GEOMETRIA ESPACIAL - CADERNO DE PROVAS

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GEOMETRIA ESPACIAL - CADERNO DE PROVAS

  1. 1. Geometria Gráfica01. Uma propriedade rural é limitada por um quadrilátero convexo ABCD, que apresenta as seguintes medidas: - O ângulo no vértice A mede 90º - O lado AB mede 100 m - O lado AD mede 200 m - O lado CD mede 120 m Sobre tal propriedade, podemos afirmar que: 0-0) para traçar sua planta na escala 1/2000 basta uma folha de papel ofício. 1-1) o quadrilátero ABCD, desenhado na escala 1/2000, terá sua área reduzida 4.000.000 de vezes. 2-2) a área real do quadrilátero é superior a 5 hectares. 3-3) para cercar o terreno com estacas espaçadas de 2 m entre si, é necessário um mínimo de estacas superior a 350. 4-4) pode ser construída uma casa de planta retangular próxima ao vértice C do terreno, com seus lados paralelos aos lados BC e BD. Resposta: VVFFF Justificativa: 0-0) Verdadeira. Na escala dada, o maior lado do quadrilátero terá 11 cm. A menor dimensão do papel ofício é 21,6 cm. 1-1) Verdadeira. A escala de área será o quadrado da escala linear. 2-2) Falsa. O retângulo de lados AB e AD tem área de 2 ha. O quadrilátero ABCD tem área maior que a do retângulo. 3-3) Falsa. O número de estacas será a metade do perímetro, que mede 64 m. 4-4) Falsa. Seria preciso que o ângulo do terreno em C fosse reto, mas ele é agudo. Mesmo sem construir a figura, o candidato pode concluir, pelo Teorema de Pitágoras, que o triângulo BCD é acutângulo.02. Um condomínio habitacional foi projetado usando-se três blocos cujas plantas são quadradas, como moduladas nas figuras abaixo. No conjunto, seus vértices são unidos, dois a dois, formando um pátio triangular entre os blocos. Neste caso, podemos afirmar que: 0-0) o pátio é um triângulo retângulo. 1-1) o lado do bloco menor não tem comprimento suficiente para formar um triângulo com os lados dos dois blocos maiores. 2-2) a área do pátio tem a mesma medida que a área da base do bloco menor. 3-3) se, no projeto, estiver prevista a descida dos canos de esgoto pelas arestas comuns aos blocos, então os engenheiros pensarão em construir uma fossa equidistante dos vértices do pátio. Entretanto, tal ponto não se situa no interior do pátio. 4-4) se for duplicada a área do quadrado menor, mantendo-o quadrado, o pátio será um triângulo retângulo. Resposta: FFFVF Justificativa: 0-0) Falsa. A soma dos quadrados dos lados menores é inferior ao quadrado do lado maior, o que caracteriza um triângulo obtusângulo. 1-1) Falsa. A soma dos lados menores ultrapassa o lado maior. 2-2) Falsa. Se o triângulo fosse retângulo seria verdadeiro, pois seus catetos mediriam 2 e 4 módulos. A área do pátio seria de 4 módulos quadrados. 3-3) Verdadeira. Sendo o pátio obtusângulo, seu circuncentro está fora da sua área interna. 4-4) Falsa. O quadrado de área 8 módulos quadrados teria lado medindo menos de 3 módulos, medida necessária para o cateto de um triângulo retângulo, com os outros lados medindo 4 e 5 módulos.
