1. Unidad 7: Figuras planas
1.
Triángulos: Rectas y puntos notables.
2.
Teorema de Pitágoras. Aplicaciones
3.
Cuadriláteros. Clasificación y Propiedades.
4.
Circunferencias y Rectas.
5.
Ángulos en la Circunferencia.
6.
Áreas de los polígonos.
7.
Áreas y perímetros de las figuras curvas.

2. Figuras geométricas cotidianas (Pág...
144).
Observa con atención las fotografías y los objetos que aparecen en la
imagen relaciónalos con las siguientes figuras geométricas.
¿Sabrías nombrar estas figuras planas?
Romboide, Pentágono, Romo, Trapecio isósceles, Rectángulo,
Triángulo, Cuadrado, Hexágono, Polígono irregular
2

3. Triángulos: Rectas y puntos notables.
Mediatriz y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es la
recta perpendicular a su punto medio.

En un triángulo la mediatriz es la
recta perpendicular al punto medio de
cada lado.

Las mediatrices de un triángulo
coinciden en un punto llamado
circuncentro.

El circuncentro equidista de los tres
vértices del triángulo. Por tanto, es el
centro de la circunferencia
circunscrita.
Dibujar
mediatrices
Obtener
la figura completa
3

4. Ejercicio para clase (Pág. 146-1)
4

5. Triángulos: Rectas y puntos notables.
Bisectrices e Incentro

Se llama bisectriz de un
ángulo a la semirrecta
que divide el ángulo en
dos partes iguales.

Las bisectrices de un
triángulo coinciden en
un punto llamado
incentro.

El incentro equidista de
los tres lados del
triángulo. Por tanto, es
el centro de la
circunferencia inscrita.
Dibujar
bisectrices
Obtener
la figura completa
5

6. Ejercicio para clase (Pág. 146-2)
6

7. Triángulos: Rectas y puntos notables.
Medianas y Baricentro.

Se llama mediana de un
triángulo al segmento que
une cada vértice con punto
medio del lado opuesto.

Las medianas de un
triángulo coinciden en un
punto llamado baricentro.

La distancia del baricentro a
cada vértice es doble que al
punto medio del
correspondiente lado
opuesto.
Dibujar
medianas
Obtener
la figura completa
7

8. Ejercicio para clase (Pág. 147-3)
8

9. Triángulos: Rectas y puntos notables.
Alturas y Ortocentro

Se define altura de un
triángulo como al segmento
perpendicular que va desde
el vértice hasta el lado
opuesto.

Las alturas de un triángulo
se cortan en un punto
llamado ortocentro.

Las alturas ABC coinciden
con las mediatrices de A´B
´C´.

A´B´C´ se obtiene al trazar
por cada vértice de ABC la
paralela al lado opuesto.
Observar como varía el ortocentro en un trián
9

10. Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro, y el circuncentro de
cualquier triángulo están alineados sobre la misma
recta denominada recta de Euler.
Dibujar
recta Euler.
10

11. Resumen rectas y puntos notables
11

12. Teorema de Pitágoras

En un triángulo
rectángulo, la suma de
los cuadrados de los
catetos es igual al
cuadrado de la
hipotenusa
b +c = a
2
2
2
Comprobación
Demostraciones
visuales
Demostraciones
matemáticas
12

13. Aplicamos el teorema (Pág.. 148-1)
13

14. Como calcular el lado desconocido de un
triángulo rectángulo.

Para calcular un cateto desconocido basta
con despejar de la ecuación del teorema de
Pitágoras.
b +c = a
2
2
2
¿Cuánto
valdrá el
cateto b?
b2 = a 2 − c2
b = a2 − c2
14

15. Aplicamos Pitágoras (Pág.. 148)
15

16. ¿Cómo determinar si un triángulo es
rectángulo?
En cualquier triángulo de lados a, b y c (el mayor)
− Si a + b = c
2
− Si a + b > c
2
2
2
2
2
⇒
rectángulo
⇒
obtusángulo
− Si a 2 + b 2 < c 2 ⇒
acutángulo
Comprobación
16

17. Veamos un ejemplo. (Pág.. 149-3)
17

18. Resuelve tu ahora este ejercicio
18

19. ¿Cómo calcular la altura de un triángulo no
rectángulo?


2
2
2
c = h + ( b − x) 

a =h +x
2
2
2

La altura en un triángulo no rectángulo divide a este en
dos triángulos rectángulos menores, sobre los que es
posible aplicar el teorema de Pitágoras, planteando así un
sistema de ecuaciones que permite obtener el valor de la
altura (h) y de la hipotenusa (b).

