Sapatas

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Sapatas

  1. 1. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia CivilDisciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III NOTAS DE AULA SAPATAS DE FUNDAÇÃO Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos) Bauru/SP Agosto/2012
  2. 2. APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, daUniversidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru. O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme osprocedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –Procedimento”. Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e aoaluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto. Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas.
  3. 3. SUMÁRIO1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1 1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................1 1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO ...............................................................................................1 1.3 TIPOS DE SAPATAS ........................................................................................................1 1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ........................................................................................32. SAPATAS ISOLADAS............................................................................................................3 2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ ......................................................................4 2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL.............................................................................5 2.2.1 Sapatas Rígidas ...........................................................................................................5 2.2.2 Sapatas Flexíveis .........................................................................................................6 2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.....................................................................6 2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA .................................................................................................................................7 2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ..............................................7 2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB).......................................................8 2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70..................................................................................9 2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ....................................................................9 2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................................10 2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão..........................................................................13 2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................14 2.5.5 Força Cortante Limite ...............................................................................................16 2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO ..........................................................................................16 2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante .........................................................................18 2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C..................................................................................................................19 2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção ........................................................................................................20 2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...............................................................21 2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...........................................................................................29 2.9 MÉTODO DAS BIELAS .................................................................................................29 2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...........................................................................33 2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS.............................................34 2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...............................................................................34 2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ............................................................................36 2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor....................40 2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA ..............................48 2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA..................................54 2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥ 5d 56 2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível....................................................................................573. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................62 3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME ...........................................64 3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ......................65 3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...............................................................67 3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................69
  4. 4. 3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL..........................................................69 3.6 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................734. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................745. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EMSAPATAS.......................................................................................................................................756. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................76 6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...............................................................................................78 6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO.........................................78 6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO ..........................................81 6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA ......................................................81 6.5 EXEMPLO 8 ....................................................................................................................83 6.6 TAREFA...........................................................................................................................90 6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ..........................................................90 6.8 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................917. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................928. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................95 8.1 SAPATA RETANGULAR...............................................................................................95 8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..................................................................98 8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL.......................................................................100 8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ....................................................101 8.5 EXEMPLO 9 ..................................................................................................................1029. QUESTIONÁRIO ................................................................................................................11110. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................112
  5. 5. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 11. DEFINIÇÕES As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010.1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como:“elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob abase da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente àfundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.” Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio dedimensionamento geométrico e de calculo estrutural.1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado,dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo empregode armadura especialmente disposta para esse fim.”1.3 TIPOS DE SAPATAS Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ouexcêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1). h=cte h = var Figura 1 – Sapata isolada. Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou depilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2). parede sapata OU Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede.
  6. 6. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 2 Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapatacombinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada comoalternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena. A VR P1 P2 PLANTA A Viga de rigidez ELEVAÇÃO CORTE AA Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação). Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de umou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas àsfundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes dascargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletorresultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga deequilíbrio” (VE), Figura 4. sapata 1 sapata 2 VA Viga alavanca (VA) Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio.
  7. 7. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 3 A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conformealguns casos indicados na Figura 5. Viga VB baldrame (VB) VB Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS “A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que osolo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas comterrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deveser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivossugeridos para as sapatas. h / 3 h0 ≥  20 cm 3 a 10 cm α >3 1 h h0 Lastro de concreto simples ( ≥ 5cm, fck ≥ σsolo, rocha) Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata. α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).2. SAPATAS ISOLADAS Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro deaplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação
  8. 8. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 4entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modoque cA ≈ cB , mostrados na Figura 7. Se cA = cB : A – ap = B – bp A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB) A CB bp B CB CA ap CA Figura 7 – Notação para a sapata isolada.2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é: ap Pilar (A - a p ) Sapata rígida: h≥ 3 (A - a p ) h Sapata flexível: h < 3 A Figura 8 – Altura h da sapata.com: h = altura da sapata (Figura 8); A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção; ap = dimensão do pilar na direção do lado A.Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares.
