Parábola

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Estudo sobre Parabola. Definição, Exercicios Resolvidos e aplicação pratica.

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Parábola

  1. 1. Parábola Trabalho de Matemática Asaph Vinicius Cesar Augusto Felipe Barbato Gabriel Balthazar Gabriel Romão Jhonatan Tomaz Jorge M. Abdalla Ricardo Soares
  2. 2. Definição Geométrica • Parábola é uma curva cônica; • Formada com os pontos que pertencem simultaneamente a um cone e a um plano que o cortou. 2
  3. 3. Regra • Suponha um eixo d vertical e dois pontos F e V, de acordo com a representação: • A distância entre a reta vertical d e o ponto V deve ser a igual à distância entre os pontos V e F. Determinaremos uma sequência de pontos os quais deverão estar à mesma distância de F e d. Observe: • A parábola é formada pela união de todos os pontos do plano que estão à mesma distância do ponto F (foco) e da reta vertical d. 3
  4. 4. Estrutura • FOCO: É o ponto fixo da parábola • EIXO: É o eixo de simetria da parábola • DIRETRIZ: É a reta que dá a condição a uma curva ser uma parábola • VÉRTICE: É o ponto que a parábola tem em comum com o eixo 4
  5. 5. Formulas • A equação de uma parábola depende da posição da reta diretriz; • Pode ser paralela ao eixo y ou ao eixo x; • A equação também depende da localização do foco, que pode estar à direita, à esquerda, acima ou abaixo da reta diretriz. 5
  6. 6. Foco à direita • y² = 2px 6
  7. 7. Foco à direita • O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e foco (x0 + p/2, y0) (Imagem Anterior). • A equação da reta diretriz é x = x0 - p/2 ou x - x0 + p/2 = 0. Sabemos que a distância de um ponto qualquer P = (x, y), que pertença a essa parábola, até o foco é igual a distância de P até a reta d. • Assim: • Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos: • Desenvolvendo essa expressão obtemos a equação da parábola: • (y - y0)² = 2p×(x - x0) ou y2 = 2px 7
  8. 8. Foco à esquerda • y² = -2px 8
  9. 9. Foco à esquerda • O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e o foco é (x0 - p/2, y0) (Imagem anterior). • A equação da reta diretriz é x = x0 + p/2 ou x - x0 - p/2 = 0. • Tomando um ponto qualquer P = (x, y), pertencente a essa parábola, temos: • Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos: • Desenvolvendo essa expressão obtemos a equação da parábola: • (y - y0)² = - 2p×(x - x0) ou y² = -2px 9
  10. 10. Foco acima • x²=2py 10
  11. 11. Foco acima • O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e o foco é (x0, y0 + p/2) (Imagem anterior). • A equação da reta diretriz é y = y0 - p/2 ou y - y0 + p/2 = 0. Sabemos que a distância de um ponto qualquer P = (x, y), que pertença a essa parábola, até o foco é igual a distância de P até a reta d. • Assim: • Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos: • Simplificando essa expressão obtemos a equação da parábola: • (x - x0)² = 2p×(y - y0) ou x²=2py 11
  12. 12. Foco abaixo • x²= - 2py 12
  13. 13. Foco abaixo • O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e seu foco é (x0, y0 - p/2) (Imagem anterior). • A equação da reta diretriz é y = y0 + p/2 ou y - y0 - p/2 = 0. • Considerando um ponto qualquer P = (x, y) pertencente a essa parábola, temos: • Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos: • Simplificando essa expressão obtemos a equação da parábola: • (x - x0)² = - 2p×(y - y0) ou x²= - 2py 13
  14. 14. Exercícios resolvidos • Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) = 2x²– 4x + 6. • Solução: Analisando a função f(x) = 2x² – 4x + 6, obtemos: • a = 2, b = – 4 e c = 6 • Segue que: 14
  15. 15. • Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x² + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros. 15 Exercícios resolvidos
  16. 16. • Solução: • Temos que: • a = – 9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos: • Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros. 16 Exercícios resolvidos
  17. 17. • Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna 17 Exercícios resolvidos
  18. 18. Exercícios resolvidos • Solução: Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações, observe: • Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador, nesse caso item (II) • Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item (V) • Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y², item (I) • Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV) • Parábola: temos só x² ou só y², item (III) • Resposta: I, IV, II, V e III 18
  19. 19. Aplicações práticas 19
  20. 20. Faróis de carros • Ao ligar faróis de carro, os raios de luz, provenientes da lâmpada que se encontra no foco da parábola, incidem num espelho parabólico e são refletidos paralelamente ao eixo de simetria 20
  21. 21. Antenas parabólicas • Ela reflete o sinal vindo do espaço, que vem em todas as direções, para o centro da antena 21
  22. 22. Pontes Pênseis 22
  23. 23. Lançamentos de projéteis 23
  24. 24. Conclusão • A importância da parábola em diversos segmentos; • A variável aplicação; • Não é apenas mais um calcula matemático chato. 24

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