1. ÍNDICE
Circulo.-_________________________________________________________________ 2
Teorema I _______________________________________________________________ 2
Teorema II ______________________________________________________________ 2
Teorema III ______________________________________________________________ 3
Teorema IV ______________________________________________________________ 3
TEOREMA V _____________________________________________________________ 4

2. Circulo.- Es una figura plana que está limitada por una curva cerrada llamada circunferencia
cuyos puntos equidistan de un punto llamada centro.
Teorema I
En un mismo círculo o en círculos iguales, ángulos centrales iguales interceptan arcos iguales, y el
mayo de dos ángulos desiguales intercepta mayor arco.
Demostrar: arco AB = arco A´B´
Arco AC > arco A´B´
OA = C´A´ por hipótesis
OC = C´B´ por hipótesis
<AOB = <A´C´B´ por hipótesis
C´ encaja en O por postulado 5
A´ encaja en A
B´ encaja en B
Arco AB = Arco A´B´
< AOC ><AOB por axioma 10
Arco AC > arco AB
arco AB = arco A´B´ lqqd
Teorema II
En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales subtienden ángulos centrales iguales; y el
mayor de dos arcos desiguales subtiende mayor ángulo central que el menor.

3. Demostrar < AOB = < A´B´C´
< AOC ><A´O´B´
Demostración 1.- Colóquese el circulo O sobre el O ‘de suerte que OA coincida con O´A´ y el arco
AB con el A´B´.
Entonces OB coincidirá con O´B por postulado 1
<AOB = <A´O´B´ igualdad de los ángulos
2. Puesto que el aco Ac es mayor que el A´B´es mayor que AB, y OB se halla dentro del angulo AOC
< AOC ><AOB Axioma 10
<AOC ><A´B´C´ Axioma 8.
Teorema III
En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos iguales son subtendidos por cuerdas iguales, y el
mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda.
Demostrar: 1.Que cuerda Ab = cuerda A´B´
2. que cuerda AF > cuerda A´B´
Demostración 1. Trácese OA, OB, OF en el círculo O y O´A´, O´B´ en el O´
Tiene se: OA = O´A´ y OB = O´B´, Igualdad de los radios
< AOB = A´O´B´ Teorema II (circulo)
OAB = O´A´B´ TEOREMA II (TRIANGULOS)
Cuerda AB = cuerda A´B´ corolario.
OA = O´A´, OF = O´B´ igualdad de los radios.
<AOF ><A´O´B´ Teorema II (círculos)
Cuerda AF > cuerda A´B´ lqqd.
Teorema IV
En un mismo círculo o en círculos iguales, cuerdas iguales subtienden arcos iguales, y la mayor de
dos cuerdas desiguales subtiende el mayor arco.

4. Demostrar: 1.Que arco Ab = Arco A´B´.
2. Que arco AF > arco A´B´
Demostración 1. Trácense OA, OB, OF, O´A´, O´B´.
OA = O´A´, y OB = O´B´ igualdad de radios.
Cuerda AB = cuerda A´B´ por hipótesis.
OAB = O´A´B´. Teorema VI.
<AOB = A´O´B´ por corolario.
Arco AB = arco A´B´ por corolario.
2. Se tiene OA = O´A´ = OF = O´B´.
Cuerda AF > cuerda A´B´ por hipótesis.
<AOF ><A´O´B´ Teorema XXIV
Arco AF > arco A´B´ Teorema I (círculos).
TEOREMA V
La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda bisecta la cuerda y los arcos
subtendidos.
Demostrar: que AM = BM, arco AQ = arco BQ, y arco AP = arcoBP
Trácense los radios OA, OB.
OM = OM, y OA = OP,
AMO = BMO, Teorema XII
Por tanto AM = BM, <AOQ = <BOQ. Por corolario (las partes homologas de dos figuras
congruentes son iguales).
<AOP = <BOP. Corolario 5.
Arco AQ = arco BQ, y arco AP = arco BP teorema I (circulo).