  9. 9. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 5 ap Pilar Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando: 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º) h β tg β = h / c C Balanço Figura 9 – Ângulo β e balanço c. A sapata será considerada flexível se: tg β < 0,5 tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto resiste a σt .2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL (NBR 6118/03, 22.4.2)2.2.1 Sapatas Rígidas São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações.a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuídana largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente naslarguras A e B da sapata (Figura 10). Sapata rígida As B A As A Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada.b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por traçãodiagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção.
  10. 10. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 6 Seção a ter compressão verificada (item 19.5.3.1 da NBR6118) σI σII Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.2.2.2 Sapatas Flexíveis São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis sãoutilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03).a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12);b) há a necessidade da verificação à punção. N p M (variável) Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características dascargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos). A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-sea distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). ANBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobrerocha.
  11. 11. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 7 Rígida Flexível distribuiçao Areia admitida Areia distribuição real Figura 13 – Distribuição de tensões no solo. A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana adistribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informaçõesmais detalhadas a respeito.”2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA A area de apoio da sapata pode ser estimada como: 1,05 N 1,1N Ssap = ou Ssap = σsolo σsoloonde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se: A = 2cA + ap B = 2cB + bp Com cA = cB , fica: A – B = ap – bp Ssap Ssap = A ⋅ B → A = B Ssap − B = a p − bp B Multiplicando por B: ( Ssap − B 2 = a p − b p B ) 1 1 B= 2 (bp − a p + ) 4 bp − a p ( )2 + Ssap
  12. 12. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 8 A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm nocaso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos(sobrado). A CB bp B CB CA ap CA Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB) Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação: A ≤ 3,0 B Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se: A =R → A = B⋅ R B Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2 Ssap B= , com A e B múltiplos de 5 cm. R A CB bp B CB CA ap CA Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções.
  13. 13. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 92.5 PROJETO CONFORME O CEB-70 O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com: h c ≤ 2h e c≥ 2 hou seja: ≤ c ≤ 2h 2 h Se c < → bloco de fundação. 2 C C h Figura 16 – Balanço c na sapata isolada. Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre asuperfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17). M("pequeno") M("grande") (LN fora da N seção) N Distribuição admitida para quando existirem tensões de tração na base da sapata x Superfície plana Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção dereferência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e seencontra internamente ao pilar (Figura 18). d1 = d ≤ 1,5cA ap CA 0,15 ap d1 S1A A Figura 18 – Seção de referência S1 .
  14. 14. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 10 O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre aseção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19. S1 σ2 σ1 Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 . No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se ascaracterísticas geométricas da seção de referência S1. O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, arelação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados naFigura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb : A − ap B − bp cA = = cB = 2 2 ap 0,15 bp xB S1B bp B 0,15ap CB S1A CA xA A N S1A p Figura 20 – Notações e seção de referência S1 .
  15. 15. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 11 Pressão da sapata no solo: 1,05 N p= A.Bonde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem seradotados. As distâncias xA e xB são: xA = cA + 0,15ap xB = cB + 0,15bp Áreas de referência nas duas direções (Figura 21): A1A = xA B A1B = xB A xA A1B xB B A1A A Figura 21 – Áreas de referência. Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22): R1A = p . xA . B R1B = p . xB . A p R1A S1A xA Figura 22 – Resultante da pressão no solo. Momento fletor em cada direção:
  16. 16. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 12 2 xA xA M1A = R 1A ⇒ M1A = p . B 2 2 2 xB xB M1B = R 1B ⇒ M1B = p . A 2 2 No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, ocálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Seconsiderar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd . Ac LN As Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c). Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados: 2 b w d1 Kc = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks encontra-se βx , o domínio e Ks Mdcom bw = A ou B. Md As = Ks ≥ As,mín d1 Simplificadamente também pode-se fazer: Md As = ≥ As,mín 0,85d1 . f yd Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuídana largura da sapata. A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duasextremidades. Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24): 2B A armadura é calculada como sendo: A s A+B
  17. 17. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 13 B Armadura ap bp B A Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ ap + 2h.b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25): A armadura é calculada como sendo: A s ( 2 a p + 2h ) A + a p + 2h ap + 2h ap Armadura bp B A Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir daseção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é ocomprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho. C>h h lb h Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h.
