Análisis sísmico tridimensional de edificios con diafragma rígido

Ingeniería Antisísmica Fidel Copa Pineda 1
Capítulo 6
ANALISIS SISMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS CON DIAFRAGMA RIGIDO
6.1 INTRODUCCION
El análisis sísmico de edificios cuyas losas de piso horizontal se comportan como diafragmas rígidos y los
sistemas de pórticos planos incluyen muros de cortante verticales, debido a ello el cálculo puede simplificarse en el
número de grados de libertad solo si la losa se comporta como un diafragma rígido, es decir, se modela a dicha losa
como un cuerpo rígido lo que nos permite una simplificación en el análisis sísmico mediante una condensación
cinemática de los grados de libertad de una estructura en el espacio a un análisis estructural tridimensional para
cargas laterales con tres grados de libertad por piso.
Asumiendo que cada losa es rígida en su propio plano, los componentes de los desplazamientos de cada
pórtico, se relacionan geométricamente, en cada nivel, con los del centro de masa en las direcciones (x, y, ), que
describen los desplazamientos lineales y el giro de torsión en planta, respectivamente. Para una estructura
tridimensional conformada por pórticos planos con muros de cortante se forman las matrices de rigidez lateral de
cada pórtico y, según su posición y geometría respecto al centro de masa, se ensambla la matriz de rigidez
tridimensional. Conociendo el vector de cargas sísmicas y calculando la inversa de la matriz de rigidez
tridimensional se encuentra el vector de los desplazamientos del centro de masa.
6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE OSCILACION DE PORTICOS PLANOS [KpK]
La matriz de rigidez total de pórtico plano [Ks], se obtiene en base al equilibrio de fuerzas de toda la
estructura considerando tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas por nudo no es necesario hallar el equilibrio en los
nudos de los soportes es decir en las reacciones, dichas fuerzas se expresan en función de las matrices de rigidez de
cada miembro y de sus correspondientes desplazamientos y cargas equivalentes de extremo fijo. Debido a ello
primero hallamos las matrices de fuerzas, desplazamientos y cargas equivalentes de extremo fijo, en un sistema de
coordenadas locales y posteriormente las transformamos a un sistema de coordenadas globales, en donde se
establece una ecuación matricial de equilibrio cuyo coeficiente del vector de desplazamientos es la matriz de rigidez
total de la estructura. Con este método de rigideces calculamos la respuesta de la estructura aplicando fuerzas
unitarias en cada grado de liberta lateral de la estructura que es una combinación con el método de fuerzas para
determinar la matriz de flexibilidades y luego mediante su matriz inversa obtenemos la matriz de rigidez lateral este
proceso se detalla mas adelante.
METODO DE LAS FLEXIBILIDADES PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL.
Para la condición de carga sísmica en el modelo de masa concentrada se considera que la carga es
horizontal y solo actúa a nivel de cada piso, es decir, se considera un GDL por piso, por lo tanto, en la ecuación
matricial de equilibrio total de la estructura el vector de fuerzas de empotramiento perfecto no existe {FF
} es decir,
se iguala el vector a {0} porque no hay cargas de verticales. Por tanto en base a estas condiciones podemos
encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico k-ésimo usando el método de las flexibilidades, y el método de la
rigidez a la vez, tal como se ilustra más adelante. Asimismo se presenta la idealización de los pórticos que incluyen
muros de cortante o vigas de cortante; Los desplazamientos totales se calculan por superposición.
Fig. 19 Pórtico hibrido modelo físico (Sistema de pórtico mas muro de corte).
Columna
Viga
Viga
Viga
Viga
MURO
DE
CORTE

Fig. 20 Fuerzas unitarias por piso aplicadas al modelo matemático, para encontrar la matriz de rigidez lateral.
La matriz de flexibilidad lateral se encuentra aplicando fuerzas unitarias en cada nivel por separado y se calcula la
respuesta de desplazamientos laterales y luego de aplicar para todos los GDL por piso. Usando el principio de
superposición se calculan los desplazamientos totales. Y donde se obtiene un vector de desplazamientos para cada
fuerza unitaria y en este caso como son 4 niveles se obtienen 4 vectores, con los cuales se ensambla la matriz de
flexibilidades
{D} = [] {F}
Donde:
   D1 11 12 13 14 F1
D2 21 22 23 24 F2 Matriz de Rigidez [K] = []-1
D3 31 32 33 34 F3
D4 41 42 43 44 F4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
44
34
14
24
43
33
23
13
42
22
12
32
41
31
21
11
0
0
0
1
Fig. 21 Procedimiento de flexibilidad para encontrar la matriz de rigidez lateral de un marco plano, se ensambla
en base a los corrimientos de cada condición de carga unitaria.
Extremo
Rígida
0
0
F3=1Tn
0
F1=1Tn
0
0
43F3
13F3
23F3
33F3
0
0
F4=1Tn
0
11F1
21F1
31F1
0
F2=1Tn
0
Contorno de
Muro de Cortante
0
Eje
Centroidal
41F1 0
24F4
14F4
34F4
44F4
32F2
12F2
22F2
42F2

CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL por el método de las rigideces.
Este método es mas teórico pero directo y su procedimiento se puede sistematizar igual al método de flexibilidades,
sin embargo en este caso aplicamos desplazamientos unitarios en lugar de fuerzas unitarias es la diferencia.
K11 K12 K13 K14
[K] = K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 4to NIVEL
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 3er NIVEL
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 2do NIVEL
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 1er NIVEL
D4,3=1
D4,3=-1
D3,2=1
D3,2=-1
D2,1=1
D2,1=D2-D1=-1
D1,0=D1-D0=1
K14
K44
K24
K34
K13
K43
K21
K33
K12
K42
K22
K32
K11
K21
K31
K41
Nivel
1
1
1
1
1
2
3
4
Fig. 22 Aplicación de desplazamientos unitarios para el cálculo de la matriz de rigidez lateral de oscilación.
El método de desplazamientos o rigidez consiste como primer paso en restringir toda la estructura excepto los giros
y como segundo paso se empieza a liberar solamente los grados de libertad de oscilación uno a uno como se ilustra
en la figura 22, por ejemplo son cuatro desplazamientos laterales debido a que son cuatro niveles entonces son 4
GDL. Por tanto, se han aplicado cuatro desplazamientos horizontales uno para cada GDL y para cada caso se
calculan las correspondientes rigideces.
Ejemplo de Aplicación
Calcular la Matriz de Rigidez Lateral del
pórtico por el método de flexibilidades, que se
muestran en la Fig. 25.
DATOS DE LA ESTRUCTURA:
Módulo de elasticidad E = 2.1x106
Columnas: 30x40
Vigas: 30x30
Fig. 25a. Codificación de los GDL de la
estructura completa.
Solución
La matriz de rigidez lateral de este pórtico
típico se calcula por el método de
flexibilidades, para ello vamos a utilizar el
programa de análisis de marcos planos, que
contempla tres grados de libertad por nudo. Los
pórticos de un sistema estructural en tres
dimensiones están conectados por losas de piso,
que pueden actuar en algunos casos como
2
7
15
7
8
13
1
5
11
2
3.00
9
3
10
8
5
7
9
4
4
6
2
1
1
3.00
3.00
3.00
5
9
6
10
12 14 16
282624
22
12
21
15
3.00
3.0011 12
16
10
14
19
17
11
14
20
15
4
23
17
3
25
20
19
27
13
18
13
8
3
6
18
GEOMETRIA Y GRADOS DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA

