Uma Iniciação às Equações Diferenciais
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matemática
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Por que?
Formas de modelagem
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Classical Mechanics
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Diferenças?
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Diferenças?
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Equações diferenciais estocásticas (simpep 2015)

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Entre as maiores revoluções do século vinte jaz a mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica. A motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas. Umas das maiores questões não-respondidas do século vinte - que continua até os tempos atuais - com raízes no século dezoito e dezenove, encontrar-se na natureza da nossa realidade. Determinística ou estocástica? Modelos estocásticos já é parte da grande área chamada Pesquisa Operacional. Evolução significa em todos os sentidos. "Deus não joga dados". Em biologia Deus joga dados "e nos chama para jogar juntos". A diferença entre mecânica quântica e biologia reside no fato de que em mecânica quântica, teoricamente, mesmo que se aumente a precisão de equipamentos, o princípio da incerteza, de Heisenberg, no diz que ainda assim teríamos incertezas; ao passo que em biologia essa incerteza nasce da nossa "incompetência" como cientistas. Estudos em probabilidade, que culminaram em tanto na teoria estocástica atual como modelou nossa forma de "ver" o mundo, matematicamente, começou com o cientista italiano Gerolamo Cardano no século dezesseis. Durante o século dezoito, probabilidade começa notavelmente a mudar de configuração, o que culminou na nossa visão contemporâneo de aleatório. Existe a necessidade de haver um cálculo estocástico. Para algumas aplicações, previsibilidade se tornou uma relíquia do passado. O sucesso de cada modelagem, ou seja, determinística ou estocástica, depende do quão a componente estocástica contribui para o processo como um tudo. Modelagens estocásticas abrolham tanto da inépcia temporária e espacial de entender o processo posto diante de nós como pendência teórica.

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Equações diferenciais estocásticas (simpep 2015)

  1. 1. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática Trabalho a ser apresentado, SIMPEP 2015, Bauru, São Paulo, Brasil Apoio&Financiamento Università degli Studi dell’Aquila Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell’Informazione e Matematica Jorge Guerra Pires, Doutorando Departamento: Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila Área: Biomathematics Outro: Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.
  2. 2. Trabalho possivelmente correlacionado ssão Temática 04 - Sala Netuno • 6 - PESQUISA OPERACIONAL Título:AGREGAÇÃO DE ESTADOS PARA O MODELO HIPERCUBO Sub-área: 6.3 - Processos Estocásticos Autor(es):• CAIO VITOR BEOJONE • REGIANE MÁXIMO DE SOUZA Apresentador(es): • CAIO VITOR BEOJONE
  3. 3. Os porquês? Por que nossa realidade é imprecisa, mas modelos usando cálculo determinístico? Por que o cálculo determinístico surgiu primeiro, mesmo hoje sendo tão limitado? Por que a matemática do cálculo estocástico é mais complicada? Por que as bases do cálculo estocásticos tiveram de esperar pelo século passado?...... Por os Estados Unidos e Europa são «superiores»? ?
  4. 4. Pessoas? Albert Einstein (1905) Robert Brown (1827) vê movimentos «estranhos» de polens Louis Bachelier (1900) Marian Smoluchowski (1906)
  5. 5. Por que? Formas de modelagem Velocity Mass Classical Mechanics Relativistic MechanicsRelativistic- Quantum Mechanics Quantum Mechanics ? Dimensions Mass Super String Theory? General Theory of RelativityClassical Mechanics Quantum Mechanics ?
  6. 6. Por que? Formas de modelagem Traditional Moderna Equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, equações diferençais integrais, equações de diferenças, equações com retardos, equações aleatórias..... Aprendizado de máquina, redes neurais, lógica nebulosa, algoritmos evolutivos, simulações ad hoc,....
  7. 7. Diferenças? Função exponencial, ex. Morte e nascimento.  dtxfdx     dWxgdtxfdx 
  8. 8. Diferenças? Função exponencial, ex. Morte e nascimento. 2 1 nnnn baYY 
  9. 9. Vídeos.
  10. 10. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. Resumo. Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito. Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade. Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção. Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da Ciência; Estatística.
  11. 11. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito. Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade. Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção. Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da Ciência; Estatística. Resumo.
  12. 12. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito. Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade. Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção. Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da Ciência; Estatística. Resumo.
  13. 13. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito. Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade. Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção. Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da Ciência; Estatística. Resumo.
