Teoria das correntes alternadas

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Teoria das correntes alternadas

  1. 1. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES ENGENHARIA Os Fundamentos da Teoria das Correntes Alternadas Os Fundamentos da Teoria das Correntes Alternadas Análise das Componentes Elétricas em Regime Senoidal Números Complexos e Fasores de Tensão e Corrente As Leis de Kirchhoff em Corrente Alternada Energia e Potência em Corrente Alternada Monofásica. Prof. José Roberto Marques 2009 1
  2. 2. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 2 FUNDAMENTOS DA TEORIA DAS CORRENTES ALTERNADAS DEFINIÇÕES. Uma corrente alternada , como o próprio nome indica é uma corrente elétrica que alterna valores positivos e negativos em seu transcurso em função do tempo. Em geral o seu formato em função do tempo pode ser um qualquer, porém quando falamos em corrente alternada estamos, em geral, nos referindo a comoditie que a concessionária de energia elétrica coloca nos nossas casas, sendo disponibilizada para nós com tensão e freqüência constantes. A forma de onda desta tensão elétrica, disponível nas tomadas de nossas casas é senoidal com valor de pico fixo igual 155,56V, que corresponde ao valor eficaz de 110V e 315,12V para o caso de valor eficaz de 220V. O valor eficaz tem a ver com a energia que a tensão pode entregar, assim se utilizarmos uma bateria elétrica que fornece tensão contínua de 110V para uma carga qualquer obteremos a mesma potência elétrica que uma tensão de valor eficaz 110V, cujo valor de pico é 155,56V. Discutiremos este detalhe mais adiante. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 tempo em segundo v(t)=155,56*sen(377t) - Vs=110V Figura 1 A figura 1 mostra uma onda senoidal de 110V de valor eficaz e deslocamento angular de 377 radianos por segundo cuja função pode ser expressada na forma da equação, e(t) = 155,56* sen(377 *t) . Quando uma forma de onda de tensão senoidal é aplicada em uma carga denominada linear, a corrente que flui no circuito também é senoidal, porém a sua fase pode não ser a mesma da forma de onda da tensão. Quando as fases da corrente e da tensão são idênticas, dizemos que a carga tem característica ôhmica ou que a natureza da carga é resistiva. A figura 2 mostra as formas de onda para este caso. Para esta condição, toda a potência ou energia por unidade de tempo disponibilizada pela onda elétrica é utilizada pela carga, condição na qual dizemos que o fator de potência da carga é unitário ou igual a um. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 tempo em segundo v(t)=155,56*sen(377*t) e i(t)=50*sen(377*t) Formas de onda da tensão e da corrente para uma carga ohmica Figura 2 Neste caso a forma de onda de tensão não muda sua expressão matemática enquanto a forma de onda da corrente pode ser escrita como, i(t) = 50* sen(377 *t) Quando encontramos carga de natureza indutiva como os transformadores, as bobinas, os motores de corrente alternada, etc. a onda de corrente sofre um deslocamento ou defasamento para a direita da onda de tensão o que indica claramente que esta onda atrasa com relação a onda de tensão.
  3. 3. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 3 A figura 3 mostra as formas de onda de tensão e de corrente em uma carga indutiva. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 tempo em segundo v(t)=155,56*sen(377*t) e i(t)=50*sen(377*t-60) Formas de onda da tensão e da corrente para uma carga indutiva Figura 3 – Observe que a onda de tensão é a de maior amplitude e seu período é de 1/60=16,67ms como temos, na figura 0,002seg/divisão, então a onda de corrente atrasa aproximadamente 1,4 divisão, ou seja ≈ 60o atrasados. ϕ ≈1,4*0,002*377*180 /π = 60,5o ≡π / 3 Quando aplicamos uma onda elétrica de tensão em uma carga de natureza capacitiva, a onda elétrica de corrente sofre um deslocamento para a esquerda, indicando que ela passa a ocorrer antes da onda elétrica de tensão, ou seja a onda elétrica de corrente adianta em relação a onda elétrica de tensão. Isso é mostrado na figura 4. Estes são os três tipos de cargas básicos em circuitos elétricos, ou seja, as cargas ôhmicas ou resistivas, as cargas indutivas e as cargas capacitiva. Cada um destes tipos de cargas têm suas próprias características sendo que a carga resistiva não armazena energia, mas transforma a energia elétrica em calor em um processo denominado EFEITO JOULE. Os indutores armazenam a energia elétrica da corrente que os atravessa na forma de campos magnéticos gerados pela passagem desta corrente por eles, já os capacitores armazenam a energia elétrica dos campos elétricos gerados pelas tensões neles aplicados. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 tempo em segundo v(t)=155,56*sen(377*t) e i(t)=50*sen(377*t+30) Formas de onda da tensão e da corrente para uma carga capacitiva Figura 4 – Neste caso não é possível ver o início da onda, mas podemos observar a defasagem próximo fim do semiciclo positivo onde observamos que corresponde a 0,7 divisão ou 30° adiantados. Assim podemos declarar que: Os circuitos resistivos não provocam modificações na fase da corrente em relação a fase da tensão Os circuitos predominantemente indutivos atrasam a onda de corrente em relação a onda de tensão. Os circuitos predominantemente capacitivos adiantam a onda de corrente em relação a onda de tensão. A quantidade de deslocamento da onda de corrente em relação a onda de tensão depende das quantidades resistivas, indutivas e capacitivas envolvidas. Quando escrevemos a equação de uma onda de tensão ou corrente em função do tempo, a quantidade que precede a expressão corresponde ao valor de pico da onda. Assim a expressão abaixo indica que o valor de pico da corrente é 50A e como a onda é senoidal o seu valor eficaz é obtido dividindo o valor de pico por 2 . Assim i(t) = 50* sen(377 *t)
