VV0F BAy
l
M
V
l
M
V0MlV0M ABBA −=⇒=⇒=−⋅⇒=∑
Conclusão: O DMF, na seção de aplicação da carga-momento, sofre uma descontinuidade
igual ao momento aplicado.
Roteiro para traçado dos diagramas de esforços
a) Cálculo das reações de apoio a partir das equações da Estática;
b) Determinação dos esforços seccionais em todos os pontos de aplicação ou transição
de carga.
Normas:
a) Os valores dos esforços seccionais serão marcados em escala, em retas
perpendiculares ao eixo da peça, nos pontos onde estão atuando;
b) Valores positivos de esforço normal e esforço cortante serão marcados para cima
nas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas);
M
A B
VA VB
HB
a b
l
l
aM ⋅
l
M
DEC
DMF
⊕
l
bM ⋅
⊕ ⊕N
Q

________________________________________________________________________________________________
16
c) Valores positivos de momento fletor serão marcados para baixo nas barras
horizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas);
d) Sob a ação de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta um
ponto anguloso e o diagrama de esforço cortante uma descontinuidade de
intensidade igual ao da carga atuante;
e) Sob a ação de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta uma
descontinuidade de intensidade igual ao da carga-momento;
f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha
paralela em relação ao eixo da peça;
g) Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante
apresenta uma linha inclinada em relação ao eixo da peça. Já o diagrama de
momento fletor apresenta uma curva de grau duas vezes superior ao da ordenada de
carga no trecho.
⊕ ⊕
M
DECDMF
DMF
DECDMF

________________________________________________________________________________________________
17
III – TRAÇÃO E COMPRESSÃO
1 – Tensões e deformações em barras carregadas axialmente
Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L, submetida às forças
axiais P que produzem tração, conforme mostra a figura.
A tensão, uniformemente distribuída na seção transversal da barra, devida à ação da
força P, é:
A
P
σ =
O alongamento total da barra é designado pela letra δ. O alongamento específico ou
alongamento relativo ou deformação (alongamento por unidade de comprimento) é dado
por:
L
δ
ε =
2 – Propriedades Mecânicas
2.1 – Teste de tração. Diagrama Tensão-Deformação
A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é
encontrada por meio de um teste de tração.
Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é colocado na máquina
de testar e sujeito à tração.
A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à proporção que a carga
aumenta.
As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção transversal da
barra e a deformação específica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo do
qual ocorre a deformação.
A figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na máquina universal de
tração e compressão.
L
δ P
P

________________________________________________________________________________________________
18
A forma típica do diagrama tensão-deformação do aço é mostrada na figura seguinte.
Nesse diagrama, as deformações axiais encontram-se representadas no eixo horizontal e as
tensões correspondentes no eixo das ordenadas.
No trecho de 0 a A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o
diagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A é
chamado de limite de proporcionalidade.
2
1 – cilindro e êmbolo
2 – bomba hidráulica (medidor de vazão)
3 – mesa (chassi) móvel
4 – corpo de prova para tração
5 – corpo de prova para compressão
6 – mesa (chassi) fixo
7 – manômetro (medidor de pressão)
8 – fluido hidráulico
x
x
1
7
3 4
5
6
8
1 2 3 4 5 6 7 x10−4
(ε)
50
100
200
250
300
350
150
σ
(MPa)
A
B
D
E
E
*
F
O
C

________________________________________________________________________________________________
19
Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as
tensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja aumento
apreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material e
a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento.
Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode deformar-se
plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de
proporcionalidade.
No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga,
acarretando acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o valor
máximo ou tensão máxima (tensão de ruptura) no ponto D. Além desse ponto, maior
deformação é acompanhada por uma redução da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do
corpo-de-prova no ponto E do diagrama.
Durante o alongamento da barra, há contração lateral, que resulta na diminuição da
área da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até
o ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão
verdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´).
É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadas
como se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão
ligeiramente menores do que os reais.
Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todos
os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamento
desses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,2%. A partir dessa
deformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a curva tensão-
deformação.
A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande
deformação plástica, é uma das características do aço.
a) diagrama σ x ε típico de b) diagrama σ x ε típico de
material dúctil material frágil
Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes
da ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ou
quebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações.
As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro são
exemplos desses materiais.
É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob
compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de
proporcionalidade, escoamento e tensão máxima.
Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do
escoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão.
Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão são
muito maiores que as de tração.
0
σ
ε
0
σ
ε

________________________________________________________________________________________________
20
3 – Elasticidade
Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quando
carregados por tração (ou compressão).
Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é
gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamento
desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a
retornar à forma original, é denominada elasticidade.
Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamente
elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a
deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação
permanente.
O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetido
sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujo
descarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico.
Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade
são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem uma
propriedade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de
proporcionalidade.
3.1 – Lei de Hooke
Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma região
inicial de comportamento elástico e linear.
A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração,
pode ser expressa por:
εσ ⋅= E
onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do
material.
Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é
diferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulo
de Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke.
Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é
A
P
=σ e a
deformação específica é
L
δ
ε = .
Combinando estas expressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da
barra é
AE
LP
⋅
⋅
=δ .
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é
diretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional ao
módulo de elasticidade e à área da seção transversal.
O produto AE ⋅ é conhecido como rigidez axial da barra.
A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga
unitária. Da equação anterior, vemos que a flexibilidade é
AE
L
⋅
.
De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir
uma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a
L
AE ⋅ , que é o inverso da flexibilidade.

________________________________________________________________________________________________
21
Vários casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados
aplicando-se a expressão:
AE
LP
⋅
⋅
=δ .
A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinação
da deformação da barra consiste em obter a força axial em cada parte da barra (AB, BC e
CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada
parte.
A soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total de
comprimento da barra, tal que:
∑
=
⋅
⋅
=
n
1i ii
ii
AE
LP
δ
O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes com
diferentes seções transversais.
3.2 – Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica
Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamento
axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu
comprimento cresce.
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por:
0,5)(0
axialdeformação
lateraldeformação
≤≤= νν
Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções,
denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,25.
P P
δl
δa
L
P
P
a
b
2P
2P
A
B
C
D
L1
L2
L3
P

________________________________________________________________________________________________
22
Para fins práticos, o valor numérico de ν é o mesmo, independentemente do material
estar sob tração ou compressão.
Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material,
pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada na
figura seguinte.
Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direção da
força P e encurtamento das arestas na direção transversal. Assim, a área da seção
transversal do cubo passa a ser ( )2
1 εν ⋅− e o volume passa a ser ( ) ( )2
11 ενε ⋅−⋅+ .
Desenvolvendo a expressão, chega-se a:
( ) ( )
( ) ( )
( )32222
22
2
221'V
211'V
11'V
ενενεενεν
ενενε
ενε
⋅+⋅⋅−+⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se:
( )ενε ⋅⋅−+= 21'V
A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial:
( ) ( )νεενε∆ ⋅−⋅=−⋅⋅−+==− 21121VV'V
A variação do volume unitário é expressa por:
( )νε
∆
⋅−⋅= 21
V
V
A equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra
tracionada, desde que se conheçam a deformação ε e o coeficiente de Poisson ν.
Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando
tracionado, pode-se concluir que ν é sempre menor do que 0,5.
1
1
1
ε
ν.ε
ν.ε
PP