  14. 14. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. Entre as maiores revoluções do século vinte jaz na mutação de como se vê e modela a realidade que nos rodeia. Iniciamos de uma realidade imprecisa, para então uma realidade previsível com cientistas como Laplace e Einstein, para então uma realidade estocástica, com cientistas como Ito. Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudança na forma de pensar que aconteceu nas ciências aplicadas e teórica, dissertar-se sobre o cálculo estocástico, produto do século vinte, mas com raízes no século dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se métodos tanto analíticos como numéricos para resolver problemas matemáticos que nascem desta mentalidade. Algumas referências são deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho é chamar a atenção de cientistas em geral para a área de modelagem estocástica, e a motivação é a aparente falta de interesse pela modelagem estocástica por cientistas de algumas áreas, com engenharia de produção. Palavras-chaves. Cálculo Estocástico; Modelos Estocásticos; Evolução do Pensamento cientifico; História da Ciência; Estatística. Resumo.
  15. 15. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1. Introdução Umas das maiores questões não-respondidas do século vinte - que continua até os tempos atuais - com raízes no século dezoito e dezenove, encontrar-se na natureza da nossa realidade: determinística ou estocástica? Por determinística, diz-se que ao se repetir um experimento várias vezes- dado que se tome os devidos cuidados de se manter as mesmas condições (condições iniciais, parâmetros, variáveis de estado e etc.) para todos os experimentos-, obter-se-ia os mesmos valores. Um caso fácil de se visualizar, mas tendencioso, equivale a resolver numericamente uma equação diferencial ordinária repetidamente, ou mesmo calcular ótimos de funções sobrepondo métodos como gradiente, assumindo-se que se inicie sempre do(s) mesmo(s) valor(es) inicial(is).
  16. 16. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.2 Fatores históricos e filosóficos As investigações de Einstein no movimento browniano institui um dos pontos mais supinos na longa reminiscência de averiguações na teoria cinética do calor, hoje asilada no meio acadêmico de forma visivelmente unânime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo. Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda" (tendência), em estudos de flutuações em fenômenos como um novo campo da física. Seus métodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfícies, abriram caminhos para a termodinâmica estatística, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e uma teoria geral de processos estocásticos (STACHEL, 1998; tradução livre).
  17. 17. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.2 Fatores históricos e filosóficos As investigações de Einstein no movimento browniano institui um dos pontos mais supinos na longa reminiscência de averiguações na teoria cinética do calor, hoje asilada no meio acadêmico de forma visivelmente unânime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo. Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda" (tendência), em estudos de flutuações em fenômenos como um novo campo da física. Seus métodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfícies, abriram caminhos para a termodinâmica estatística, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e uma teoria geral de processos estocásticos (STACHEL, 1998; tradução livre).
  18. 18. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.2 Fatores históricos e filosóficos As investigações de Einstein no movimento browniano institui um dos pontos mais supinos na longa reminiscência de averiguações na teoria cinética do calor, hoje asilada no meio acadêmico de forma visivelmente unânime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo. Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda" (tendência), em estudos de flutuações em fenômenos como um novo campo da física. Seus métodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfícies, abriram caminhos para a termodinâmica estatística, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e uma teoria geral de processos estocásticos (STACHEL, 1998; tradução livre).
  19. 19. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.3 Organização do trabalho Este trabalho é dividido em duas partes, a primeira já apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na primeira parte, discussões de caráter geral, tanto históricas quanto filosóficas, foram posicionadas. Na segunda parte, procura-se mostrar pontos importantes do cálculo estocásticos, mas ainda iniciais. Leitores interessados em materiais completos, com discussões avançadas em modelos estocásticos, são convidados a consultar a literatura; existe um número considerável de materiais, por exemplo Scott (2013) é uma referência de livre acesso e "em termos simples". Infelizmente, a maioria são para "matemáticos". Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado é chamar a atenção para a área, para engenharias mais focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicação de livros sobre cálculo estocástico para leitores mais focados a aplicações, sem formação, ou mesmo interesse, em matemática teórica.
  20. 20. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.3 Organização do trabalho Este trabalho é dividido em duas partes, a primeira já apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na primeira parte, discussões de caráter geral, tanto históricas quanto filosóficas, foram posicionadas. Na segunda parte, procura-se mostrar pontos importantes do cálculo estocásticos, mas ainda iniciais. Leitores interessados em materiais completos, com discussões avançadas em modelos estocásticos, são convidados a consultar a literatura; existe um número considerável de materiais, por exemplo Scott (2013) é uma referência de livre acesso e "em termos simples". Infelizmente, a maioria são para "matemáticos". Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado é chamar a atenção para a área, para engenharias mais focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicação de livros sobre cálculo estocástico para leitores mais focados a aplicações, sem formação, ou mesmo interesse, em matemática teórica.