  2. 2. 03. Sobre as propriedades dos quadriláteros, analise as proposições abaixo. 0-0) Em todo paralelogramo, as diagonais se cruzam em seus pontos médios. 1-1) Todo trapézio isósceles possui no máximo 3 lados congruentes. 2-2) Todo trapézio retângulo possui no máximo 2 lados congruentes. 3-3) Em todo losango, as diagonais coincidem com as bissetrizes dos ângulos internos e são congruentes. 4-4) Todo quadrilátero que possui dois pares distintos de lados consecutivos congruentes apresenta diagonais ortogonais. Resposta: VVVFV Justificativa: 0-0) Verdadeira. Todo paralelogramo apresenta simetria central binária. Para tal, o polo deve coincidir com o ponto médio da diagonal, centro do quadrilátero. 1-1) Verdadeira. Para que o trapézio seja isósceles, é necessário que os dois lados não paralelos sejam congruentes, porém um dos lados paralelos pode ser congruente aos outros dois. 2-2) Verdadeira. Todo trapézio retângulo é escaleno, ou seja, os lados opostos são sempre distintos, desse modo apenas dois lados consecutivos podem ser congruentes. 3-3) Falsa. Todo losango possui coincidência entre as diagonais e as bissetrizes dos ângulos internos em virtude da congruência entre os lados, porém nem todo losango possui diagonais congruentes; apenas os losangos equiangulares, ou seja, os quadrados. 4-4) Verdadeira. O candidato pode associar essas propriedades à forma de uma pipa. Caso não consiga fazer essa associação, pode deduzir a partir de propriedades de LG de equidistância. Considerando um quadrilátero ABCD com dois pares distintos de lados consecutivos congruentes, um vértice comum a um par (vértice A) será equidistante aos extremos desse par (B e D), como também o outro vértice comum (vértice C) será equidistante aos mesmos extremos (B e C). Se A e C são equidistantes de B e D, pertencem à mediatriz do segmento BD, que é ortogonal a esse segmento.04. Um tronco de cone de revolução tem a base menor com diâmetro medindo a metade do diâmetro da base maior. Nesse sólido pode ser inscrita uma esfera, que se encaixará na superfície lateral, tangenciando as duas bases. Sobre esse tronco de cone, podemos afirmar que: 0-0) ele foi cortado de um cone inteiro, com altura medindo o dobro do diâmetro da esfera inscrita no tronco. 1-1) a esfera inscrita tocará na superfície lateral do tronco ao longo de uma circunferência, em um plano paralelo às bases do tronco de cone. 2-2) a geratriz do tronco de cone medirá a soma dos raios das duas bases do tronco. 3-3) a planificação da superfície lateral do cone inteiro que gerou o tronco em questão será um setor circular de ângulo medindo 120º. 4-4) o volume do tronco de cone medirá 7/8 do volume do cone inteiro.
  3. 3. Resposta: VFVVV Justificativa: Basta ao candidato visualizar uma seção meridiana do cone. Ela conterá o quadrilátero ABCD, seção do tronco de cone por tal plano meridiano. É um trapézio circunscrito a um círculo, seção meridiana da esfera inscrita no tronco de cone. 0-0) Verdadeira. Como AB mede a metade de CD, a altura da porção superior do cone medirá a metade da altura do cone inteiro. Ou seja, a medida do diâmetro da esfera. 1-1) Falsa. A primeira parte da proposição é verdadeira, mas a circunferência de contato da esfera com a superfície lateral do tronco de cone está mais próxima da base menor do tronco de cone do que da base maior. 2-2) Verdadeira. No quadrilátero circunscrito ao círculo, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois. 3-3) Verdadeira. A geratriz VD do cone inteiro medirá 3 vezes o raio da base. 4-4) Verdadeira. O cone de meridiano VAB tem volume medindo 1/8 do volume do cone inteiro.05. Uma treliça metálica tem a forma de um triângulo, de lados medindo 3 m, 4 m e 5 m, reforçado com a mediana do triângulo, relativa ao lado maior. Para armar uma peça semelhante, usando um único perfil metálico de 6 m, dobrado em três pontos, mas sem cortes nem sobras, pode ser afirmado o seguinte: 0-0) o triângulo semelhante é retângulo. 1-1) os comprimentos dos lados e da mediana estão reduzidos à metade da treliça original. 2-2) a área delimitada pela peça será menos de 1/5 da área delimitada pela treliça. 3-3) a mediana mede a metade do lado maior. 4-4) não é possível armar a peça sem cortar o perfil de 6 m. Resposta: VFVVF Justificativa: O candidato pode construir a treliça em escala reduzida para medir seus ângulos, permitindo a construção da peça semelhante na mesma escala. No entanto, pode obter a sua solução apenas analítica. 0-0) Verdadeira. As medidas da treliça são números pitagóricos. 1-1) Falsa. Se não houvesse a mediana, a peça usaria todos os 6 metros do perfil para armar o perímetro do triângulo, que ficaria com seus lados medindo a metade do que medem na treliça original. Então, a redução é para menos da metade. 2-2) Verdadeira. A relação linear entre as medidas da treliça e as medidas da peça reduzida é 14,5/6, ou seja, pouco mais de 2,4. A relação entre as áreas será o quadrado da razão linear, ultrapassando 5. 3-3) Verdadeira. No triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa mede a metade desse lado. 4-4) Falsa. O perfil de 6 metros pode ser dobrado da maneira visualizada na figura abaixo.
