1. RAZRADA
Rešavanje prostog kola, prvi put
Posmatrajmo jedno prosto kolo, koje se sastoji od jednog naponskog generatora i
jednog otpornika, kao na slici:
Prvo što moramo da uradimo je da obeležimo referentne smerove za struju i napon
na svakom od elemenata u kolu. Međutim, videli smo već ranije da ti smerovi nisu
nezavisni, ukoliko su usaglašeni. Karakteristike elemenata (npr. UR=RIR, za
otpornik) važe samo za usaglašene referentne smerove za struju i napon na
elementu. Dakle, ako usvojimo referentni smer za struju, automatski se zna kakav je
usaglašeni referentni smer za napon. Tako da ćemo obeležiti samo struju.
U ovom kolu postoji samo jedna struja. Obeležimo njen referentni smer ovako:
Ovo kolo se naziva prosto kolo, jer se sastoji od samo jedne žičane konture. Nema
nikakvog račvanja struja, pa prema tome ni primene I Kirhofovog zakona. Ali II
Kirhofov zakon moramo primeniti. On kaže da je zbir napona po zatvorenoj konturi –
nula. Zbog toga, docrtajmo usaglašeni referentni smer za napon na otporniku. Za
početak.

2. Napon na otporniku obeležen je sa UR, plus mu je dole, jer struja I, po pretpostavci,
ide kroz otpornik odozdo na gore. Referentni smerovi na elementu R – usaglašeni.
Hajde sada da dodamo napon na generatoru.
Napon na generatoru obeležen je sa UE, plus mu je gore, jer struja, po pretpostavci,
ide kroz generator odozgo na dole. Referentni smerovi na elementu E – usaglašeni.
Njegova karakteristika kaže: UE=E.
Hajde da primenimo II Kirhofov zakon. Za to nam treba kontura. Recimo ova, koja
malčice ide kroz žice, a malčice i kroz vazduh:
Kontura, takođe, mora da ima svoj smer. To je smer konture, koji ima veze samo sa
njom, a ne sa smerom struje. To je kao smer kretanja Pere Perića kroz i oko solitera.
Pa hajde da vidimo šta će električni Pera Perić uočiti na svom putu po ovoj konturi.
Prvo da vidimo gde mu je startna tačka. Obeležićemo je sa X.
I krene Pera Perić, i ide kroz žicu i vidi da nema promene napona. Jer, ta žica je
idealna kratka veza, a za njega je to kao da se šeta levo-desno po istom spratu,
nema promene visine. Evo dokle je stigao:

3. I sada je rešio da se vine malo kroz vazduh, ne kroz otpornik, nego preko strelice
obeležene sa UR. I kako obeležavanje kaže (pogledajmo gde je plus), on je odlučio
da skoči sa višeg na niži potencijal. Kolika je ta razlika potencijala? Taj napon? Tačno
UR. A pošto ide na niži potencijal (od plusa ka neoznačenom kraju strelice za napon
UR), Pera beleži u svoj notes -UR, što njemu znači, spustio sam se za UR.
I ide ponovo preko kratke veze, i ponovo nema promene potencijala i stiže dovde:
A sad, ponovo kroz vazduh, ne kroz naponski generator, nego preko strelice
obeležene sa UE. I kako obeležavanje kaže (pogledajmo gde je plus napona UE), on
je odlučio da skoči sa višeg na niži potencijal. Kolika je ta razlika potencijala? Taj
napon? Tačno UE. A pošto ide nadole (od plusa ka neoznačenom kraju strelice za
napon UE), Pera beleži u svoj notes -UE, što njemu znači, spustio sam se za UE. I evo
Pere Perića na kraju puta, stigao je u polaznu tačku, zatvorio je konturu.

4. A evo šta je zabeležio u notesu: -UR, -UE, što mora biti nula, jer je stigao na mesto
sa koga je pošao. Dakle, pišemo II Kirhofov zakon:
−U R −U E = 0
Prisetimo se sada karakteristika elemenata.
U R = RI R = RI
UE = E
Kada se to uvrsti u II Kirhofov zakon, dobija se:
− RI − E = 0
E
I =−
R
Dobili smo negativnu struju. Baš kao što smo i očekivali, jer smo izabrali referentni
smer, kako smo izabrali. Ali to je tačan rezultat. To što je struja negativna, znači
samo da u stvari teče na suprotnu stranu.
Ako sada poželimo da izračunamo snage ovih elemenata, ne diramo ništa u
obeleženom kolu:
I prisetimo se da je snaga bilo kog elementa, po definiciji:

5. PELEM = U ELEM I ELEM
uz usaglašene referentne smerove za UELEM i IELEM. Dakle:
2
 E E2 E2
PR = U R I R = U R I = RI ⋅ I = RI = R −  = R 2 =
2
 R R R
 E E2
PE = U E I E = EI = E  −  = −
 R R
IR je naravno I; i takođe IE je I. Ista struja I prolazi kroz oba elementa.
Vratimo se snazi. Snaga na otporniku je pozitivna, što znači da otpornik troši
energiju. Snaga je brzina trošenja (ili davanja) energije. Snaga generatora je
negativna, što znači da generator daje energiju. Kada se te dve snage saberu, dobija
se nula i to će uvek biti slučaj. Kada se sve snage u nekom kolu saberu, dobija se
nula. Koliko generatori daju, toliko otpornici potroše.
Rešavanje prostog kola, drugi put
Posmatrajmo jedno prosto kolo, koje se sastoji od jednog naponskog generatora i
jednog otpornika, kao na slici:
Prvo što moramo da uradimo je da obeležimo referentne smerove za struju i napon
na svakom od elemenata u kolu. Napon preskačemo iz poznatih razloga.
U ovom kolu postoji samo jedna struja. Obeležimo njen referentni smer, ovoga puta,
suprotno:

6. Hajde da sada docrtamo usaglašeni referentni smer za napon na otporniku. Ovog
puta samo na otporniku.
Hajde da primenimo II Kirhofov zakon. Za to nam trebaju kontura i Pera Perić koji će
da se šeta. Start ponovo obeležavamo sa X.
I ide Pera kroz žicu (kratku vezu) i ništa. I onda skoči kroz vazduh (preko strelice UR)
i zabeleži da se popeo (zaključuje po obeležavanju tog napona), tačno UR. Dakle,
beleži, +UR.
I ide dalje, kroz kratku vezu (žicu) i dođe do generatora.

7. I prođe kroz generator i konstatuje da se spustio, tačno E. Generator mu sam kaže
da se spustio. Generator ima svoj plus, koji kaže koji je kraj na višem potencijalu. Pa
pošto je išao sa kraja na višem potencijalu, na kraj na nižem, spustio se.
Dakle, beleži, -E. I stigao je.
A evo šta je zabeležio u notesu: +UR, -E, što mora biti nula, jer je stigao na mesto
sa koga je pošao. Dakle, pišemo II Kirhofov zakon:
+UR − E = 0
Prisetimo se sada karakteristike otpornika.
U R = RI R = RI
Kada se to uvrsti u II Kirhofov zakon, dobija se:
RI − E = 0
E
I=
R
Dobili smo pozitivnu struju. I potpuno istu informaciju, kao maločas. Maločas je
struja bila negativna, ali okrenuta suprotno. A to znači istu stvar.
Ako sada poželimo da izračunamo snage ovih elemenata, ne diramo ništa u
obeleženom kolu:

8. I prisetimo se da je snaga bilo kog elementa, po definiciji:
PELEM = U ELEM I ELEM
uz usaglašene referentne smerove za UELEM i IELEM. Dakle, ipak nam treba
obeležavanje referentnog smera za napon generatora, zbog izračunavanja snage. Ali
ne pre toga.
Setimo se priče o karakteristici naponskog generatora. Tada je bilo rečeno da, uz
ovakvo obeležavanje referentnih smerova za struju i napon na generatoru,
karakteristika glasi:
U E = −E
Setimo se i crteža:
Hajde da sada isprobamo II Kirhofov zakon (koji važi uvek i svuda), na ovom crtežu:

9. Krenuo tako Pera Perić, kroz vazduh, bolje reći kroz električno polje i konstatovao da
se popeo za UE. Tako kaže referentni smer napona UE. Beleži +UE. I nastavio dalje.
I prošao kroz generator i konstatovao da se popeo za E. Tako kaže sam generator.
Beleži +E. Dakle, po II Kirhofovom zakonu:
+UE + E = 0
U E = −E
Sada ćemo izračunati snage:
2
 E E2 E2
PR = U R I R = U R I = RI ⋅ I = RI 2 = R +  = R 2 =
 R R R
 E E2
PE = U E I E = − EI = − E  +  = −
 R R
Rezultati su identični onima od maločas, kada je struja bila okrenuta drugačije (i
negativna). I prirodno je da energetski bilansi ne mogu da zavise od usvojenog
referentnog smera, jer za prirodu referentni smer i ne postoji.
Referentni smer postoji samo u našim glavama i služi nam za proračunavanje.
Rešavanje prostog kola, treći put