________________________________________________________________________________________________
23
4 – Tensão Admissível ou Tensão-Limite
Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas
imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise
da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança.
Para os materiais dúcteis, tem-se
1
y
>γ
σ
.
Para os materiais frágeis, tem-se
1
u
>γ
σ
.
No concreto armado, 15,1aço =γ e 4,1conc =γ .
5 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegar
às solicitações da estrutura. As equações a mais, necessárias para solucionar o problema,
são encontradas nas condições de deformação.
Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figura
seguinte.
A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada com
uma força F em um ponto intermediário C.
As reações RA e RB aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades
não podem ser calculadas apenas pela Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio
é:
FRR BA =+
Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo:
0∆L∆L0∆L 21 =+∴=
( ) 0
AE
LFR
AE
LR 2A1A =
⋅
⋅−
+
⋅
⋅
0LFLRLR 22A1A =⋅−⋅+⋅
( ) 221A LFLLR ⋅=+⋅
DEN
F
A
R
L1 L2
C B
R
+
RA
RA-F
+

________________________________________________________________________________________________
24
( ) L
L
F
LL
LF
R 2
21
2
A ⋅=
+
⋅
=
L
L
F
L
L
FFR 12
B ⋅=⋅−=
O diagrama real do esforço normal é:
6 – Tensões Térmicas
Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação
de temperatura.
Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da
temperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se expandir ou se
contrair livremente.
Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamente
indeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas.
A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variação
da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente é
denominada coeficiente de dilatação térmica α.
Seja a barra da figura restringida pelos apoios A e B.
Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoios
impedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R.
O diagrama de esforço normal é:
-
+
L
L
F 2⋅
DEN
L
L
F 1⋅
A
B
L
R
R

________________________________________________________________________________________________
25
Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se:
0∆L∆L TN =+ ∆
0∆TL
AE
LR
- =⋅⋅+
⋅
⋅
α
AE∆TR ⋅⋅⋅=α
E∆T
A
R
x ⋅⋅−=
−
= ασ
-
R
DEN

________________________________________________________________________________________________
26
IV – CISALHAMENTO PURO
Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais.
No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas com
relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em
componentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componente
normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal σ (sigma) e a
componente vertical V irá provocar tensão de cisalhamento τ (tau).
Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte,
enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano.
Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD.
onde a área da seção transversal do rebite é denominada por A.
Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal
do rebite e, portanto, tensões de cisalhamento τ cuja intensidade média é
A
F
med =τ .
A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento,
consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão de
cisalhamento τ na sua face superior.
Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direção
horizontal só é possível se, na face inferior, existir tensão de cisalhamento igual e em
sentido contrario à da face superior. Além disso, essas tensões de cisalhamento irão
produzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que
atuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser também
iguais a τ para que o elemento permaneça em equilíbrio.
Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figura
anterior é dito em cisalhamento puro.
Conclusão:
a) as tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e
opostos;
b) as tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si.
Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se “aproximam”
ou se “afastam” da linha de interseção dos planos.
τ
τ
τ
τ
C
F
D
A
B
F

________________________________________________________________________________________________
27
A deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaixo, que
mostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensões
normais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam,
porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado.
O ângulo no vértice c, que media
2
π antes da deformação, fica reduzido a γπ −
2
.
Ao mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para γπ +
2
. O ângulo γ é a
medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominado
deformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento γ é
igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela
distância entre essas duas arestas (altura do elemento).
A determinação das tensões de cisalhamento τ em função das deformações de
cisalhamento γ pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se o
diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhante
ao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração.
Assim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformação
de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às
deformações de cisalhamento:
γτ ⋅= G
onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido como
módulo de elasticidade transversal.
O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidade
longitudinal do material de acordo com a seguinte expressão:
( )ν+⋅
=
12
E
G
τ
τ
τ
τ
a b
c d
γ
γ

________________________________________________________________________________________________
28
V – TORÇÃO
1 – Torção em Barras de Seção Circular
Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suas
extremidades.
Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade
da barra em relação à outra.
Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo
φ (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na
superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn´.
Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, nota-
se que, sob a ação da torção, este elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-se
para b´ e d´, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante
esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos.
Tem-se, então, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puro e que
a deformação de cisalhamento γ é igual a:
ab
´bb
=γ .
Chamando de dφ o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra,
chega-se a φdR´bb ⋅= .
Sabendo que a distância ab é igual a dx, então:
dx
dR φ
γ
⋅
= .
Quando uma barra de seção circular (eixo) está sujeita a torção pura, a taxa de
variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta
constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado porθ .
Assim, tem-se:
T
n
n´
τ
τ
L
x dx
T
φ
n
R
a
dφ
dx
γ
c
b
d
d´
b´
R

________________________________________________________________________________________________
29
L
RR
φ
θγ ⋅=⋅=
As tensões de cisalhamento τ que agem nas faces laterais do elemento têm os
sentidos mostrados na figura anterior.
A intensidade da tensão de cisalhamento é obtida pela Lei de Hooke:
θγτ ⋅⋅=⋅= RGG
onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a
( )ν+⋅ 12
E
.
O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo,
bastando substituir R por r, tal que a deformação de cisalhamento é:
θγ ⋅= r
e a tensão de cisalhamento é:
θτ ⋅⋅= rG
Essas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam
linearmente com o raio r, tendo seus valores máximos na superfície do eixo.
O momento torsor de todas as forças em relação ao centróide da seção transversal
é:
JGdArGdArGdArT
A
2
A
2
A
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫∫ θθθτ
onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a ∫ ⋅
A
2
dAr .
Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos que
passam pelo centróide é:
32
d
J
4
⋅
=
π
onde d é o diâmetro da seção transversal.
Tem-se, então:
JG
T
L ⋅
==
φ
θ
r
τ
R
d

________________________________________________________________________________________________
30
A expressão anterior mostra que o ângulo de torção por unidade de comprimento é
diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto JG ⋅ ,
conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo.
Substituindo θ na equação da tensão de cisalhamento, tem-se:
J
rT ⋅
=τ
Logo, a tensão máxima de cisalhamento é:
J
RT
max
⋅
=τ
2 – Torção em Barras de Seção Circular Vazada
Conforme visto anteriormente, a tensão de cisalhamento numa barra de seção
circular é máxima na superfície e nula no centro. Conseqüentemente, grande parte do
material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a
economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados.
A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras de
seção circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção
transversal é:
J
rT ⋅
=τ , com 21 rrr ≤≤
onde:
( )
32
dd
J
4
i
4
e −⋅
=
π
3 – Eixos Estaticamente Indeterminados
Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforços
internos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura.
Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm de
comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo
tem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o momento torsor
em cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB.
r2
r1
r1
τ
r2

________________________________________________________________________________________________
31
A barra é estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsores
desconhecidos, AT e BT , e apenas uma equação de equilíbrio:
120TT BA =+
Devido aos engastes, o ângulo de torção φ total é nulo e, para equilibrar o momento
torsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que 21 φφ = .
Tem-se, então:
2
2B
1
1A
JG
LT
JG
LT
⋅
⋅
=
⋅
⋅
( )
AA4
44
A
1
2
B T59,0T
20
32
1620
32T
J
J
T ⋅=⋅
⋅
−⋅
=⋅=
π
π
Logo:
Nm5,44T
Nm5,75T
120T59,0T
B
A
AA
=
=
=⋅+
125 mm
125 mm
120 N.m
B
A
C

________________________________________________________________________________________________
32
VI – TENSÕES EM VIGAS
1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor
Seja a viga biapoiada sujeita às cargas P.
Os diagramas de esforços solicitantes são:
Na parte central, a viga está sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando a
flexão pura.
A ação do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura.
a
L
P P
a
P P
- P
DEC
P.a
DMF
P
Q = 0
ρ
dx
dθ
MM
a b
S0 S1
y
O
S0 S1
dx x z
y