diafragmas rígidos, por consiguiente todos los nudos de los pórticos correspondientes a un piso tienen el mismo
desplazamiento horizontal. En consecuencia todos los nudos de un nivel tienen el mismo grado de libertad en la
dirección x.
. ESTADO DE CARGAS # 4ESTADO DE CARGAS # 3ESTADO DE CARGAS # 2ESTADO DE CARGAS # 1
1 Tn
1 Tn
1 Tn
1 Tn
Fig. 25b Condiciones de carga sucesivas en forma consecutiva del método de fuerzas o flexibilidades.
Si aplicamos fuerzas unitarias en el pórtico en los grados de libertad de oscilación: 1, 2, 3 y 4, encontramos para
cada caso un vector de desplazamientos correspondiente. En la Fig. 25b se aprecian las cuatro condiciones de carga
aplicada, con las flexibilidades producidas para cada condición de carga, encontramos la matriz de flexibilidades. En
la siguiente matriz se muestran los grados de libertad de oscilación y los nudos en donde se aplicaron las fuerzas
unitarias.
MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL PORTICO:
Columna de
estado de carga
Nudos
4321
4
3
2
1
4321
0.00056
0.00055
0.00052
0.00036
0.00153
0.00147
0.00123
0.00052
0.00255
0.00227
0.00147
0.00055
0.00345
0.00255
0.00153
0.00056
[ F ] =
4 7 10 13
4
7
10
13
Grados de oscilación
y la matriz inversa de [F], representa la matriz de rigidez de oscilación (lateral) [K], y ésta es:
[ K ] =
-197.25
937.74
-2674.61
1882.89
1349.67
-4291.08
5896.83
-4623.17
6729.42
Simétrica
7700.52
1 2 3 4
1
2
3
4
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
1
14
24
34
1
44

6.3. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE UN SOLO NIVEL
Para comprender mejor el desarrollo matricial posterior se presenta en este punto el análisis tridimensional
para una estructura de un solo nivel que está conformada por varios pórticos. El vector de fuerza restauradora del
pórtico. El vector de fuerza restauradora del pórtico K-ésimo se encuentra con la ecuación.
FpK = KpKDPk (ec - 45)

Dx
Dy
Eje
pórticoK 

 


ME
rd.Sen(
FPK
FEY
FEX
K
DESPLAZAMIENTO DEL PORTICO Kpk EN SU PLANO
PARA UN CONPORTAMIENTO DE DIAFRAGMA RIGIDO
Ver Det. "A"
rd
Dy
Dx
i
C'
C

X'
Y'
X
Y
0'
rd.D
0
C.M.
Donde rdK simboliza la distancia de un
punto cualquiera que pasa por el eje del
pórtico K-ésimo al centro de masa, ß es el
ángulo del pórtico y,  es el ángulo del
vector posición rdK, ambos ángulos se
consideran respecto al eje x.
El vector de fuerzas restauradoras
del pórtico K-ésimo FpK respecto al centro
de masas (ver Fig. 27) se encuentra por
equilibrio en las direcciones (x,y,),
alcanzando a ensamblar el vector total de
fuerzas restauradoras para la estructura
tridimensional:
FEpx FpK cos ßK
{FE} = FEpy = FpK sen ßK
FEp FpK rdK sen (ßK - K)
(ec-47)
Fig. 26 Transformación de coordenadas de
desplazamientos laterales de un pórtico plano
a un sistema de coordenadas globales en el
centro de masas del diafragma rígido (x,y,).
Bajo la asunción de que la losa se
comporta como un diafragma rígido
horizontal, se deduce la relación
puramente geométrica que hay entre los
desplazamientos, DpK, de los pórticos, con
el vector de desplazamientos del centro de
masas de cada piso (Dx,Dy,D)T
de la
(Ver, Fig. 26 arriba y debajo de esta
página) en base a ello establecemos la
siguiente relación para un pórtico K-
ésimo:
DpK=DxcoßK+DysenßK+rdKDsen(ßk-K)
(ec-46)
rd.D.Sen()
EjedelpórticoK
Dy.Sen
Dx.Cos
Componentes del vector de deformación Dpk
DETALLE "A"
Dp
j
jp



Direccion
de
rd
desplazado
Direccion
de
rd
desplazado
y
rotado
C'p





DX
DY
i
rd.D
C'
C
ip
DpK = DxCosK+ DyCosK+ rdKDSen(K-K)

La fuerza restauradora del pórtico K-ésimo en función de la rigidez y desplazamiento lateral (ecuación 46), es:
FpK = KpK DpK = KpK DxcoßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K)
Reemplazando esta expresión en la ec-47, se tiene
FEpx KpK DxcosßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K) cos ßK
FEpy = KpK DxcosßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K) sen ßK (ec-47)
FEp KpK DxcosßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K) rdK sen (ßK - K)
FPK
rd.Sen(

rd


C
Y
Fe
FeY
FeX
EjedelpórticoK
Xc.m.
Fig. 27 Transporte de la fuerza del pórtico k-ésimo FpK al centro de masas de cada piso.
Mediante un arreglo matricial, se logra expresar la ecuación (47) en forma compacta. (Dx, Dy, D)
FEpx cos2
ßK cosßK senßK rdK cosßK sen (ßK-K) Dx
FEpy = KpK senßK cosßK sen2
ßK rdK senßK sen (ßK-K) Dy (ec-47b)
FEp rdK cosßK sen(ßK-K) rdK senßK sen(ßK-K) rdK
2
sen2
(ßK-K) D
Expresando en forma compacta, las fuerzas de los pórticos en el centro de masas, así tenemos:
{FEpK
} = [KK] {D}
De donde la matriz de rigidez total se obtiene mediante la sumatoria de las matrices de todos los pórticos de la
estructura:
N P O R
{FE
} =  {FEpK
} (ec-48a)
K=1
Siendo [K] la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura y, [KK] la matriz de rigidez de un pórtico K-
ésimo respecto al centro de masa.
cos2
ßK cosßKsenßK rdK cosßKsen (ßK-K)
[KK] = KpK senßK cosßK sen2
ßK rdK senßKsen (ßK-K) (ec-47b)
rdK cosßKsen(ßK-K) rdK senßKsen(ßK-K) rdK
2
sen2
(ßK-K)