10. Posmatrajmo jedno prosto kolo, koje se sastoji od jednog naponskog generatora i
jednog otpornika, kao na slici:
Prvo što moramo da uradimo je da obeležimo referentni smer za struju. Napon
preskačemo totalno.
U ovom kolu postoji samo jedna struja. Obeležimo njen referentni smer, na primer,
ovako:
Hajde da primenimo II Kirhofov zakon. Pera Perić ponovo jaše… ne, ne, šeta se po
kolu.
Krenuo i prošao kroz otpornik, ovog puta. Ne kroz vazduh, ali i dalje kroz električno
polje, jer ono je svuda: i u elementima i okolnom prostoru. I šta je imao da vidi?
Recimo da struja teče njemu u susret.
Da se kretao po gravitacionom polju i da je primetio da ide suprotno smeru kretanja
vode u potoku, zaključio bi da se penje uzbrdo, tj. da ide u vis, na viši potencijal. To
će zaključiti i sada.
Ali, za koliko se popeo? Popeo se za RI, jer RI predstavlja pad napona na otporniku.
Kako to znamo? Tako što je to karakteristika otpornika.

11. Ali šta ćemo kada budemo imali neko složenije kolo, kada bude potpuno neizvesno
kakvo je stvarno kretanje struje?
Nećemo ništa, osim da razmislimo. Ako bi Pera išao i to po mraku, pored ravničarske
reke, čiji šum čuje, ali ne može da vidi smer kretanja… mogao bi da pretpostavi
referentni smer rečne struje. I da krene protiv referentnog smera i da misli da se
penje. To što on ima u mislima (penjanje), međutim, ni na koji način ne poništava
činjenicu da se spušta, ako je njegova pretpostavka pogrešna.
Tako je i u električnom kolu. On, Pera Perić, misli da se penje i popeo se za RI, ali
taj uspon, činjenično znači pad, ukoliko je vrednost struje I negativna. A da li je
struja negativna ili pozitivna, se ne može znati unapred.
Idemo dalje, tj. Pera ide dalje:
Prošao je kroz generator i primetio da je sa višeg sišao na niži potencijal (video je
gde stoji plus na generatoru). Konstatovao je spuštanje, tj. –E. Dakle, zabeležio je,
usput, +RI i –E, a stigao na isto mesto. Što znači:
RI − E = 0
‘ E
I=
R
Zum Teufel, mit dem Elektricität!
Rešavanje prostog kola, četvrti put
Posmatrajmo jedno prosto kolo, koje se sastoji od dva naponska generatora i jednog
otpornika, kao na slici. Prvi naponski generator ima elektromotornu silu od E1=10V,
drugi E2=5V, a otpornost otpornika je R=1000Ω=1kΩ. Izračunaćemo struju, napone
na elementima i snage svih elemenata.

12. Prvo, referentni smer. Samo za struju.
Drugo, II Kirhofov zakon, po zamišljenoj konturi po kojoj se kreće zamišljeni Pera
Perić.
Pišemo: +E2, jer smo u mislima (sa Perom) prešli preko generatora E2 (i pogledali
oznaku na njemu i obratili pažnju na smer Perinog kretanja), zatim +RI, jer smo…
preko otpornika R i konačno, -E1, jer… Jednačina glasi:
E 2 + RI − E1 = 0
5V + 1000Ω ⋅ I − 10V = 0
1000Ω ⋅ I = 5V
5 V
I= = 5 ⋅ 10 −3 A = 5mA
1000 Ω
Dakle, struja iznosi 5mA, pozitivna je, kako i treba, jer je E1 jači od E2, a gura u
smeru kazaljke na satu, kao i referentni smer struje I. Hm, E2 umesto da bude
nasilnik, on trpi nasilje. Ako je E2 akumulator, onda ga E1 puni, a ako je E2 elektro-

13. mehanička naprava, trenutno radi kao motor, crpeći električnu energiju iz kola (iz E1)
i dajući mehaničku spoljnom svetu.
Da vidimo snage. Trebaju nam referentni smerovi za napone na generatorima, dok
za otpornik i ne baš, jer smo u ranijim razmatranjima pokazali (doduše ne i naglasili)
da je snaga na otporniku uvek: PR=RIR2. Trebaju nam i dve konture za UE1 i UE2.
Dakle, po II KZ:
− U E1 − E1 = 0
U E1 = − E1
i
− E2 + U E 2 = 0
U E 2 = E2
A, po definiciji za snagu elementa:
PELEM = U ELEM I ELEM
tj.
PE1 = U E1 I E1 = − E1 I = −10V ⋅ 5mA = −50mW
PE 2 = U E 2 I E 2 = E 2 I = 5V ⋅ 5mA = 25mW
PR = RI 2 = 1kΩ ⋅ 5mA ⋅ 5mA = 25mW
Generator E1 isporučuje 50mW, a E2 i R primaju po 25mW. U zbiru nula.