  4. 4. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 4 e o seu valor eficaz é I = 50 2 = 35,355A A POTÊNCIA RELACIONADA COM A ONDA ELÉTRICA A potência transportada pelas ondas de tensão e corrente corresponde ao valor médio da energia contida nas duas ondas e pode ser calculada da seguinte forma: T v t i t dt T 1 ( ) ( ) (1) = ∫ P 0 e recebe o nome de potência ativa e é medida em Watts que corresponde a taxa de transmissão de energia por unidade de tempo ou Joules/segundo enviada para a carga. Seja a onda de tensão dada por e(t) = E sen(ωt +θ ) e a onda de corrente p dada por i(t) = I sen(ωt +ϕ ) , então a p potência ativa fornecida pela fonte será, 1 T = ∫( E sen (ω t + θ ) * I sen (ω t + ϕ ) ) dt p p T P 0 resolvendo esta equação, = p p ϕ −θ = p p ϕ −θ E I E I P cos( ) 2 2 cos( ) 2 Exemplo1. Seja i(t) = 50* sen(377 *t) a onda de corrente em um componente elétrico puramente resistivo e seja a tensão sobre o mesmo e(t) = 311,12* sen(377 *t) então a potência ativa neste componente será 2 / 377 P = ∫ sen t dt 0 15556 * 2 (377 * ) 377 π π 2 note que sen2 (377 *t) 1 cos 2*377 *t − 2 = Assim P 7778Watts = 60*15556* 1 = 2 2 π 377 Note que o mesmo valor poderia ser obtido pelo produto dos valores eficazes da tensão e da corrente. P 7778Watts = 311,12 50 = 2 2 Este resultado é possível porque as duas ondas estão absolutamente em fase. Exemplo 2. Vamos admitir que a onda de corrente esteja com a fase atrasada com relação a onda de tensão, na forma i(t) = 50* sen(377 *t −π / 3) note queωT = 2π e que T = 1/ f onde ω = 2πf = 377rad / s para f = 60Hz ⇒T = 16,667ms A potência ativa pode ser calculada por T = ∫ − 1 15556 * (ω * ) * (ω * π / 3) sen t sen t dt T P 0 como sen t sen t − = t então ϕ ( ) ( ) cos cos(2 ω ϕ ) 2 ω ω ϕ − − 15556 cos(π / 3) cos(2 *377 π / 3) ∫ − − = T t dt T P 0 2 15556cos( / 3) 50 π P P = 7778Watts Observe que neste caso, onde a corrente está defasada em relação a tensão, o produto dos valores eficazes da corrente e da tensão não corresponde ao valor da potência transferida efetivamente para a carga. Neste caso damos ao valor desta potência o nome de potência aparente. Ao termo co-senoidal que multiplica a potência aparente, damos o nome de fator de potência, porém esta definição de fator de potência é válida apenas para circuitos que operem com formas de onda estritamente senoidais ou co-senoidais. Em geral a potência aparente é denominada S e pode ser calculada a cos( / 3) 2 311,12 2 2 π = T = T
  5. 5. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 5 partir dos valores eficazes da tensão e da corrente. S V I * 50 7778 VA RMS RMS = = 311,12 = 2 2 Note que a unidade desta potência é VA ou Volt-Ampere. O caso mais geral da potência aparente é a potência complexa, da qual a potência aparente é o módulo. A potência aparente é uma grandeza fasorial e é dada por, Sˆ = EˆIˆ∗ onde I ∗ é o valor complexo conjugado do fasor corrente eficaz fornecida por um gerador e Eˆ é o fasor valor eficaz da tensão fornecida pelo gerador. Note que P = Re(Sˆ)= Eˆ Iˆ cos(ϕ −θ ), onde θ é a fase da tensão e ϕ é a fase da corrente. Exercício Dadas as expressões das correntes e das tensões em duas fontes senoidais determinar qual é o circuito predominantemente capacitivo e o predominantemente indutivo. Calcular as tensões e correntes eficazes de cada circuito, as potências aparentes e eficazes e o fator de potência de cada circuito. Circuito 1. v(t) = 155,560* sen(377t + 30o )V i(t) = 70* sen(377 −15o ) A Circuito 2 v(t) = 311,12* sen(377 − 30o )V i(t) = 70 * sen(377 *t + 300 ) A Ainda no exercício acima, calcular o módulo da impedância resultante de cada circuito Z utilizando a lei de Ohm equ. onde eficaz Z = = . . eficaz pico V equ I pico V I Questão para consideração. Note que em circuitos onde a onda de corrente está atrasada em relação a onda de tensão, o valor eficaz da corrente não diminui. Qual seria o efeito disto nos equipamentos de transmissão de energia elétrica para alimentar cargas com defasagens muito grandes entre as duas ondas? Se você fosse o proprietário de uma concessionária de energia elétrica, como você lidaria com isto? ANÁLISE DAS COMPONENTES ELÉTRICAS EM REGIME SENOIDAL Vamos tratar agora do comportamento das ondas elétricas com formas de onda senoidais ou co-senoidais, assim quando falarmos de regime senoidal, a função descritora poderá ser também co-senoidal, porém em