Ejercicio resuelto de microeconomía, manejando los conceptos de excedente del consumidor, excedente del productor y equilibrio del mercado

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La oferta y demanda de un producto vienen dadas por las siguientes funciones:
P = 52 + 2x
P = 100 – x2
Se pide:
Determinar el punto de equilibrio analítica y gráficamente.
Determinar el excedente del consumidor.
Determinar el excedente del productor.
IMPORTANTE: Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede
ver los vídeos correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
SOLUCIÓN:
En el equilibrio la cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada, al precio de
equilibrio. Ese precio en el que se produce esa igualdad es único. Por ello, podemos
igualar ya sean las cantidades (x) o los precios (p).
En este ejercicio, resulta más fácil igualar los precios, por la forma en la que nos han
dado las funciones;
52 + 2x = 100 – x2
Obtenemos por tanto, ordenando los términos, una función de segundo grado:
x2 + 2x – 48 = 0
Se puede apreciar a simple vista que las dos raíces de esta ecuación son 6 y – 8,
pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la x
es la suma de ambas cambiado de signo.
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Resolvemos no obstante de la forma más tradicional por si alguien no lo había
visto aún de esa manera inmediata:
;
;
las
dos
posibles soluciones
por
consiguiente son x = 6 y x = – 8.
Matemáticamente es posible que la oferta y la demanda se corten, como en este
caso, para valores negativos (– 8). Económicamente, sin embargo, es imposible producir
– 8 unidades; la solución por tanto es x = 6.
Sustituyendo este valor, ya sea en la función de oferta, ya sea en la de demanda,
obtenemos el precio de equilibrio:
P = 52 + 2x = 52 + 2·6 = 64 u.m.
Gráficamente tendremos:
P
O
64
52
D
-8
6
P1
x
P1
Lógicamente, todo lo representado a la izquierda del eje de ordenadas no tiene
P
1
sentido económico –no se pueden producir unidades negativas-, pero es el resultado de
las funciones matemáticas que P2 dan.
nos
P2
Para obtener el punto en el que la función de oferta corta en el eje de ordenadas
basta con dar el valor cero a la cantidad en dicha función de oferta:
P2
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P1
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P1

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P = 52 + 2·x = 52.
El cálculo del excedente del productor es muy sencillo, pues se trata del área del
triángulo que queda entre el eje de ordenadas, la función de oferta y el precio de
equilibrio:
P
O
64
E.P.
52
D
-8
6
P1
x
P1
E.P. = (6 · 12)/2 = 36 u.m.
P1
Para calcular el excedente del consumidor debemos recurrir a realizar una
P
integral, pues se trata del área2 comprendida entre la función de demanda, el eje de
ordenadas y el precio de equilibrio:
P2
P
P2
P1
O
P1
E.C.
64
52
P2
D
-8
P1
P2
6
x
P1
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P1

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El excedente del consumidor se calculará por tanto como la integral entre cero y
seis de la función de demanda, menos el área que queda por debajo del precio de
equilibrio en ese intervalo:
E.C. =
) dx – 64 · 6 = (100x –
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)
– 384 = 600 – 72 – 384 = 144 u.m.
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