Observar como la altura es cateto común de los dos
triángulos menores.
19

20. Veamos un ejemplo
20

21. Resuelve tu este ejercicio
21

22. Ejercicio para clase. (Pág. 161-12)
22

23. Ejercicio para clase. (Pág. 161-16)
23

24. Ejercicio para clase. (Pág. 161-16)
24

25. Cuadriláteros: Clasificación y
propiedades.
RECTÁNGULOS
CUADRADOS
PARALELOGRAMOS
(Lados opuestos paralelos)
ROMBOS
ROMBOIDES
TRAPECIOS
NO PARALELOGRAMOS
(Lados opuestos no paralelos)
OTROS
Pinchar sobre cada
figura
25

26. Ejercicio para clase. (Pág. 151-1)
26

27. Ejercicio para clase. (Pág. 151-2)
27

28. Ejercicio para clase. (Pág. 151-3)
28

29. Ejercicio para clase. (Pág. 161-13)
29

30. Circunferencias y Rectas. Posiciones relativas.
La historia sucede en un plano y tiene como personajes
principales a una recta y un círculo. ¿Qué puede pasar entre ellos?
(“El teorema del loro” de Denis Guedj)

POSICIONES RELATIVAS de recta y circunferencia:
 Secantes: Se cortan en dos puntos
Posiciones relativas
 Tangentes: Se cortan en un punto
 Exteriores: No tienen ningún punto en común
30

31. Circunferencias y Rectas. Posiciones relativas.
La historia sucede en un plano y tiene como personajes principales a una
recta y un círculo. ¿Qué puede pasar entre ellos?
Puede ser que la recta corte al círculo o bien que no lo corte. Puede rozarla,
observó Ruche. Si lo corta, lo dividirá forzosamente en dos partes. Y para
que las partes sean iguales, ¿cómo debe estar situada la recta? Tales le dio
la respuesta: para que la recta divida al círculo en dos partes iguales, debe
………………
(“El teorema del loro” de Denis Guedj)

El radio (r), la mitad de la cuerda
(c/2) y la distancia del centro a la
cuerda (d) forman un triángulo
rectángulo sobre el que se puede
aplicar el teorema de Pitágoras.
2
Demostración
c
r =  +d2
2
2
31

32. Circunferencias y Rectas. Posiciones
relativas.


El punto donde una recta tangente
corta a una circunferencia se llama
punto de tangencia. La recta tangente
es perpendicular al radio en el punto
de tangencia.
Desde un punto exterior se pueden trazar
dos tangentes a una circunferencia. Cada
una de ellas es perpendicular al radio en
el punto de tangencia. Por tanto, el
triángulo de lados d, r y t es rectángulo.
Punto
de tangencia
d 2 = r2 + t2
Demostración
32

33. Ejercicio para clase. (Pág. 152-1)
33

34. Ejercicio para clase. (Pág. 152-2)
34

35. Tangentes comunes a dos circunferencias

Dos circunferencias exteriores o secantes tienen dos
tangentes comunes exteriores.

El cuadrilátero que se forma es un trapecio rectángulo sobre el que se
puede aplicar el teorema de Pitágoras.
Demostración
Demostración
d 2 = ( r − r´) + t 2
2

Dos circunferencias exteriores tienen dos tangentes
comunes interiores.
Demostración
35

36. Ejercicio para clase. (Pág. 153-3)
36

37. Ejercicio para clase. (Pág. 153-4)
37

38. Ángulos en la Circunferencia





El ángulo central de una circunferencia es el que tiene
su vértice en el centro de la misma.
La medida angular del arco de circunferencia coincide
con la de ángulo central.
El ángulo inscrito es aquel que esta
determinado por dos cuerdas de
extremo común. Su vértice está en el
perímetro de la circunferencia.
La medida angular de un ángulo
inscrito coincide con la mitad del
arco que abarca.
Dos ángulos inscritos en una circunferencia que
abarcan el mismo arco son iguales
Ángulo
central
Ángulo
inscrito
Demostración
38

39. Ángulos en la Circunferencia


Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto
Cualquier ángulo inscrito en una semicircunferencia abarca un arco de 180º, luego su medida siempre será 90º.
Demostración
Actividad

Otros tipos de ángulos son:



Semiinscrito: Determinado
por una cuerda y una
tangente, mide la mitad del
arco que abarca.
Interior: Cuando su vértice
está en el interior de la
circunferencia. Mide la mitad
de la suma de los arcos
determinados por sus lados y
prolongaciones.
Exterior: Cuando su vértice
está en el exterior de la
circunferencia. Mide la mitad
de la diferencia de los arcos
determinados por sus lados.
39

40. Ejercicio para clase. (Pág. 155-1)
40

41. Ejercicio para clase. (Pág. 155-2)
41

42. Ejercicio para clase. (Pág. 155-3)
42

43. Ejercicio para clase. (Pág. 155-4)
43

44. Áreas de los polígonos: Rectángulo y
Cuadrado.