qualquer caso consideraremos a tensão de pico e a freqüência constantes admitindo que todos os componentes do circuito que armazenam energia (capacitores e indutores) estejam previamente energizados, ou seja que não hajam componentes de energização transitórias no circuito. Quando admitimos estas hipóteses podemos passar a trabalhar com entidades matemáticas denominadas fasores na nossa análise. Os FASORES devem ser utilizados apenas quando é possível admitir um comportamento de regime estacionário para o circuito. Isto acontece nos circuitos de corrente alternada com tensão de pico e freqüência constantes, o que sob as condições de linearidade da carga deverão gerar correntes senoidais ou co-senoidais com valores de pico constantes e de mesma freqüência. OS ELEMENTOS DE CIRCUITO Consideraremos primeiramente as fontes de tensão dos circuitos elétricos em geral. As fontes de potencial podem fornecer: tensão contínua, quando o valor da tensão
  6. 6. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 6 fornecida é invariável com relação ao tempo, tensão senoidal, que correspondem as fontes de tensão alternada e quando não temos uma função descritora do formato da onda elétrica de tensão em função do tempo, usamos um símbolo genérico para representar a fonte de potencial. A figura 5 mostra as representações para as diversas fontes de tensão. A polaridade mostrada indica como devemos representar o potencial da fonte quando a analisamos utilizando os teoremas das redes elétricas. + E + + - - e(t) e(t) ~- (a) (b) (c) Figura 5 – Símbolos para as fontes de tensões nos circuitos (a) Fonte de tensão geral em função do tempo (qualquer forma de onda), (b) Fonte de tensão senoidal/co-senoidal, (c) Fonte de tensão constante (contínua). Em geral temos bastante liberdade para definir o potencial nos elementos de um circuito, porém é de praxe utilizarmos sempre as mesmas polaridades para os diversos elementos de circuito, invertidas em relação ao potencial das fontes, isto indica que a fonte é uma produtora de energia e os elementos são receptores de energia. + + e(t) ~- + + - - - eL (t) e (t) C e (t) R i(t) i(t) i(t) i(t) (a) (b) (c) (d) Figura 6 – (a) Gerador de tensão alternada (senoidal) na convenção gerador (b) carga indutiva na convenção receptor, (c) carga capacitiva na convenção receptor e (d) carga resistiva na convenção receptor. Na figura 6 podemos observar a relação entre as convenções gerador e receptor de energia elétrica, assim quando consideramos um resistor na convenção gerador a corrente no mesmo deve ser negativa pois isto corresponde a situação real. Para os geradores de ondas senoidais a operação com característica gerador ocorre se a defasagem entre a onda de tensão (θ ) e a onda de corrente (ϕ ) for 90o <θ −ϕ < −90o , caso contrário será receptor. Região Receptor Im Região Gerador 90 θ ϕ Re = E ^ E θ I = ^I ϕ Figura 7 – Diagrama de fasores característico de operação gerador. Os elementos de circuito devem ser conectados para a realização de circuitos elétricos, assim podemos ter dois tipos básicos de circuitos (a) o circuito série e (b) o circuito paralelo, os outros circuitos são associações destes dois. No circuito com elementos em série a corrente em todos os elementos de circuito, inclusive a fonte é a mesma, porém a tensão e cada elemento depende de suas características em relação a corrente que o atravessa. Assim a tensão sobre um resistor é o produto de sua resistência e da corrente que o atravessa.
  7. 7. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 7 + e(t) ~- + eC (t) + eL (t) + - e (t) R - - Figura 8 – Um circuito elétrico de corrente alternada em série. e (t) + R - i(t) Figura 9 – A diferença de potencial sobre um resistor provocada por uma corrente i(t). Em um resistor a diferença de potencial é dada pela lei de Ohm e(t) = Ri(t) (2) não importa qual seja a forma de onda da corrente desde que o resistor esteja operando dentro de sua região de especificação, ou seja dissipando potência menor ou igual a especificada por seu fabricante. Esta expressão indica que o resistor é um elemento de circuito linear. Para um indutor a relação é diferente pois a tensão sobre o mesmo depende sempre da taxa de variação da corrente sobre ele. Se a taxa de variação for “suave” a variação de tensão será suave, porém para variações “bruscas” de corrente como é o caso de um desligamento de circuito ou comutação com um elemento semicondutor de chaveamento então a variação de tensão será alta, com possível geração de sobre-tensões transitórias que podem danificar máquinas e equipamentos elétricos. + eL (t) - i(t) Figura 10 – A diferença de potencial em um indutor provocada por uma corrente i(t). Para o caso do indutor a relação entre a tensão sobre o mesmo e a corrente que o atravessa é dada por e t L di t L ( ) = ( ) (3) dt esta mesma expressão pode ser escrita no domínio da freqüência complexa utilizando o operador complexo de Laplace s E (s) LsI (s) i(0) L = − (4) onde i(0) é a corrente no momento em inicial do período de tempo sob análise. Para o caso de aplicação de tensão senoidal sobre o indutor, s assume o