  18. 18. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 142ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada navizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir daextremidade retilínea da barra (Figura 27). C<h lb h Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção dereferencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28. A S2A C2B S2B 2 d bp B 45° d ap 2 C2A N d h d2A h0 p C2A A Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata.
  19. 19. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 15com:  h − h0  d 2 A = d 1 −  < 1,5c 2A  A −ap     h − h0  d 2 B = d 1 −  < 1,5c 2 B  B − bp    No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura29). C B S 2A na face do pilar Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B). A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30. A 45° ap b p+ d b2A B bp S2A N d d2A ≤ 1,5 C2A d 2 C2A Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A .
  20. 20. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 16 Com relação às dimensões A e B da sapata: b2A = bp + d b2B = ap + d2.5.5 Força Cortante Limite Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valoresseguintes: 1,5 Vd,lim = b 2 ⋅ d 2 ρ ⋅ f ck , para fck em kN/cm2; γC 0,474 Vd ,lim = b 2 ⋅ d 2 ρ ⋅ f ck , para fck em MPa. γCcom: Vd,lim em kN; γc = coeficiente de segurança do concreto; b2 e d2 em cm; ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 : AS ρ= ≤ 0,01 (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %); b2 ⋅ d2 As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 . Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal. Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição nãoocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade pararesolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que: Vd d novo = d Vd ,lim2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 -“Dimensionamento de lajes à punção”. A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31. d tg α = , fazendo α = 27° x d d tg 27 º = → x= ≅ 2d x 0,51
  21. 21. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 17 pilar superfície de ruptura de uma laje por efeito de As- punção d α = 25º a 30º x laje Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção. “O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou maissuperfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão decompressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra assuperfícies críticas C e C’. 2d 2d 2d C C C Borda livre C C C B. livre C 2d B. livre C Figura 32 – Superfícies críticas C e C’. “Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da cargaconcentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência àtração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, noentorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. Aterceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessáriocolocar armadura transversal.” No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente ositens relacionados à dispensa da armadura transversal. A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfíciescríticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cadasuperfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 .
  22. 22. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 182.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico A tensão de cisalhamento solicitante é: FSd τSd = u ⋅donde: d= (d x + d y ) = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’; 2 dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais; u = perímetro do contorno crítico C’; u . d = área da superfície crítica; FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo. No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). Aforça de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentrodo contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamentosolicitante é: FSd K ⋅ M Sd τSd = + u ⋅ d Wp ⋅ dsendo: K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilarpor cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1); C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33; C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força. Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 . C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 K 0,45 0,60 0,70 0,80Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1; - quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8. Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando acurvatura dos cantos do perímetro crítico por: u Wp = ∫ e dl 0 dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;