________________________________________________________________________________________________
33
Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em
relação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superiores
encurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida.
Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície em
que as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Sua
interseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção.
O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é
representado na figura pelo ponto O. Chamando de θd ao ângulo entre os planos S0 e S1, e
ρ ao raio de curvatura, obtém-se:
dx
d1
k
θ
ρ
==
onde k é a curvatura.
O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfície
neutra, é assim determinado:
• Comprimento total da fibra ab: ( ) θρ dy ⋅+
• Comprimento inicial da fibra ab: dx
• Alongamento: ( ) ( ) dx
y
dx
dx
ydxdy ⋅=−⋅+=−⋅+
ρρ
ρθρ
A deformação correspondente é:
yk
y
x ⋅==
ρ
ε
E as tensões normais são:
yEkx ⋅⋅=σ
Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga
em estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linha
neutra, conforme mostra a figura abaixo.
A força longitudinal em dA é:
dAyEkdAdF x ⋅⋅⋅=⋅= σ
Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de dAx ⋅σ sobre
a área da seção é nula:
σ+
σ−
ΜΜ z
y
dA
y

________________________________________________________________________________________________
34
0dAyEkdAF
AA
x =⋅⋅⋅=⋅= ∫∫σ
onde k e E são constantes.
Logo:
∫ =⋅
A
0dAy → momento estático nulo.
Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal.
O momento fletor da força em relação à linha neutra é:
z
A
2
A
xz IEkdAyEkdAyM ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫σ
Daí:
z
z
IE
M
k
⋅
=
Substituindo, obtém-se:
y
I
M
z
z
x ⋅=σ
Analogamente:
z
I
M
y
y
x ⋅−=σ
Exercício: Qual maxF , se MPa50x ≤σ ?
1,0 m 2,0 m
F
+2F/3
- F/3
+2/3.103
F
2F/3 F/3
DMF (N.mm)
DEC (N)
180 mm
25 mm
85 8525
z
y

________________________________________________________________________________________________
35
mm7,61
45004875
450011548755,12
A
Ay
y
i
ii
=
+
⋅+⋅
=
⋅
=
∑
∑
472
3
2
3
z mm107,33,534500
12
18025
2,494875
12
25195
I ⋅=⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=
50y
I
M
z
z
x ≤⋅=σ
503,143
107,3
10F
3
2
7
3
≤⋅
⋅
⋅⋅
N359.19F ≤
Nk4,19Fmax =

________________________________________________________________________________________________
36
2 – Tensões Cisalhantes Devidas ao Esforço Cortante
Consideremos uma viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h ,
sujeita à carga distribuída q , conforme mostra a figura abaixo.
Sob a ação do carregamento distribuído, surgem esforços cortantes e momentos
fletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais e tensões
cisalhantes.
Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e de
dois planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforço
cortante, haverá distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo da
largura mn do elemento.
Uma vez que o elemento encontra-se em equilíbrio, conclui-se que as tensões de
cisalhamento verticais são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais de
mesma intensidade (na face perpendicular).
A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstrada
experimentalmente.
A figura mostra uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada P
no meio do vão. Verifica-se que, se não houver atrito entre as tábuas, a flexão de uma será
diferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e tração
nas inferiores.
Caso as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento,
surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seção transversal
inteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de cisalhamento τ ao
longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido no
caso anterior.
A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pela
condição de equilíbrio de um elemento pnn1p1, cortado da viga por duas seções transversais
adjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra.
V
x
C
h
b
n
m
m
n
τ
y
z
q
P

________________________________________________________________________________________________
37
A face da base deste elemento é a superfície inferior da viga e está livre de tensões.
Sua face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distância y1. Nesta
face, atua a tensão de cisalhamento horizontal τ que existe neste nível da viga.
Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tensões normais xσ produzidas pelos
momentos fletores e as tensões de cisalhamento verticais (que não interferem na equação
de equilíbrio horizontal do elemento na direção horizontal).
Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1 forem iguais (flexão pura), as
tensões normais xσ nos lados np e m1p1 também serão iguais, o que colocará o elemento
em equilíbrio e anulará a tensão de cisalhamento τ .
No caso de momento fletor variável, a força normal que atua na área elementar dA
da face esquerda do elemento será:
dA
I
yM
dAdF
z
z
x ⋅
⋅
=⋅= σ
A soma de todas essas forças distribuídas sobre a face pn será:
∫∫∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=
2h
y
z
z2h
y x
A
xe
11
dyy
I
M
bdybdAR σσ
De maneira análoga, a soma das forças normais que atuam na face direita, p1n1, é:
∫ ⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+⋅=
2h
y
z
z
z
z
d
1
dyydx
dxI
dM
I
M
bR
A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece:
∫∫ ⋅⋅⋅⋅
⋅
=⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅=−
2h
y
z
z2h
y
z
z
ed
11
dAydx
dxI
dM
dyydx
dxI
dM
bRR
Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilíbrio, haverá uma força de
cisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário a
ed RR − , que somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x.
A força de cisalhamento horizontal é dada por:
dxb ⋅⋅τ
b
y1
h/2
M+dM
dx
C
y
y
z
n n1
p p1
h/2
dA
m m1

________________________________________________________________________________________________
38
Igualando a força de cisalhamento horizontal à diferença entre as forças á direita e à
esquerda do elemento, chega-se a:
∫ ⋅⋅⋅⋅
⋅
=⋅⋅
2h
y
z
z
1
dAydx
dxI
dM
dxbτ
∫ ⋅⋅⋅=⋅
2h
y
z 1
dAy
I
Q
bτ
bI
mQ
z
z
⋅
⋅
=τ
que é a expressão da tensão de cisalhamento.
Na expressão anterior, tem-se que:
zm é o momento estático da área da seção transversal abaixo (ou acima) do plano
em que se deseja determinar τ ;
b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar
τ ;
zI é o momento de inércia em relação ao centróide da seção;
Q é o esforço cortante na seção transversal em estudo.
Exercício: Calcular as tensões cisalhantes no ponto P .
Aplicando a expressão da tensão cisalhante, tem-se:
( )
12
hb
2
y
4
hyy
2
hQ
bI
mQ
3
z
z
⋅
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+⋅−⋅
=
⋅
⋅
=τ
Desenvolvendo, chega-se a:
( )
3
22
hb2
y4hQ3
⋅⋅
⋅−⋅⋅
=τ
que é a expressão geral da tensão de cisalhamento para seções transversais retangulares.
b
h/2
y
h/2
y
z
P

________________________________________________________________________________________________
39
Quando:
0
2
h
y =⇒−= τ
A
Q
5,1
hb2
Q3
0y ⋅=
⋅⋅
⋅
=⇒= τ
0
2
h
y =⇒= τ
A variação das tensões cisalhantes é parabólica:
4.3 – Tensões Normais e Cisalhantes em Seções I e T
A otimização da escolha do formato da seção das vigas, objetivando minimizar o
valor das tensões normais decorrentes do momento fletor, leva à utilização de seções “I” e
“T”, com mesas (abas) largas e almas (nervuras) estreitas.
Como conseqüência, surgem tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da
linha neutra, devido ao fato da largura b da alma aparecer no denominador da expressão da
tensão cisalhante.
Assim, nos pontos da viga onde a tensão normal é máxima (arestas superior e
inferior), a tensão tangencial é nula, enquanto na linha neutra, onde a tensão normal é nula,
a tensão tangencial atinge seu valor máximo.
A descontinuidade do valor da tensão de cisalhamento na transição entre a mesa e a
alma decorre da descontinuidade da largura b da seção nesses locais.
b
h τmax
h
b
ta
tm
τ σ

