Este documento presenta una guía sobre cálculo I que incluye desigualdades, inecuaciones, conjuntos solución de ecuaciones, funciones reales de una variable real y sus gráficos. Contiene ejercicios para determinar conjuntos solución, condiciones para que expresiones sean ciertas, valores que cumplen funciones y dominios y recorridos de funciones. El documento proporciona una amplia gama de problemas y conceptos fundamentales de cálculo para ingeniería.

1. GUIA Nº3 CALCULO I INGENIERIA
I.- Desigualdades, inecuaciones y Ax. del supremo.
1) Determinar que cantidad es mayor, justificando claramente la respuesta:
α a) 3 ó 3 b) { }1,1 23
−∈++ +
Rxxxóx c)
+
∈+ Rbabaóab ,,23 332
2) Demostrar que:
a) Rbaab
ba
∈∀≥
+
,,
2
22
b) Si a,b 2≥+⇒∈ +
a
b
b
aR
c) Si a < b b
ba
a <
+
<⇒
2
d) Si a,b
baba
baR
+
>+⇒≠∈ + 211
,
e) Si a,b 4433
baabbaR +<+⇒∈ +
3) Sean a , b +
∈ R . Determinar qué condición debe cumplir “m”, en función de “a” y “b”,
para que se cumpla: (m-1)a ≤ b < ma.
4) Determinar el conjunto solución en R:
a) 2x - 4 < 6x + 1 b) 2 < 4 – 5x < 3 c) 0
2
1
3
2
<+
x
d)
4
35
<
x
R:( ) 





+ ∞∪∞− ,
3
20
0, e)
3
2
4
3
2
xx
−<−
f) 7
2
3
4
−>−
xx
R: ( )+ ∞∪





−∞− ,0
2
1
, g)
3
1
4
3
53
xx
x
−
+<− R: 





∞−
31
64
,
h) 0
32
1
>
+x
i) 1
1
2
≤
− x
R: ( ] ( )+ ∞∪−∞−= ,11,S
j) 5
12
2
<
−
+
x
x
R: 





+ ∞∪





∞− ,
9
7
2
1
, k) 0
3
5
>
−x
l)
2
1
13
32
≤
−
−
x
x
R: 





= 5,
3
1
S m) 3(x – 2) – 2 > 2(x – 1) + 3
n)
2
1
2
3
4
1
−<
−
−
+
x
xx
5) Determinar el conjunto solución en R:
a) 0
1
1
2
>
+ x
b) 0
3
1
2
<
+ x
c) 01522
≤−− xx d) 0232
>++ xx
e) 0321 2
≥−− xx f) 2
23 xx >− g) 0
4
65
2
2
<
+
+−
x
xx
R: ( )3,2
1

2. h) 0
6
44
2
2
>
−−
++
xx
xx
R:( ) ( )+ ∞∪−∞− ,32, i) 0
)3(
168
2
23
≤
−
+−
x
xxx
R: ( ]0,∞−=S
j) 2
)1(
21
−
+
≤
x
x
x
R: ( ) { }1,
4
1
0, −





+ ∞∪∞−=S k) 1
12
≥
+
x
x
R: +
ℜ
l)
13 +
≤
− x
x
x
x
R: ( ) [ )3,01, ∪−∞−=S m) 0
4
65
2
2
<
+
+−
x
xx
n) 4x(x – 1)≤ -1 ñ) 4x(x + 1) < -1
6)Determinar el conjunto solución:
a)
4
3
3 ≤−x R: 





4
15
,
4
9
b) 3
3
2
≥−x R: 





+ ∞∪





−∞−= ,
3
11
3
7
,S
c) 842
>−x d) 443 +≤− xx ) R:[ ]4,0
e) 8215 −≥+ xx R: ℜ f) 6652
>+− xx g) 2232
≤+− xx
h) 1342
>+x R:( ) ( )+ ∞∪−∞− ,33, i) 0
9
1
2
>
−x
j) 1
2
1
<
−
+
x
x
R: 





∞−
2
1
, k) 0
1
3
2
2
>
+
−
x
xx
R: { }3,0−ℜ
l) 212 >−+− xx m) xx 429 ≥− R: 





+ ∞∪





∞− ,
2
5
2
1
,
n) 01624 ≤−−+ xx R: ( ] [ )+ ∞∪∞−= ,204,S ñ) 31223 ++−≤+ xxx R:ℜ
o) 2323 <+− x R:( ) ( )1,12,4 −∪−− p) xx 832 −=− R:






9
5
,
7
1
q) 321 =+− xx R:





 ±
2
211
r) 7352 −=+ xx R:






26,
5
16
s) 4
72
53
=
+
−
x
x
R:






−
−
11
23
,
5
33
t) xxx <−− 123
u) xxxx +−≤+++ 531 R: 