valor jω, assim ˆ = ω ˆ = ˆ (5) E j LI jX I L L Nas expressões acima, vemos em (4) que o termo sL corresponde a uma impedância complexa cuja unidade é Ohm e pode ser utilizada com qualquer forma de onda de tensão ou corrente, ou seja é uma expressão geral para a reatância indutiva, já na expressão (5) temos uma aplicação particular da reatância indutiva válida apenas para formas de onda senoidais e que é bastante utilizada em circuitos de corrente alternada e cuja validade pode ser demonstrada com facilidade. Observe que na expressão (5) introduzimos uma na entidade matemática com acento circunflexo denominada fasor e que será explica logo a seguir. Seja i (t) Im* sen( t) L = ω a corrente aplicada em um indutor, então a expressão da tensão sobre o mesmo esta vinculada a i (t) L por e ( t ) = L di ( t ) =ω LI cos( ω t) (5) L m dt
  8. 8. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 8 o que equivale a e (t) = LI sen( t + 900 ) L m ω ω (6) Note que a tensão sobre o indutor adianta a corrente em 90o, ou seja, que a corrente atrasa de 90o em relação a tensão. O QUADRO GIRANTE COM VELOCIDADE ANGULAR CONSTANTE Vamos admitir que tenhamos uma máquina fotográfica competente para tirar fotografias sincronizadas com a freqüência da rede elétrica de modo que toda vez que a onda de tensão senoidal inicie seu ciclo uma foto seja tirada. Observe que os osciloscópios são capazes de fazer isto. Se a hipótese do sincronismo for verdadeira então ωt = kωT = k2π onde k é um inteiro positivo e corresponde ao número da foto que está sendo tirada no k’ésimo instante. Isto torna a expressão (6) em e kT Lsen k I ( ) ( 2 90) ω π ( 2π 90) = + = L m LI e j LI jX I m L m j k ω + ω m = = Usaremos a partir de agora o mapeamento L L e (kT)→ Eˆ este mapeamento transforma valores escalares em função do tempo em uma entidade denominada fasor cuja única preocupação é mostrar a amplitude de uma onda senoidal, seja em termos de valores de pico ou de valores eficazes, e suas respectivas fases dentro de um ciclo da rede, o qual subentende-se que seja igual aos ciclos anteriores e posteriores a ele, por isso é fundamental que os fasores sejam empregados apenas nas condições de regime estacionário. Assim teremos a expressão L L m Eˆ = jX I (7) como queríamos demonstrar. De forma geral podemos escrever L L L Eˆ = jX Iˆ (8) Observe que m I corresponde a ao valor particular de uma fase de Iˆ . O mesmo raciocínio utilizado para os indutores pode ser utilizado para os capacitores. A relação entre a tensão e a corrente em um capacitor é dada pela expressão t e ( t ) = 1 ∫ i ( t ) dt (8) c C t 0 que no domínio complexo para uma forma de onda arbitrária de corrente pode ser escrita, ( ) 1 I (s) E s C m = (9) sC eC (t) i(t) - + Figura 11 – A diferença de potencial em um capacitor provocada por uma corrente i(t). Se a corrente aplicada no capacitor for senoidal da forma, i (t) Im*sen( t) C = ω então a tensão sobre o capacitor será, t I = ∫ = − − m m t t C ( ) ( ) cos( ( )) 0 ω t C I sen d C e t 0 ω ωτ τ para 0 0 t = e − cos(ωt) = sen(ωt + 270) = sen(ωt − 90) e t Im C ω ( ) = sen( t − 90) C ω nesta expressão é possível notar que a onda de tensão está atrasada de 90 graus elétricos em relação a onda de corrente, ou seja, a onda de corrente , nos capacitores adianta de 90o em relação a onda de tensão. Utilizando o mapeamento já utilizado para os indutores podemos escrever para os capacitores, ( ) ˆ ( 2π 90) → = − = C m m m j k C jX I C j I e C ec kT E I − = − ω ω ou de forma geral
  9. 9. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 9 C C C Eˆ = − jX Iˆ (10) observe que em particular ˆ j90 I = Ie jθ = I e , assim a tensão sobre o m capacitor na condição em que a fase da corrente é +90o será ˆ (90 90) j0 C m j C m E = X I e − = X I e . Quando a fase da corrente em um capacitor for +90o, a tensão sobre o mesmo será 0o, ou seja estará 90o atrasada em relação a corrente. A LEI DAS MALHAS DE KIRCHHOFF “A soma algébrica das tensões instantâneas dentro uma malha fechada em um circuito elétrico sempre é zero”. Ou matematicamente Σ= = n k k e 1 0 onde n é o número de elementos contidos na malha, sejam estes elementos fontes de potencial ou elementos passivos, tais como resistores, indutores ou capacitores. Aplicando este conceito no circuito da figura 7, podemos escrever, = + + + − ∫ t e ( t ) Ri ( t ) L di ( t ) 1 i ( t ) dt 0 dt C t 0 Observe que esta é uma equação integro-diferencial, um pouco difícil de resolver no nosso estágio, porém esta equação pode ser algebrizada utilizando os conceitos da transformada de Laplace, assim, sob condições iniciais nulas, − ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0 E s RI s sLI s I s Daí, obtemos a corrente sC I s E s ( ) ( ) R + sL + 1 sC = onde E(s) é a transformada de Laplace da forma de onda da tensão da fonte, s é a transformada de Laplace da derivada e 1/ s é a transformada de Laplace da integral. Se admitirmos o comportamento senoidal ou harmônico das componentes que integram o circuito, na condição de operação em regime, podemos utilizar o conceito de fasor que já aprendemos para resolver a corrente de malha. Lembre-se