  23. 23. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 19 e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor MSd . 2 C1 Wp = + C1 C 2 + 4C 2 d + 16d 2 + 2π d C1 (pilar retangular) 2 Wp = 4r 2 + 16r d + 16d 2 (pilar circular; r = raio)ou 2 Wp = (D + 4d ) (D = diâmetro)Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5). Msd e1 Msd e1 Fsd Fsd C ≡ c2 e Fsd dl c1 2d Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C (NBR 6118, 19.5.3.1) “Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ousem armadura”. τSd ≤ τRd2 τRd2 = 0,27αv fcd  f onde α v = 1 − ck  , com fck em MPa.  250  A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deveser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão decisalhamento (Figura 34). A tensão de cisalhamento solicitante é: F τSd = Sd uo dcom: FSd = força solicitante de cálculo;
  24. 24. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 20 uo = perímetro de contorno crítico C; uo = 2 (ap + bp) uo d = área da superfície crítica C; d = altura útil ao longo do contorno crítico C. ap C bp Fsd d τsd Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção (NBR 6118, 19.5.3.2) A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:  20  1 τ Rd1 = 0,13 1 +   (100ρ ⋅ f ck )3  d onde: ρ = ρx . ρy ; d= (d x + d y ) = altura útil em C’(cm); 2 ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente; ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais; fck em MPa. No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:  20  3 2d τ Rd1 = 0,13 1 +   100 ρ f ck  ≤ 0,5f cd 2  d  a* fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas. a* ≤ 2d
  25. 25. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 21  f  f cd 2 = 0,6 1 − ck  f cd (MPa )  250  u* = 2ap + 2bp + 2πa* Superfície C (perímetro = u*) a* A ap d Figura 35 – Distância a*. Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é: FSd   τ Sd =  1 + K M Sd u *  u*d  W p FSd   2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988,p.11-31 – Escola Politécnica da USP) Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo ataxa admissível do solo ( σsolo ) de 2,5 kgf/cm2 (0,25 MPa), sendo também conhecidos: Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0 materiais: concreto C25 , aço CA-50 φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4Resolução Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o pesopróprio da sapata e o solo sobre a sapata: 1,1N k 1,1 ⋅ 1303 Ssap = = = 57.332 cm 2 = 5,7332 m2 σsolo 0,025
  26. 26. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 22 Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapataem planta é: 1 1 B= (b p − a p ) + (b p − a p ) 2 + Ssap 2 4 1 1 B= (20 − 75) + (20 − 75) 2 + 57332 = 213,5 cm 2 4como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como omúltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é: Ssap 57332 A= = = 266,7 cm (adota-se A = 270 cm), e B 215 Ssap = 270 . 215 = 58.050 cm 2 Os balanços resultam: A − ap 270 − 75 cA = cB = c = = = 97,5 cm 2 2 A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é:  A − a p  270 − 75 NBR 6118 → h ≥   3 ≥  ≥ 65 cm   3 h h Pelo CEB-70: 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 com tg β = = c 97,5 h 0,5 ≤ ≤ 1,5 → 48,8 ≤ h ≤ 146,3 cm 97,5 Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume dasapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar: h ≥ l b,φ,pil l b,φ,pil = 53 cm (com gancho, região de boa aderência, C25, φ l ,pil = 20 mm) Adotando h = 90 cm ≥ l bφ,pil = 53 cm, a sapata é rígida.
  27. 27. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 23 A 270cm xA 108,75 97,5 CB 215cm bp 20 B 97,5 CB CA ap CA 97,5 75 97,5 0,15 ap = 11,25 h = 90 ≥ 30 d = 85 p Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 . Para a altura útil pode-se considerar: d = h – 5 cm → d = 85 cm Pressão no solo: 1,1N k 1,1 ⋅1303 p= = = 0,0247 kN/cm2 A ⋅ B 270 ⋅ 215 Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar: h 90 ≤ c ≤ 2h → ≤ c ≤ 2 ⋅ 90 2 2 45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok! Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B : x2A x2 M1A = p ⋅ B ; M1B = p ⋅ A B 2 2 x A = c A + 0,15a p = 97,5 + 0,15 ⋅ 75 = 108,75 cm