6.4. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES
El vector de fuerzas restauradoras {FEPK
} de un pórtico K-ésimo es:
{FEPK
} = [KPK
] {DPK
} (ec-48)
Donde, [KPK
] es la matriz de rigidez lateral de pórtico y, {DEPK
} es el respectivo vector de desplazamientos
laterales, expresando en forma matricial y en función de los desplazamientos del centro de masa {Dx}, {Dy}, {D}
que está dado por:
{DPK
} = [cosßK
] {Dx} + [senßK
] {Dy} + [rdK
] [sen(ßK
-K
)] {D} (ec-49)
Donde la matriz [rdK
] simboliza la distancia que hay entre el pórtico K-ésimo con respecto al centro de masas
y, [ [cosßK
], [senßK
], y [ sen(ßK
-K
) ] son matrices que sirven para expresar sus componentes ortogonales. Estas
matrices tienen la siguiente estructura:
Matriz de rigidez de distancias del pórtico K-ésimo.
rd1 0 0 ...... 0 cosß1 0 0 ...... 0
0 rd2 0 ...... 0 0 cosß2
0 ...... 0
[rd]K
= 0 0 rd3 ...... 0 , [cosß]K
= 0 0 cosß3
...... 0
. . . ...... . . . . ...... .
0 0 0 ...... rdM K 0 0 0 . ..... sen ßM K
Matriz de rigidez lateral del pórtico K-ésimo.
k11 k12 k13 .... k1M senß1 0 0 .... 0
k21 k22 k23 .... k2M 0 senß2 0 .... 0
[kp]K = k31 k32 k33 .... k3M , [senß]K
= 0 0 senß3 .... 0
. . . .... . . . . .... .
kM1 kM2 kM3 .... kMM K 0 0 0 .... sen ßM K
sen (ß1-1) 0 0 .... 0
0 sen (ß2-2) 0 .... 0
[ sen ( ß - ) ] K = 0 0 sen (ß3-3) .... 0
. . . .... .
0 0 0 .... sen (ßM-M) K
Donde: M = es el número de pisos.
Las componentes en las direcciones x, y,  del vector de fuerzas laterales de un pórtico K-ésimo con
respecto al centro de masas, se encuentran por equilibrio estático y se expresan en función de las matrices definidas
más arriba.
{FEKx}  [cosßK] [KPK] {DPK}
{FeK} = {FEKy} =  [senßK] [KPK] {DPK} (ec-50)
{FEK}  [rdK] [sen(ßK - K )] [KPK] {DPK}

El vector total de fuerzas restauradoras de la estructura tridimensional, {FE}, se encuentra sumando las
fuerzas restauradoras de todos los pórticos.
N POR N POR
{FE} =  {FEK} = [K] {D} =  [KK] {D} (ec-51)
K=1 K=1
o, expresando en otra forma
{FEy} N POR {Dx}
{FE} = {FEx} =  [KK] {D} , {D} = {Dy} (ec-52)
{FE} K=1
{D}
Donde [KK] representa la a matriz de rigidez tridimensional del pórtico K-ésimo y está dada por la expresión:
[Kxx] [Kxy] [Kx]
[KK] = [Kyx] [Kyy] [Ky] (ec-53)
[Kx] [Ky] [K] K
Cuyas sub matrices transformadas se hallan del siguiente modo:
[Kxx] = [cosßK] [KPK] [cosßK]
[Kxy] = [cosßK] [KPK] [cosßK]
[Kx] = [cosßK] [KPK] [rdK] [cos(ßK-K)]
[Kyx] = [senßK] [KPK] [cosßK]
[Kyy] = [senßK] [KPK] [senßK]
[Ky] = [senßK] [KPK] [rdk] [sen(ßK-K)]
[Kx] = [rdK] [sen(ßK-K)] [KPK] [cosßK]
[Ky] = [rdK] [sen(ßK-K)] [KPK] [senßK]
[K] = [rdK] [sen(ßK-K)] [KPK] [rdK ] [sen (ßK-K)]
Todas estas sub matrices fueron definidas anteriormente.
De la ecuación (51) se deriva la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura.
N POR
[K] =  [KK] (ec-54)
K = 1
6.4.1 CENTRO DE RIGIDEZ RESPECTO AL CENTRO DE MASAS.
El centro de rigidez se calcula en base a los siguientes algoritmos: (ecuaciones 51 a 53).
N POR
{xR} = (  [Kyy] ) -1
{Ky}
K = 1
N POR
{yR} = (  [Kxx] ) -1
{Kx}
K = 1
Donde:
N POR
{Kx} =  [cosßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK}
K = 1

N POR
{Ky} =  [senßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK}
K = 1
[Kxx] y [Kyy] se toman de las matrices de cada pórtico K-ésimo.
O también alternativamente:
N POR
{Kx} =  [cosßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK} {1} = [Kx] {1}
K = 1
N POR
{Ky} =  [senßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK} {1} = [Ky] {1}
K = 1
6.4.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO.
El procedimiento para realizar el análisis tridimensional se resume en los siguientes pasos:
1. Se ensambla el vector de cargas considerando tres GDL por nivel, a saber: (Dx, Dy, D).
2. Se encuentran las masas y el momento de inercia polar en todos los niveles y luego con estos parámetros de
la estructura se ensambla el vector de cargas inerciales por nivel {F}, y por equilibrio de fuerzas y
momentos torsores en planta, se tiene:
{FE}3M x 1 = {F}3M x 1
3. Con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico y los vectores de: posición y su respectivo vector de
director de cada pórtico se procede a encontrar la matriz de rigidez tridimensional [KK], de cada pórtico, la
cual se forma en base a la ecuación (53), posteriormente sumando todas las rigideces espaciales de los
pórticos encontramos la matriz de rigidez tridimensional de la estructura [K], (ec-54).
4. Cálculo del vector de desplazamiento del centro de masas por nivel {D}. Una vez establecida la matriz de
rigidez tridimensional, [K], se procede a calcular su matriz inversa y multiplicándola por el vector de cargas
inerciales por nivel {F} encontramos el vector {D}, es decir:
{D}3M x 1 = [K] -1
M x M {F}M x 1
5. El vector de desplazamientos laterales del pórtico K-ésimo {DpK} se encuentra a partir del vector de
desplazamiento globales y de las matrices diagonales definidas por la ecuación (49), es decir:
{DPK} M x 1 = [cosßK] {Dx} + [sen ßK] {Dy} + [rdK] [sen (ßK - K)] {D}
Este vector pre multiplicando por su respectiva matriz de rigidez lateral de pórtico [KPK], nos proporciona
el vector de fuerzas que el pórtico K-ésimo adsorbe de toda la carga inercial por piso:
{FEK}M x 1 = [KPK]M x M {DPK}M x 1

