1. KONIK DANKONIK DAN
KOORDINAT KUTUBKOORDINAT KUTUB

2. I.1 DEFINISI DAN BAGIANI.1 DEFINISI DAN BAGIAN
KONIKKONIK
• KonikKonik adalah irisan kerucut
• KonikKonik adalah perpotongan atau irisan
antara bidang lengkung kerucut lingkaran
tegak dengan bidang datar.
• KonikKonik terbagi empat, yaitu :
– Berbentuk lingkaran
– Berbentuk parabola
– Berbentuk elips
– Berbentuk hiperbola

3. Definisi KonikDefinisi Konik
(yang berbentuk parabola, elips, dan
hiperbola)
KonikKonik adalah tempat kedudukan titik-titik
yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu
dengan jaraknya ke garis tertentu
mempunyai nilai tetap.
keterangan:
• Titik tertentu = titik api (fokus)
• Garis tertentu = garis arah (direktriks)
• Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)

4. I.2 PARABOLAI.2 PARABOLA
• Definisi
ParabolaParabola adalah tempat kedudukan
titik-titik yang jaraknya ke suatu titik
tertentu sama dengan jaraknya ke garis
tertentu.

5. Bentuk Umum Persamaan Parabola yang
Berpuncak di Titik Pusat (0,0)
1. y2
= 4px parabola terbuka ke kanan
2. y2
= -4px parabola terbuka ke kiri
3. x2
= 4py parabola terbuka ke atas
4. x2
= -4py parabola terbuka ke bawah
Keterangan :
p > 0
p = jarak fokus ke titik puncak parabola

6. RUMUS y2
=4px y2
=-4px x2
=4py x2
=-4py
Koordinat fokus (p,0) (-p,0) (0,p) (0,-p)
Garis arah x = -p x = p y = -p y = p
Sumbu simetri y = 0 y = 0 x = 0 x = 0
Titik Latus Rectum (p,2p)
(p,-2p)
(-p,2p)
(-p,-2p)
(2p,p)
(-2p,p)
(2p,-p)
(-2p,-p)
Panjang Latus Rectum 4p 4p 4p 4p

7. F(p,0)
direktriks
x= -p
x
y
(p,2p)
(p,-2p)
PARABOLA y2
= 4px

8. F(-p,0)
direktriks
x= p
x
y
(-p,2p)
(-p,-2p)
PARABOLA y2
= -4px

9. PARABOLA x2
= 4py
x
y
direktriks
y = -p
0
F(0,p)
(2p,p)(-2p,p)

10. PARABOLA x2
= -4py
x
direktriks
y = p
0
F(0,-p)
(2p,-p)(-2p,-p)
y

11. Persamaan Garis Singgung dan Normal
Parabola di Suatu Titik
Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh
nilai diskriminan D
 D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda
 D = 0 garis menyinggung parabola
 D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung

12. Persamaan Garis Singgung dan Normal
Parabola di Titik (x1,y1)
Parabola Persamaan Garis
Singgung
Persamaan Garis
Normal
y2
= 4px
y2
= -4px
x2
= 4py
x2
= -4py
yy1 = 2p(x+x1)
yy1 = -2p(x+x1)
xx1 = 2p(y+y1)
xx1 = -2p(y+y1)
Ditentukan dari
persamaan garis
singgung
y – y1 = m(x-x1)
(m = kebalikan negatif m
pada persamaan garis
singgung)

13. I.3 ELIPSI.3 ELIPS
• Definisi
ElipsElips adalah tempat kedudukan titik-
titik yang jumlah jaraknya terhadap dua
titik tertentu mempunyai nilai yang
tetap.

14. Bentuk Umum Persamaan Elips yang
Berpusat di Titik (0,0)
22222
222222
2
2
2
2
222222
2
2
2
2
c+b=adanb>a
ba=yb+xa
vertikal)elips1=
a
y
+
b
x
2.
ba=ya+xb
atau
)horisontalelips1=
b
y
+
a
x
1.
berlaku
(
(