  4. 4. 06. Uma poltrona tem, na figura ao lado, sua representação em perspectiva cavaleira. Quais, entre as demais figuras, podem ser vistas ortogonais dessa mesma poltrona? 0-0) Figura A 1-1) Figura B 2-2) Figura C 3-3) Figura D 4-4) Figura E Resposta: VVVVF Justificativa: 0-0) Verdadeira. Pode ser a vista frontal da figura. 1-1) Verdadeira. Pode ser a vista superior da figura. 2-2) Verdadeira. Pode ser a vista lateral da figura. 3-3) Verdadeira. Pode ser a vista posterior da figura. 4-4) Falsa. Parece ser a vista inferior, mas foi desenhada com a saliência à esquerda, quando deveria tê-la à direita.07. Um canteiro de praça tem a forma da figura abaixo, ABDEF, em que AB é um arco de circunferência de centro C. Para plantar flores e grama, o canteiro foi dividido em áreas limitadas por linhas equidistantes de seu perímetro. Sobre esses lugares geométricos de equidistância, podemos afirmar que: 0-0) FG, DI e EI são segmentos de retas, bissetrizes dos ângulos nos vértices. 1-1) HI é um segmento de reta, equidistante de BD e EF. 2-2) BH é arco de parábola. 3-3) AG é arco de hipérbole. 4-4) GH é arco de elipse. Resposta: VVVFF Justificativa: 0-0) Verdadeira. Lugares geométricos equidistantes de retas concorrentes. 1-1) Verdadeira. Lugar geométrico equidistante de retas paralelas. 2-2) Verdadeira. Lugar geométrico equidistante de reta e circunferência. 3-3) Falsa. Também é arco de parábola, como lugar geométrico equidistante de reta e circunferência. 4-4) Falsa. Também é arco de parábola, embora EF não corte AB.
  5. 5. 08. A planificação dos poliedros é mais simples de ser identificada quando resultam em figuras simétricas. As figuras abaixo mostram três poliedros regulares com sua superfície planificada. Elas têm eixo ou centro de simetria. Sobre esta afirmação, analise as proposições a seguir. A B C D E F 0-0) O tetraedro tem eixo de simetria na planificação da figura A, e centro de simetria na figura D. 1-1) O hexaedro tem centro de simetria na planificação da figura B, e eixo de simetria na figura E. 2-2) O octaedro tem centro de simetria na planificação da figura C, e eixo de simetria na figura F. 3-3) Todos os poliedros têm eixo de simetria numa das planificações da figura e centro de simetria na outra. 4-4) Nem todas as figuras dadas têm eixo ou centro de simetria. Resposta: FFVVF Justificativa: 0-0) Falsa. O tetraedro tem centro de simetria na planificação A, e eixo de simetria na figura D. 1-1) Falsa. O hexaedro tem eixo na planificação B, e centro na E. 2-2) Verdadeira. O octaedro tem centro e eixo nas planificações citadas. 3-3) Verdadeira. Decorre dos dois anteriores. 4-4) Falsa. Decorre dos itens anteriores.09. A figura ao lado é uma vista ortogonal de um poliedro regular convexo. Entre as alternativas apresentadas, quais também podem ser projeções ortogonais da mesma forma? A B C D E 0-0) Figura A 1-1) Figura B 2-2) Figura C 3-3) Figura D 4-4) Figura E
  6. 6. Resposta: VFFFV Justificativa: O poliedro representado é um octaedro em simetria ternária. 0-0) Verdadeira. Simetria binária do octaedro. 1-1) Falsa. A vista binária do octaedro não é composta por dois triângulos equiláteros, e sim por dois triângulos isósceles cujos lados correspondem à medida do lado e altura de um triângulo equilátero. 2-2) Falsa. Mesma justificativa da proposição anterior. Além disso, nenhum poliedro platônico apresenta linha tracejada na simetria binária. 3-3) Falsa. É a simetria binária do tetraedro. 4-4) Verdadeira. É a simetria quaternária do octaedro.10. As figuras abaixo são tentativas de representação visual de três sólidos redondos, todos eles de bases circulares e contidas em planos paralelos entre si. V é o vértice, na terceira figura. Sobre as figuras, analise as proposições a seguir. 0-0) A figura 1 não pode representar um cilindro, seja em vista ortogonal ou em perspectiva. 1-1) A figura 2 não pode representar um tronco de cone. 2-2) A figura 3 só pode representar um cone de pequena altura. 3-3) A figura 1 pode representar um tronco de cilindro. 4-4) Se V estivesse no centro do círculo, a figura 3 representaria um cone de revolução. Resposta: VVFVV Justificativa: 0-0) Verdadeira. Em nenhum sistema de representação gráfica podem aparecer em linha cheia as duas bases paralelas de um cilindro. 1-1) Verdadeira. As duas bases deveriam aparecer como elipses de mesma excentricidade. Nenhuma delas pode apresentar vértices angulosos, como a base inferior da figura. 2-2) Falsa. Desde que o vértice se projete ortogonalmente no interior da base, não importa a mediada da altura do cone, pois a vista de cima pode apresentar o aspecto da terceira figura, se estiver representado em cavaleira. 3-3) Verdadeira. No tronco de cilindro as bases não são paralelas, podendo ambas ser visíveis. 4-4) Verdadeira. O vértice estaria no centro da base, se a figura fosse a vista superior do cone de revolução.