 −
2
1
,
2
9
v) xxx +−≤+ 53 R: [ ] [ )+ ∞∪−= ,82,8S
7) Determinar el conjunto de valores reales que hace cierta la expresión:
a) Rx ∈− 162
R: ( ] [ )+ ∞∪−∞−= ,44,S
2

3. b) Rxx ∈−− 352 2
R: [ )+ ∞∪





−∞−= ,3
2
1
,S
c) 11522
+>−− xxx ) R: ( ] [ )+ ∞∪−∞−= ,53,S d) R
x
x
∈
−
−
1
12
;R:( )+ ∞,1
e e) 0232 >−−− xx R: 





= 2,
2
3
S
f f) 321 2
≤−− x R: [ ] [ ]3,11,3 ∪−−=S
g g) Rxx ∉−− 762
R: ( )7,1−=S h) R
x
∈
+ 6
2
8) Determinar los valores de ”m” para que las raíces de la ecuación:
1
1
12
32
+
−
=
−
−
m
m
x
xx
sean reales y distintas. R: { }1−−ℜ∈m
9) En el caso que existan, determinar: supremo, ínfimo, elemento máximo y elemento mínimo
de los siguientes conjuntos:
a) A ={ }41/ ≤≤−∈ xRx b) B ={ }034/ 2
<+−∈ xxRx c) C ={ }054/ 2
>−+∈ xxRx
d) F = (3,8)
10) Sea A =






∈
−+
=∈ Nn
n
xRx
n
,
)1(1
/ . Determinar, si es que existen:
a) 2 cotas inferiores b) 2 cotas superiores c) Sup. A
d) Elemento mínimo e) Elemento máximo f) Inf. A
11) ¿Tiene máximo el conjunto S =






∈− +
Zn
n
,
1
1 ?.
12) El supremo de T =






∈− Nn
n
,
2
1
3
1
es.................
II.- Funciones reales de una variable real.
1) Sea f una función real de variable real de variable real definida por 56)( 2
−−= xxxf .
Determinar ( ) )(,7,
5
1
,)5( bffff 





−
3

4. 2) Sea f una función real de variable real de variable real definida por
x
x
xf
−
+
=
3
2
)( . Determinar
)12(,)3(,)(,)5( +−− yggxgg .
3) Sea f una función de ZZ → , definida por
1
42
)(
−
−
=
x
x
xf . En caso que existan, encontrar la
imagen de los siguientes números: 2;3;1;2;0 − .
4) Sea f una función real definida por
x
x
xf
+
−
=
1
1
)( .Determinar si los siguientes números tiene
imagen: 25,2;8;2;1;3;0 y−−− . ¿Cuál de los elementos del dominio de f tiene como
imagen a –1 .?
5) ¿Cuál de los valores del dominio de la función real definida por 64)( 2
+−= xxxf , tiene por
imagen a 6 .
6) Sea { } { }96// 22
−≤∈=≤∈= xxRxByxxRxA . Determinar A y B por extensión. Defina
una función de A en B y de B en A.
7) Determinar dominio y recorrido y esbozar el gráfico de las siguientes funciones:
a) f(x) = x2
+4x-3 R: [ )+ ∞−=ℜ= ,7; recfdomf
b) g(x) =
2
1
+
+
x
x
R: { } { }1;2 −ℜ=−−ℜ= recgdomg
c) f(x) = )9)(1( −− xx R: ( ) { }0;9,1 ∪ℜ=−ℜ= +
recfdomf
d) g(x) =
86
8147
2
23
++
+++
xx
xxx
R: { } { }1,3;4,2 −−−ℜ=−−−ℜ= recgdomg
e) h(z) =
1
1
2
+z
R: ( ]1,0; =ℜ= rechdomh
f) f(x) = 2
xx
x
−
R: { } { }1,0;1,0 −ℜ=−ℜ= recfdomf
g) f(x) =
1−x
x
R: ( ) [ )+ ∞=+ ∞= ,2;,1 recfdomf
h) g(x) =
x
x 1−
R: [ ) 





=+ ∞=
2
1
,0;,1 recgdomg
i) m(x) = 1−x R: [ )+ ∞−=ℜ= ,1; recmdomm
j) f(x) = x - 2−x R: ( ]2,; ∞−=ℜ= recfdomf
4

5. k) u(x) =
1
1
−x
R: { } +
ℜ=−ℜ= recudomu ;1
l) f(x) = 3−x R: { }0; ∪ℜ=ℜ= +
recfdomf
m) r(p) =



<−
≥+
1,1
1,12
2
2
psip
psip
R: ( ] [ )+ ∞∪∞−=ℜ= ,31,; recrdomr
n) s(t)=
[ )
( ]




