DIGNITAS INFINITA - DIGNIDAD HUMANA; Declaración del dicasterio para la doctr...
Metodo de ecuaciones diferenciales
1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENZA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA NUCLEO: EDO. LARA UNEFA Ecuaciones Diferenciales INTEGRANTES: *Oviedo Nairocknis *Peña Sergio *Sanchez Joonser *Suarez Daniel Secc.: 5t3is
2. Método de Euler Es la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de variables , que dependen de . Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma: Escogiendo un paso de t pequeño se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de en el tiempo se necesitan conocer en el tiempo t. La fórmula sería: Entonces para averiguar los valores de a cualquier t basta conocer sus valores iniciales (condiciones iniciales a y resolviendo iterativamente con un paso hasta llegar a ese valor de t. http://www.youtube.com/watch?v=aB8_x7szgMA
3. Método de Taylor Este método utiliza la expansión de Taylor alrededor de un punto y puede alcanzar cualquier orden de error que se desee. La expansión de Taylor en un punto es: podemos estimar los valores de y(x) truncando el desarrollo de Taylor. Por ejemplo, si consideramos la aproximación hasta el termino de grado 1 en h; es decir, y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h " (usando la E.D.O.) " y(˜x + h) ! y(˜x) + hf (˜x, y(˜x)) es fácil deducir el método de Euler. Por tanto, el método de Euler es un método de aproximación de orden 1.
4. Método de taylor de orden 2 Para obtener un método de orden 2 podemos considerar el desarrollo de Taylor truncado en el termino de h². Más concretamente, usando la aproximación y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h + y!!( ˜x)h²/2 se obtiene un nuevo método de aproximación; a saber: y0 = y(a) yk+1 = yk + hy!k + h²/2 y!! k para k = 0, 1, . . . , n − 1 donde los valores de y!k e y!! k que aparecen en la expresión anterior se calculan desde la ecuación diferencial del P.V.I. como sigue: y!k = f (xk, yk) y!! k = f!x (xk, yk) + f!y (xk, yk) y!k http://www.ugr.es/~lorente/APUNTESMNQ/cap22.pdf Ejemplo
5. Método de Runge-Kutta Es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica: Donde: i = 1,..., e Con aij,bi,ci constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,..., e, los esquemas son explícitos.
6. Ejemplo: Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = tn y otra en t = tn + Δtn. F (u, t) en la primera etapa es: y para estimar F (u, t) en t = tn + Δtn usamos un esquema Euler Con estos valores de F introducidos en la ecuación nos queda la expresión: Las constantes propias de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c2 = 1. Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg). http://www.youtube.com/watch?v=Tsg7wTdvtLs
7. Ecuaciones Diferenciales de orden superior. http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/6%20-%20Ecuaciones%20Diferenciales%20de%20Derivadas%20Parciales.pdf http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2006A/EcDifOrdSupA06.pdf