Trigonometria func trig_numeros_reales_marzo_27_2012

Contenido

Trigonometr´ Funciones Trigonom´tricas
ıa:
e
de N´ meros Reales
u
Carlos A. Rivera-Morales

Prec´lculo 2
a

Rivera-Morales, Carlos A.

´
Trigonometr´
ıa: Angulos Estandarizados

Contenido

Objetivos
Circunferencia Unitaria
Funciones Trigonom´tricas de N´ meros Reales
e
u
Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tr
e
Identidades Trigonom´tricas Fundamentales
e
Ejercicios
Otras Identidades Trigonom´tricas
e

Tabla de Contenido
Objetivos
Funciones Trigonom´tricas de N´meros Reales
e
u
Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tricas de
e
N´meros reales
u
e
Ejercicios
e


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

Objetivos:
Discutiremos:
la circunferencia unitaria


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

Objetivos:
Discutiremos:
funciones trigonom´tricas de n´meros reales
e
u


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

Objetivos:
Discutiremos:
e
u
dominios y rangos de las funciones trigonom´tricas de
e
n´meros reales
u
identidades trigonom´tricas fundamentales
e


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

Objetivos:
Discutiremos:
e
u
dominios y rangos de las funciones trigonom´tricas de
e
n´meros reales
u
identidades trigonom´tricas fundamentales
e
otras identidades trigonom´tricas
e


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Definiciń: La circunferencia unitaria es la circunferencia
o
con centro en el origen del plano cartesiano y radio r = 1.

Figura: Ecuaciń de la circunferencia unitaria: x2 + y 2 = 1
o

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Nota: Para definir las funciones trigonom´tricas de
e
n´ meros reales, tambiń llamadas funciones circulares, a
u
e
cada n´mero real t le asignaremos un punto P (t) = (x, y) de la
u
circunferencia unitaria. Dado t ∈ R, recorremos t unidades
sobre (a lo largo) de la circunferencia unitaria, comenzando en
el punto (1, 0), en sentido contrario de las manecillas del reloj,
si t es positivo. Si t es negativo, entonces nos movemos a favor
de las manecillas del reloj. Usaremos las coordenadas del punto
P (t) = (x, y) para definir las funciones trigonom´tricas del
e
n´mero t.
u


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u

Figura: Movimiento a lo largo de la circunferencia unitaria


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
e
u
Definiciń: Sea t un n´mero real y sea P (x, y) el punto de la
o
u
circunferencia unitaria correspondiente al n´mero t. Si la
u
funciń est´ definida, entonces
o
a
sen(t) = y
cos(t) = x
y
tan(t) = x


csc(t) =
sec(t) =
cot(t) =

1
y
1
x
x
y

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
e
u
Definiciń: Sea t un n´mero real y sea P (x, y) el punto de la
o
u
circunferencia unitaria correspondiente al n´mero t. Si la
u
funciń est´ definida, entonces
o
a
sen(t) = y
cos(t) = x
y
tan(t) = x

csc(t) =
sec(t) =
cot(t) =

1
y
1
x
x
y

Nota: Si el punto correspondiente al n´mero t est´ en uno de
u
a
los ejes de coordenadas, entonces habr´ dos funciones
a
trigonom´tricas que no estń definidas.
e
a

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u

Figura: En el contexto de la circunferencia unitaria, los valores
trigonom´tricos del n´mero real t se deﬁnen en t´rminos de las
e
u
e
coordenadas x y y del punto P .

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Dominios y Rangos de las Funciones Trigonom´tricas de
e
N´meros Reales
u
Funci´n
o
sen
cos
tan
cot
sec
csc

Dominio

− { π + nπ,
2
− {nπ, n
− { π + nπ,
2
− {nπ, n

Rango o Imagen
[-1, 1]
[-1, 1]

n entero}
entero}
n entero}
entero}


(−∞, −1] ∪ [1, +∞)
(−∞, −1] ∪ [1, +∞)

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u

Figura: Relaci´n entre los diferentes tipos de funciones
o
trigonom´tricas
e

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Nota: Las funciones trigonom´tricas del ńgulo estandarizado θ
e
a
con medida t en radianes, que estń definidadas, corresponden a
e
las mismas funciones trigonom´tricas definidas en t´rminos del
e
e
punto sobre la circunferencia unitaria determinado por el
n´mero real t.
u


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: Calcule los valores trigonom´tricos de t =
e


5π
3 .

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: Calcule los valores trigonom´tricos de t = − 3π .
e
4


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: Calcule las coordenadas exactas del punto P ( 29π ) de
6
la circunferencia unitaria.


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: En los ejercicios del 1 al 8, para el n´mero real t
u
dado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en la
circunferencia unitaria y (b) determine las coordenadas exactas
del punto P (t). No use la calculadora.


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: En los ejercicios del 9 al 16, para el n´mero real t
u
dado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en la
circunferencia unitaria y (b) use la calculadora para aproximar
las coordenadas exactas del punto P (t).


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: En los ejercicios del 17 al 24 determine el valor
exacto de cada funci´n trigonom´trica dada en el contexto de la
o
e
circunferencia unitaria.