  28. 28. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 24 x B = c B + 0,15b p = 97,5 + 0,15 ⋅ 20 = 100,5 cm 108,75 2 M1A = 0,0247 . 215 = 31.402 kN.cm 2 100,5 2 M1B = 0,0247 . 270 = 33.679 kN.cm 2 O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior: M1A 31402 1 = = 0,93 > → ok! M1B 33679 5 A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata. A = 270 31402 B = 215 MB MA 33679 S1A MB = 33679 MA = 31402 Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata. Armadura segundo a dimensão A da sapata: M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm b d 2 215 . 85 2 kc = = = 35,3 Md 43963observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B). Na tabela de kc e ks resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks = 0,023. M1A ,d 43963 A sA = k s = 0,023 d 85 AsA = 11,90 cm2 Armadura segundo a dimensão B da sapata:
  29. 29. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 25 M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm 270 . 85 2 kc = = 41,4 ⇒ β x = 0,02, dom. 2, k s = 0,023 47151 M1B,d 47151 A sB = k s 0,023 d 85 AsB = 12,76 cm2 Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada: M1A ,d 43963 A sA = = = 14,00 cm 2 0,85d . f yd 085 . 85 . 43,48 M1B,d 47151 A sB = = = 15,00 cm 2 0,85d . f yd 0,85 . 85 . 43,48 A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje(cm /m). É necessário tranformar a armadura em cm2/m: 2 14,00 Na dimensão A: = 6,51 cm2/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2/m) 2,15 15,00 Na dimensão B: = 5,56 cm2/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2/m) 2,70 O detalhamento das armaduras está mostrado adiante. Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme asdimensões indicadas na Figura 38. As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são: VA = p B c2A VB = p A c2B A − ap − d 270 − 75 − 85 c 2A = = = 55 cm 2 2 B − b p − d 215 − 20 − 85 c 2B = = = 55 cm 2 2 VA = 0,0247 . 215 . 55 = 292,1 kN VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN As forças cortantes de cálculo, com γf = 1,4 são: VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN VB,d = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN
  30. 30. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 26 A 270cm S2A C2B 42,5 55 S2B 2 d 215cm B bp 20 ap d 2 C2A 75 42,5 55 S2A 85 58,8 90 d d2A h h0 30 p = 0,0247 ap d 2 75 42,5 d2A S2A 20 bp 105 b2A b2A 42,5 2 S2B d b2B 160 Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B . Dimensões d2Ae d2B :  h 90  = = 30 cm h0 ≥ 3 3 → adotado h 0 = 30 cm 20 cm 
  31. 31. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 27  h − h0  d 2 A = d 1 −  ≤ 1,5c 2 A  A − ap    1,5c 2 A = 1,5c 2 B = 1,5 ⋅ 55 = 82,5 cm  90 − 30  d 2 A = 85 1 − = 58,8 cm ≤ 82,5 cm → ok!  270 − 75    h − h0  d 2 B = d 1 −  ≤ 1,5c 2 B  B − bp     90 − 30  d 2 B = 85 1 − = 58,8 cm ≤ 82,5 cm → ok!  215 − 20   d 2 B = d 2 A = 44,3 cm ≤ 93,8 cm → ok! Larguras das seções S2: b 2 A = b p + d = 20 + 85 = 105 cm b 2 B = a p + d = 75 + 85 = 160 cm Forças cortantes limites conforme o CEB-70: 0,474 Vd ,lim = b 2 ⋅ d 2 ⋅ ρ ⋅ f ck γc Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ): A sA 6,67 ρA = = = 0,00113 = 0,113 % ≤ 1 % 100d 2 A 100 ⋅ 58,8 A sB 5,71 ρB = = = 0,000971 = 0,0971 % ≤ 1 % 100d 2 B 100 ⋅ 58,8 0,474 VA,d ,lim = 105 ⋅ 58,8 ⋅ 0,00113 ⋅ 25 = 352,0 kN 1,4 VA,d = 408,9 > VA ,d ,lim = 352,0 kN 0,474 VB,d ,lim = 160 ⋅ 58,8 ⋅ 0,000971 ⋅ 25 = 496,3 kN 1,4 VB,d = 513,5 > VB,d ,lim = 496,3 kN A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, parasapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas:
  32. 32. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 28 f ck Vd ,lim = 0,63 b2 d 2 γc Aplicando ao exemplo: 25 VA,d ,lim = 0,63 105 ⋅ 58,8 = 1.389 kN >> VA,d = 408,9 kN 10 ⋅1,4 Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , asdimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc.Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado aseguir. Verificação da Diagonal Comprimida: uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39). uo = 2 (20 + 75) = 190 cm FSd = N Sd = γ f ⋅ N = 1,4 ⋅1303 = 1.824 kN (sem redução da força pela reação contrária da base da sapata) C 75 20 bp ap Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar. Tensão de cisalhamento atuante: FSd 1824 τSd = = = 0,113 kN/cm2 = 1,13 MPa u o d 190 ⋅ 85 Tensão de cisalhamento resistente:  25  2,5 τ Rd , 2 = 0,27α V ⋅ f cd = 0,27 1 −  = 0,43 kN/cm2 = 4,3 MPa  250  1,4 τSd = 1,13 MPa < τ Rd , 2 = 4,3 MPa Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.Detalhamento (Figura 40) Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB serádistribuída uniformemente no comprimento A. Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.