________________________________________________________________________________________________
40
VII – FLEXÃO COMPOSTA
1 – Flexão e Carga Axial
Os elementos de uma estrutura estão, algumas vezes, sujeitos à ação simultânea de
cargas de flexão e axiais.
A figura mostra um exemplo desta situação.
As tensões resultantes em qualquer seção transversal da viga são obtidas pela
superposição das tensões axiais devidas a N e M e podem ser calculadas pela equação:
z
I
M
y
I
M
A
N
y
y
z
z
x ⋅−⋅+=σ
O diagrama final de tensões é:
O princípio da superposição dos efeitos poderá ser aplicado, desde que se garanta
a linearidade da distribuição das deformações longitudinais e das tensões normais em todos
os pontos da seção transversal do elemento.
Quando o momento fletor for conseqüência de uma excentricidade e da carga N em
relação ao centróide da seção, podemos escrever:
eNM ⋅=
A figura ilustra a situação.
N
N
M = N.e
e
y
=
y
N
M
N
M
x
y
z
σx (M)
LN LN
σx (N)

________________________________________________________________________________________________
41
Exercício: Calcular as tensões normais máximas no pilar de seção transversal quadrada
submetido à força normal excêntrica, sabendo que N=4000 kN. Adotar: cm20e = ;
cm3,13e = ; cm10e = .
Os esforços solicitantes são:
N104N 6
⋅−=
Nmme104M 6
z ⋅⋅−=
As características geométricas da seção são:
25
mm104,6800800A ⋅=⋅=
410
3
z mm104,3
12
800800
I ⋅=
⋅
=
As máximas tensões normais, para mm200e = , são:
( ) MPa6,15
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ
( ) ( ) MPa1,3
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =
⋅
−⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ
O diagrama de tensões é:
( ) MPa5,12
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ
3,1 MPa
-15,6 MPa
80 cm
80 y
z
zx
N
e
y

________________________________________________________________________________________________
42
( ) ( ) 0
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =
⋅
−⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ
( ) MPa9,10
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ
( ) ( ) MPa6,1
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
−⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ
Haverá casos em que será importante garantir que, em um pilar comprimido pela
ação de forças normais excêntricas, não haja inversão do sinal de tensão (como no caso do
concreto, que é praticamente incapaz de suportar tensões de tração). Nesses casos, será
necessário limitar uma região da seção, chamada núcleo central, onde as forças de
compressão nela aplicadas produzirão apenas compressão sobre todas as seções
transversais.
O exemplo mostra um pilar de seção retangular submetido à carga concentrada F
com excentricidade e em relação ao eixo z.
-10,9 MPa
-1,6 MPa
F
y
z
x
e
-12,5 MPa

________________________________________________________________________________________________
43
Os esforços solicitantes são:
FN −=
eFM z ⋅−=
Para que ocorram apenas tensões normais de compressão:
( ) 0
12
hb
yeF
hb
F
3x ≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅⋅−
+
⋅
−
=σ
( ) ( ) 0
12
hb
2
heF
hb
F
3
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
−⋅⋅−
+
⋅
−
6
h
e ≤
6
h
emax =
Analogamente, se a força F estivesse aplicada com excentricidade e em relação ao
eixo y, o máximo valor de e seria
6
b .
A figura mostra o núcleo central da seção.
No caso de um pilar com seção circular, de diâmetro d, o núcleo central tem área
também circular de raio igual à máxima excentricidade admissível, tal que:
( ) ( ) 0
64
d
2
deF
4
d
F
42
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
−⋅⋅−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
−
ππ
8
d
e ≤
8
d
emax =
y
z
b/6
h/6

________________________________________________________________________________________________
44
2 – Flexão e Torção
Tal como vimos anteriormente, os elementos de uma estrutura podem também estar
solicitados simultaneamente por cargas de flexão e de torção. Sob tais condições, a
determinação das tensões em um ponto qualquer da seção transversal será feita utilizando
o princípio da superposição dos efeitos, somando-se algebricamente as tensões devidas
a cada um dos esforços, isoladamente.
d
d/4
F
y
z
x
e

________________________________________________________________________________________________
45
VIII – ANÁLISE DE TENSÕES
1 – Tensões em Planos Inclinados
Quando uma barra prismática está sujeita à tração simples, as tensões numa seção
transversal mn, normal ao seu eixo, são uniformemente distribuídas e iguais a
A
P .
Consideremos as tensões no plano pq que corta a barra formando um ângulo θ com
a seção transversal mn. As forças que representam a ação do lado direito sobre o lado
esquerdo da barra são uniformemente distribuídas sobre a seção inclinada pq, conforme
mostra a figura abaixo.
Uma vez que a parte esquerda está em equilíbrio sob a ação dessas forças e da
carga externa P, conclui-se que a resultante das forças distribuídas sobre a seção inclinada
é igual a P.
Decompondo-se a resultante R em duas componentes N e V, que são normal e
tangente, respectivamente, ao plano inclinado, obtém-se:
θcosPN ⋅=
θsenPV ⋅=
Como a área Á da seção inclinada é
θcos
A , as tensões correspondentes a N e V
são:
θσθσθ
2
x
2
coscos
A
P
Á
N
⋅=⋅== (1a)
θθσθθτθ cossencossen
A
P
Á
V
x ⋅⋅=⋅⋅== (1b)
onde
A
Px =σ é a tensão normal à seção transversal da barra.
Nas equações anteriores, θσ e θτ são, respectivamente, as tensões normal e de
cisalhamento no plano pq, cuja orientação é definida pelo ângulo θ.
q
m
n
p
θ
PP
θ
RP
N
V
θ
P
σθ
τ

________________________________________________________________________________________________
46
A Eq. (1a) mostra como a tensão normal θσ varia em função do ângulo θ. Quando
0=θ , o plano pq coincide com mn, acarretando xσσθ = . Se o ângulo θ aumentar, a
tensão θσ diminuirá até que, em
2
πθ = , anula-se. Assim, xmax σσ = .
A Eq. (1b) mostra que a tensão de cisalhamento τ é nula quando 0=θ e
2
πθ = ,
atingindo o valor máximo quando
4
πθ = . Este máximo é
2
x
max
στ = .
Convenção de sinais:
a) Tensões normais positivas θσ são aquelas que agem afastando-se da superfície do
material, independentemente da orientação desta;
b) Tensões de cisalhamento θτ são positivas quando agem no sentido horário em
relação à superfície do material.
Uma representação conveniente das tensões num ponto da barra é feita pelo
isolamento de uma parte elementar do material, com as tensões indicadas em todos os
lados do elemento.
A figura 2 mostra dois elementos A e B cortados de uma barra tracionada.
O elemento A está orientado de modo que 0=θ e, assim, a única tensão que age
sobre ele é
A
Px =σ .
O segundo elemento sofreu um giro definido por θ e, portanto, as tensões no lado bd
são θσ e θτ . A normal do lado ab do elemento é orientada pelo ângulo
2
πθ + em relação
ao eixo x, sendo possível determinar as tensões nesse plano substituindo θ por
2
πθ + na
Eq. (1), chegando-se a:
( ) θσπθσσ θ
2
x
2
x sen
2
cos´ ⋅=+⋅= (2a)
( ) ( ) θθσπθπθστ θ cossen
2
cos
2
sen´ xx ⋅⋅−=+⋅+⋅= (2b)
σxσx
σθ
θ
A B PP
σ´θ
τθ
σθ
σ´θ
τθ
τ´θ
τ´θ
A B
b
a
c
d
x
y