sempre que o operador de Laplace é uma forma mais geral de escrita do termo jω , ou seja s =σ + jω quando o termo σ = 0 . Assim = I E + + = 1/( ) ˆ ˆ R j ω L j ω C ˆ ˆ ˆ E I E L C L C R j X X ( ) R jX jX + − = + − =        −  − I E = R + − X X j FasedeE L C L C e R X X ˆ arctan 2 ( )2 ˆ A figura 11 mostra as relações entre as onda de tensão nos vários elementos do circuito em relação a corrente, que é a mesma em todos os elementos – ESTA É A CARACTERÍSTICA DOS CIRCUITOS EM SÉRIE. Formas de onda no circuito RLC senoidal - f=60Hz Vfonte=220Vrms corrente 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 400 300 200 100 0 -100 -200 -300 -400 efonte eresistor eindutor ecapacitor Tempo em segundo Formas de onda da corrente e das tensões no circuito Figura 12 – Formas de onda da corrente e das tensões no circuito RLC série com fonte senoidal Exercício. Um circuito RLC em série é excitado por uma fonte de tesão senoidal de 220VRMS com freqüência de 60Hz. Se o resistor for
  10. 10. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 10 de 3,2Ω, o indutor de 0,0106H e o capacitor de 2700μF, calcular a corrente e a diferença de potencial sobre todos os elementos de circuito. Ver figura 7. Solução. Como a fonte de tensão é senoida com 220V eficazes, então seu valor de pico será, 2 * 220 = 311,12V e sua freqüência angular ω = 2πf = 377rad / s . Se admitirmos que sua fase inicial é 0o, então podemos escrever uma expressão para a onda de tensão na forma, e(t) = 311,12* sen(377 *t) . Como a onda é senoidal, os conceitos de reatância indutiva e reatância capacitiva se aplicam, assim podemos escrever X = L = 377 * 0,0106 = 4 L ω e para a reatância capacitiva X = 1/( C) = C ω 1Ω. Agora a impedância equivalente do circuito será, Z j j j 3,2 4 1 3,2 3 = + − = + = e j e j 3,22 + 32 arctan(3 / 3,2) = 4,386 43,15o Podemos agora calcular a corrente eficaz no circuito, ˆ ˆ 220 43,15 I E j 50,23 ( ) 4,38 0 43,15 e A e e Z j j o o o = = = − Podemos mapear imediatamente esta corrente para o domínio do tempo na forma, i(t) = 2 *50,23sen(377t − 43,15o )(A) A tensão ou diferença de potencia sobre o resistor pode ser calculada de forma direta tanto no domínio do tempo como da freqüência, Eˆ IˆR 160,73e j 43,15 (V ) R = = − o ou e (t) = 71,03*3,2sen(377t − 43,15 o )(V ) R e (t) = 227,31sen( ω t − 41,15 o )(V ) R O fasor de tensão sobre o indutor pode ser calculado do seguinte modo, ˆ ˆ 50,23 * 4 E IjX e 46,85 j 200.92 ( ) 43,15 90 e V j j L L o o = = = − ou no domínio do tempo, e (t) = 284,16sen(377t + 46,85 o )(V ) L A tensão no capacitor pode ser calculada na forma, ˆ ˆ 1 *50,23 j j E jX I e e 133,15 90 43,15 j C C o e A 50,23 ( ) o o − − − = = = que no domínio do tempo será, e (t) = C 2 *50,23sen(377t − 133,14 o )(V ) As formas de onda deste exercício são mostradas na figura 11, obviamente no domínio do tempo. Re E= 220 0 50,23 43,15 E =160,73 R 43,15 =50,23 EL=200,92 46,85 EC Im 133,15 -133,15 46,85 43,15 I= Plano de Argand Figura 13 – Diagrama de fasores para o exemplo de circuito RLC em série. CIRCUITOS MULTIMALHAS E A LEI DAS CORRENTES DE KIRCHHOFF A lei das malhas ou das tensões de Kirchhoff pode ser aplicada em qualquer circuito elétrico, porém apenas esta lei não permite a solução completa dos circuitos multimalhas, assim é necessário o uslo da lei dos nós ou das correntes de Kirchhoff, que declara, A soma algébrica das correntes em um nó elétrico sempre é zero. Ou matematicamente Σ= = n k k i 1 0 onde n é o número de ramos conectados a um determinado nó elétrico. Vamos fazer algumas definições que se tornam necessárias,
  11. 11. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 11 _________________________________ Nó elétrico é o ponto de junção de dois ou mais ramos elétricos. Ramos elétricos são as diversas partes de um circuito que compõem uma malha. Nó A Nó B MALHA Nó D Nó C I I I I I I I Ramo 4 I I I I I I a b c d e f j g h k m n p Ramo 2 Ramo 1 Ramo 3 Figura 14 – Exemplo de um circuito e suas constituintes básicas. No nó A temos, + − = 0 a b c i i i No nó B temos, + − + = 0 d e f j i i i i No nó C temos, + − = 0 kl h g i i i Finalmente no nó D, − − = 0 p m n i i i O MÉTODO DAS CORRENTES FICTÍCIAS DE MAXWELL O método de Maxwell é bastante indicado quando analisamos circuito com malhas múltiplas uma vez que ele reduz no número de equações necessárias para a determinação das correntes de um determinado circuito. Exemplo. Vamos aplicar o método das correntes fictícias no circuito abaixo. Por inspeção podemos verificar que o circuito tem três malhas principais, vamos admitir que as duas fontes de tensão estejam sincronizadas mantendo as defasagens entre si constantes, que as duas pulsações ou velocidades angulares sejam iguais com valor ω e que os fasores das correntes de malha sejam I ˆ , I ˆ e I ˆ . 1 2 3 + ~- + ~ - I2 I3 R1 R2 R3 L1 C R4 I1 2 E θ2 E1 θ1 L2 L 3 L4 Figura 15 – Circuito do exemplo sobre correntes fictícias de Maxwell. Vamos calcular as reatâncias 1 1 X L L =ω , X =ω L , X =ω L , X =ω L e L 2 2 L 3 3 L 4 4 que X = 1/( ω C) . C Aplicando o conceito das correntes fictícias na malha de I ˆ , 1 ( ) ˆ jθ ˆ ˆ ˆ ˆ E e jX I R I jX I I L L − 1 + + + − + 1 1 1 1 1 2 1 2 R I − I = (ˆ ˆ ) 0 2 1 2 ˆ I , Na malha de 2 ( ) ( ) (ˆ ˆ ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ R I I jX I I E e R I − + − + + + 2 2 1 2 2 1 2 3 2 jX I I 4 2 3 2 − = L j L θ ˆ I , Na malha de 3 ˆ ˆ (ˆ ˆ ) 0 3 4 3 4 3 2 − jX I + R I + jX I − I = C L Vamos admitir que RMS E e j V 0o 1 ˆ = 220 , E ˆ = 110 e − j45oV , R = 2Ω , R = 2,5Ω , 2 RMS 1 2 = 1Ω 3 R , = 3Ω 4 R , L 4mH 1 = , L 8mH 2 = , L 6mH 3 = , L 10mH 4 = e o capacitor seja de 442μF, assumindo que a freqüência das duas fontes seja de 60Hz e que ambas estão sincronizadas, podemos calcular, = 377 * 4.10−3 = 1,508Ω L1 X
