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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 4
BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS
1 BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial finit...
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conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas
do principais espa...
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Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores {v1 , v 2 ,..., v n } é base de V
se for LI-Maximal....
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b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V

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Exemplo (3): Seja W = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ / x − 2 y + t = 0} . ...
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Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3, onde U = {( x , y, z) ∈ ℜ / x − 2 y + z = 0} e

W = {( x , y, z) ∈ ℜ 3 ...
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Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear

x − y − z − t = 0
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L :  ...
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a = −1
 − 1
 

v = (−1,5,−8) = a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) ⇒  b = 5 ⇒ [ v]C =  5 
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c = −8
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1) Seja W = {a o + a 1 t + a 2 t + a 3 t ∈ P3 (ℜ) / a o = 2a 2 − 5a 3 e a 1 = a 2 − 4a 3 } . Determine uma base e...
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  1. 1. 34 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 4 BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS 1 BASE Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito B ⊂ V satisfazendo: a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V. b) B é LI. Exemplo (1): Mostre que B = {(1,2,3), (0,1,2), (1,−1,2)} é base do ℜ3. Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3 se escreve 3 como combinação linear de B. Seja v = ( x , y, z ) ∈ ℜ . Então, existem escalares a, b e c ∈ℜ tais que: x =a+c   v = ( x , y, z) = a (1,2,3) + b(0,1,2) + c(1,−1,2) ⇒  y = 2a + b − c . Resolvendo z = 3a + 2b + 2c  4x + 2y − z  a=  5  − 7 x − y + 3z  o sistema teremos: b = , mostrando que o sistema tem solução. Logo, 5   c = x − 2y + z  5  B gera o ℜ3. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3, se três vetores não são 1 coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0 2 3 1 2 ≠ 0. 1 −1 2 Portanto B é base do ℜ3. O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se
  2. 2. 35 conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas do principais espaços vetoriais. São elas: • ℜ ⇒ {1} • ℜ2 ⇒ {(1,0), (0,1)} • ℜ3 ⇒ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} • ℜn ⇒ {(1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,0,...,1)} • M 2 x 2 (ℜ) ⇒   • Pn (ℜ) ⇒ 1, t , t ,..., t  1 0   0 1   0 0   0 0  ,  ,  ,        0 0   0 0   1 0   0 1  { 2 n } Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de suas bases têm o mesmo número de vetores. ► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜn Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada. Exemplo (2): Seja W um subespaço do ℜ4 que possui o seguinte sistema de geradores [(2,1,1,0), (1,0,1,2), (0,−1,1,4), (3,0,3,6)] . Determine uma base para W. Solução: Vamos aplicar o processo acima: 1 0  1 2 0 −1  3 0  1 2  1 0  − 2 L1 + L 2 → 1 4  −3L1 + L 4  3 6  1 2 1 0   0 1 − 1 − 4  1L 2 + L3  → 0 −1 1 4   0 0 0 0   1  0 0  0  0 1 2  1 −1 − 4 0 0 0  0 0 0  Retiradas as linhas nulas, temos que B = {(1,0,1,2), (0,1,−1,−4)} é base de W. Definição: Um conjunto de vetores {v1 , v 2 ,..., v n } ⊂ V é dito LI-Maximal se: a) {v1 , v 2 ,..., v n } é LI b) {v1 , v 2 ,..., v n , w} é LD, ∀w ∈ V .