________________________________________________________________________________________________
47
Como xσ é positivo, vê-se na figura que a tensão normal θσ´ é também positiva. A
tensão de cisalhamento θτ´ .no lado ab do elemento é negativa, indicando que age em
sentido anti-horário em relação à superfície do elemento.
Comparando-se as Eq. (1) e (2), tem-se:
x´ σσσ θθ =+ (3a)
θθ ττ −=´ (3b)
Conclusão: A Eq. (3a) mostra que, para uma barra tracionada, a soma das tensões normais
em dois planos perpendiculares é constante e igual a xσ . A Eq. (3b) mostra que as tensões
de cisalhamento, em planos ortogonais, são iguais em valor absoluto, porém têm sinais
opostos.
Para calcular as tensões nos outros dois lados do elemento, basta substituir θ por
πθ + (lado ac) ou
2
3πθ + (lado cd). Vê-se, assim, que as tensões normal e de
cisalhamento, no lado ac, são as mesmas que atuam no lado bd e que as tensões, no lado
cd, são idênticas às do lado ab.
2 – Tensões Biaxiais
Consideremos um estado de tensões mais geral, em que as tensões normais em um
elemento agem nas direções x e y, mostrada na figura abaixo. Tal situação é conhecida
como tensões biaxiais, para distinguí-la da tensão em uma direção, ou uniaxial,
considerada anteriormente.
Para determinar as tensões θσ e θτ , consideremos o equilíbrio do triângulo
elementar. Chamando de A a área da face sobre a qual atua a tensão xσ , a área da face y
(sobre a qual atua a tensão yσ ) será θtgA⋅ e a área da face inclinada será θsecA⋅ .
As forças nas faces x e y serão, respectivamente, Ax ⋅σ e θσ tgAy ⋅⋅ . Cada uma
dessas forças pode ser decomposta em duas componentes ortogonais, uma agindo na
direção da normal ao plano inclinado e a outra em direção paralela ao plano.
Assim, somando-se as forças nessas direções, obtêm-se duas equações para o
equilíbrio do triângulo elementar, que são:
θθσθσθσθ sentgAcosAsecA yx ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ (4a)
θθσθσθτθ costgAsenAsecA yx ⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ (4b)
σxσx
σθ
σ´θ
τθ
σθ
σ´θ
τθ
τ´θ
τ´θ
σy
σy
q
p
θ
σθ
θ
τθ
σy
σx
θ
y
x

________________________________________________________________________________________________
48
Desenvolvendo as expressões anteriores, chega-se a:
θσθσσθ
2
y
2
x sencos ⋅+⋅= (5a)
( ) θθσστθ cossenyx ⋅⋅−= (5b)
As Eq. (5) dão os valores algébricos das tensões normal e de cisalhamento, em
qualquer plano inclinado, em função das tensões normais xσ e yσ que agem nas direções x
e y, respectivamente.
Usando as relações trigonométricas abaixo:
2
2sen
cossen
θ
θθ =⋅
2
2cos1
cos2 θ
θ
+
=
2
2cos1
sen2 θ
θ
−
=
Pode-se reescrever as equações anteriores de outra forma:
( ) ( )
θ
σσσσ
σθ 2cos
22
yxyx
⋅
−
+
+
= (6a)
( ) θ
σσ
τθ 2sen
2
yx
⋅
−
= (6b)
Substituindo θ por ( )2
πθ + nas Eq. (6), são obtidas as expressões das tensões
θσ´ e θτ´ que atuam no plano ortogonal ao plano inclinado:
( ) ( ) θ
σσσσ
σ θ 2cos
22
´
yxyx
⋅
−
−
+
= (7a)
( ) θ
σσ
τ θ 2sen
2
´
yx
⋅
−
−= (7b)
Somando as Eq. (6a) e (7a), chega-se a:
yx´ σσσσ θθ +=+ (8)
Conclusão: A soma das tensões normais, em dois planos quaisquer perpendiculares entre
si, é constante.
Comparando-se as Eq. (6b) e (7b), nota-se, outra vez, que as tensões de
cisalhamento em planos perpendiculares, são iguais em intensidade, porém têm sentidos
opostos.

________________________________________________________________________________________________
49
3 – Tensões Planas
As tensões uniaxiais e biaxiais são casos particulares da condição mais geral
conhecida como tensões planas. Um elemento com tensões planas pode ter tensões
normais e de cisalhamento nas faces x e y, conforme mostra a figura abaixo.
A tensão de cisalhamento na face x será indicada por xyτ , o primeiro índice
indicando a face em que ele atua e o segundo, a direção da tensão.
Considerando o triângulo elementar da figura, podemos determinar as tensões
normal θσ e de cisalhamento θτ nele atuantes a partir do equilíbrio de forças nas direções
dessas tensões, chegando-se a:
θθτθσθσσθ cossen2sencos xy
2
y
2
x ⋅⋅⋅+⋅+⋅= (9a)
( ) ( )θθτθθσστθ
22
xyyx cossencossen −⋅+⋅⋅−= (9b)
Usando as relações trigonométricas apropriadas, tem-se:
( ) ( )
θτθ
σσσσ
σθ 2sen2cos
22
xy
yxyx
⋅+⋅
−
+
+
= (10a)
( )
θτθ
σσ
τθ 2cos2sen
2
xy
yx
⋅−⋅
−
= (10b)
Estas equações dão as tensões normal e de cisalhamento, em função das tensões
xσ , yσ e xyτ , num plano qualquer.
As tensões θσ´ e θτ´ num plano que faz um ângulo
2
πθ + com o eixo x podem ser
determinadas substituindo-se θ por
2
πθ + , o que dá:
yx´ σσσσ θθ +=+ (11a)
θθ ττ −=´ (11b)
Convenção de sinais:
a) Todas as tensões normais de tração são positivas;
b) A tensão de cisalhamento xyτ é positiva quando age no sentido positivo do eixo y;
c) A tensão de cisalhamento θτ é positiva quando atua no sentido horário.
σxσx
σy
σy
σθ θ
τθ
σy
σxy
x
τyx
τyx
τxy
τxy τxy
τyx

________________________________________________________________________________________________
50
4 – Círculo de Mohr para Tensões Planas
As expressões (10) são equações paramétricas de uma circunferência.
Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos os pontos M
( θσ , θτ ), para qualquer valor do parâmetro θ , vamos sempre obter um ponto que se
encontra em uma circunferência.
Para demonstrar essa propriedade, transpomos para o 1º membro da Eq. (10a) o
termo
( )
2
yx σσ +
, elevando ao quadrado os dois membros da equação. Em seguida,
quadramos os dois membros da Eq. (10b), somando membro a membro as duas
expressões, tal que:
( ) ( ) 2
xy
2
yx2
2
yx
22
τ
σσ
τ
σσ
σ θθ +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
− (12)
onde:
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
+
=
2
xy
2
yx
yx
med
2
R
2
τ
σσ
σσ
σ
(13)
Substituindo (12) em (11):
( ) 222
med R=+− θθ τσσ (14)
que é a equação de uma circunferência de raio R com centro C de abscissa medσ e
ordenada zero.
Circunferência:
σ
τ
R
σmin=σII
τmax
TRAÇÃOCOMPRESSÃO
σmax=σI
σmed
C
D
AB
E
σθ
τθ
M