15. RUMUS ELIPS HORISONTAL ELIPS VERTIKAL
Titik puncak
Titik sb pendek
Fokus
Panjang sb pjg
Panjang sb pdk
e
Direktriks
Panjang LR
Titik LR
(-a,0) dan (a,0)
(0,-b) dan (0,b)
(-c,0) dan (c,0)
2a
2b
c/a
x=-a/e dan x=a/e
2b2
/a
LR1 : (-c,-b2
/a) dan (-c,b2
/a)
LR2 : (c,-b2
/a) dan (c,b2
/a)
(0,-a) dan (0,a)
(-b,0) dan (b,0)
(0,-c) dan (0,c)
2a
2b
c/a
y=-a/e dan y=a/e
2b2
/a
LR1 : (b2
/a,-c) dan (-b2
/a,-c)
LR2 : (b2
/a,c) dan (-b2
/a,c)

16. ELIPS HORISONTAL
F1(-c,0) F2(c,0)
x= -a/e x= a/e
A2(a,0)A1(-a,0)
B2(0,b)
B1(0,-b)
x
y

17. ELIPS VERTIKAL
F1(0,c)
F2(0,-c)
x= -a/e
x= a/e
A2(0,a)
A1(0,-a)
B2(b,0)B1(-b,0) x
y
0

18. Persamaan Garis Singgung dan Normal
Elips di Titik (x1,y1)
Elips Persamaan Garis
Singgung
Persamaan
Garis Normal
Sama dengan
perhitungan PGN
pada parabola
1=
a
yy
+
b
xx
1=
a
y
+
b
x
1=
b
yy
+
a
xx
1=
b
y
+
a
x
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2

19. I.4 HIPERBOLAI.4 HIPERBOLA
• Definisi
HiperbolaHiperbola adalah tempat kedudukan
titik-titik yang selisih jaraknya terhadap
dua titik tertentu mempunyai nilai yang
tetap.

20. Bentuk Umum Persamaan Hiperbola
yang Berpusat di Titik (0,0)
222
222222
2
2
2
2
222222
2
2
2
2
b+a=c
ba=xa-yb
vertikal)hiperbola1=
b
x
-
a
y
2.
ba=ya-xb
atau
)horisontalhiperbola1=
b
y
-
a
x
1.
berlaku
(
(

21. RUMUS HIPERBOLA
HORISONTAL
HIPERBOLA VERTIKAL
Titik puncak
Fokus
Titik sb minor
Panjang sb mayor
Panjang sb minor
e
Direktriks
Panjang LR
Titik LR
Pers. Asimtot
(-a,0) dan (a,0)
(-c,0) dan (c,0)
(0,-b) dan (0,b)
2a
2b
c/a
x=-a/e dan x=a/e
2b2
/a
LR1 : (-c,-b2
/a) dan (-c,b2
/a)
LR2 : (c,-b2
/a) dan (c,b2
/a)
y=(-b/a)x dan y=(b/a)x
(0,-a) dan (0,a)
(0,-c) dan (0,c)
(-b,0) dan (b,0)
2a
2b
c/a
y=-a/e dan y=a/e
2b2
/a
LR1 : (-b2
/a,c) dan (b2
/a,c)
LR2 : (-b2
/a,-c) dan (b2
/a,-c)
y=(-a/b)x dan y=(a/b)x

22. Bentuk Siku Empat Dasar HiperbolaBentuk Siku Empat Dasar Hiperbola
• Tentukan titik puncak A1 dan A2
• Tentukan titik sumbu minor B1 dan B2
• Gambarkan siku empat dasar yang melalui
titik-titik tersebut seperti gambar berikut :
A1
A2
B2
B1
Hiperbola horisontal
B1 B2
A2
A1
Hiperbola vertikal

23. HIPERBOLA HORISONTAL
B2
B1
A1 A2
x = -a/e x = a/e
F1 F2
y = (b/a) x
y = - (b/a) x

24. HIPERBOLA VERTIKAL
y = (a/b) x
A2
A1
B1 B2
y = -a/e
y = a/e
F1
y = - (a/b) x
F2

25. Persamaan Garis Singgung dan Normal
Hiperbola di Titik (x1,y1)
Hiperbola Persamaan Garis
Singgung
Persamaan
Garis Normal
Sama dengan
perhitungan PGN
pada parabola
1=
b
xx
-
a
yy
1=
b
x
-
a
y
1=
b
yy
-
a
xx
1=
b
y
-
a
x
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2

26. I.5 TRANSLASI SUMBUI.5 TRANSLASI SUMBU
KOORDINATKOORDINAT
Penyederhanaan Persamaan HiperbolaPenyederhanaan Persamaan Hiperbola
Dengan Metode TranslasiDengan Metode Translasi
 Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan
konstanta di ruas kanan.
 Keluarkan koefisien x2
dan y2
sehingga menjadi
k1(x2
+ax) dan k2(y2
+by).
 Lengkapi kuadrat x2
+ax dan y2
+by dengan
menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y.
 Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di
ruas kanan menjadi 1.
 Translasikan u = x + a dan v = y + b.