KK
5
0
0
0
0
900
3700.8
0
3700.8
15217.69









KK
4
0
0
0
0
1500
5382
0
5382
19310.616









KK
3
750
750
3084
750
750
3084
3084
3084
12681.408









KK
2
2400
0
7516.8
0
0
0
7516.8
0
23542.618








KK
1
3000
0
10704
0
0
0
10704
0
38191.872









KK
K
cos K  2
sin K  cos K 
rd
K
cos K  sin K K 
cos K  sin K 
sin K  2
rd
K
sin K  sin K K 
rd
K
cos K  sin K K 
rd
K
sin K  sin K K 
rd
K 2
sin K K  2















Kp
K

Ensable de la Matriz de Rigidez Tridimensional para cada Portico de la Estructura:
Kp
3000
2400
1500
1500
900















0
0
45
90
90















180

270
90
0
180
0















180
rd
3.568
3.132
4.112
3.588
4.112















Portico : K-ésimo
DATOS DE COORDENADAS POLARES Y RIGIDECES DE LOS PORTICOS.
P 10 20 25( )
T

Carga en el centro de masas (Fx, Fy, M )
Analisis Sísmico Tridimensional de un edificio de 1 solo piso y 5 ejes. En la fig. 1 se
muestra el edificio en planta y se proporcionan las rigideces laterales según cada eje.
APLICACION DEL ANALISIS TRIDIMENSIONAL

TonFp
T
3.451 1.056 7.77 8.607 5.898( )
Fp
K
Kp
K
Dp
K

Los esfuerzos que absorben cada pórtico K-ésimo se calculan en base a su matriz de
rigidez lateral y el desplazamiento respectivo y estos son:
mDp
T
0.00115 0.00044 0.00518 0.005738 0.006554( )
Dp
K
Dx cos K  Dy sin K  D rd
K
 sin K K 
Con los desplazamientos del Centro de Masas, es posible encontrar por la condición de
diafragma rígido los desplazamientos de cada pórtico con la expresión:
Dx
Dy
D








0.000772
0.006118
0.000106








D
0.000772
0.006118
0.000106








D KT
1
P
Los desplazamientos del centro de masas se calculan en base a la matriz de rigidez
tridimensional total de la estructura y las cargas que actúan sobre el centro de masas
yr 1.02yr
KT
1 3
KT
1 1
xr 0.445xr
KT
2 3
KT
2 2

El centro de Rigidez con respecto al centro de masas, es:
KT
6150
750
6271.2
750
3150
1402.8
6271.2
1402.8
108944.203








KT
1
5
K
KK
K


La matriz de Rigidez Tridimensional Total de la estructura se calcula sumando todas las
matrices de los pórticos en coordenadas globales (en el centro de masas) son cinco
pórticos y sumando las 5 matrices obtenemos la matriz total, esto es::

Kp
2
1.268 10
4

7.005 10
3

1.518 10
3

186
27
7.005 10
3

1.089 10
4

6.746 10
3

1.473 10
3

150
1.518 10
3

6.746 10
3

1.084 10
4

6.657 10
3

1.245 10
3

186
1.473 10
3

6.657 10
3

1.018 10
4

4.823 10
3

27
150
1.245 10
3

4.823 10
3

3.701 10
3




















Kp
1
2.016 10
4

1.128 10
4

2.789 10
3

363
42
1.128 10
4

1.673 10
4

1.072 10
4

2.698 10
3

299
2.789 10
3

1.072 10
4

1.661 10
4

1.051 10
4

2.218 10
3

363
2.698 10
3

1.051 10
4

1.512 10
4

6.989 10
3

42
299
2.218 10
3

6.989 10
3

5.032 10
3




















Matrices de rigidez lateral de los porticos
 

180
 

180

Y
5.50
0.30
5.50
0
0
0
















X
0
0
0
5.65
0.20
5.65

















0
0
0
90
90
90

















90
270
270
180
180
0
















rd
5.50
0.30
5.50
5.65
0.20
5.65

















donde la fuerza esta expresada
F 5 10 16 21 22 5 11 17 22 23 50 130 190 250 260( )
T

A
I I
0el vector de cargas que se aplica sobre esta estructura es:
K 1 NPJ 1 NI 1 M
NP 6N 3 MM 5
Analisis Tridimensional de edificios con cargas laterales de un edificio de 5 pisos y 5 ejes.
Se conocen las matrices de rigidez lateral de todos los pórticos. Y asumimos que el centro
geometrico de cada losa coincide con el centro de masas de su respectivo piso. Las cargas
actuan sobre la estructura se muestran abajo en forma vectorial y también se muestra en la
Fig. 1. Calcular los desplazamientos del centro de masa (Nudos Independientes) y los
deplazamientos laterales que sufre cada pórticos y las fuerzas que absorbe cada uno de
ellos.
Use Entorno: MathCad 2001
APLICACION DEL ANALISIS TRIDIMENSIONAL 5 niveles

