Algoritmos de Propagación - Capi 7 Apt.

1. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones PROGRAMACION POR RESTRCCIONES ALGORITMOS DE PROPAGACI ÓN CAPITULO 7 APT K. Jhon Trujillo Universidad Del Valle - Cali jhon.trujillo@univalle.edu.co - jhon.murdock@gmail.com 29 de mayo de 2014

2. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Plan Introducción Fundamentos Formales Discretos Relaciones Binarias Ordenamiento Parcial Iteración Estabilización Conmutatividad Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos para Ordenes Parciales Arbitrarios Algoritmos para Dominios Compuestos Algoritmos de Propagación de Restricciones Generalidades Algoritmo para Nodo-consistencia Algoritmo para Hiper arco-consistencia Algoritmo para Arco-consistencia Direccional Algoritmo para Ruta-consistencia Algoritmo para Ruta-consistencia Direccional

7. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Propagación De Restricciones Dado un problema de satisfacción de restricciones (CSP): • Propagar : La idea es reducir repetidamente las restricciones y los dominios del CSP hasta llegar a un CPS localmente consistente. • Algoritmos de propagación de restricciones: Consisten en la planificación de los pasos atómicos(iteraciones) de reducción. • El criterio de parada es alguna noción de consistencia local. • Los algoritmos de propagación de restricciones son presentados como casos especiales de algoritmos genéricos de iteración.

11. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Introducción • Los algoritmos que logran consistencia locales se llaman algoritmos de propagación sobre restricciones. • Vamos a ver varios algoritmos de propagación sobre restricciones. • Usando reglas definidas se pueden construir algoritmos iterativos que ayudan a reducir un CSP P en otro P equivalente. • ¿Cómo organizar la aplicación de estas reglas ? • Tener un bajo costo al aplicar las relgas. • Tener un resultado único en el menor tiempo.

17. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Relaciones Binarias Dada una relación binaria R sobre un conjunto D : • reflexiva : si (a, a) ∈ R para cada a ∈ D Ejemplo • Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relación ≤ • R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. • Se presenta una relación reflexiva ya que existen las relaciones (1, 1), (2, 2), (3, 3) en la relación.

20. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Relaciones Binarias Dada una relación binaria R sobre un conjunto D : • irreflexiva : si (a, a) ∈ R para cada a ∈ D Ejemplo • Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relación < • R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. • Se presenta una relación irreflexiva ya que existen las relaciones (1, 2), (1, 3), (2, 3) en la relación.

24. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Relaciones Binarias Dada una relación binaria R sobre un conjunto D : • Antisimétrica : si para cada a, b ∈ D siempre que (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R entonces a = b Lo que es equivalente a decir: • Dada la relación R(a, b) con a = b entonces la relación R(b, a) no existe. Ejemplo • Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relación ≤ • R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 1)}. • No presenta una relación Antisimétrica ya que existen las relaciones (1, 3), (3, 1) en la relación.

29. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Relaciones Binarias Dada una relación binaria R sobre un conjunto D : • Transitiva : si para todo a, b, c ∈ D siempre que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R Ejemplo • Dado el conjunto: {1, 2, 3} bajo una relación ≤ • R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 1)}. • Representa una relación Transitiva ya que existen las relaciones (1, 2), (2, 3)y(1, 3) en la relación.

34. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenamiento Parcial • Un orden parcial es una pareja (D, ) que consiste de un conjunto D y una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva sobre D. • Dado un orden parcial (D, ), un elemento d de D es llamado el menor elemento si d e para todo e ∈ D. Descripción • Dado el orden parcial : {e1, e2, e3, ..., en} bajo una relación • Entonces d e1, d e2, ..., d en

39. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Iteración Dado un orden parcial (D, ) cuyo elemento menor es ⊥ y un conjunto de funciones F = {f1, ..., fk } sobre D: • Una iteración de F es una secuencia infinita de valores d0, d1, d2, ... definida por d0 =⊥ dj = fij (dj−1) donde cada j > 0 y ij ∈ [1..k]. • El resultado de dj depende del valor anterior después de haber aplicado una determinada función fij a dj−1

40. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Iteración Dado un orden parcial (D, ) cuyo elemento menor es ⊥ y un conjunto de funciones F = {f1, ..., fk } sobre D: • Una iteración de F es una secuencia infinita de valores d0, d1, d2, ... definida por d0 =⊥ dj = fij (dj−1) donde cada j > 0 y ij ∈ [1..k]. • El resultado de dj depende del valor anterior después de haber aplicado una determinada función fij a dj−1

42. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Estabilización Dado un orden parcial (D, ) y funciones f ,g sobre D . • f es inflacionaria si x f (x). • f es monotónica si x y implica f (x) f (y). • f es idempotente si ff (x) = f (x). • f y g conmutan si fg(x) = gf (x). • f semi-conmutan con g si fg(x) gf (x).

48. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Estabilización - Lema Dados: • (D, ) cuyo menor elemento es ⊥ y. • Un conjunto finito F de funciones monotónicas sobre D. Suponiendo que una iteración de F eventualmente estabiliza a un fixpoint común d de las funciones de F. Luego, d es el menor fixpoint común de las funciones F.

51. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Estabilización: FixPoint • Dado un orden parcial (D, ) y una función f sobre D, se tiene que: • a es un FixPoint de f si f (a) = a. (La función f no tiene ningún efecto sobre a ). • a es el menor FixPoint de f si a es el último elemento del conjunto {x ∈ D | f (x) = x}. (Dada una secuencia de FixtPoints = [a1, a2, ..., an] ; an seria el menor FixPoint) .

54. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Estabilización - Lema • Una secuencia creciente d0, d1, d2... eventualmente estabiliza a d si para algún j > 0 F(di ) = d para i ≥ 0 • Después de ejecutar un número de iteraciones sobre la secuencia d0, d1, d2... ninguna de las funciones genera un efecto o cambio sobre los valores de la secuencia. • Siempre se va a obtener el valor d.

55. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Estabilización - Lema • Una secuencia creciente d0, d1, d2... eventualmente estabiliza a d si para algún j > 0 F(di ) = d para i ≥ 0 • Después de ejecutar un número de iteraciones sobre la secuencia d0, d1, d2... ninguna de las funciones genera un efecto o cambio sobre los valores de la secuencia. • Siempre se va a obtener el valor d.

57. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Conmutatividad Dados: • (D, ) cuyo menor elemento es ⊥ y, • Un conjunto finito F = {f1, ..., fk } de funciones sobre sobre D tales que: • Cada f ∈ F es monotónica e idempotente. • Cada f , g ∈ F conmutan.

60. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Semi-Conmutatividad Dados: • (D, ) cuyo menor elemento es ⊥ y. • Un conjunto finito F = {f1, ..., fk } de funciones sobre sobre D tales que: • Cada fi ∈ F es monotónica, inflacionaria e idempotente. • Cada fi ∈ F semi-conmutan con fj para i > j, esto es, fi fj (x) fj fi (x) para todo x. Se mantiene un orden parcial entre fi fj (x) fj fi (x).

67. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmos para Ordenes Parciales Arbitrarios Dado un ordenamiento Parcial (D, ) con un elemento ⊥ y un conjunto de funciones F : {f1, ..., fk } en D. • Deseamos calcular un FixPoint común de las funciones en F usando los conceptos mencionados anteriormente. • El FixPoint se calcular con el siguiente algoritmo: Algoritmo Iteración directa .

71. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo Iteración Directa Algoritmo Iteración directa

72. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo Iteración Directa Lema : Algoritmo Iteración directa Suponga que (D, ) es un orden parcial cuyo menor elemento es ⊥. Sea F un conjunto finito de funciones monotónicas e idempotentes sobre D que conmutan entre s´ı. Luego, el algoritmo de Iteración Directa siempre termina y cálcula en d el menor fixpoint de las funciones en F.

73. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo Iteración Simple Ahora, consideremos el siguiente algoritmo, en el cual, cada elemento de la función F = {f1, ..., fk } es aplicado solamente una ves pero con un orden especifico. Algoritmo Iteración Simple

74. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo Iteración Simple Lema : Algoritmo Iteración Simple Suponga que (D, ) es un orden parcial cuyo menor elemento es ⊥. Sea F un conjunto finito de funciones monotónicas ,inflacionarias e idempotentes sobre D tales que se cumple : fi fj (x) fj fi (x) para todo x. (Semi-Conmutatividad) Luego, el algoritmo de Iteración Simple siempre termina y cálcula en d el menor fixpoint de las funciones en F.

75. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo Iteración General • Un caso general, en el cual no hay información sobre la semi-conmutatividad de las funciones es tratado de la siguiente manera: Algoritmo de Iteración General • Dados : • (D, ) cuyo menor elemento es ⊥ y, • Un conjunto función F = {f1, ..., fk } de funciones sobre D.

79. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo Iteración General update(G, g, d) : Es el conjunto de las funciones que aun no estabilizan a un menor fixpoint y no semi-comuntan.

80. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo Iteración General Lema : Algoritmo Iteración General Suponga que (D, ) es un orden parcial cuyo menor elemento es ⊥. Sea F un conjunto finito de funciones monotónicas ,inflacionarias e idempotentes sobre D tales que se cumple : fi fj (x) fj fi (x) para todo x. (Semi-Conmutatividad) Luego, el algoritmo de Iteración Simple siempre termina y cálcula en d el menor fixpoint de las funciones en F.

82. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Producto Cartesiano de Ordenes Parciales • En el contexto de programación por restricciones, las iteraciones son llevadas a cabo sobre un orden parcial que es el producto cartesiano de ordenes parciales. (D, ) es el producto cartesiano de los ordenes parciales (D1, 1), ..., (Dn, n) • Dado (D, ) el cual es el producto cartesiano de los ordenes parciales (Di , i )i ∈ [1..n], con unos elementos m´ınimos ⊥i . • Entonces podemos decir que : D = Di x, ..., xDn donde cada Di tiene un elemento m´ınimo ⊥i . (⊥i , ... ⊥n) es el elemento m´ınimo de D.

85. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Esquemas Considere una secuencia de ordenes parciales (D1, 1), ..., (Dn, n) • Un esquema en n corresponde a una secuencia creciente de elementos de [1..n] diferentes. • Dado un esquema s = i1, ..., il en n, (Ds, s) corresponde al producto cartesiano de los ordenes parciales (D1, 1), ..., (Dn, n). • Dada una función f en Ds , entonces f está con esquema s y f depende de i si i es un elemento de s. • Dada una tupla d = d1, ..., dn de D y un esquema s = [i1, ..., il ] en n, d[s] denota la tupla di1 , ..., dij .

90. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Extensión canónica Considere una secuencia de ordenes parciales (D1, 1), ..., (Dn, n) • Considere una función f con esquema s. Esta función puede ser extendida canónicamente a la función f + de D a D estableciendo que para d ∈ D. f + (d) = e • la función f + se aplica sobre todos los elementos de D independientemente que tenga un efecto o no sobre estos elementos. • Llamamos f + la extension canónica de f al dominio D.

94. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Reglas sobre f + Considere una secuencia de ordenes parciales (D1, 1), ..., (Dn, n) y su producto cartesiano (D, ). Dadas dos funciones f , g sobre esquemas. • f y g conmuntan si f + y g+ conmutan, esto es si : f + g+ (d) = g+ f + (d) Para todo d ∈ D. • f semi-conmuta con g, si f + semi-conmuta con g+ esto es si f + g+ (d) g+ f + (d) Para todo d ∈ D.

95. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo DIRECT ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS (DICD) Considere el producto cartesiano (D, ) de una secuencia de ordenes parciales y un conjunto finito F0 de funciones con esquemas.

96. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo DIRECT ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS (DICD) Suponga que (D, ) es un orden parcial que es el producto cartesiano de n ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento para i ∈ [1..n]. Sea F0 un conjunto finito de funciones con esquemas monotónicas e idempotentes que conmutan entre s´ı. Luego, el algoritmo DICD siempre termina y cálcula en d el menor fixpoint de las funciones de F = f + m´ın f ∈ F0.

97. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo SIMPLE ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS (SICD)

98. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo Iteración Simple Dominios Compuestos - Lema(SICD) Suponga que (D, ) es un orden parcial que es el producto cartesiano de n ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento para i ∈ [1..n]. Sea F0 = {f1, ..., fk } un conjunto finito de funciones con esquemas. Suponga que todas las funciones en F0 son monotónicas, inflacionarias e idempotentes y cada fi semi-conmuta con fj para i > j, esto es f + i f + j (d) f + j f + i (d) para todo d ∈ D. Luego, el algoritmo SICD siempre termina y cálcula en d el menor fixpoint de las funciones de F = {f + |f ∈ F0}

99. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo Iteración Simple Dominios Compuestos - Lema(SICD) Suponga que (D, ) es un orden parcial que es el producto cartesiano de n ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento para i ∈ [1..n]. Sea F0 = {f1, ..., fk } un conjunto finito de funciones con esquemas. Suponga que todas las funciones en F0 son monotónicas, inflacionarias e idempotentes y cada fi semi-conmuta con fj para i > j, esto es f + i f + j (d) f + j f + i (d) para todo d ∈ D. Luego, el algoritmo SICD siempre termina y cálcula en d el menor fixpoint de las funciones de F = {f + |f ∈ F0}

100. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo GENERIC ITERATION FOR COMPOUND DOMAINS (CD)

101. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo Algoritmo Iteración Genérica Dominios Compuestos - Lema(SICD) Suponga que (D, ) es un orden parcial que es el producto cartesiano de n ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento para i ∈ [1..n]. Sea F0 = {f1, ..., fk } un conjunto finito de funciones con esquemas. Suponga que todas las funciones en F0 son monotónicas, inflacionarias. Luego, el algoritmo CD siempre termina y cálcula en d el menor FixPoint de las funciones de F = {f + |f ∈ F0}

102. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Dominios Compuestos Algoritmo Algoritmo Iteración Genérica Dominios Compuestos - Lema(SICD) Suponga que (D, ) es un orden parcial que es el producto cartesiano de n ordenes parciales, cada uno con ⊥i como menor elemento para i ∈ [1..n]. Sea F0 = {f1, ..., fk } un conjunto finito de funciones con esquemas. Suponga que todas las funciones en F0 son monotónicas, inflacionarias. Luego, el algoritmo CD siempre termina y cálcula en d el menor FixPoint de las funciones de F = {f + |f ∈ F0}

104. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmos de Propagación de Restricciones Generalidades • Estamos interesados en definir algoritmos de propagación de restricciones. • En este enfoque, los algoritmos de propagación corresponerán a casos especiales de los algoritmos de iteración vistos en la anterior sección. • A continuación, relacionamos las nociones fundamentales de los algoritmos de iteración con los elementos que conforman un CSP.

107. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores • Corresponderán al CSP original y la noción de consistencia local que esté bajo consideración. • Dado un CSP < C1, ..., Ck ; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > se usarán dos ordenes parciales. • C son restricciones. • X son las variables. • D los dominios de cada variables.

112. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores : Primer Orden • Corresponde al producto cartesiano de los ordenes parciales (P(Di ), ⊇), donde i ∈ [1..n]. (P(D)) = Conjunto potencia del conjunto D. • Hace referencia al productor cartesiano (conjunto potencia) de los dominios de las variables. • Se usa para reducir el tamaño de los dominios de las variables en las restricciones.

116. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores: Segundo Orden • Corresponde al producto cartesiano de los ordenes parciales (P(Ci ), ⊇), donde i ∈ [1..k]. • Hace referencia al productor producto cartesiano de los productos cartesianos de las restricciones. • P(Ci ) : Una restricción es un subconjunto del dominio del producto cartesiano de los dominios de unas variables. • Se usa para reducir las restricciones en funciones de los dominios de las variables.

120. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores Reglas • Si se está considerando nodo-consistencia, arco-consistencia, hiper arco-consistencia o arco-consistencia direccional se usará el primer orden. • Para ruta-consistencia y ruta-consistencia direccional se usará el segundo orden.

121. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores Reglas • Si se está considerando nodo-consistencia, arco-consistencia, hiper arco-consistencia o arco-consistencia direccional se usará el primer orden. • Para ruta-consistencia y ruta-consistencia direccional se usará el segundo orden.

122. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores Funciones monotónicas e inflacionarias con esquemas • Las funciones corresponderán a las reglas de reducción de dominio y las reglas especificas de transformación que permiten caracterizar las diferentes nociones de consistencia local. • Cada esquema corresponderá a las variables usadas en el primer orden parcial o a las restricciones usadas en el segundo orden. Ejemplificación Dadas las variables X, Y y Z y la restricción : X < Y , entonces el esquema va hacer solo con las variables X y Y sin incluir a Z. Es decir el esquema afecta solo a X e Y.

125. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores Fixpoint comúnes • Corresponderán a los CSPs que satisfacen las diferentes nociones de consistencia. • Fixpoint : Son todos los CSPS que satisfacen una noción de consistencia puntual.

126. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores Fixpoint comúnes • Corresponderán a los CSPs que satisfacen las diferentes nociones de consistencia. • Fixpoint : Son todos los CSPS que satisfacen una noción de consistencia puntual.

127. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores Generalidades • Antes tratábamos de incrementar un valor, ahora vamos a intentar reducir un valor. En este caso el dominio de las variables. • De esta manera, las funciones con esquemas consideradas serán usadas en la presencia del orden inverso (P(Ci ), ⊇). • Se ordena de acuerdo al tamaño de los conjunto. {1, 2, 3, 4, 5} es menor que {1, 2, 3, 4} en la relación inversa. (P(Ci ), ⊇).

130. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores Generalidades • De esta manera, las funciones con esquemas consideradas serán usadas en la presencia del orden inverso ⊆. • Considere una función f sobre el producto cartesiano P(Ei )x...xP(Em). • Dadas las secuencias X = (X1, ..., Xn) y Y = (Y1, ..., Ym) de P(Ei )x...xP(Em), escribimos X ⊆ Y para denotar que Xi ⊆ Yi para todo i ∈ [1..m].

133. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Ordenes parciales con elementos menores inflacionaria • f es inflacionaria con respecto al orden inverso ⊇ si para todo X ∈ P(E1)x...xP(Em) se tiene que F(X) ⊆ X: De manera Informal : En otras palabras f siempre será inflacionaria si siempre pasamos a un conjunto de menor tamaño con respecto al que ten´ıamos inicialmente. monotonica • f es monotonica con respecto al orden inverso ⊇ si para todo X ∈ P(E1)x...xP(Em) para todo X, Y ∈ P(Ei )x...xP(Em): De manera Informal : El hecho de que tenga dos elementos donde uno es subconjunto del otro garantiza que el segundo elemento es subconjunto del primero.

137. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia • Para abordar la noción de nodo-consistencia, se asume un CSP P en la secuencia D1, ..., Dn de los dominios. • Se considera, el producto cartesiano de los ordenes parciales (P(Di ), ⊇) , donde i ∈ [1..n]. • Los elementos de este orden compuesto son las secuencias X1, ..., Xn de los respectivos dominios D1, ..., Dn ordenados componente a componente por el orden inverso de subconjuntos ⊇. • De esta manera, la secuencia D1, ..., Dn es el menor elemento en este orden.

140. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia • Se considerará la regla de reducción de dominio usada para caracterizar la noción de nodo-consistencia: NODO CONSISTENCIA < C; x ∈ D > < C; x ∈ C ∩ D > Donde C es una restricción unaria sobre x.

141. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia • La regla NODO-CONSISTENCIA puede ser interpretada como una función sobre el producto cartesiano P(Di )x...xP(Dn) • Esto es bastante simple puesto que esta regla puede ser vista como una función que mapea el dominio anterior a un nuevo dominio. • De esta manera, dada una restricción unaria C en la variable x con dominio D, la regla NODO-CONSISTENCIA puede ser vista como la siguiente función π sobre P: π0(X) = X ∩ C Luego, π+ 0 es una función sobre P(Di )x...xP(Dn).

144. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia Caracterización Nodo-consistencia • Un CSP < C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > es nodo consistente sii (D1, ..., Dn) es un fixpoint común de todas las funciones π+ 0 asociadas con las restricciones unarias de C. • Todas las funciones π0 asociadas con una restricción unaria C. • Monotónicas con respecto al orden inverso ⊇, • Idempotentes , y • Conmutan entre si.

148. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia Instanciación Algoritmo • La noción de nodo-consistencia es caracterizada mediante funciones que conmutan. • De esta manera, para obtener un algoritmo que alcance nodo-consistencia es posible instanciar el algoritmo DICD.

149. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia Instanciación Algoritmo • El conjunto de funciones F0 puede ser definido de la siguiente manera: F0 = {f | es la función π0 asociada con una restricción unaria de P} • Igualmente, cada ⊥i corresponde al dominio original Di respectivo. • El algoritmo resultante es llamado NODE.

152. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia Algoritmo NODE

153. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Nodo-consistencia Caracterización Algoritmo NODE • Considere un CSP P =< C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > . • El algoritmo NODE siempre termina. • Sea P el CSP determinado por P y por la secuencia de dominios calculados en d por el algoritmo NODE. Luego: • P es nodo-consistente, • P es equivalente P.

157. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Arco-consistencia Se considerarán las reglas de reducción de dominio usadas para caracterizar la noción de arco-consistencia: ARC-CONSISTENCIA 1 < C; x ∈ Dx , y ∈ Dy > < C; x ∈ D x , y ∈ DY > donde Dx := {a inDx |∃b∈Dy (a, b) ∈ C} ARC-CONSISTENCIA 2 < C; x ∈ Dx , y ∈ Dy > < C; x ∈ Dx , y ∈ D Y > donde Dy := {a inDy |∃a∈Dx (a, b) ∈ C}

158. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Arco-consistencia • Estas regla puede ser interpretada como una función sobre el producto cartesiano P(D1)x...xP(Dn). • De esta manera, dada una restricción C en las variables x1, ..., xk con respectivos dominios D1, ..., Dy , para cada i ∈ [1..k] la regla HIPER-ARC CONSISTENCIA puede ser vista como la función πi sobreP(D1)x...xP(Dy ): πi (X, Y ) = (X , Y ) donde Xi = {a ∈ X|∃b ∈ Y (a, b) ∈ C}

161. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Arco-consistencia • As´ı mismo la regla ARC-CONSISTENCIA 2 puede ser vista como la siguiente función sobre P(Dx )x...xP(Dy ). πi (X, Y ) = (X, Y ) donde Yi = {b ∈ Y |∃b ∈ X(a, b) ∈ C} • De esta manera las funciones π1 y π2 son funciones en P(D1)x...xP(Dn).

164. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Arco-consistencia Instanciación Algoritmo • Un CSP < C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn > es arco-consistente si y solo si (D1, ..., Dn) es un fixpoint común de todas las funciones π+ 1 y π+ 2 asociadas con las restricciones binarias de < C . • Cada función πi asociada con una restricción binaria < C es: • inflacionaria con respecto al orden inverso ⊇ y • monotónica con respecto al orden inverso ⊇.

167. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Arco-consistencia Instanciación Algoritmo • En general, las funciones πi asociada a diferentes restricciones binarias no conmutan ni semiconmutan. Por eso, no es posible utilizar los algoritmos DICD o SICD. • Sin embargo, es posible utilizar el algoritmo CD. • Teniendo en cuenta que para una relación binaria R se tiene que Rt = {(b, a)|(a, b) ∈ R}. Por simplicidad, consideramos todas las restricciones y sus contra partes inversas.

170. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Arco-consistencia Instanciación Algoritmo • De esta manera, el conjunto de funciones F0 será equivalente al conjunto de funciones π1 para estas restricciones o relaciones. • Igualmente, cada ⊥i corresponde al respectivo dominio original Di . • El algoritmo resultante se denomina ARC.

173. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Arco-consistencia Algoritmo ARC

174. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para arco-consistencia Caracterización Algoritmo ARC • Considere un CSP finito P =< C; x1 ∈ D1, ..., xn ∈ Dn >. • El algoritmo ARC siempre termina. • Sea P el CSP determinado por P y por la secuencia de dominios calculados por el algoritmo ARC. Luego: • P es arco-consistente. • P es equivalente a P

179. Introducción Fundamentos Formales Discretos Algoritmos Genéricos de Iteración Algoritmos de Propagación de Restricciones Algoritmo para Hiper arco-consistencia Se considerará la regla de reducción de dominio usada para caracterizar la noción de hiper arco-consistencia HIPER-ARC CONSISTENCIA C; x1 < inD1, ...xn ∈ Dn C; ..., xi ∈ Di , ... donde C es una restricción sobre las variables x1, ..., xn y ∀i∈[1..n]Di := {a ∈ Di |∃d∈c a = d[xi ]}

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