  7. 7. 11. Cortando-se o hexaedro pelos planos ABC e DEFG, e retirando-se uma das duas partes obtidas por esse corte, podemos obter peças diferentes. Observe as peças representadas pelas figuras 1, 2, 3, 4 e 5, abaixo, e analise as proposições a seguir. 0-0) Pode ser obtida a peça 1. 1-1) Pode ser obtida a peça 2. 2-2) Pode ser obtida a peça 3. 3-3) Pode ser obtida a peça 4. 4-4) Pode ser obtida a peça 5. Resposta: VVFFV Justificativa: 0-0) Verdadeira. Retirou-se parte décima de ABC e parte de cima de DEFG. 1-1) Verdadeira. Retirou-se parte de cima de ABC e parte de cima de DEFG. 2-2) Falsa. Retirou-se parte da área de DEFG, mas apenas foi demarcado onde passaria o corte ABC, que não foi executado. 3-3) Falsa. Retirou-se parte de cima de ABC, mas apenas foi demarcado onde passaria o corte DEFG, que não foi executado. 4-4) Verdadeira. Retirou-se parte de cima de DEFG e parte de baixo de ABC.12. Um objeto de forma poliédrica tem como vista ortogonal direita a figura A, como vista frontal a figura B, e como vista superior a figura C. Sobre esse objeto, podemos afirmar que: A B C
  8. 8. 0-0) não existe poliedro com essas três vistas. 1-1) as três vistas são compatíveis. 2-2) ignorando a vista A, existe um poliedro que apresenta B como vista de frente, e C como vista superior. 3-3) ignorando a vista C, existe um poliedro que tem a vista direita como A, e a vista frontal como B. 4-4) ignorando a vista B, existe um poliedro que apresenta a vista lateral A, e a vista superior C. Resposta: VFVFV Justificativa: 0-0) Verdadeira. Não há sólido de faces planas com as vistas dadas. 1-1) Falsa. Como não há sólido de faces planas com as vistas dadas, as três vistas não são compatíveis. 2-2) Verdadeira. A vista lateral seria a seguinte figura: 3-3) Falsa. A e B são vistas incompatíveis. 4-4) Verdadeira. A vista frontal seria a seguinte figura:13. No hexaedro representado abaixo em perspectiva cavaleira, os pontos A, B e C determinam um plano. Qual(is) alternativa(s) corresponde(m) ao contorno do polígono resultante da seção do hexaedro por tal plano? Observe que A e B são vértices, e C é o ponto médio de uma aresta do poliedro. 0-0) Triângulo equilátero. 1-1) Triângulo isósceles. 2-2) Paralelogramo obliquângulo. 3-3) Paralelogramo equilátero. 4-4) Losango.