  12. 12. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 1,508 2 3,016 2,5 ˆ 2,5 3,016 ˆ j j I j I = 2,5 3,016 ˆ (2,5 3,016 1 2,262 j I j I e j − + + + + + +   ˆ I 1 ˆ 2 I ˆ 12 = 377 *8.10−3 = 3,016Ω L2 X = 377 *6.10−3 = 2,262Ω L3 X = 377 *10.10−3 = 3,77Ω L4 X = 1/(377 * 442.10−6 ) = 6,00Ω X C Utilizando as expressões já desenvolvidas, ( + + + ) − ( + ) 0 1 2 220 e j ( ) j I j j 1 − = − 45o 3,77) ˆ 3,77 ˆ 110 2 3 3,77 ˆ (3 3,77 6)ˆ 0 2 3 − j I + + j − j I = que na forma matricial fica,      220  = − −     I 1 j o e I                        j j 4,5 + 4,524 − 2,5 − 3,016 0 j j j 2,5 3,016 3,5 9,048 3,77 − − + − − − 110 45 0 ˆ ˆ 2 ˆ 0 3,77 3 2,23 3 I j j     j j o 4,5 + 4,524 − 2,5 − 3,016 0 1 220  − − =       − j j j 2,5 3,016 3,5 9,048 3,77 − − + − − − 3 110 45 0 0 3,77 3 2,23 I e j j j Resolvendo esta equação matricial obtemos, I ˆ = 38,893 e− j 38,526 o ( A ) 1 I ˆ = 9,962 e− j 3,143 o ( A ) 2 I ˆ = 10,0457 e j 123,49 o ( A ) 3 A potência dissipada nos resistores é, P I 2 * R 38,8932 * 2 3025,33 W R 1 = = = 1 1 P I ˆ I ˆ 2 R 31,3072 * 2,5 2450,32 W R 2 2 1 2 = − = = P I R W R * 9,9622 *1 99,241 3 2 3 2 = = = P I R W R * 10,04572 *3 302,75 4 2 4 3 = = = P P W = =Σ= RTotal Rk 5877,64 k 4 1 Podemos confrontar esta potência calculando as potências fornecidas pelas duas fontes. S E * I 220 *38,893 8556,46VA 1 1 1 = = = S E * I 110 *9,9619 1095,81VA 2 2 2 = = = Pela observação do circuito, podemos verificar por inspeção que a fonte 2 E está operando na convenção receptor como S 1095,81VA 2 = , a potência ativa absorvida por esta fonte é dada por, * cos( ) E2 2 E'2 I 2 P = S θ −θ ou P W E 1095,81cos( 45 ( 3,143)) 816,17 2 = − − − = A potência ativa fornecida pela fonte 1 E é S cos 8556,46 *cos(38,526) 6693,93W 1 1 θ = = Esta potência ativa deve ser igual a potência ativa absorvida pela fonte 2 E somada a todas as potências dissipadas pelos resistores, ou seja, 6693,93 = 816,17 + 5877,64 como esta identidade se mantém, a menos de uma pequena diferença nas casas decimais devido as aproximações, concluímos que nosso circuito está com solução correta. Re -38,53 -45 E1 =220 0 I3=10,047 I2=9,962 -3,143 I1=38,893 E2 =110 Im 123,48 Figura 16 - Diagrama de fasores para o exemplo de uso das correntes fictícias de Maxwel. O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO Uma outra ferramenta opcional para análise de circuitos lineares é o teorema da superposição, nele se declara que as correntes em cada ramo, ou malha de circuito é resultante de cada fonte de potencial isolada de circuito analisada separadamente com as outras fontes curto-circuitadas. Vamos tomar o circuito do exemplo das correntes fictícias e analisá-lo para cada fonte de tensão
  13. 13. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques Z j j j eq 2 1,508 (2,5 3,016) //(1 2,262 .220 j j = + + + + + 13 separadamente. Primeiro vamos analisar o os efeitos da fonte de 220V, + ~- 220 0 j1,508 j2,262 j3,016 2,5 Ω -j6,00 1 j3,77 3 Ω Ω Ω Ω Ω Ω 2 Ω IA I I B C ID IE Figura 17 – Análise do efeito da fonte de 220V A impedância equivalente vista pelos terminais da fonte é, 3,77 //(3 − 6)) 7,46 I e j ˆ 85,56 82,54 7,46 j I e j ˆ 85,56 70,897 2 1,508 (2,5 3,016) //(4,0515 8,3) .220 Z j j j eq = + + + + Z = 5,211 e j 46,14o Ω eq .220 A corrente que passa pela fonte é, 0 I ej ˆ 220 46,14 42,213 ( ) 5,211 46,14 e A e j A o o o = = − A tensão sobre o ramo (2,5 + j3,016) e todos os outros em paralelo com ele é, ˆ 220 ˆ *(2 1,508) E e I j 8,254 0 2,5 3,016 j e V 116,8105 ( ) A j j o o = = − + + A corrente no ramo (2,5 + j3,016) será, 8,253 I e j ˆ 116,809 42,092 29,818 ( ) 2,5 3,016 e A j j B o o = − + = A corrente C Iˆ pode ser calculada de, I ˆ 116,809 e 8,253 j j j 1 2,265 3,77 *(3 − 6,00) 3 + (3,77 − 6,00) + + = j j C o Iˆ = 12,646e − j55,73 o A) C (A tensão sobre a reatância de j3,77Ω Pode ser calculada da seguinte forma, ˆ 116,809 j 8,253 ˆ (1 2,262) E = e − I + j j 3,77 C E ˆ = 85,563 e j 7,46 o ( V ) j 3,77 da qual pode-se obter as correntes D Iˆ e E Iˆ . 23,125 ( ) 3,77 e A j j D o o = = − 12,755 ( ) 3 6 e A J E o o = − = As correntes devido a outra fonte podem ser calculadas a partir do circuito abaixo, j1,508 110 -45 j2,262 j3,016 2,5 Ω -j6,00 1 j3,77 3 Ω Ω Ω Ω Ω Ω 2 Ω I I I I + ~ - G IF H K L Figura 18 – Circuito correspondente a fonte de 110V. A impedância equivalente deste circuito será 1+j2,262 em série com (3-j6)//j3,77 em série com (2+j1,508)//(2,5+j3,016), que resulta em, 110 = Ω j o eq V Z e 10,6796 60,92 ( ) 45 j I e j ˆ 110 105,92 10,3 ( ) 10,679 60,92 e A e F o o o − − = = A tensão sobre os ramos paralelos (3- j6)//j3,77 pode ser calculada diretamente de, ˆ ˆ *(3 6) // 3,77 3,77 //(3 6) E I j j j j F = − − ˆ 67,393 60,05 ( ) E = e j o V j 3,77 //(3 − j 6) Da mesma forma a tensão sobre o conjuto em paralelo (2+j1,508)//(2,5+j3,016) é dado por,