Kp
2
7.005 10
1.518 10
3

186
27
1.089 10
6.746 10
3

1.473 10
3

150
6.746 10
1.084 10
4

6.657 10
3

1.245 10
3

1.473 10
6.657 10
3

1.018 10
4

4.823 10
3

150
1.245 10
3

4.823 10
3

3.701 10
3
















Kp
3
2.016 10
4

1.128 10
4

2.789 10
3

363
42
1.128 10
4

1.673 10
4

1.072 10
4

2.698 10
3

299
2.789 10
3

1.072 10
4

1.661 10
4

1.051 10
4

2.218 10
3

363
2.698 10
3

1.051 10
4

1.512 10
4

6.989 10
3

42
299
2.218 10
3

6.989 10
3

5.032 10
3




















Kp
4
1.901 10
5

1.114 10
5

3.286 10
4

3.672 10
3

374
1.114 10
5

1.574 10
5

1.076 10
5

3.206 10
4

2.908 10
3

3.286 10
4

1.076 10
5

1.566 10
5

1.043 10
5

2.616 10
4

3.672 10
3

3.206 10
4

1.043 10
5

1.273 10
5

5.182 10
4

374
2.908 10
3

2.616 10
4

5.182 10
4

2.821 10
4




















Kp
5
1.901 10
5

1.114 10
5

3.286 10
4

3.672 10
3

374
1.114 10
5

1.574 10
5

1.076 10
5

3.206 10
4

2.908 10
3

3.286 10
4

1.076 10
5

1.566 10
5

1.043 10
5

2.616 10
4

3.672 10
3

3.206 10
4

1.043 10
5

1.273 10
5

5.182 10
4

374
2.908 10
3

2.616 10
4

5.182 10
4

2.821 10
4




















Kp
6
1.901 10
5

1.114 10
5

3.286 10
4

3.672 10
3

374
1.114 10
5

1.574 10
5

1.076 10
5

3.206 10
4

2.908 10
3

3.286 10
4

1.076 10
5

1.566 10
5

1.043 10
5

2.616 10
4

3.672 10
3

3.206 10
4

1.043 10
5

1.273 10
5

5.182 10
4

374
2.908 10
3

2.616 10
4

5.182 10
4

2.821 10
4




















Se transforman las coordenadas de las matrices de rigidez lateral
Kxx
K
Kp
K
cos 
K  2

Kxy
K
Kp
K
cos 
K  sin 
K  
Kx
K
Kp
K
rd
K
cos 
K  sin 
K

K
  
Kyx
K
Kp
K
sin 
K  cos 
K  
Kyy
K
Kp
K
sin 
K  2

Ky
K
Kp
K
rd
K
sin 
K  sin 
K

K
  
Kx
K
Kp
K
rd
K
cos 
K  sin 
K

K
  
Ky
K
Kp
K
rd
K
sin 
K  sin 
K

K
  
K
K
Kp
K
rd
K 2
sin 
K

K
  2






KTxx
1
6
K
Kxx
K

 KTxx
KTxy
1
6
K
Kxy
K


KTxy 
KTx
1
6
K
KxK


KTx 
KTyx
1
6
K
Kyx
K

 KTyx 
KTyy
1
6
K
Kyy
K


KTyy 
KTy
1
6
K
KyK

 KTy 

KTx
1
6
K
Kx
K

 KTx
114684
64141.5
15794.9
2052.3
239.1
64141.5
95282
60983.8
15280.9
1689.5
15794.9
60983.8
94607
59802.1
12572.5
2052.3
15280.9
59802.1
86214
39886.4
239.1
1689.5
12572.5
39886.4
28786.3















KTy
1
6
K
Ky
K


KTy
38020
22280
6572
734.4
74.8
22280
31480
21520
6412
581.6
6572
21520
31320
20860
5232
734.4
6412
20860
25460
10364
74.8
581.6
5232
10364
5642















KT
1
6
K
K
K

 KT
12755520
7458639
2183765
245583
25166
7458639
10562562
7198913
2129900
194836
2183765
7198913
10507819
6981732
1738438
245583
2129900
6981732
8590857
3522372
25166
194836
1738438
3522372
1954747















Ensamble de la matriz de rigidez Tridimesnional en base a las submatrices
KK
KK
i j
KTxx
i j

KK
i j M
KTxy
i j

KK
i j 2 M
KTx
i j

KK
i M j M
KTyy
i j

KK
i M j 2 M
KTy
i j

KK
i 2 M j 2 M
KT
i j

j 1 Mfor
i 1 Mfor
KK

Reflejo de la simetria
KK
dd
j i
KK
i j

dd
i j
KK
i j

j i Nfor
i 1 Nfor
dd


Matriz de rigidez Tridimensional
KK
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
32840 -18285 4307 -549 69 0 -0 0 -0 0 114684 -64141 15795 -2052 239
-18285 27620 -17466 4171 -449 -0 0 -0 0 -0 -64141 95282 -60984 15281 -1690
4307 -17466 27450 -17167 3463 0 -0 0 -0 0 15795 -60984 94607 -59802 12573
-549 4171 -17167 25300 -11812 -0 0 -0 0 -0 -2052 15281 -59802 86214 -39886
69 -449 3463 -11812 8733 0 -0 0 -0 0 239 -1690 12573 -39886 28786
0 -0 0 -0 0 570300 -334200 98580 -11016 1122 -38020 22280 -6572 734 -75
-0 0 -0 0 -0 -334200 472200 -322800 96180 -8724 22280 -31480 21520 -6412 582
0 -0 0 -0 0 98580 -322800 469800 -312900 78480 -6572 21520 -31320 20860 -5232
-0 0 -0 0 -0 -11016 96180 -312900 381900 -155460 734 -6412 20860 -25460 10364
0 -0 0 -0 0 1122 -8724 78480 -155460 84630 -75 582 -5232 10364 -5642
114684 -64141 15795 -2052 239 -38020 22280 -6572 734 -75 12755520 -7458639 2183765 -245583 25166
-64141 95282 -60984 15281 -1690 22280 -31480 21520 -6412 582 -7458639 10562562 -7198913 2129900 -194836
15795 -60984 94607 -59802 12573 -6572 21520 -31320 20860 -5232 2183765 -7198913 10507819 -6981732 1738438
-2052 15281 -59802 86214 -39886 734 -6412 20860 -25460 10364 -245583 2129900 -6981732 8590857 -3522372
239 -1690 12573 -39886 28786 -75 582 -5232 10364 -5642 25166 -194836 1738438 -3522372 1954747

D KK
1
F
D
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0.00689 0.01721 0.02619 0.03241 0.03528 0.00107 0.00331 0.00592 0.00839 0.01054 0.00039 0.0012 0.00215 0.00303 0.00379

Asignamos los desplazamientos a cada vector Dx, Dy y D  del vector de desplazamientos
Del centro de masas D
D KK
1
F
Dx
W
j
D
j

j 1 Mfor
W
 Dy
W
j
D
j M

j 1 Mfor
W
 D
W
j
D
j 2 M

j 1 Mfor
W

Dx
0.006891
0.017206
0.026191
0.032406
0.035278














 Dy
0.001066
0.003308
0.005916
0.008393
0.010535














 D
0.000389
0.001205
0.002147
0.003035
0.003795















Los desplazamientos de cada pórtico K-ésimo, se calcula con la expresión
Dp
K
Dx cos K  Dy sin K  D rd
K
 sin K K 
Dp
1
0.004754
0.010579
0.014381
0.015715
0.014406














 Dp
2
0.007008
0.017568
0.026836
0.033316
0.036416














 Dp
3
0.009028
0.023834
0.038002
0.049097
0.056149















Dp
4
0.001129
0.0035
0.006216
0.008753
0.010905














 Dp
5
0.000989
0.003067
0.005487
0.007786
0.009777














 Dp
6
0.003262
0.010116
0.018049
0.025539
0.031976















Los esfuerzos que absorben cada pórtico K-ésimo serán:
Fp
K
Kp
K
Dp
K

Fp
1
0
0
0
0
0














 Fp
2
1.316595
4.805276
6.572889
9.457014
5.054437














 Fp
3
3.683405
5.194724
9.427111
11.542986
16.945563















Fx
1
3
K
Kp
K
Dp
K


 Fx
T
5 10 16 21 22( )