Rectángulo
S = b⋅h
Cabri
Geocebra

Cuadrado
S =l
2
Geocebra
44

45. Áreas de los polígonos: Romboide y
Rombo.

Paralelogramo o Romboide
S = a ⋅b
Cabri

Geocebra
Rombo
Cabri
S=
D⋅d
2
Geocebra
45

46. Áreas de los polígonos: Triángulo

Triángulo cualquiera
b⋅h
S=
2

Cabri
Geocebra
Triángulo rectángulo
h⋅a
S=
2
c ⋅ c´
S=
2
46

47. Áreas de los polígonos: Trapecio y
Polígono irregular.

Trapecio
S=
( B + b) ⋅ h
2
Cabri
Geocebra
Geocebra

Polígono cualquiera
S POLÍGONO = SUMA de áreas de TRIÁNGULOS
47

48. Áreas de los polígonos: Polígono
regular.
l .a
Perímetro . a
S = n⋅
=
2
2
Podemos aplicar Pitágoras sobre el triángulo rectángulo para
calcular la apotema (segmento que une el centro con el
punto medio de cada lado).
Pentágono
Hexagono
Octogono
Regular
 L
2
2
a = r − 
2
2
Dodecagono
36 lados
48

49. Ejercicio para clase. (Pág. 157-1)
49

50. Soluciones
50

51. Soluciones
51

52. Ejercicio para clase. (Pág. 162-29)
52

53. Soluciones
53

54. Soluciones
54

55. Soluciones
55

56. Bloque: GEOMETRÍA
Unidad: nº 7, FIGURAS PLANAS
Apartados:
- 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS
(Ver páginas de notas con
orientaciones)

57. 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS (pág. 158)
a) PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA:
P = 2.π .r
57

58. Curiosidades sobre el
Saltar al área
del π.
númerocírculo
Históricamente estudiado:

En la antigua Babilonia se
consideraba π ≈ 3
58

59. Curiosidades sobre el
Saltar al área
del π.
númerocírculo
Históricamente estudiado:

En el Antiguo Egipto se consideraba
19
π = = 3,1605
6
59

60. Curiosidades sobre el
Saltar al área
del π.
númerocírculo
Históricamente estudiado:

En Europa, el genial
Arquímedes demostró (en
el siglo III a.d.C.) que
223
22
<π <
71
7
¿Cómo?
Más sobre Arquímedes
60

61. Curiosidades sobre el
Saltar al área
del π.
númerocírculo
Históricamente estudiado:

En China Tsu Ch'ung, en el siglo V calculó que
355
π=
= 3,14159
113

En occidente hubo que
esperar 1000 años para
alcanzar este nivel.
61

62. Curiosidades sobre el
Saltar al área
del π.
númerocírculo
Históricamente estudiado:

Los árabes en el siglo XV
consiguieron hasta 17
decimales exactos de π tras
determinar el lado del polígono
regular de 2832 lados
π = 3,14159265358979324
62

63. Curiosidades sobre el
Saltar al área
del π.
númerocírculo
Históricamente estudiado:

Actualmente: Se conocen más
de 30 millones de decimales de π
y se siguen buscando los
siguientes
63

64. 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS (pág. 158)
b) ÁREA DEL CÍRCULO:
A = π .r
2
64

65. 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS (pág. 158)
b) ÁREA DEL CÍRCULO:
Como suma de triángulos
P.a 2.π .r . r
A=
=
= π .r 2
2
2
65

66. 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS (pág. 158)
c) ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR:
π .r .nº
A=
360º
2
66

67. 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS (pág. 158)
d) SEGMENTO CIRCULAR:
ASEGMENTO = ASECTOR − ATRIÁNGULO
67

68. 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS (pág. 158)
e) CORONA CIRCULAR:
A = π .R − π .r = π .( R − r )
2
2
2
2
68

69. 7.7. AREAS Y PERÍMETROS DE LAS
FIGURAS CURVAS (pág. 158)
f) ELIPSE:
A = π .a.b
69

70. SOLUCIONES:
70

71. SOLUCIONES:
71

72. Más EJERCICIOS para casa
p163e30 y 32
72

73. Arquímedes (298 AC - 212 AC )





El matemático más grande de la
antigüedad
Contribuyó enormemente al
desarrollo de la Geometría
También fue físico, ingeniero e
inventor (catapulta, un sistema de
poleas, el torno, la rueda dentada,
…)
Famoso por el Principio de
Arquímedes
Alguna anécdota
73

74. Arquímedes: Anécdotas

“¡Eureka!”  Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y
hacia arriba igual al peso de fluido desalojado
“Dadme un punto de apoyo y os levantaré el
mundo“
 Logró defender durante tres años a Siracusa que
estaba sitiada por los romanos mediante sus
inventos mecánicos y ópticos.
 Asesinado por un soldado a pesar de haber ordenado

el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio.
74