1. La primera universidad tecnológica del Perú
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA Y MECATRÓNICA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
6
f x
ntegrales
0
1
INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Profesor: Freddy Acosta
2013 - I
1

2. INTEGRALES INDEFINIDAS
Formulas Fundamentales de Integración
2

3. CAMBIO DE VARIABLES.
Pasos para integrar por sustitución
1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos
'
u f ( x) ; du f ( x ) dx
2. Se despeja u y dx sustituyendo en la integral
f ( x ) dx u du
3. Si la integral resulta más sencilla, procedemos a integrar, para luego volver a la variable inicial.
u du F (u ) C f ( x ) dx F ( x) C
¿Cuándo es aconsejable utilizar este método?
a) Cuando aparezca en el integrando un producto o un cociente de funciones de modo que una de ellas
“recuerda” a la derivada de la otra.
Ejemplo: sen( x 2 4) ( x 2 ) dx .
Hacemos el cambio x2+4x=t y nos quedaría (2x+4)dx=dt. Entonces
2 1 2 1 1
sen ( x 4) ( x 2 ) dx sen ( x 4) 2( x 2 ) dx sent dt ( cos t ) K
2 2 2
1 2
cos( x 4 x) K
2
b) Cuando el integrando guarda cierto parecido con una integral inmediata.
1
Ejemplo: 2
dx
4x 9
1
Esta integral guarda cierto parecido con 2
dx que es inmediata.
x 1
Dividiendo en nuestra integral numerador y denominador por 9 nos queda:
1
1 9 1 1
2
dx dx dx (*)
4x 9 4 2 9 4 2
x 1 x 1
9 9
2 2 3
Ahora hacemos el cambio de variable x t dx dt dx dt , con lo que
3 3 2
3

4. 3
1 2 1 3 1 3 1 1 1 2x
(*) 2
dt 2
dt 2
dt arc tan t K arc tan K
9 t 1 9 2 t 1 18 t 1 6 6 3
c) En algunos casos es necesario comenzar realizando una transformación previa para después aplicar un
cambio de variable.
1 x
Ejemplo: dx .
1 x
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
dx dx dx dx dx arc senx (*)
2 2 2
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
En la segunda integral (*), hacemos el cambio de variable 1-x2=t, con lo que –2xdx=dt y entonces
1 2x 1 dt dt 2
(*) dx t K 1 x K.
2 1 x
2 2 t 2 t
1 x 2
Por lo tanto, dx arc sen x 1 x K.
1 x
Ejercicios: Resolver las siguientes integrales
x 3
1. 3 x 1 2 x 2 dx 2. 1
dx 3. 3
1 x
2
x dx
2
x 6x 3
2 4 x 5x
4. x 4 x dx 5. e dx 6. e dx
2
x senx 5x 5x
7. xe dx 8. e cos xdx 9. e a dx
dx dx dx
10. 11. 2
12. 2
2
25 x 4x 36 9x 1
x 3
e cos β 5x
13. 2x
dx 14. 2
dβ 15. dx
1 e 4 sen β 1 x
4
dx dx 3 dx
16. 2
17. 2
18. 2
x 4x 3 x 2x 10 x 8x 25
dx dx dx
19. 2
20. 21. 2
2
x 2x 2x x 4x x
3x
2x 2x 1 5 e
22. e cos 3 e dx 23. cos 2 ln x dx 24. 6x 3x
dx
x 3 e 4e 3
x 4 2
25. 2 4
dx 26. x x 6x 34 dx 27 sen 2 θ cos 2 2 θ 3 dx
24 2x x
4