  21. 21. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.3 Organização do trabalho Este trabalho é dividido em duas partes, a primeira já apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na primeira parte, discussões de caráter geral, tanto históricas quanto filosóficas, foram posicionadas. Na segunda parte, procura-se mostrar pontos importantes do cálculo estocásticos, mas ainda iniciais. Leitores interessados em materiais completos, com discussões avançadas em modelos estocásticos, são convidados a consultar a literatura; existe um número considerável de materiais, por exemplo Scott (2013) é uma referência de livre acesso e "em termos simples". Infelizmente, a maioria são para "matemáticos". Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado é chamar a atenção para a área, para engenharias mais focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicação de livros sobre cálculo estocástico para leitores mais focados a aplicações, sem formação, ou mesmo interesse, em matemática teórica.
  22. 22. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.3 Organização do trabalho Equações diferenciais estocásticas constituem apenas um aspecto dos modelos estocásticos. Por exemplo, modelos em Arena® seriam um exemplo "simples"; nestes casos não se faz uso de equações, mas sim de funções probabilísticas, com parâmetros originados de experimentos em sistemas reais, observações durante um período de tempo, cada simulação não surge de uma equação como em equações diferenciais estocásticas, mas sim de um "sistema aleatório", "roleta", como jogar uma moeda toda vez que se tem dúvida, e valer-se do valor para decidir qual a próxima decisão a ser tomada.
  23. 23. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 1.3 Organização do trabalho Equações diferenciais estocásticas constituem apenas um aspecto dos modelos estocásticos. Por exemplo, modelos em Arena® seriam um exemplo "simples"; nestes casos não se faz uso de equações, mas sim de funções probabilísticas, com parâmetros originados de experimentos em sistemas reais, observações durante um período de tempo, cada simulação não surge de uma equação como em equações diferenciais estocásticas, mas sim de um "sistema aleatório", "roleta", como jogar uma moeda toda vez que se tem dúvida, e valer-se do valor para decidir qual a próxima decisão a ser tomada.
  24. 24. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 2. Alguns modelos Modelo Matemático Observação Este processo é padrão em EDE e se chama Processo de Ornstein– Uhlenbeck. O processo de Ornstein–Uhlenbeck é um processo estocástico que descreve a velocidade de uma partícula browniana com massa sobre a influência de atrito. Este processo é um processo de Markov, estacionário e Gaussiano; essas propriedades facilitam a matemático, formulação do problema matematicamente, este é o único processo estocástico conhecido com todas essas propriedades. Ainda mais, esse processo é uma EDE linear, com solução "em forma de receita de bolo".
  25. 25. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 2. Alguns modelos Modelo Matemático Observação Processo de Ornstein–Uhlenbeck, segundo exemplo.
  26. 26. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 3. Exemplos de modelos com solução analítica O processo de Ornstein–Uhlenbeck é simples o suficiente para ser facilmente entendido, e geral o bastante para ser aplicável a casos reais, posto desta forma, esse modelo será discutido. 00 ))()(())()(( YY dWYtftedtYtdtcdY t tttt    Equação diferencial estocástica linear
  27. 27. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 3. Exemplos de modelos com solução analítica          t s t t dWsetdssesftctYtY 0 1 0 1 0 )()()()()()()(             s tt dWsfds sf sdt 00 )( 2 )²( )(exp)( Solução fundamental.
  28. 28. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 3. Exemplos de modelos com solução analítica Processo de Ornstein–Uhlenbeck. ttt dWdtXdX   )(    t s tstt t dWeeeXX 0 )( 0 )1(  
  29. 29. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 4. Soluções numéricas Como no cálculo determinístico, mas com grau de avanço diferente, o calculo estocástico possui métodos numéricos, que são usados na maior parte do tempo. Mesmo para o cálculo determinísticos precisamos usar na maior parte do tempo métodos numéricos, mas a diferença se encontra na qualidade dos métodos numéricos; por exemplo, não existe Runge-Kutta para EDE, um método relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs. Como no cálculo determinística, o método mais simples é o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder de forma equivalente ao cálculo determinístico, mas em vez de aplicar a expansão de Taylor, faz-se uso da fórmula de Ito. Uma segunda opção é o método de Milstein, que seria o equivalente dos métodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e Platen (1999) para discussões.
  30. 30. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 4. Soluções numéricas Como no cálculo determinístico, mas com grau de avanço diferente, o calculo estocástico possui métodos numéricos, que são usados na maior parte do tempo. Mesmo para o cálculo determinísticos precisamos usar na maior parte do tempo métodos numéricos, mas a diferença se encontra na qualidade dos métodos numéricos; por exemplo, não existe Runge-Kutta para EDE, um método relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs. Como no cálculo determinística, o método mais simples é o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder de forma equivalente ao cálculo determinístico, mas em vez de aplicar a expansão de Taylor, faz-se uso da fórmula de Ito. Uma segunda opção é o método de Milstein, que seria o equivalente dos métodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e Platen (1999) para discussões.