Matriz de rigidez para miembros con extremos rígidos Estructuras
Tenemos estructuras tipo pórtico (viga-columna) y con muros de corte como podemos apreciar en los figura
1
Figura 1. Estructuras con muros de corte modelo matemático.
Para deducir la matriz nos fijamos en un miembro de una de estas estructuras y tenemos:

Figura .2 Miembro con extremos rígidos (end offsets).
De la figura 2. Sabemos
d L + c L + b L = L
Si: d = b = 0, simplificamos L tenemos que c = 1, entonces el miembro se comportara como una viga sin extremos
rígidos (end offsets), caso contrario el miembro estará sujeto con extremos rígidos para lo cual recurrimos a la
transportación de fuerzas y desplazamiento de los nudos del miembro con zona flexible a los nudos con extremos
rígidos, el cual se establece por equilibrio de fuerzas y geometría para el caso de los desplazamientos, como
demostraremos más adelante:
A) Transportación de fuerzas en nudos de los extremos del miembro
Para Fuerzas en los nudos J y K del miembro estructural, tenemos del gráfico:
f1 = f1*
f2 = f2*
f3 = f2*
.dL + f3*
f4 = f4*
f5 = f5*
f6 = - f5*
.bL + f6*
{f} = [TF] . {f*
} (I)






























































*
*
*
*
*
*
6
5
4
3
2
1
.
1.0000
010000
001000
0001.0
000010
000001
6
5
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
Lb
Ld
f
f
f
f
f
f

B) Transportación de desplazamientos en nudos de los extremos del miembro
{D} = [Td] . {D*
} (II)
De la relación de la fuerza elástica o restauradora del miembro con zonas flexibles se conoce la matriz de rigidez y
lo que se desea como se dijo anteriormente es transportar las fuerzas y desplazamientos al extremo del miembro con
extremos rígidos
{f*
} = [k*
].{D*
}
Reemplazando está en la ec-I, tenemos:
{f} = [Tf].([k*
]{D*
}) (III)
Reemplazando está en la ec-II, tenemos:
{f} = ([Tf].[k*
][Td]-1
){D} (IV)
D1 = D1*
D2 = D2*
- dL.D3*
D3 = D3*
D4 = D4*
D5 = D5* +
bL.D6*
D6 = D6*






























































*
*
*
*
*
*
6
5
4
3
2
1
.
100000
10000
001000
000100
00010
000001
6
5
4
3
2
1
D
D
D
D
D
D
bL
dL
D
D
D
D
D
D

1
0
0
0
0
0
0
1
d L
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
b L
0
0
0
0
0
1




















AE
c L
0
0
AE
c L

0
0
0
12 EI
c L( )
3
6 EI
c L( )
2
0
12 EI
c L( )
3

6 EI
c L( )
2
0
6 EI
c L( )
2
4   EI
c L
0
6 EI
c L( )
2

2   EI
c L
AE
c L

0
0
AE
c L
0
0
0
12 EI
c L( )
3

6 EI
c L( )
2

0
12 EI
c L( )
3
6 EI
c L( )
2

0
6 EI
c L( )
2
2   EI
c L
0
6 EI
c L( )
2

4   EI
c L







































1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
d L
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
b L
1




















1

AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12
c

12
d
L
2
EI
c
3

0
12 
12
EI
c
3
L
2

b




















AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12
EI
c
3
L
3


6 EI
2 d c
c
3
L
2


0
12( )
EI
c
3
L
3


6 EI
2 b c
c
3
L
2


0
6 EI
2 d c
c
3
L
2


EI
L
12 d
2
 12 d c 4 c
2
 c
2

c
3

0
6( ) EI
2 d c
c
3
L
2


EI
L
12 b d 6 d c 6 b c 2 c
2
 c
2

c
3

AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12( )
EI
c
3
L
3


6( ) EI
2 d c
c
3
L
2


0
12
EI
c
3
L
3


6( ) EI
2 b c
c
3
L
2


0
6 EI
2 b c
c
3
L
2


EI
L
12 b d 6 d c 6 b c 2 c
2
 c
2

c
3

0
6( ) EI
2 b c
c
3
L
2


EI
L
12 b
2
 12 b c 4 c
2
 c
2

c
3







































1
1 


6.5 ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS
Consideremos el modelo de masas concentradas cuyas coordenadas tiene como origen el centro de masa
inercial de cada nivel. De este modo se evita el acoplamiento dinámico y la ecuación del movimiento se simplifica.
Aplicando el principio de equilibrio dinámico (D’Alambert) a las masas de la Fig. (28), se halla:
{FI}3M x 1 + {FE}3M x 1 = {0}3M x 1 (ec-55)
Siendo: {FI} = [M] {D} vector de fuerzas inerciales.
{FE} = [K] {D} vector de fuerzas restauradoras.
Sustituyendo en la ecuación (55).
[M] {D} + [K] {D} = {0} (ec-56)
Donde [M] es una matriz diagonal conformada por las sub matrices de masa [M] y de inercia polar [I], según la
siguiente configuración:
RANGO DEL ELEMENTO M I I
[M] [0] [0] 1 . . M
[M] = [0] [M] [0] M + 1 . . 2 x M (ec-57)
[0] [0] [I] N x N 2 x M . . 3 x M
Fig. 28 Modelaje de una estructura tridimensional de 5 niveles.
y [K], la matriz de rigidez tridimensional de 3M x 3M, esta expresada por: (ecuación repetida).