________________________________________________________________________________________________
51
Os pontos A e B em que a circunferência intercepta o eixo horizontal têm interesse
especial:
• Ponto A: corresponde a Imáx σσ =
• Ponto B: corresponde a IImin σσ =
Estes pontos correspondem a um valor nulo de tensão de cisalhamento θτ . Desse
modo, o valor do ângulo pθ correspondente aos pontos A e B pode ser obtido da Eq. (10b),
fazendo 0=θτ .
yx
xy
p
2
2tg
σσ
τ
θ
−
⋅
= (15)
As faces do cubo elementar obtido dessa maneira definem os planos chamados
planos principais. As tensões normais que agem nesses planos são chamadas tensões
principais.
Nos planos principais : 0=θτ .
Rmedmax += σσ
Rmedmin −= σσ
As tensões principais são:
2
xy
2
yxyx
II,Iminmax,
22
τ
σσσσ
σσ +⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
±
+
== (16)
6 – Tensão de Cisalhamento Máxima
Do círculo, vemos que τ é máximo nos pontos D e E, cuja abscissa é
2
yx
med
σσ
σ
+
= .
Fazendo medσσθ = na Eq. (10a), obtemos:
( )
xy
yx
c
2
2tg
τ
σσ
θ
⋅
−
−= (17)
σy
σy
σx
σx
τxy
τxy
τyx
τyx
σI
σII
τθ=0
θ

________________________________________________________________________________________________
52
O máximo valor da tensão cisalhante é igual ao raio da circunferência:
2
xy
2
yx
max
2
τ
σσ
τ +⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
= (18)
E a tensão normal no plano de tensão máxima de cisalhamento é:
2
yx
med
σσ
σσθ
+
== (19)
Comparando-se as Eq. (15) e (17), vemos que:
c
p
2tg
1
2tg
θ
θ −=
Isto significa que:
o
pcpc 459022 =−⇒=− θθθθ o
Conclusão: Os planos de máximas tensões cisalhantes formam ângulos de 45º com os
planos principais.
Roteiro para o traçado do Círculo de Mohr:
a) Escolhemos um sistema de eixos cartesianos com abscissa σ e ordenada τ ;
b) Marcamos os pontos X ( )xyx ; τσ − e Y ( )xyy ;τσ ;
c) Unindo os pontos X e Y por uma linha reta, definimos o ponto C, que é a interseção
da linha XY com o eixo σ ;
d) Traçamos um círculo de centro C e diâmetro XY.
σy
σy
σx
σx
τxy
τxy
τyx
τyx
σI
σII
θp
θc
σmed
τmax
τmax
σmed

________________________________________________________________________________________________
53
σ
τ
R
σII
τmax
σI
σmed
C
Y(σy; τxy)
AB
X(σx; -τxy)
2θp

________________________________________________________________________________________________
54
IX – DEFORMAÇÕES EM VIGAS
1 – Método da Dupla Integração
As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações, curvando seu
eixo longitudinal que passa a tomar o formato da chamada linha elástica.
Consideremos a viga simplesmente apoiada AB mostrada na figura abaixo. Antes da
aplicação da carga P, o eixo longitudinal da viga é reto, tornando-se curvo após a flexão.
Supondo-se que xy seja um plano de simetria e que todas as cargas estejam nesse
plano, a curva ABC, denominada linha elástica, situa-se também nesse plano.
Para deduzir a equação diferencial da linha elástica, utiliza-se a relação entre a
curvatura k e o momento fletor M.
A convenção de sinais para a curvatura da viga fletida relaciona-se com o sentido
dado aos eixos coordenados. Supondo-se que o eixo x é positivo para a direita e que o eixo
y é positivo para baixo, admite-se que a curvatura da viga é positiva quando sua
concavidade estiver voltada para baixo. Assim, a viga representada na figura anterior tem
curvatura negativa.
Sabendo-se que momento fletor positivo produz compressão na fibra superior e
tração na fibra inferior, conclui-se que M positivo produz curvatura negativa na superfície
neutra da viga. Então:
EI
)x(M1
k −==
ρ
(1)
m1
m2
d
θ
θ -
(b)
ρ
O
P
y
x
x dx
d
m1
m2
d
C
BA
(a)
y

________________________________________________________________________________________________
55
onde :
M(x) é o momento fletor numa seção transversal distante x da extremidade esquerda
da viga;
E é o módulo de elasticidade longitudinal do material;
I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que passa pelo
centróide da seção;
ρ é o raio de curvatura.
A expressão anterior é válida somente para materiais no regime elástico e IE ⋅ é
chamado de produto de rigidez.
Para estabelecer a relação entre a curvatura k e a equação da elástica, consideram-
se dois pontos, m1 e m2, distantes ds um do outro, conforme mostra a figura. Em cada um
desses pontos, traça-se uma normal à tangente da curva que irão se encontrar no centro de
curvatura O.
Admitindo-se que a tangente à linha elástica no ponto m1 faça um ângulo θ com o
eixo x, então no ponto m2 o ângulo correspondente será θθ d− , onde θd é o ângulo entre
as normais Om1 e Om2.
A figura mostra que θρ dds ⋅= e que
ds
d1 θ
ρ = . Então, a curvatura k é igual à
taxa de variação do ângulo θ em relação à distância s, medida ao longo da linha elástica:
ds
d1
k
θ
ρ
== (2)
Na maioria das aplicações práticas ocorrem apenas pequenas deflexões nas vigas.
Assim, tanto o ângulo θ quanto a inclinação da curva são valores muito pequenos,
podendo-se admitir:
dxds ≈ (3)
dx
dy
tg =≈ θθ (4)
onde y é a deflexão da viga a partir de sua posição inicial.
Substituindo na equação da elástica, chega-se a:
IE
M
dx
yd
k
2
2
⋅
−== (5)
que é a equação diferencial de 2a
ordem que rege o comportamento da linha elástica de
uma viga. Essa equação deve ser integrada em cada caso particular para se ter a deflexão
y.
1.1 – Vigas Simplesmente Apoiadas
Seja a viga bi-apoiada com comprimento L, seção com momento de inércia I e
material com módulo de elasticidade E, submetida a um carregamento uniformemente
distribuído q.
q
A x
L
B

________________________________________________________________________________________________
56
Os diagramas de esforços solicitantes, rotações e deflexões são:
O momento fletor na seção distante x do apoio A é:
2
xq
2
xLq
M
2
⋅
−
⋅⋅
= (6)
A equação da linha elástica é:
2
xq
2
xLq
dx
yd
IE
2
2
2
⋅
+
⋅⋅
−=⋅⋅ (7)
Integrando, obtém-se:
1
32
C
6
xq
4
xLq
dx
dy
IE +
⋅
+
⋅⋅
−=⋅⋅ (8)
onde 1C é uma constante de integração.
Pela simetria, a inclinação da curva elástica no meio do vão é nula. Tem-se, então, a
condição:
0
dx
dy
==θ , quando
2
Lx = .
Entrando com esta condição na Eq. (8), chega-se a:
24
Lq
C
3
1
⋅
= (9)
Substituindo 1C na Eq. (8), obtém-se:
24
Lq
6
xq
4
xLq
dx
dy
IE
332
⋅
+
⋅
+
⋅⋅
−=⋅⋅ (10)
Q
M
θ
y
θ0 ymax