  14. 14. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 14 ˆ (2 j1,508)//(2,5 j3,016) = + + E ˆ * (2 + j1,508)//(2,5 + j3,016) F I E ˆ = 15,839 e− j 63,71 o ( V ) (2 + j1,508)//(2,5 + j3,016) A partir destas tensções podemos calcular as correntes G Iˆ , H Iˆ , K Iˆ e L Iˆ do seguinte modo, 15,839 e 2 1,508 2 1,508 ˆ ˆ 63,71 (2 1,508) //(2,5 3,016) j j E I j j j = G + + = − + + o Iˆ = 6,323e − j100,73 o A) G (15,839 e 2,5 3,016 2,5 3,016 ˆ ˆ 63,71 (2 1,508) //(2,5 3,016) j j E I j j j = H + + = − + + o Iˆ = 4,043e − j114,054 o (A) H 67,393 3,77 3,77 ˆ ˆ 60,05 3,77 //(3 6) j e j E I j j j K o = − = Iˆ = 17,876e − j 29,95 o (A) K e 67,393 3 6 = − 3 6 ˆ ˆ 60,05 3,77 //(3 6) j j E I j j j = L − − o Iˆ = 10,046e j123,48 o (A) L Para se obter a corrente real no circuito basta escolher qual é o ramo no qual estamos interessados e aplicar a soma algébrica das correntes calculadas nos dois circuito, por exemplo a corrente do ramo onde se encontra a fonte de 110e− j 45o V, se escolhermos a direção de F Iˆ como positiva, então a corrente resultante no circuito completo é, ˆ ˆ ˆ I I I = − = Fonte V F C j j o o − = 105,92 55,73 110 − − e e 10,3 12,646 176,86 j o e A 9,961 ( ) Compare este resultado com o do exemplo com o método das corrente fictícias, observe que “chutamos” a corrente invertida em relação a daquele exemplo, por isso o resultado da fase foi deslocado de 180o. O TEOREMA DE THEVENIN Outra ferramenta básica para a análise de circuitos elétricos é o teorema de Thevenin e a metodologia para sua aplicação é: • Separe o ramo de circuito no qual há interesse em se analisar, chame a tensão os pontos deixados em vazio de Th V . • Determine a tensão Th V entre os pontos abertos. • Curto-circuite todas as fontes de tensão e abra todas as fontes de corrente que porventura existam no circuito. • Calcule a impedância vista pelo terminais abertos conectados antes na carga sob análise, chame a esta impedância de Th Z . • Agora temos um circuito com uma fonte de tensão Th V e uma impedância conectada em série Th Z correspondente a toda a rede anterior conectada a carga. Coloque a carga sob análise novamente neste circuito equivalente e calcule as correntes e tensões e potências em seus elementos. Vamos utilizar o exemplo das correntes fictícias de Maxwell para demonstrar o uso do teorema de Thevenin. Suponha que queiramos fazer uma análise do ramo que contém 2 R e 2 L , assim retiramos este ramo do circuito que ficará como é mostrado abaixo.
  15. 15. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques  = + + + − = 15 + ~- Ω Ω Ω j1,508 2 j2,262 + ~ - 1 VTh 3 -j6,00 j3,77 Ω Ω Ω Ω j3,016 2,5 Ω I Ω 1 I2 220 0 V 110 −45 V Carga sob análise Figura 19 – Análise de Thevenin. Utilizando o método de Maxwell. podemos calcular as corrente I ˆ e I ˆ . 1 2    − = 3 7,54 3,77 0 45            − −  ˆ + − − 220 110 0 I ˆ 3,77 3 2,23 1 2 e j e j o I j j j De onde obtemos. I e j 29,651o A 1 ˆ = 14,065 − I e j96,97o A 2 ˆ = 14,185 1,4o 220 j 0 (2 1,508) ˆ 185,116 j V = e − + j I = e− Th 1 [ ( )] Z j j j j (2 1,508) // 1 2,262 (3 6) // 3,77 e 42,672 j 2,00741 j 1,4759 1,3606 Th Ω = + o + ~- j0,07898 Ω 0,7975Ω 185,116 -1,4 V ZTh E Th j3,016 2,5 Ω Ω I Figura 20 – O circuito equivalente de Thevenin. A corrente na carga será: 31,307 ( ) ˆ ˆ e I E Z Z Th 185,116 = + 1,4759 1,3606 2,5 3,016 49,147 1,4 arg _ e A j j j j Th c a análise − o − = + + + = Compare esta corrente com a do exercício sobre correntes fictícias, ela equivale a ˆ ˆ 38,893 9,962 I I e e 49,14 38,526 3,143 1 2 j e A 31,307 ( ) j o o o − − − = − = − Em algumas circunstâncias o teorema de Thevenin pode auxiliar bastante na resolução de problemas mais pontuais de redes e máquinas elétricas. O USO DA ANÁLISE NODAL Em algumas aplicações, quando temos um nó comum a muitos outros nós, fica interessante utilizar a análise nodal na solução de problemas de circuitos elétricos, vamos demonstrar através de um exercício, tal situação, + ~- jX R -jX L1 1 R3 jX V1 V2 1 I R jX R 2 4 -jX L2 L3 C2 C1 I I I I I 2 3 4 5 6 0V E1 θ1 R5 Figura 21 - Circuito com um nó comum a vários outros. Na figura 18, vemos que embora o circuito tenha três malhas principais assim como três nós, um dos nós é comum e podemos associar ao mesmo um potencia de referência, normalmente zero, e passamos a montar as equações das correntes nos nós. A equação do nó 1 é, ˆ ˆ ˆ 0 1 2 3 I + I + I = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V − V V − E V 1 1 1 2 = 3 2 1 2 1 1 1 − + − + + R jX R jX L C C R jX A equação do nó 2 é, ˆ ˆ ˆ 0 4 5 6 I + I + I = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ V V V V 2 1 2 = 5 3 2 4 2 3 2 + + + + − − R jX R jX C L L R jX Com isto fica relativamente simples montar uma matriz de admitâncias e resolver o problema da forma já utilizada anteriormente.