N POR
[K] =  [Kk] (ec-58)
k = 1
En donde [Kk] representa la matriz de rigidez tridimensional del pórtico K-ésimo.
x y  RANGO
[Kxx] [Kxx] [Kx] 1 . . M
[Kk] = [Kyx] [Kyy] [Ky] M + 1 . . 2 x M (ec-59)
[Kx] [Ky] [K] 2 x M . . 3 x M
Cuyas submatrices son de dimensión MxM y fueron definidas en la sección 6.4 (Ref.30).
Posteriormente para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales se emplea el análisis modal.
6.5.1 VALORES PROPIOS Y LOS VECTORES PROPIOS.
Para determinar los valores propios y los vectores propios de la estructura, asumiremos la solución de la
ecuación (55) en la forma:
{Dx} {axo}
{D} = {Dy} = {ao} sen ( wt -  ) = {ayo} sen ( wt -  ) (ec-60)
{De} {aeo}
VECTOR DE AMPLITUDES
Derivando dos veces y sustituyendo la ecuación (60) en la ecuación (56) se obtiene la ecuación matricial
característica.
( [K] - w2
[M] ) {ao} sen ( wt -  ) = {0} (ec-61)
cuya solución no trivial requiere que:
Det [K] - w 2
[M] = O
y que permite hallar n valores propios para la frecuencia circular natural wi; I = 1,2,3, ... n, (n = 3M, y : M= Número
de niveles) de la estructura, reemplazando estos valores propios en la ecuación (57) nos permite encontrar los
vectores propios normalizados que conforman la matriz modal.
w1 w2 w3 ..... wn ---- FRECUENCIAS
ø11 ø12 ø13 ..... ø1N
[ø] = ø21 ø22 ø23 ..... ø2N
ø31 ø32 ø33 ..... ø3N
.. .. .. ..... ..
øN1 øN2 øN3 ..... øNN
En donde: øij = aij / anj , representan los vectores propios.
6.6. RESPUESTA SISMICA DE UNA EXTRUCTURA TRIDIMENSIONAL

La ecuación diferencial del movimiento para el caso de solicitación externa y aceleración sísmica del
terreno tiene la forma.
{FI} + {Fc} + {FE} = { f (t) } (ec-62)
[M] {D+d} + [C] {D} + [K] {D} = { f (t) } (ec-63)
[M] {D} + [C] {D} + [K] {D} = { f (t) } - [M] {d} (ec-64)
donde :
{1} dx
{d} = {1} dy Vector de excitación en la base de la superestructura.
{1} d
{ f (t) } Vector de cargas excitadoras para cada grado de libertad.
Fig. 29 Desplazamientos del centro de masas con respecto a una referencia inercial.
Para resolver la ecuación (64), transformaremos el sistema de coordenadas globales {D} a un sistema de
coordenadas generalizadas {n}, aprovecharemos de la ortogonalidad de los modos de vibración que nos permite
desacoplar las ecuaciones cuyos desplazamientos y velocidades están acoplados. Dicha transformación es: {D}=[ø]
{n}, reemplazando en la ecuación (64), tenemos :

[M] [ø] {n} + [C] [ø] {n} + [K] [ø] {n} = { f (t) } - [M] {d} (ec-65)
pre multiplicando por [ø]T , la ecuación (65), se tiene
[ø]T [M] [ø] {n} + [ø]T [C] [ø] {n} + [ø]T [K] [ø] {n} = [ø]T { f (t) } - [M] {d} (ec-66)
Fig. 30 Fuerzas excitación externa en cada masa inercial, y excitación sísmica en la base.
La transformación conduce a coordenadas generalizadas, cuyas matrices generalizadas resultan ser matrices
diagonales, en consecuencia, se tiene un sistema de ecuaciones desacopladas. Para el caso en que la excitación
externa que actúa en las masas inerciales es nula: { f (t) }={0}, la ecuación (66) para el I-esimo modo de vibración
esta dado por:
* * * * * * *
MI nI + CI nI + KI nI = (  xI dx +  yI dy + I d) MI (ec-67)
* * *
Donde MI, CI y KI, es la masa inercial generalizada, el amortiguamiento generalizado y la rigidez generalizada
respectivamente; para el I-ésimo modo de vibración, y los factores de participación están dados por:
* M * * 2xM * * 3xM *

xI =  øsI Mss / MI , yI =  øsI Ms s / MI , I =  øsI Ms s / MI
s=1 s=M+1 s=2xM+1
La Ecuación (67), se puede simplificar, haciendo las sustituciones:
* * * * *
w1 = KI / MI , v = CI / Cc , CI = 2 MI , w1 v ,
donde :
w1 = Frecuencia natural del modo I-ésimo.
vI = Fracción de amortiguamiento crítico del modo I-ésimo.
Cc = Coeficiente de amortiguamiento crítico de la estructura.
* *
ni (t) + 2 Vi Wi ni (t) + Wi2
ni (t) = - xi dx - yi dx - i d (ec-68)
Entonces la ecuación del movimiento (68), es análoga a la ecuación para el movimiento en el plano, pero
con la diferencia, de que el miembro de la derecha está en función de las tres componentes de la aceleración
excitadora en la base cuya integración requiere de los espectros de respuesta en las tres direcciones.
6.7. RESPUESTA SISMICA DE LA ESTRUCTURA POR EL PROCEDIMIENTO ESPECTRAL
Si se asume que no existe excitación sísmica en la base torsión la ecuación (67) queda así:
* *
nI (t) + 2 VI WI nI (t) + WI
2
NI (t) = -  xI dy -  yI dy (ec-69)
Para encontrar la respuesta de la estructura se aplica el principio de superposición, en cuyo caso solo se
considera la excitación sísmica en una sola dirección para posteriormente calcular la respuesta en la otra dirección.
Por lo tanto, la ecuación (69) queda así:
*
nI (t) + 2 VI WI nI (t) + WI
2
NI (t) = -  UI dU , ( U=x o y )
(ec-69)
Comparada con aquella que se obtiene en el análisis dinámico en el plano, se halla su completa
correspondencia; en consecuencia, su integración es similar.
Se definen como espectros sísmicos de respuesta a las soluciones de la ecuación (70) que dependen de sus
características dinámicas y están definidos como:
SDI = nIA (t) max ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTO
SVI = nIA (t) max ESPECTRO DE VELOCIDAD
SAI = nIA (t) + d max ESPECTRO DE ACELERACION ABSOLUTA
SDI , SVI , SAI , son las ordenadas espectrales que corresponden al modo de vibración Y.

El valor máximo de la solución NIM de la ecuación (70) se puede obtener a partir de la relación:
*
NIM = - xI SUI , I = 1, 2, 3, ..., N, y , U = D, V, A (ec-71)
y la respuesta de la estructura puede calcularse volviendo a transformar las coordenadas generalizadas a coordenadas
globales, con las expresiones utilizadas para el desacoplamiento de las ecuaciones del movimiento. Con la matriz de
transformación evaluamos la respuesta de la estructura:
[D] = [ø] [n] (ec-72)
donde [n] es una matriz diagonal conformada por los elementos de la respuesta para cada modo de vibración. La
matriz de la respuesta inercial para los modos de vibrar, es:
[F] = [M] [D] (ec-73)
donde, las submatrices columna de la matriz [F] representan la respuesta de la estructura para cada modo de
vibración, cuyos elementos nos permiten evaluar la respuesta de la estructura, mediante el empleo de las
probabilidades según Norma Técnica E0.60 de Sismo-Resistencia se computa con la siguiente expresión.
N N
FI RSC =  FI
2
J +  FIJ / 2 (ec-74)
J=1 J=1
6.7.1 ESPECTRO DE DISEÑO DE LA ACELERACION ABSOLUTA (RNC)
El Espectro la Aceleración de diseño proporcionado por la Norma Peruana de Diseño Sismo resistente, es:
ZUSC g
SA = -------- (Espectro del diseño de la aceleración absoluta)
R
donde : C = 2.5(T/Tp) , 0 C  0.40
Ts = Periodo fundamental del suelo: 0.3 seg  Ts  0.9 seg.
T = Periodo de vibración según el modo de vibrar.
Rd = Factor de ductilidad según la dirección de análisis.
U = Factor de uso.
Z = Factor de zona.
S = Factor de magnificación de suelo.