________________________________________________________________________________________________
57
Integrando novamente, chega-se a:
2
343
C
24
xLq
24
xq
12
xLq
yIE +
⋅⋅
+
⋅
+
⋅⋅
−=⋅⋅ (11)
Sabendo que 0y = quando 0x = , tem-se:
0C2 = (12)
Logo, a expressão da deflexão em qualquer seção da viga é:
( )323
xxL2L
IE24
xq
y +⋅⋅−⋅
⋅⋅
⋅
= (13)
A flecha máxima ocorre no meio do vão e é igual a:
IE384
Lq5
y
4
max
⋅⋅
⋅⋅
= (14)
A rotação máxima ocorre nas extremidades da viga e é igual a:
IE24
Lq
dx
dy 3
A
⋅⋅
⋅
==θ (15)
Consideremos a viga simplesmente apoiada com carga concentrada P, cuja posição
é definida pelas distâncias a e b das extremidades.
Existem duas expressões para o momento fletor: uma para a parte à esquerda da
carga e outra para a parte à direita.
Assim, pode-se escrever a equação diferencial de 2a
ordem da linha elástica para
cada parte da viga, tal que:
a b
P
Pb/L Pa/L
M
θ
y
ymax
Q
θΑ θB

________________________________________________________________________________________________
58
para ax0 ≤≤ →
L
xbP
dx
yd
IE
2
2
⋅⋅
−=⋅⋅ (16)
para Lxa ≤≤ → )ax(P
L
xbP
dx
yd
IE
2
2
−⋅+
⋅⋅
−=⋅⋅ (17)
Integrando duas vezes as duas expressões, os resultados incluirão quatro
constantes arbitrárias que serão determinadas a partir das condições de contorno:
a) em ax = , as inclinações das duas partes da viga são iguais;
b) em ax = , as flechas das duas partes são iguais;
c) em 0x = , a flecha é nula;
d) em Lx = , a flecha é nula.
As expressões da linha elástica para as partes da viga à esquerda e à direita da
carga P são:
para ax0 ≤≤ :
( )222
xbL
L6
xbP
yIE −−⋅
⋅
⋅⋅
=⋅⋅ (18)
para Lxa ≤≤ :
( ) ( )
6
axP
xbL
L6
xbP
yIE
3
222 −⋅
+−−⋅
⋅
⋅⋅
=⋅⋅ (19)
As rotações das duas partes da viga são:
para ax0 ≤≤ :
( )222
x3bL
L6
bP
dx
dy
IE −−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅ (20)
para Lxa ≤≤ :
( ) ( )
2
axP
x3bL
L6
bP
dx
dy
IE
2
222 −⋅
+−−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅ (21)
As rotações nas extremidades da viga são:
( ) ( )
IEL6
bLbaP
bL
IEL6
bP 22
A
⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=−⋅
⋅⋅⋅
⋅
=θ (22)
( )
IEL6
aLbaP
B
⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=θ (23)
A flecha máxima é:

________________________________________________________________________________________________
59
( )
IEL39
bLbP
y
2322
max
⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅
= (24)
A simetria de uma viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão permite
evitar que se enfrente a dificuldade de se ter duas equações para M(x). Assim, pode-se
escrever a equação diferencial de 2a
ordem da linha elástica para cada parte da viga, tal
que:
2
xP
dx
yd
IE
2
2
⋅
−=⋅⋅ (25)
Integrando, obtém-se:
1
2
C
4
xP
dx
dy
IE +
⋅
−=⋅⋅ (26)
Levando-se em conta que em
2
Lx = , a rotação é nula:
16
LP
C
2
1
⋅
= (27)
Integrando novamente a expressão, obtém-se:
2
23
C
16
xLP
12
xP
yIE +
⋅⋅
+
⋅
−=⋅⋅ (28)
Como a flecha é nula em 0x = , a constante 2C é nula.
As equações que definem a rotação e a flecha numa seção distante x da
extremidade da viga são:
IE16
LP
IE4
xP 22
⋅⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅
−=θ (29)
IE16
xLP
IE12
xP
y
23
⋅⋅
⋅⋅
+
⋅⋅
⋅
−= (30)
A rotação no apoio é:
IE16
LP 2
⋅⋅
⋅
=θ (31)
A flecha máxima no meio do vão é:
IE48
LP
y
3
max
⋅⋅
⋅
= (32)

________________________________________________________________________________________________
60
1.2 – Vigas em balanço
A figura mostra uma viga em balanço com carregamento uniforme de intensidade q.
A equação diferencial de 2a
ordem da linha elástica é:
( )
2
xLq
dx
yd
IE
2
2
2
−⋅
=⋅⋅ (33)
A primeira integração desta equação fornece:
( )
1
3
C
6
xLq
dx
dy
IE +
−⋅
−=⋅⋅ (34)
No apoio A (engaste), a rotação da viga é nula, então:
6
Lq
C
3
1
⋅
= (35)
A expressão da rotação em uma seção distante x do apoio é:
( )22
xxL3L3
IE6
xq
+⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅
⋅
=θ (36)
Integrando novamente a expressão anterior, obtém-se:
( ) 2
22
2
CxxL4L6
IE24
xq
y ++⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅
⋅
= (37)
Como a flecha no apoio é nula, então 0C2 = . Logo:
( )22
2
xxL4L6
IE24
xq
y +⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅
⋅
= (38)
L
x
Q
M
θ
y
yL
θL
θL
q

________________________________________________________________________________________________
61
O ângulo de rotação e a flecha na extremidade livre da viga são:
IE6
Lq 3
⋅⋅
⋅
=θ (39)
IE8
Lq
y
4
⋅⋅
⋅
= (40)
2 – Método da Superposição
A linearidade da relação entre esforços e deformações nas estruturas que trabalham
na fase elástica permite aplicar o princípio da superposição dos efeitos, computando-se o
valor global da deformação para um carregamento complexo como sendo o resultado da
soma algébrica das deformações causadas pelas cargas, como se tivessem sido aplicadas
isoladamente.
NOTA: o método da superposição é especialmente útil quando o carregamento puder ser
subdividido em condições de carregamento parciais, dos quais já se conhecem as
deflexões.
A tabela mostra as equações da elástica, as rotações e as deflexões em vigas
isostáticas com diferentes carregamentos e condições de contorno.

________________________________________________________________________________________________
62
X – FLAMBAGEM
1 – Introdução
No dimensionamento dos elementos estruturais submetidos a esforços normais,
vínhamos impondo duas condições:
a) Resistência da estrutura: admx
A
N
σσ ≤=
b) Controle de deformação: admL
AE
LN
L ∆∆ ≤
⋅
⋅
=
A partir de agora, vamos impor também a condição de estabilidade, que é a
capacidade para suportar uma dada carga sem sofrer uma mudança brusca em sua
configuração.
2 – Estabilidade x Instabilidade
Consideremos o modelo simplificado que consiste em duas barras rígidas, AC e BC,
ligadas em C por um pino e uma mola de constante k.
Se as duas barras e as duas forças P e P´ estão perfeitamente alinhadas, o sistema
permanece em equilíbrio enquanto não ocorrerem perturbações.
P
P´
C
a b
P
P´
A
B
A
C
∆θ
k
B
Tipos de Equilíbrio: (a) estável; (b) indiferente; (c) instável
(a) (b) (c)

________________________________________________________________________________________________
63
P
P´
L
x
y
B
A
y
Q
Mas, suponhamos que movemos o ponto C ligeiramente para a direita, de tal forma
que cada barra forme com a vertical um pequeno ângulo θ∆ . O sistema, nessas condições,
pode voltar à sua condição de equilíbrio ou continuar se movendo para fora dessa posição.
No primeiro caso, o sistema é chamado de estável e no segundo caso, de instável.
O valor da carga que equilibra o sistema é chamado de carga crítica e é designada por Pcr.
3 – Fórmula de Euler para Colunas com Extremidades Articuladas
Queremos determinar o valor crítico da carga P para o qual o sistema deixa de ser
estável. Se crPP > , o menor desalinhamento ou perturbação provoca flambagem da
coluna, que assume a configuração da figura.
Chamando de x a distância da extremidade A da coluna até o ponto Q de sua linha
elástica e de y a deflexão desse ponto, observamos que o momento fletor em Q é:
yPM ⋅−= (1)
Substituindo na equação da elástica:
IE
yP
IE
M
dx
yd
2
2
⋅
⋅
−=
⋅
= (2)
ou:
0
IE
yP
dx
yd
2
2
=
⋅
⋅
+ (3)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes
constantes.
A solução dessa expressão resulta na equação da carga crítica ou fórmula de Euler,
dada por:

________________________________________________________________________________________________
64
2
2
cr
L
IE
P
⋅⋅
=
π
(4)
Nota-se que o valor da carga crítica depende apenas das dimensões da coluna e do
módulo de elasticidade do material.
4 – Fórmula de Euler para Colunas com Outras Condições de Contorno
No caso de uma coluna com uma extremidade livre A, onde se aplica a carga P, e a
outra extremidade B engastada, observamos que a coluna se comporta como parte de uma
coluna com extremidades articuladas.
A carga crítica para a coluna com extremidade livre da figura (a) é a mesma da
coluna bi-articulada da figura (b) e é obtida da fórmula de Euler, usando comprimento da
coluna igual ao dobro do comprimento L real.
Dizemos que o comprimento efetivo de flambagem Le da coluna com extremidade
livre é igual a 2L, que substituída na fórmula de Euler fornece:
( )2
2
cr
L2
IE
P
⋅⋅
=
π
(5)
A fórmula de Euler, aplicável a diversas condições de contorno, pode ser reescrita na
forma:
2
e
2
cr
L
IE
P
⋅⋅
=
π
(6)
onde Le é o comprimento efetivo de flambagem (distância entre duas seções da coluna onde
o momento fletor é nulo).
A figura apresenta alguns exemplos comuns de condições de extremidades para
pilares de comprimento L e os correspondentes comprimentos efetivos de flambagem Le
para aplicação na fórmula de Euler.
P
b
Le=2L
a
A
B
L
A
B
P

________________________________________________________________________________________________
65
5 – Índice de Esbeltez
A fórmula de Euler pode ser reescrita utilizando o conceito de raio de giração r da
seção, tal que:
2
rAI ⋅= (7)
onde A é a área da seção e r é o raio de giração (distância hipotética em que estaria
concentrada toda a área).
Substituindo na fórmula de Euler, chega-se a:
2
e
2
2
e
22
cr
r
L
AE
L
rAE
P
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
ππ
(8)
A relação
r
Le é chamada índice de esbeltez da coluna.
O valor da tensão que corresponde à carga crítica é chamado tensão crítica e
designado por crσ , tal que:
2
e
2
cr
cr
r
L
E
A
P
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
==
π
σ (9)
A expressão anterior mostra que a tensão crítica é proporcional ao módulo de
elasticidade do material e inversamente proporcional ao quadrado do índice de esbeltez da
coluna.
O gráfico de crσ em função de
r
Le foi feito para o aço estrutural, com
GPa200E = e MPa250y =σ .
L
Le = L Le = 2L Le = 0,5L Le = 0,7L

________________________________________________________________________________________________
66
Le/r
100
200
300
σcr (MPa)
Aço estrutural
curta intermediária longa
100 200
σy
Fórmula de Euler
A figura mostra que, para colunas longas e delgadas (com índice de esbeltez
elevado), a tensão considerada crítica para o dimensionamento é aquela dada pela fórmula
de Euler, enquanto que para colunas curtas e robustas, a tensão crítica será a de
escoamento do material.
Para colunas com esbeltez intermediária, várias fórmulas empíricas são propostas na
bibliografia especializada, objetivando a determinação da carga crítica de ruína para cada
tipo de material.
6 – Carga excêntrica. Fórmula da Secante.
Chamemos de e à excentricidade da carga P aplicada à coluna bi-articulada da
figura.
Substituindo a carga excêntrica por uma carga concentrada P e um momento fletor
conjugado MA igual a eP ⋅ , fica claro que, por menor que sejam a carga P e a
excentricidade e, o momento MA sempre irá provocar alguma flexão na coluna.
Se a carga excêntrica aumentar, aumentam também a carga centrada P e o
conjugado MA, o que provoca majoração da flexão na coluna. Assim, o problema da
flambagem não é mais uma questão de se determinar até que ponto uma coluna se mantém
reta e estável sob a ação de uma carga crescente, mas uma questão de se determinar até
que ponto pode-se permitir a majoração da flexão pelo aumento da carga, sem exceder a
tensão admissível ou a deflexão máxima permitida maxy .
L
2
L
ymáx
P
P
e
y
Q

________________________________________________________________________________________________
67
Chamando de x a distância da extremidade A da coluna até o ponto Q de sua linha
elástica e de y a deflexão desse ponto, observamos que o momento fletor em Q é:
ePyPMyPM A ⋅−⋅−=−⋅−= (10)
Substituindo o valor de M na equação da elástica:
IE
eP
IE
yP
dx
yd
2
2
⋅
⋅
−=
⋅
⋅
+ (11)
que é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.
A solução dessa expressão resulta em:
2
2
cr
L
IE
P
⋅⋅
=
π
que é a própria fórmula de Euler.
A tensão máxima ocorre na seção da coluna em que atua o maior momento fletor e é
obtida pela soma da tensão normal devida à força axial e da tensão normal devida ao
momento fletor máximo:
( )
I
ceyP
A
P
I
cM
A
P maxmax
max
⋅+⋅
+=
⋅
+=σ (12)
onde:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅= 1
2
L
IE
P
seceymax (13)
Na eq. (12), c é a distância da fibra mais afastada em relação ao centróide da seção
transversal.
Substituindo na expressão anterior o valor de maxy e 2
rAI ⋅= , chega-se a:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
+⋅=
r
L
AE
P
2
1
sec
r
ce
1
A
P e
2maxσ (14)
onde o comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para
quaisquer condições de extremidade.
NOTA: A tensão maxσ não varia linearmente com a carga P, logo:
a) Não se deve aplicar o princípio da superposição para a determinação das tensões
provocadas por várias cargas aplicadas simultaneamente. Primeiro, calcula-se a
resultante dos carregamentos, depois obtém-se maxσ ;
b) O coeficiente de segurança deve ser aplicado ao carregamento e não à tensão.

________________________________________________________________________________________________
68
Escrevendo a equação anterior para a relação
A
P , tem-se:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
⋅
+
=
r
L
AE
P
2
1
sec
r
ce
1
A
P
e
2
maxσ
(15)
que é conhecida como fórmula da secante.
OBS:
a) O comprimento efetivo de flambagem é usado para tornar a fórmula aplicável para
quaisquer condições de apoio;
b) Uma vez que
A
P aparece nos dois membros, a Eq. (15) deve ser resolvida de
forma interativa.

________________________________________________________________________________________________
69
Bibliografia
Beer, F. P., Johnston Jr, E. R., Resistência dos Materiais, Makron Books, 3 ed, 1996.
Notas de aula de Resistência dos Materiais I e II, UFF.
Pamplona, C. F. M., Barbosa, P., Resistência dos Materiais X, www.uff.br/teleresmat.
Sussekind, J. C., Curso de Análise Estrutural, v. 1, Editora Globo.
Timoshenko, S. P., Gere, J. E., Mecânica dos Sólidos, v. 1, Livros Técnicos e Científicos,
1984.
Timoshenko, S. P., Gere, J. E., Mecânica dos Sólidos, v. 2, Livros Técnicos e Científicos,
1984.

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