  3. 3. 36 Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores {v1 , v 2 ,..., v n } é base de V se for LI-Maximal. 2 DIMENSÃO Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V, denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases. OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos estudos. Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir: • dim(ℜ) = 1; dim(ℜ 2 ) = 2; dim(ℜ) 3 = 3;..., dim(ℜ n ) = n • dim( M 2 x 2 ) = 4 = 2 x 2 • dim( M mxn ) = m ⋅ n • dim( Pn ) = n + 1 • dim({0}) = 0 Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos completar um conjunto LI de maneira a obter uma base. Proposição (2): Seja W ⊆ V um subespaço de V. Se dim( W ) = dim(V ) então W = V . Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e B = {v1 , v 2 ,..., v n } uma de suas bases. Então, todo elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores da base B. Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então: dim( U + W ) = dim( U) + dim( W ) − dim(U ∩ W ) . Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que dim(V ) = n . Então: a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.
  4. 4. 37 b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V 4 Exemplo (3): Seja W = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ / x − 2 y + t = 0} . Determine a dimensão de W. Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W temos que: x − 2 y + t = 0 ⇒ x = 2 y − t . Então todo vetor de W é da forma (2 y − t , y, z, t ), ∀y, z, t ∈ ℜ . Determinando um sistema de geradores para W: (2 y − t , y, z, t ) = y(2,1,0,0) + z(0,0,1,0) + t (−1,0,0,1) . O conjunto formado pelos vetores S = {( 2,1,0,0), (0,0,1,0), ( −1,0,0,1)} é um sistema de geradores de W. Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:  − 1 0 0 1 2 L + L  − 1 0 0 1   1 2  2 1 0 0  →  0 1 0 2  . A matriz está escalonada e não apresenta   0 0 1 0  0 0 1 0     nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é base de W. Portanto, dim( W ) = 3 . OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor, com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é S = {( 2,1,0,0), (0,0,1,0), (−1,0,0,1)} , cujos vetores têm 4 2 coordenadas, mas 3 dim( W ) = 3 , porque na base S temos 3 vetores. 2 3 2 3 Exemplo (4): Seja U = [1 − 2 t , 2 t + t − t ,1 + t − t , 2 − 6t − t + t ] . Qual é a dimensão de U? Solução: O enunciado diz que o subespaço U ⊂ P3 (ℜ) é gerado pelos vetores dados. Para determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com os coeficientes dos polinômios dados. 0 0 0 0 0 1 −2 1 −2 1 −2 0       2 1 − 1 −1L1 + L3  0 2 1 − 1 −1L 2 + L3  0 2 1 − 1 0 Então:  → → 1 0 1 − 1 − 2 L1 + L 4  0 2 1 − 1 1L 2 + L 4  0 0 0 0       2 − 6 − 1 1  0 − 2 −1 0 1 0 0 0       Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja, B = {1 − 2 t , 2 + t 2 − t 3 } é base de U. Portanto, dim( U) = 2 .
  5. 5. 38 3 Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3, onde U = {( x , y, z) ∈ ℜ / x − 2 y + z = 0} e W = {( x , y, z) ∈ ℜ 3 / 3x + 2 y + z = 0} . Determine uma base e a dimensão para U + W e U ∩ W . O ℜ3 = U ⊕ W ? Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever: U = {( 2 y − z, y, z), ∀y, z ∈ ℜ} ⇒ (2 y − z, y, z) = y(2,1,0) + z(−1,0,1) ⇒ B U = {(2,1,0), (−1,0,1)} é base de U ⇒ dim( U) = 2 W = {( x , y,−3x − 2 y), ∀x , y ∈ ℜ} ⇒ ( x , y,−3x − 2 y) = x (1,0,−3) + y(0,1,−2) ⇒ B W = {(1,0,−3), (0,1,−2)} é base de W ⇒ dim( W ) = 2 a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base. Então, seja S = B U ∪ B W = {( 2,1,0), ( −1,0,1), (1,0,−3), (0,1,−2)} o sistema de geradores de U+W. Aplicando o processo teremos:  1   0  −1   2  − 3 1   1 − 2  1L1 + L3  0 → 0 1 − 2 L1 + L 4  0   0 1 0   0 − 3 1   1 − 2  −1L2 + L 4  0 →  0 − 2 0   0 1 6   0 − 3 1   1 − 2  4 L3 + L 4  0 →  0 − 2 0   0 0 8   0 − 3  1 − 2 . 