Continuacion de Polinomios Guia nº 5

1. POLINOMIOS
I. Definición de Polinomios:
Guía de trabajo Se llama polinomio a la siguiente expresión por
Nº 5 ejemplo:
𝟏 𝟒
𝑷 𝒙 = 𝟑 + 𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 𝟑 + 𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 𝟓
OBJETIVO Nº 3: 𝟐
Donde cada número que acompaña a las 𝒙 se llama
coeficiente, cada expresión que está entre los signos
General: más o menos se llama término, los pequeños números que
están sobre las variables se llaman exponentes de cada
Estudiar las término y el número que no está acompañado de la
determinantes
variable se llama término independiente.
Los polinomios se pueden representar con cualquier
Específicos:
letra mayúscula o variable por ejemplo: 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑦 , 𝑅 𝑧 …
Finalmente para que una expresión sea polinómica la
 Definir
determinantes variable siempre debe tener todos sus exponentes
 Calcular el valor de positivos.
determinantes
 Conocer las
propiedades de los II. Valor numérico de un Polinomio:
determinantes
Sea 𝑃 𝑥 un polinomio y 𝑎, un número real, se
llama valor numérico del polinomio 𝑃 𝑥 para 𝑥 = 𝑎, al
valor que se obtiene al sustituir 𝑥 por 𝑎 en el
polinomio. Ejemplo:
Dado el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓, halar su valor para
1
𝑥=2
𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓
𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕
𝑷 𝟐
= 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟓 𝑷 𝟐
= 𝟒− 𝟐+ 𝟓 𝑷 𝟐
= 𝟒+ 𝟑= 𝟒
III. Propiedad fundamental de la división:
Dado dos polinomios 𝐷 𝑥 y 𝑑 𝑥 , con grado
𝐷 𝑥 ≥ 𝑑 𝑥 , al efectuar la división de 𝐷 𝑥 entre 𝑑 𝑥 ,
se hallan dos polinomios 𝑐 𝑥 y 𝑅 𝑥 , se obtiene que
𝑅 𝑥 < 𝑐 𝑥 y se obtiene la propiedad fundamental de la
división que es:
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 ∙ 𝑐 𝑥 + 𝑅(𝑥)
Donde 𝐷 𝑥 es el dividiendo, d 𝑥 es el divisor, 𝑐 𝑥 es
el cociente y 𝑅 𝑥 es el resto o residuo del polinomio.
1

2. I.- Ejercicios Propuestos
1. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 para los valores
𝟏
𝒙 = 𝟏, −𝟐, 𝟑
2. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟏 para los valores
𝟏
𝒙 = 𝟎, −
𝟒
3. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y calcule su valor
𝟏
numérico para 𝒙 = 𝟒, −𝟐, − 𝟏𝟐
, 𝟐, 𝟗
4. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟓 − 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟐 y calcule su valor
𝟐
numérico para 𝒙 = −𝟓, −𝟏, 𝟎,
𝟐
5. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = −𝒙 𝟓 + 𝟓𝒙 𝟒 − 𝟕𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒
𝟏
cuando 𝒙 = −𝟑, − , − 𝟑
𝟐
6. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟓 + 𝟑 𝟑𝒙 𝟒 + 𝟕𝒙 𝟑 + 𝟐 𝟑𝒙 𝟐 −
𝟑𝒙 + 𝟑 𝟑 cuando 𝒙 = − 𝟑
7. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟑 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟑,
obtener el cociente y el resto de la división
8. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟑 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐+ 𝒙+
𝟑,comprobar la propiedad fundamental de de la división
9. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, obtener el cociente
y el resto de la división
10. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, comprobar la
propiedad fundamental de de la división
11. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 − 𝟐𝒙 + 𝟏, obtener
el cociente y el resto de la división
12. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏,
comprobar la propiedad fundamental de de la división
13. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, obtener el
cociente y el resto de la división
14. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, comprobar la
propiedad fundamental de de la división
2