  16. 16. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques o o j j o j 12,57 56,31 62,05 16 Exemplo. Para o circuito mostrado na figura 18 temos E ˆ = 200 e j 0o V com 1 RMS freqüência de 60Hz, = 2Ω 1 R , = 3Ω 2 R , = 4Ω 3 R , = 1,5Ω 4 R , = 1Ω 5 R , L 0,01H 1 = , L 0,008H 2 = , L 0,007H 3 = , C 662μF 1 = e C 442μF 2 = , calcular a potência dissipada no resistor 4 R . = 2 = 377 *0,01 = 3,77Ω 1 1 X fL L π = 377 *0,008 = 3,016Ω L2 X = 377 * 0,007 = 2,639Ω L3 X = 1/(377 *662.10−6 = 4,007Ω C1 X = 1/(377 * 442.10−6 ) = 6,00Ω C2 X Utilizando as expressões já desenvolvidas acima podemos escrever, 0 ˆ ˆ V − V 4 6 ˆ 3 4 ˆ 200 V − e j 2 3,77 1 1 2 0 1 = − + − + + j j V j 0 ˆ ˆ V ˆ 2 1 2 2 = 1 2,639 ˆ V 1,5 3,016 V − V 4 6 + + + + − j j j assim,    0,1387 ˆ 1 e V − e V = e j j o 1 0,58662 − ˆ o − + = − 2 0 0,1387 ˆ 2 46,864 0,31427 ˆ 56,31 55,21 e V e V Resolvendo o sistema acima obtemos, ˆ 136,103 72,33 ( ) V1 e V = − j o ˆ 32,180 39,18 ( ) V2 e V j o = A corrente no resistor 4 R pode ser obtida de, ˆ ˆ 32,180 39,18 I V = 5 j 1,5 3,016 2 4 2 e R jX j L + + = o I ˆ = 9,553 e− j 24,38 o ( A ) 5 logo a potência dissipada por R será, 4 P I ˆ 2 = R = 9,5532 *1,5 = 136,9 W R 4 5 4 A potência dissipada pelo resistor 3 R pode ser calculada de, R W − P V V R * 1751,64 1 2 = 3 R jX C ˆ ˆ 3 2 − 3 2 = a potência dissipada em 1 R será, = 4612,03W R a potência dissipada em R será, 2 ˆ ˆ P E V 1 1 * 1 − − 2 = 1 1 1 R R jX L R W P V R * 2222,88 2 = 2 R jX C ˆ 2 2 − 2 1 = finalmente a potência dissipada em 5 R será, R W P V R 130,02 2 = 5 R jX L ˆ 5 2 + 5 3 = A soma das potências dissipadas pelos resistores é 8853,5W, e a potência ativa fornecida pelo gerador pode ser calculada pelo produto da tensão gerada e da corrente que fornecida pelo mesmo, I ˆ que pode ser 1 calculada da seguinte forma, j j 0 72,33 I ˆ 200 e 136,103 e 1 j 2 + 3,77 − = o − o ˆ 48,02 22,80 ( ) 1 I = e− j o A A potência ativa fornecida pela fonte pode ser calculada da forma, P = E I ϕ = − o P = 8853,6W Este resultado demonstra que o problema foi corretamente resolvido. Na análise nodal o uso do inverso das impedâncias dos ramos das malhas é, as vezes, mais interessante do que trabalhar com as impedâncias, trabalhar diretamente com seus inversos as admitâncias, assim, no exemplo acima escreveríamos, cos 200* 48,02cos( 22,8 ) 1 1 1
  17. 17. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques 17 1 0,2343 62,054 ( ) Y j 1 e S R X L 1 1 = − o + = 1 0,2 53,130 ( ) Y j 2 e S R jX C 2 1 o = − = 1 0,1387 56,31 ( ) Y j 3 e S R jX C 3 2 o = − = 1 0,2968 63,55 ( ) Y j 4 e S R jX L 4 2 = − o + = 1 0,3543 69,25 ( ) Y j 5 e S = R jX 5 L 5 Daí podemos montar uma matriz de admitâncias para o problema, = − o +    Y Y Y Y V 1 E   −     + + − 1 2 3 3 − +  =   ˆ 0 ˆ ˆ 1 1 3 4 5 2 Y Y Y V ou já resolvendo a inversão da matriz   1 Y Y Y  ˆ V 1 E      4 5 3 + + + Δ  =    0 ˆ ˆ 1 3 1 2 3 2 Y Y Y Y V onde 2 1 2 3 4 5 3 Δ = (Y + Y + Y ) *(Y + Y ) − Y Será deixada para o aluno a verificação numérica do método. VALORES EFICAZES ASSOCIADOS ÀS ONDAS DE TENSÃO E CORRENTE ELÉTRICAS Os valores eficazes das ondas de tensão e corrente têm a ver com a potência que estas ondas podem transferir da fonte para a carga e dependem fortemente do tipo de onda que transporta a energia. Assim quando lidamos com ondas senoidais ou co-senoidais a relação entre o valor de pico e o valor eficaz é 2 , ou seja, = 2 pico E rms E isto não é verdadeiro para uma forma de onda diferente, triangular por exemplo. A quantidade elétrica, seja ela tensão ou corrente, associada com uma determinada forma de onda periódica de período T e cuja função em relação ao tempo seja descrita por f (t) é dada pela média da raiz quadrada ou root mean square (rms) relacionada a seguinte expressão, 1 ( ) 2 ( f t ) dt T F T rms = ∫ 0 EXEMPLO Um resistor é alimentado pela onda de corrente elétrica mostrada na figura 21, se o valor de sua resistência for de 0,2Ω, calcular a potência dissipada sob a forma de calor por este resistor. f(t) t -3T/8 60A -T/2 0 3T/8 T/2 -60A Figura 22 – Onda de corrente elétrica. Vamos determinar as funções nas diversas partes componentes do período. / 2 3 / 8 ( ) 60 1 − T < t < − T ⇒ f t = − 3 / 8 3 / 8 ( ) 480 2 − < < ⇒ = 3 / 8 / 2 ( ) 60 3 T < t < T ⇒ f t = O valor eficaz da onda será, t T T t T f t 3
  18. 18. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES – ENGENHARIA Prof. José Roberto Marques ( ( ) ) ∫  18 1 T 602 480 − − = − + ∫ + ∫ − 3 / 8 / 2 3 / 8 3 /8 / 2 3 / 8 602 2 3 T T T T T t dt dt T dt rms T I que devido a simetria gerada pela função elevada ao quadrado, podemos escrever,     2 T 480 T =      t dt dt ∫ ∫ +   3 / 8 0 / 2 3 / 8 602 2 3 T rms T T I      3 602 3 2 480 T =  / 2     +   3 / 8 3 / 8 0 2 3 T T t t rms T T I I A rms = 42,42 A potência dissipada pelo resistor será, P (I ) R W rms = 2 = 42,422 * 0,2 = 359,9

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