  33. 33. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 29 c = 97,5 cm > h = 90 cm φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm. cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm). lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm 20 N2 - 19 Ø12,5 C = 285 20 AsB N2 - 19 c/14 (215 - 8)/12 = 17,2 (270 - 8)/14 = 18,7 AsA N1 - 17 c/12 AsB 205 20 20 20 20 AsA 260 20 20 N1 - 17 Ø12,5 C = 340 Øl,pil 97,5 ≥ 14 ≥ lb Øl, pilar ,5 83 30 h = 90 20 lanc ≥ lb ≥ 38 cm Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS1o) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de umasapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com:σsolo = 0,3 MPa Mx = M y = 0C25 θl,pilar = 22,5 mm2o) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata debase circular.2.9 MÉTODO DAS BIELAS O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a
  34. 34. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 30base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração nabase da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura. Biela de compressão Armadura necessária para resistir à força de tração Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata. Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão dasbielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada. A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas. P 0 dN x y dy dT y d0 dT dx dT x dy pd x B A Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas. Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-seas equações:
  35. 35. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 31 p P (A - ap) A.d ds β≥ d d 0= 45° α As dx p A A 2 2 2dP 0 A d0 dN d α α dT dT p d x = dP x dP Figura 43 – Forças na direção x da sapata. dT = dN ⋅ cos α dP = dN ⋅ sen α dP dP x dT = cos α = = p ⋅ dx sen α tgα d0 A p 1 p  A2  Tx = ∫ 2 x ⋅ dx =  − x2  x d0 2 d0  4    1 p (A − a p )  A 2  Tx =  − x2  2 A⋅d  4    Para x = 0, Tx = Tmáx : 1 P (A − a p ) A 2 P (A − a p ) Tx = → Tx = 2 A A⋅d 4 8 d
  36. 36. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 32 De forma análoga para a direção da sapata isolada: P (B − b p ) Ty = 8 d A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações: dN dx σc = onde d s = ds sen α A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máximaocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta: σc = P  1 + ( A − ap 2   ) 2 ap  4 − d0    A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas. A y ap x P bp B Asy ou AsB 1 d ≥ 2 (B - bp) P d ≥ 2 (A - ap) h 1 Asx ou AsA Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata. As armaduras são: Txd Tyd A sx = A sA = ; A sy = A sB = f yd f yd Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é:
  37. 37. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 33    ( ) ( 2 ) 2  σ c,máx = p 1 + A − a p + B − b p  λ ⋅ a p ⋅ bp   1  2 2   4  d0    1− λ    ap bP Onde λ = = (áreas hometéticas). A B No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:     2 p  1  A−a   p σ c,máx = 1 +    λ ⋅A ⋅ap  2  1   d0      1− λ   2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método dasBielas”.Resolução Verificação do ângulo β: d 85 85 tg β = = = = 0,8718 → β = 41,1º < 45º → não ok! 1 1 97,5 (A − a p ) (270 − 75) 2 2portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, demodo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cmtem-se: 100 tg β = = 1,0256 → β = 45,7 º ≥ 45º → ok! 97,5 Forças de tração: P (A − a p ) 1,1 ⋅1303 (270 − 75) Tx = = ⋅ = 349,4 kN 8 d 8 100 P (B − b p ) 1,1 ⋅1303 (270 − 75) Ty = = ⋅ = 349,4 kN 8 d 8 100 1,4 ⋅ 349,4 A sx = A sA = = 11,25 cm2 = Asy = AsB 50 1,15
  38. 38. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 34 A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), comofeito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, nãodeve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida.2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ouforça horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro degravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45). M e divisa H N N MA HA N MB N B A HB Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.2.10.1 Excentricidade em Uma Direçãoa) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46) A Ocorre quando e < . Tem-se: 6