  9. 9. Resposta: FFVVV Justificativa: A seção definida por A, B e C corta também a aresta oposta a C também em seu ponto médio. Dessa maneira, a seção assume a forma de um paralelogramo. Em cada face, a distância do ponto médio aos vértices não consecutivos é a mesma. Por consequência a seção é equilátera, tendo como forma da seção um losango. Além disso, por possuir lados opostos paralelos e congruentes, também integra o grupo dos paralelogramos. 0-0) Falsa. A seção é um quadrilátero. 1-1) Falsa. A seção é um quadrilátero. 2-2) Verdadeira. Todo losango é obliquângulo. 3-3) Verdadeira. Todo losango é equilátero. 4-4) Verdadeira. A seção é um losango.14. Uma circunferência c, de centro O, é secionada por duas retas (r e s), como ilustrado abaixo. Neste caso, o ângulo formado na interseção das retas, relativo à circunferência será: (A) (B) (C) (D) (E) 0-0) inscrito em (A) e circunscrito em (E). 1-1) de segmento em (B) e de reta em (C). 2-2) excêntrico interno em (D) e excêntrico externo em (E). 3-3) de segmento em (C) e excêntrico interno em (D). 4-4) inscrito em (A) e de segmento em (B). Resposta: FFVVF Justificativa: Por definição, temos: em (A), ângulo inscrito; em (B), ângulo excêntrico externo; em (C), ângulo de segmento; em (D), ângulo excêntrico interno; em (E), ângulo excêntrico externo. Assim: 0-0) Falsa. 1-1) Falsa. 2-2) Verdadeira. 3-3) Verdadeira. 4-4) Falsa.
  10. 10. 15. Em uma circunferência, foram inscritos quatro polígonos regulares convexos: um triângulo, um quadrado, um pentágono e um hexágono, resultando na figura abaixo. Sobre esta figura podemos afirmar que: 0-0) o lado do hexágono é igual ao raio da circunferência circunscrita. 1-1) a altura do triângulo vale ¾ do diâmetro da circunferência. 2-2) o quadrado é inscritível porque a soma das medidas de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois. 3-3) o pentágono é inscritível porque a soma dos seus ângulos opostos é 360º. 4-4) a medida do lado do triângulo é o dobro da medida do lado do hexágono. Resposta: VVFFF Justificativa: 0-0) Verdadeira. O hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros, tendo o seu centro como vértice comum. 1-1) Verdadeira. No triângulo equilátero o baricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem. O baricentro, centro de gravidade, está a 1/3 de um lado e a 2/3 do vértice oposto. 2/3 desta medida equivalem ao raio; logo, a altura do triângulo vale ¾ do diâmetro da circunferência. 2-2) Falsa. Todo polígono regular convexo é inscritível e circunscritível. Além disso, a condição apresentada refere-se à circunscrição dos quadriláteros em geral. 3-3) Falsa. Todo polígono regular convexo é inscritível e circunscritível. Além disso, o pentágono não possui ângulos ditos ‘opostos’. 4-4) Falsa. A medida do lado do hexágono é igual ao raio da circunferência circunscrita. O lado do triângulo é √ .16. O gráfico abaixo representa uma função do tipo f(x)=ax²+bx+c. Quanto a essa função, podemos afirmar que:
  11. 11. 0-0) a curva descrita é o Lugar Geométrico dos pontos, tais que d(P,A)=d(P,x).1-1) existe uma curva simétrica a esta, em relação a x, com centro em um ponto A’ e vértice O’, tal que d(P,A)– d(P,A’)=d(O,O’).2-2) a curva é uma hipérbole, uma vez que o seu centro é um ponto impróprio.3-3) o ponto A e a reta x admitem três circunferências que passam por A e tangenciam x, com centros em O, B e P(0,3), respectivamente.4-4) existe uma curva simétrica a esta curva, em relação a y, que determina com a primeira uma curva cônica de dupla curvatura.Resposta: VFFVFJustificativa:0-0) Verdadeira. Os pontos da parábola são equidistantes do foco e da diretriz.1-1) Falsa. A curva tal que d(P,A)–d(P,A’)=d(OO’) é a hipérbole, sendo (A) e (A’) seus focos e OO’ o seu diâmetro principal.2-2) Falsa. A curva é uma parábola. De fato, seu centro é impróprio, o que não acontece com a hipérbole.3-3) Verdadeira. Sendo a parábola o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto e de uma reta do seu plano, (P) fora da reta, é possível traçar uma infinidade de circunferências nas condições dadas, inclusive as especificadas.4-4) Falsa. Podemos, sim, traçar uma curva simétrica à curva dada, em relação a y. Serão apenas duas parábolas simétricas. Além disso, não existe uma tal curva cônica de dupla curvatura.

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