27. Contoh :
4x2
– 9y2
– 16x + 72y – 164 = 0
4x2
– 16x– 9y2
+ 72y = 164
4(x2
– 4x) – 9(y2
–8y) = 164
4(x2
– 4x + 4) – 9(y2
–8y + 16) = 164 + 16 – 144
4(x-2)2
– 9(y-4)2
= 36
(x-2)2
(y-4)2
9 4
Translasi u = x – 2 dan v = y – 4
= 1
u2
v2
9 4
=1 merupakan persamaan hiperbola horisontal

28. I.6 TRANSLASI ROTASII.6 TRANSLASI ROTASI
Penyederhanaan Suatu Persamaan GrafikPenyederhanaan Suatu Persamaan Grafik
AxAx22
+ Bxy + Cy+ Bxy + Cy22
+ Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi+ Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi
Gunakan substitusi
x = u cos θ – v sin θ
y = u sin θ + v cos θ
dengan
B
C-A
=2θcot

29. Contoh :
3x2
+ 10 xy + 3y2
+ 8 = 0
A= 3, B = 10, C = 3, D = 8
Cot 2θ = (A-C)/B
(3-3)/10 = 0
Tg 2θ = ∞
2θ = 900
θ = 450
Sin θ = sin 450
= ½√2
Cos θ = cos 450
= ½√2

30. x = u cos θ – v sin θ
x = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v)
y = u sin θ + v cos θ
y = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v)
3x2
+ 10 xy + 3y2
+ 8 = 0
↔ 3[½√2 (u-v)]2
+ 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] +
3[½√2 (u+v)]2
+ 8 = 0
↔ 3[½(u-v)2
]+ 10 [½(u2
-v2
)]+3[½(u+v)2
]+8 = 0
↔ 3/2 (u-v)2
+ 3/2 (u+v)2
+ 5 (u2
– v2
) + 8 = 0
↔ 3/2u2
– 3uv + 3/2v2
+ 3/2u2
+ 3uv + 3/2v2
+ 5u2
– 5v2
+ 8 = 0
↔ 8u2
– 2v2
= -8
↔ v2
/4 – u2
/1 = 1 (hiperbola vertikal)

31. I.7 KOORDINAT KUTUBI.7 KOORDINAT KUTUB
• Titik Dalam Koordinat Kutub
(r,θ)
(-r,θ) (r,-θ)
(-r,-θ)
θ
Keempat titik tersebut adalah pasangan koordinatpasangan koordinat
kutub.kutub.

32. • Menentukan Persamaan Cartesian dari
Grafik Persamaan Kutub
Gunakan substitusi persamaan-persamaan :Gunakan substitusi persamaan-persamaan :
• Menggambarkan Grafik Persamaan Kutub
Gantikan persamaan kutub ke persamaanGantikan persamaan kutub ke persamaan
CartesianCartesian
xx22
+ y+ y22
= r= r22
x = r cosx = r cos θθ
y = r siny = r sin θθ

33. I.8I.8 PERSAMAAN KUTUB SERTAPERSAMAAN KUTUB SERTA
KARTESIAN DARI GARIS,KARTESIAN DARI GARIS, LINGKARAN,LINGKARAN,
DAN KONIKDAN KONIK
Persamaan
Kutub
Persamaan
Cartesian
Garis r = d / cos θ
r = d / sin θ
x = d
y = d
Lingkaran r = 2a cos θ
r = 2a sin θ
Pusat (a,0), jari-jari = a
(x-a)2
+ y2
= a2
Pusat (0,a) , jari-jari = a
x2
+ (y-a)2
= a2
Konik r = ed / (1 + e cos θ)
r = ed / (1 + e sin θ)
d memotong sumbu x
d memotong sumbu y
0<e<1 elips
e = 1 parabola
e > 1 hiperbola