APLICACION DEL ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSIONAL
Ejemplo.- Análisis Sísmico Tridimensional de un edificio de 1 sólo piso y 5 ejes. En la fig. 1e, se muestra el edificio
en planta y se proporcionan las rigideces laterales según cada eje, así mismo, también se proporciona la masa por
unidad de área horizontal (m = M / A = 1.20 Ton-m).
Fig.1e. Planta del Edificio de un solo nivel.
bh3 b = 8 bh3 b = 3
Txx1 = ----- Txx2 = ------
12 h = 7 36 h = 3
SOLUCION :
1. CALCULO DEL CENTROIDE DE LA MASA.
-----------------------------------------------------------------
Sección Xi Yi Ai Xi Ai Yi Ai
-----------------------------------------------------------------
1 4 3.50 56 224 196
2 7 1 -4.5 31.5 4.5
-----------------------------------------------------------------
 51.5 192.5 191.5
_  Xi Ai 192.5
x = ---------- = -------- = 3.738 m.
 Ai 51.5

_  Yi Ai 191.5
x = ---------- = -------- = 3.718 m.
 Ai 51.5
NOTA: El centroide geométrico de la losa generalmente coincide con el centroide de la masa tributaria, por ello se ha considerado así :
2. CARACTERISTICAS GEOMETRICAS Y MASA INERCIAL.
CALCULO DE LAS CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LA LOSA.
------------------------------------------------------------------------------------------
Sección Xi-X Yi-Y (Xi X)2
Ai (Yi Y) 2
Ai Ixxi Iyyi
------------------------------------------------------------------------------------------
1 0.262 -0.218 3.844 2.661 228.666 298.666
2 3.262 -2.718 -47.883 -33.244 -2.250 -2.250
-------------------------------------------------------------------------------------------
 -44.039 -30.583 226.416 296.416
Ixx =  Txxi +  (yi - y)2
Ai = 226.416 - 30.583 = 195.833
Iyy =  Tyyi +  (Xi - x)2
Ai = 296.416 - 44.039 = 252.373
de donde calculamos el momento de inercia polar geométrica de la planta de la losa es:
Ixx = 195.833 M4
Iyy = 252.373 M4 J = Ixx + Iyy = 448.21 M4
y en el momento de inercia polar de masa es igual al producto de la masa por unidad de área por el momento de
inercia polar geométrico.
I = J m = J M / A = 448.21 x 1.20
I = 537.852 Ton-m2
y la masa inercial es:
Mx = My = m A = 1.20 x 51.5 = 61.8 Ton
y con ellos se forma la matriz de masa inercial :
61.8 0 0
[M] = 0 61.8 0
0 0 537.852 3x3
3. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE R IGIDEZ TRIDIMENSIONAL.
Esta matriz es ensamblada en base a la teoría desarrollada en los párrafos anteriores:

CUADRO I
DE LAS COORDENADAS POLARES Y RIGIDECES DE LOS PORTICOS .
------------------------------------------------------------
Pórtico: K rdk[m] Âk ßk Kpk[Ton/m]
------------------------------------------------------------
1 3.568 270° O° 3000
2 3.132 90° O 2400
3 4.112 0° 45 1500
4 3.588 180° 9O 1500
5 4.112 0° 9O 900
------------------------------------------------------------
3.1. Matríz de Rigidez Tridimensional Total de la Estructura.
Estas matrices se ensamblan en base a la ecuación (47b).
Cos¨ß Cosß Senß rdk Cosß Sen (ß-Â)
[Kk] = KpkSenß Cosß Sen¨ß rdk Senß Cosß(ß-Â)
rdk Cosß Sen(ß-Â) rdk Senß Sen(ß-Â) rd¨k Sen¨(ß-Â) k
reemplazando en esta ecuación por los valores presentados en el cuadro de coordenadas polares y rigideces de los
pórticos, obtenemos, las matrices de los pórticos en tres dimensiones:
1 0 +3.568
[K1] = 3000 0 0 0 (pórtico 1).
3.568 0 12.731
1 0 +3.132
[K2] = 2400 0 0 0 (pórtico 2).
-3.132 0 9.809
0.5 0.5 2.056
[K3] = 1500 0.5 0.5 2.056 (pórtico 3).
2.056 2.056 8.454
0 0 0
[K4] = 1500 0 1 -3.588 (pórtico 4).
0 -3.588 12.874
0 0 0
[K5] = 900 0 1 4.112 (pórtico 5).
0 4.112 16.909
y la matriz de rigidez tridimensional total de la estructura se calcula sumando todas las matrices de los pórticos; es
decir:
s 6150 750 6271.2
[K] = ð [Kk] = 750 3150 1402.8
k=1 6271.2 1402.8 108944.7
4. CENTRO DE RIGIDEZ.

El centro de Rigideces se calcula en base a la matriz de rigidez tridimensional total de la estructura
(aplicando al ecuación de la sección 6.4.1), tenemos :
+ 1042.8
Xr = --------- = + 0.445 m.
3150
- 6271.2
Yr = --------- = - 1.020 m.
6150
Fig. 2e Centro de Rigidez de la Estructura.
5) ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO TRIDIMENSIONAL DE LA ESTRUCTURAL.
El vector de fuerzas restauradoras se equilibra con el vector de fuerzas inerciales y de
amortiguamiento; esto es:
[M] ( {D}+{d}) + [C]{D} + [K]{D} = {O}
[M]{D} + [C]{D} + [K]{D} = -[M]{d}
Esta ecuación matricial, contiene un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, cuya solución se
encuentra por el método espectral y el desacoplamiento de las ecuaciones se realiza mediante el análisis modal.
Los desplazamientos, la velocidad y la aceleración del centro de masas de la estructura, tienen la siguiente
configuración:
Dx Dx Dx
{D} = Dy {D} = Dy {D} = Dy
De De De
el vector de aceleración del terreno {d}, es:
dx
{d} = dy
de

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