  39. 39. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 35 e N M⋅y N σ= ± A⋅B I N 6e σmín σ máx = (1 + ) A⋅B A σmáx N 6e σ máx = (1 − ) A⋅B A A 6 B B A N núcleo 6 Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia. Ab) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central (e = ) (Figura 47) 6 A N σ máx = 2 A⋅B A 6 N σmáx Figura 47 – Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central. Ac) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central (e > ) (Figura 48) 6 Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novodiagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulocoincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para:
  40. 40. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 36 A 2N σ máx = A A  6 3B  − e  B 2  N e σmín LN σmáx, 1 3(A/2 - e) A0 σmáx LN A0 6 Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora do núcleo central.2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duasdireções. A y N eB x B eA Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções. O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base dasapata, e: N M ⋅y M ⋅x σ= ± B ± A A⋅B I I
  41. 41. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 37 MB MA HB HA N N B A Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata. M A base = M A + H A ⋅ h , M B base = M B + H B ⋅ h MA MB eA = , eB = N N eA eB 1a) Quando + ≤ (Figura 51) A B 6 A y N eB CG x B eA x σ má n σ mí eA eB 1 Figura 51 – Tensões na sapata para + ≤ . A B 6 N  6e A 6e B  σ máx = 1+ + A⋅B  A B  N  6e A 6e B  σ min = 1− − A⋅B  A B  (toda seção seta comprimida)
  42. 42. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 38 eA eB 1b) Quando + > (Figura 52) A B 6 seção comprimida 3 y 1 N eB B eA α x 4 A 2 x σ má n σ mí eA eB 1 Figura 52 – Tensões na sapata para + > . A B 6 N σ máx = σ1 = K1 ⋅ A ⋅ B σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado) σmín = σ4 < 0 K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53. Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é: x y B  +  tg α  A B A  σ mín = σ 4 + (σ1 − σ 4 ) B 1 + tg α A
  43. 43. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 39 Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).
  44. 44. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 40Notas:- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento maisdesfavorável, σ máx = 1,3 σsolo ;- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramentecomprimida, isto é: e A ,g e B, g 1 + ≤ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54). A B 6 Gs1 Gs2 Gb1 Gb2 Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelomenos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo: 2 2  eA   eB  1   +  ≤ A B 92.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,UNESP – Bauru/SP) Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e ummomento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:concreto C25, aço CA-50, σsolo = 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm.Resolução1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor. Área do apoio da sapata: 1,1N 1,1 ⋅ 820 Ssap = = = 41.000 cm2 σsolo 0,022 Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções: 1 1 1 B= (bp − a p + ) ( bp − a p )2 + Ssap = (20 − 60) + 1 (20 − 60)2 + 41000 = 183,5 cm 2 4 2 4adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm.
  45. 45. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 41 A – ap = B – bp A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm Tensões na base da sapata (Figura 55): N M⋅y σ= ± A⋅B I A B ⋅ A3 y= ; I= 2 12 M 6200 e= = = 6,9 cm 1,1N 1,1 ⋅ 820 A 225 = = 37,5 cm 6 6 A e = 6,9 < = 37,5 cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia. 6 1,1 ⋅ 820  6 ⋅ 6,9  2 σ máx = 1 +  = 0,0257 kN/cm > σ solo = 0,022 ∴ não ok! 225 ⋅185  225  Aumentando a seção da base da sapata para: A = 240 cm ; B = 200 cm Obedecendo: A − B = a p − bp → 240 – 200 = 60 – 20 A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm2 = σ solo → ok! 1,1 ⋅ 820 6 ⋅ 6,9 σ mín = (1 − ) = 0,0156 kN/cm2 > 0 (como esperado!) 240 ⋅ 200 240
  46. 46. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 42 M 60 185 20 225 M N 1,1N AB My I 0,0156 0,0220 Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.2) Altura da sapata Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70: A − ap 240 − 60 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 → c = = = 90 cm 2 2 h 0,5 ≤ ≤ 1,5 → 45 ≤ h ≤ 135 cm 90 Pelo critério da NBR 6118/03: A − ap 240 − 60 h≥ ≥ ≥ 60 cm 3 3 É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragemda armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, comgacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm. Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70

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