0 − 2  0 0  0 B U + W = {(1,0,−3), (0,1,−2), (0,0,−2)} é base de U+W ⇒ dim( U + W ) = 3 . b) Pelo Teorema (1): dim( U + W ) = dim( U) + dim( W ) − dim(U ∩ W ) ⇒ 3 = 2 + 2 − dim( U ∩ W ) ⇒ dim( U ∩ W ) = 1 . Portanto, sua base tem que conter apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na interseção, fazemos:  2a − b = α  ( x , y, z) = a (2,1,0) + b(−1,0,1) = α (1,0,−3) + β(0,1,−2) ⇒  a =β ⇒ b = −3α − 2β  substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: b = −3( 2a − b) − 2a ⇒ b = 4a . Então: ( x , y, z ) = a ( 2,1,0) + 4a ( −1,0,1) = a ( −2,1,4) ⇒ B U ∩ W = {( −2,1,4)} é base de U ∩ W . c) O ℜ3 não é soma direta de U com W porque dim( U ∩ W ) = 1 ≠ 0 ⇒ U ∩ W ≠ {0}
  6. 6. 39 Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear x − y − z − t = 0  L :  2x + y + t = 0  z−t =0  Solução: Como o sistema L é SPI, ele possui infinitas soluções do tipo S = {( x , y, z, t ), ∀x , y, z, t ∈ ℜ} . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial. Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos: S = {( x ,−5x ,3x ,3x ), ∀x ∈ ℜ} . Então: B = {(1,−5,3,3)} é base de S ⇒ dim(S) = 1 . 3 COORDENADAS DE UM VETOR A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer B = {v1 , v 2 ,..., v n } , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por diante até o último que sempre será vn. Definição: Sejam V um espaço vetorial e B = {v1 , v 2 ,..., v n } uma de suas bases ordenadas. Qualquer vetor v ∈ V se escreve, de maneira única, como combinação linear da base B. Existem escalares a 1 , a 2 ,..., a n ∈ K , tais que v = a 1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n . Assim, os escalares a 1 , a 2 ,..., a n são chamados de coordenadas do vetor v em relação  a1    a2  a base B, denotado por: [ v] B =   ...   a   n Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor v = ( −1,5,−8) em relação: a) Base canônica b) B = {(1,1,0), ( 2,01), ( 2,−1,1)} Solução: a) A base canônica do ℜ3 é C = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} . Então:
  7. 7. 40 a = −1  − 1    v = (−1,5,−8) = a (1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) ⇒  b = 5 ⇒ [ v]C =  5   − 8 c = −8    b) Escrevendo v como combinação da base B teremos: a + 2b + 2c = −1  15     v = (−1,5,−8) = a (1,1,0) + b(2,0,1) + c(2,−1,1) ⇒  a − c = 5 ⇒ [ v]B =  − 18   10   b + c = −8    OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço. Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor p( t ) = 2 + 4 t + t 2 em relação a base B = {−2,1 − t ,1 + 2 t − 3t 2 } Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então: p( t ) = 2 + 4 t + t 2 = a (−2) + b(1 − t ) + c(1 + 2 t − 3t 2 ) ⇒ 2 + 4 t + t 2 = (−2a + b + c) + (−b + 2c) t + (−3c) t 2  − 7  2 [p( t )]B =  − 14  3  − 1  3 Exercícios Propostos ⇒ 2 = −2a + b + c   4 = − b + 2c  1 = −3c  ⇒
  8. 8. 41 2 3 1) Seja W = {a o + a 1 t + a 2 t + a 3 t ∈ P3 (ℜ) / a o = 2a 2 − 5a 3 e a 1 = a 2 − 4a 3 } . Determine uma base e a dimensão de W. Resp: B = {2 + t + t , − 5 − 4 t + t } ⇒ dim( W ) = 2 2 3 2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde: W = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ 4 / x − 2 y = 0 e z = −3t} U = {( x , y, z, t ) ∈ ℜ 4 / 2 x − y + 2z − t = 0} Resp: B W + U = {(1,2,0,0), (0,−1,0,1), (0,0,−3,1), (0,0,0,−3)} ⇒ dim( W + U) = 4  14 7  B W ∩ U =  , ,−3,1 ⇒ dim( W ∩ U) = 1   3 3  a b    ∈ M 2 x 2 (ℜ) / a = 2b e d = −c . Determine uma base e a dimensão de   c d   3) Seja W =   W e estenda a base de W para obter uma base de M 2 x 2 (ℜ) . 0   2 1   0  2 1   0 0   1 0   0 0  ,   e B M 2 x 2 =    0 0 ,  1 − 1,  0 0 ,  0 1        0 0   1 − 1        Resp: B W =    x + y + 2z + 2 t  − 3x + 3y − z + t  4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema  − 2 x + 4 y + z + 3 t  6 y + 5z + 7 t  =0 =0 =0 =0 Resp: B = {( −7,−5,6,0), ( −5,−7,0,6)} e dim(S) = 2 3 5) Mostre que o ℜ é soma direta do ( π) : x − 2 y + 5z = 0 com a reta ( r ) : x y = = z. 2 −1

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