  31. 31. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 4. Soluções numéricas Como no cálculo determinístico, mas com grau de avanço diferente, o calculo estocástico possui métodos numéricos, que são usados na maior parte do tempo. Mesmo para o cálculo determinísticos precisamos usar na maior parte do tempo métodos numéricos, mas a diferença se encontra na qualidade dos métodos numéricos; por exemplo, não existe Runge-Kutta para EDE, um método relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs. Como no cálculo determinística, o método mais simples é o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder de forma equivalente ao cálculo determinístico, mas em vez de aplicar a expansão de Taylor, faz-se uso da fórmula de Ito. Uma segunda opção é o método de Milstein, que seria o equivalente dos métodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e Platen (1999) para discussões.
  32. 32. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 5. Estudo de caso: Preço de Estoque p dt dp  tttt dWpdtpdp   Versão determinística de uma exponencial Versão Estocástica de uma exponencial
  33. 33. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 5. Estudo de caso: Preço de Estoque tttt dWpdtpdp                tWpp tt 2 exp 2 0  
  34. 34. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 5. Estudo de caso: Preço de Estoque
  35. 35. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 5. Estudo de caso: Preço de Estoque
  36. 36. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 6. Conclusões e considerações finais Neste trabalho, discerniu-se sobre o cálculo estocástico como rota de investigar sistemas estocásticos, que abundantemente são modelados empregando-se cálculo determinístico. O sucesso de cada modelagem, ou seja, determinística ou estocástica, depende do quão a componente estocástica contribui para o processo como um tudo. Modelos estocásticos podem nascer de sistemas determinísticos, por exemplo, quando se negligencia, por falta de conhecimento ou escolha, variáveis de estado; ver Tabak (2004) para algumas discussões nesta direção.
  37. 37. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. 6. Conclusões e considerações finais Infelizmente, com o passar do tempo, menos se sabe da natureza que nos cerca, mas como alguns asseveraram, "estamos mais perdidos do que nunca, mas agora com um grau maior de astúcia". Modelagens estocásticas abrolham tanto da inépcia temporária e espacial de entender o processo posto diante de nós como pendência teórica, como o principio de Heisenberg. Independente do motivo, o cálculo estocástico, desenvolvido nomeadamente no século vinte e vinte e um, principalmente devido à demanda de reformar o cálculo clássico, tem sido uma opção. Outras formas existem, como "força brutal", um exemplo são modelos em Arena®, bem conhecido em engenharia de produção.
  38. 38. Uma Iniciação às Equações Diferenciais Estocásticas: discussões e insights sem minudência matemática J. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome. Referências EDELSON, E. Gregor Mendel: And the Roots of Genetics. Oxford University Press, 1999. EINSTIEN, A. On the Motion of Small Particles Suspended in Liquids at Rest Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat. 1905. In: J. Stachel. Einstein’s Miraculous Year. Princeton University Press: 1998. EVANS, L.C. An Introduction to Stochastic Differential Equations, Version 1.2, online: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.299.5323&rep=rep1&type=pdf. Acessado em Junho, 2015. KLOEDEN, P.E.; PLATEN, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equation. Applications of Mathematics. Stochastic modelling and applied probability. Springer: 1999. PICCHINI, U. SDE Toolbox Simulation and Estimation of Stochastic Differential Equations with Matlab. 2007. Online: http://sdetoolbox.sourceforge.net/. Acessado em 20 Junho 2015. SCOTT, M. Applied Stochastic Processes in science and engineering. 2013. Online: http://www.math.uwaterloo.ca/~mscott/Little_Notes.pdf. Acessado em 20 Junho 2015. SEN, R.P. Operations Research: algorithms and applications. PHI Learning Private Limited: 2010. STACHEL, J. Einstein’s Miraculous Year: Five Papers That Changed the Face of Physics. Princeton University Press: 1998. STIGLER, S. M. The history of statistics: the measurement of uncertainly before 1900. Present and Fellows of Harvard College: 1986. TABAK, J. Probability and Statistics: the science of uncertainty. The History of Mathematics. Facts on File Inc.: 2004. WINSTON, W. L. Operation Research: application and algorithms. Third edition, 1996.
  39. 39. Encontre-me & Contate-me & Conecte Site: http://www.jgpires.com/ Facebook: https://www.facebook.com/people/Jorge-Guerra-Pires/100001592477098 Linkedin: https://www.linkedin.com/pub/jorge-pires/21/44a/a55 ResearchGate: http://www.researchgate.net/profile/Jorge_Pires5 Academia edu: http://univaq.academia.edu/JorgePires Blog: http://www.jorgeguerrapires.blogspot.it/ Google+ : https://plus.google.com/103247441160261100262/posts Youtube: https://www.youtube.com/user/jorgeguerrabrazil jorge.guerrapires@graduate.univaq.it Jorge Guerra Pires

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