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

Funciones Trigonom´tricas
e
e
Sea t un n´mero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuaciń
u
o
estń definidos, entonces:
a
Identidades rec´
ıprocas
1
sen(t) = csc(t) cos(t) =
1
csc(t) = sen(t) sec(t) =

1
sec(t)
1
cos(t)


1
tan(t) = cot(t)
1
cot(t) = tan(t)

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
e
Sea t un n´mero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuaciń
u
o
estń definidos, entonces:
a
Identidades rec´
ıprocas
1
sen(t) = csc(t) cos(t) =
1
csc(t) = sen(t) sec(t) =

1
sec(t)
1
cos(t)

Identidades cociente
tan(t) = sen(t) cot(t) =
cos(t)

cos(t)
sen(t)


1
tan(t) = cot(t)
1
cot(t) = tan(t)

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
Identidades Trigonom´tricas Fundamentales (Continuaci´n)
e
o
Identidades pitag´ricas
o
sen2 (t) + cos2 (t) = 1 1 + tan2 (t) = sec2 (t)
cot2 (t) + 1 = csc2 (t)
Identidades Par/Impar
sen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t)
csc(t) = − csc(t)
sec(−t) = sec(t)


tan(−t) = − tan(t)
cot(−t) = − cot(t)

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
e
o
Identidades pitag´ricas
o
sen2 (t) + cos2 (t) = 1 1 + tan2 (t) = sec2 (t)
cot2 (t) + 1 = csc2 (t)
Identidades Par/Impar
sen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t)
csc(t) = − csc(t)
sec(−t) = sec(t)

tan(−t) = − tan(t)
cot(−t) = − cot(t)

Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes son
funciones impares.


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
e
o
Identidades de Cofunciones
sen( π − t) = cos(t) tan( π − t) = cot(t)
2
2
cos( π − t) = sen(t) cot( π − t) = tan(t)
2
2


sec( π − t) = csc(t)
2
csc( π − t) = sec(t)
2

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
e
o
Identidades de Cofunciones
sen( π − t) = cos(t) tan( π − t) = cot(t)
2
2
cos( π − t) = sen(t) cot( π − t) = tan(t)
2
2

sec( π − t) = csc(t)
2
csc( π − t) = sec(t)
2

Nota: En el ejercicio que sigue se le pide que demuestre las
identidades de cofunciones .


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: Identidades de Cofunciones En el trińgulo
a
rectńgulo que se muestra, explique por qu´ α = π − β.
a
e
2
Adem´s, explique c´mo se pueden obtener las seis identidades
a
o
de cofunciones a partir de este trińgulo para 0 < α < π .
a
2


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: Exprese cada una de las siguientes expresiones
trigonom´tricas en t´rminos de seno y coseno y luego
e
e
simpliﬁque:
1

tan(t) sen(t) + cos(t)

2

sen(−u) + cot(−u) cos(−u)

3

4

5

cos(x)
sen(x)
csc(x) + sec(x)
cot(t)
csc(t)−sen(t)
cos2 (t) + 4 + sen2 (t)
5 sec2 (−t)


´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

Identidades Trigonom´tricas
e
Muchas identidades provienen de las identidades fundamentales.
Para comprobar que una ecuaciń trigonom´trica es una
o
e
identidad, transformamos un lado de la ecuaciń en el otro
o
mediante una serie de pasos, cada uno de los cuales d´ lugar a
a
una identidad. Sin embargo, no se puede efectuar las
mismas operaciones en ambos lados de la igualdad. Por
ejemplo, si comenzamos con una ecuaciń que no es una
o
identidad, como
sen(x) = − sen(x)
y elevamos cada lado al cuadrado, obtenemos la ecuaciń
o
sen2 (x) = sen2 (x)
la cual es una identidad.

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

Identidades Trigonom´tricas
e

1

Sugerencias para demostrar identidades trigonom´tricas
e
Comenzar con una lado de la ecuaci´n y transformarlo en
o
el otro lado. Generalmente, se recomienda comenzar con el
lado m´s complicado.
a

2

Use ´lgebra e identidades que conozca para tranformar el
a
lado con el que comenz´. Combine fracciones usando
o
denominadores comunes, factorice y simpliﬁque.

3

Si llega a un punto de tranque, exprese todas las funciones
en t´rminos de senos y cosenos.
e

4

Siempre tenga en mente lo que desea obtener. Eso ayuda
para decidir pasos posteriores.

´
Trigonometr´

Contenido

Objetivos
e
u
e
e
Ejercicios
e

e
u
Ejercicio: Demuestre las identidades trigonom´tricas
e
siguientes.
1
2

3

4

cot(x) sec(x)
=1
csc(x)
tan2 (x)(1 + cot2 (x))

=

1
1−sen2 (x)

sec(x)+csc(x)
tan(x)+cot(x) = sen(x) + cos(x)
1+sen(x)
1−sen(x)
1−sen(x) − 1+sen(x) = 4 tan(x) sec(x)

5

cos(u)
1−sen(u)

6

sec(t)+tan(t)
sec(t)−tan(t)

= sec(u) + tan(u)
=

1+2 sen(t)+sen2 (t)
cos2 (t)


´
Trigonometr´

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