3. IV. Regla de Ruffini:
Es un método que permite aplicar un conjunto de normas prácticas que
sirven para abreviar un poco el proceso de efectuar una división por el
método usual, siempre y cuando el divisor sea un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑏
o 𝑎𝑥 ± 𝑏. El término que dividirá a cada coeficiente del dividiendo será
el opuesto del término independiente del divisor. Cabe destacar que antes
de proceder a dividir el polinomio por este método, hay que verificar que
el polinomio este completo y en caso de que no lo este, se debe
completar, como ya se ha visto en clase.
Por otra pare si el divisor es de la forma 𝑎𝑥 ± 𝑏, se debe proceder a
dividir el dividiendo y el divisor por el coeficiente de la variable que
es 𝑎 del divisor 𝑎𝑥 ± 𝑏. Si el polinomio posee fracciones y estas se
pueden simplificar hay que hacerlo ya que facilita la resolución de las
operaciones
Ejemplo:
CASO I: forma 𝑥 ± 𝑏
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 + 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2, hallar el cociente
y el resto aplicando la regla de Ruffini
1 3 −2 0 3
−2 −2 −2 8 −16
1 1 −4 8 −13
𝐶 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 8 y el 𝑅 𝑥 = −13
CASO II: forma 𝑎𝑥 ± 𝑏
1
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 10𝑥 2 − 7𝑥 + 5 y 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + , hallar el cociente y
3
el resto aplicando la regla de Ruffini (El coeficiente 𝑎 es 2)
10𝑥 2 7𝑥 5 7𝑥 5
𝑃 𝑥 = 10𝑥 2 − 7𝑥 + 5 = − + = 5𝑥 2 − +
2 2 2 2 2
1
1 2𝑥 3 1
𝑄 𝑥 = 2𝑥 + = + = 𝑥+
3 2 2 6
7 5
5 −
−1 2 2
5 13
6 -
6 18
13 29
5 −
3 9
13 29
𝐶 𝑥 = 5𝑥 − 3
y el 𝑅 𝑥 = 9
CASO III: cuando el divisor es de grado mayor que 1
3

4. Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 3𝑥 12 − 10𝑥 6 + 7𝑥 3 + 6 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 3 + 2 hallar el
cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini (se divide el primer
termino del divisor entre cada término del dividendo excepto el término
independiente y el primer termino del divisor entre el mismo. Y al
obtener el cociente los exponentes se multiplican por el exponente del
primer término del divisor)
3
12
3𝑥 12 10𝑥 6 7𝑥
𝑃 𝑥 = 3𝑥 − 10𝑥 + 7𝑥 = 3 − 3 + 3 = 3𝑥 4 − 10𝑥 2 + 7𝑥
6 3
𝑥 𝑥 𝑥
3 0 -10 7 6
−2 -6 12 -4 -6
3 -6 2 3 0
𝐶 𝑥 = 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 + 3 → 𝐶 𝑥 = 3𝑥 9 − 6𝑥 6 + 2𝑥 3 + 3 y el 𝑅 𝑥 = 0
II.- Ejercicios Propuestos
1. Aplicar la Regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de
las siguientes divisiones:
a) 𝑃 𝑥 = 𝑥 5 − 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
2 1 5
b) 𝑃 𝑥 = −𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 3 𝑥 − 4 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
1
c) 𝑃 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 − 2
d) 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + 3
e) 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 + 2
f) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 − 2
g) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 4 + 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 − 8 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 3
𝑥3 2 1
h) 𝑃 𝑥 = 2
+ 𝑥2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2
i) 𝑃 𝑥 = 5𝑥 8 − 𝑥 6 + 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 − 1
j) 𝑃 𝑥 = 𝑥 6 − 7𝑥 4 − 4𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 − 1
k) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 18 − 𝑥 6 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 6 − 2
𝑥3 1 1
l) 𝑃 𝑥 = 2
+ 𝑥2 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
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