14. Rešavanje malo složenijeg kola
Posmatrajmo kolo, koje se sastoji od jednog naponskog generatora i dva otpornika,
kao na slici:
Prvo, referentni smerovi. Samo za struje.
Zatim, I Kirhofov zakon. Zapazimo da u ovom kolu postoje dva čvora. A, čvor je?
Čvor je mesto gde se spajaju najmanje tri grane. A grana je provodni put koji spaja
dva čvora. A provodni put je žica na kojoj ima, a možda i nema elemenata.
Grana je put kojim prolazi jedna jedina struja. Na našoj slici vidimo tri grane, sa
strujama IE, I1 i I2. A, čvor je zaista mesto gde se spajaju najmanje tri grane; ako bi
se spajale samo dve grane, po I Kirhofovom zakonu izlazi da obe grane imaju istu
struju, a onda je to, ipak, samo jedna grana, dakle nema čvora.
U našem kolu postoje dva čvora. Zvaćemo ih gornji i donji čvor. U gornji čvor, ulazi
struja IE, a izlaze I1 i I2. Dakle, po IKZ:
I E = I1 + I 2
Iz donjeg čvora izlazi IE, a u njega ulaze I1 i I2. Dakle, po IKZ:
I E = I1 + I 2

15. Potpuno ista jednačina. Dva čvora, dve jednačine, ali samo jedna informacija.
Zapamtićemo ovaj efekat.
Zatim, II Kirhofov zakon. Za II KZ su nam potrebne zamišljene konture po kojima se
kreću zamišljeni Pere Perići. Pogledajmo:
Označene su tri konture K1, K2 i K3. Napišimo II KZ po ovim konturama:
K1∴ − E + R1 I 1 = 0
K 2 ∴ − R1 I 1 + R2 I 2 = 0
K 3 ∴ − R2 I 2 + E = 0
Izmišljeni Pera Perić, na svojim izmišljenim putovanjima po konturama K1, K2 i K3,
se pridržava logike koju smo naširoko tumačili. Iz te logike proističu formalna
pravila, kojih ćemo se sada podsetiti.
Kada Pera, na svom putu po konturi, naiđe na otpornik, ukoliko je njegovo kretanje:
• suprotno referentnom smeru struje kroz otpornik, beleži
+Rtog_otpornikaIkroz_taj_otpornik , tj. +RI, jer se popeo na viši potencijal
• isto kao i referentni smer struje kroz otpornik,
beleži -Rtog_otpornikaIkroz_taj_otpornik , tj. -RI, jer je sišao na niži potencijal
Kada Pera, na svom putu po konturi, naiđe na naponski generator, ukoliko je
njegovo kretanje:
• od neoznačenog kraja ka plusu samog generatora (tj. od minusa ka plusu)
beleži +Etog_generatora , tj. +E, jer se popeo na viši potencijal; i baš ga briga za
referentni smer stuje kroz generator…
• od plusa samog generatora ka neoznačenom kraju (tj. od plusa ka minusu)
beleži -Etog_generatora , tj. -E, jer je sišao na niži potencijal; i baš…
Ovo su formalna pravila za kretanje preko elemenata prilikom pisanja jednačina po II
KZ. Za skokove kroz vazduh, važi isto što i za naponski generator. Skakanje kroz
vazduh je dozvoljeno i ponekad neophodno, a u suštini znači definisanje nekog
napona u kolu.

16. Definisati napon znači povući liniju od jedne do druge tačke kola, zašiljiti liniju na
oba kraja i onda proizvoljno, na jednom od tih krajeva dopisati plus. I staviti oznaku
za napon. Osim, ako se ne definiše napon na jednom jedinom elementu – tada se
plus ne dopisuje proizvoljno, već tako da se usaglasi sa već postojećim referentnim
smerom za struju.
Vratimo se jednačinama po II KZ. Iz druge jednačine izlazi R1I1=R2I2. Ako se to
zameni u treću, izlazi da su prva i treća jednačina potpuno iste. Opet ima više
jednačina, nego informacija, kao i kod I KZ. Taj dvostruki višak jednačina zahteva
razjašnjenje, ali strpimo se…
Uzmimo jednu jednačinu iz I KZ i dve (npr. prvu i treću) iz II KZ. I pokušajmo da ih
rešimo.
I E = I1 + I 2
− E + R1 I 1 = 0
− R2 I 2 + E = 0
Odmah se vidi da su I1 i I2 (iz prve i treće jednačine po II KZ):
E
I1 =
R1
E
I2 =
R2
odakle, po uvrštavanju u jednačinu po I KZ, izlazi:
E E
IE = +
R1 R2
I kolo je rešeno. Kada se znaju sve struje u kolu stalne jednosmerne struje,
praktično se zna sve. Naponi i snage se određuju na trivijalan način.