∈−
∈
−−∈−
4,2,12
)2,0(,0
1,4,1
tsit
tsi
tsit
R: [ ) ( ) ( ] [ ) { } ( ]7,302,5;4,22,01,4 ∪∪−−=∪∪−−= recsdoms
ñ) f(x) =





≥−
<≤
<+
1,
10,
,1
2
xsix
xsix
oxsix
R: ℜ=ℜ= recfdomf ;
o) g(x) =






≥
<≤−+
−<
2,
22,1
2,1
3
xsix
xsix
xsi
x
R: [ )+ ∞∪





−=ℜ= ,83,
2
1
; recgdomg
p) h(x) =
[ ]
[ ]


≥+
<−
0,1
0,1
xsix
xsix
R: +
=ℜ= Zrechdomh ;
q) f(x) =
[ ]



∞∈−
−∈−
),2(,113
2,1,12
xsix
xsix
R: [ ) ( ) [ ]3,119,;,1 −∪−∞−=+ ∞−= recfdomf
8) Sea f una función tal que f(x+3) = x2
-1. Demostrar que:
a) 3,1
3
)1()2(
≠+=
−
−+
aa
a
faf
b) 2,
2
)2()2(
≠=
−
−+
aa
a
faf
9) Si g(a) =
)()·(1
)()(
mindet,
2
2
agag
agag
arer
a
a
−+
−+
−
+
R: 2
2
4
4
a
a
−
+
10) Analizar la biyectividad de las funciones dadas. En los casos en que esta característica
no se de, establecer, si es posible, las restricciones para que así ocurra:
a) f: [ ) xxxfR 255)(/0,1 2
+−−=→− b) h: R 1)(/ 2
−=→ pphR
c) f: [ ) ( ]
1
1
)(/0,1,1
−
+
=∞−→−
x
x
xf d) g: [ ) [ ) 2
1
1
)(/,11,0
y
yg
−
=∞→
5

6. e) h: R-{ } 2
2
1
1
)(/1,1
x
x
xhR
−
+
=→− f) w: R
2
0 321)(/ uuuwR −−=→+
g) m: R
x
x
xm
+
=−→
1
)(/)1,1( h) f: R
( ]





∞∈
∞−∈−
=→
),0(,
1
0,,
)(/
2
x
x
xx
xfR
Respuestas nº10
a)es biyectiva siempre que el conjunto de llegada sea( ]25,55 −−
b)es biyectiva siempre que
−+
ℜℜ= 00 ódomh y el conjunto de llegada sea , [ )+ ∞− ,1
c)es biyectiva d) es biyectiva
e)es biyectiva siempre que { } { }11 00 −−ℜ−ℜ= −+
ódomh y el conjunto de llegada sea
( ) [ )+ ∞∪−∞− ,11,
f)es biyectiva siempre que el conjunto de llegada sea ( ]1,∞− g) y h) es biyectiva
11) Sea f: A→ B una función real biyectiva tal que f(x) = 2
1
1
x−
. Determinar “A” y “B”
(maximales) para que f sea biyectiva.
R: { } { } ( ) [ )+ ∞∪∞−=−−ℜ−ℜ= −+
,10,11 00 ByóA
12) Considerar la función
f(x) =
( ]





∞∈−
−∈+
−∞−∈−−−
),1(,1
)0,3(,3
3,,862
xx
xx
xxx
Analizar la posibilidad de que ella sea biyectiva, determinando primero su recorrido.
R: f no es inyectiva.
13) La función “signo de x” está definida como: sgn: R





<−
=
>
=→
0,1
0,0
0,1
)sgn(/
xsi
xsi
xsi
xZ
Al respecto, contestar:
a. ¿ Es Rxxxx ∈∀= ),·sgn( ?.
b. ¿ Es la función sgn biyectiva ?.
c. Si no lo fuera, ¿existe posibilidad de efectuar restricciones para que así ocurra?.
R: a) si b) no c) no
6

7. 14) Dadas las siguientes funciones, trazar su gráfica y analizar su paridad, monotonía,
periodicidad y acotamiento:
a) f(x) = 3 - 2 x b) h(x) = x c) f(x) =



>
≤
0,
0,
3
2
xx
xx
d) g(x) = 2
2
9
16
x
x
−
−
e) f(x) = 5 - [ ]x f) g(x) = 2 x
g) f(x) = xx 22
− h) f(x) = x x
i) f(x) = u xsenx 2)·(2 j) f(x) = x - [ ] [ ]3,3−enx k) f(x) =[ ] [ ]xx 22 −
l) f(x) =
[ ]x
1
m) f(x) =
[ ]x
x
n) f(x) =
x
x
15) Sean f(x) = )(
2
1 xx
aa −
+ y g(x) = )(
2
1 xx
aa −
− . Probar que:
d. g(x+y) = f(x)·g(y) + g(x)·f(y)
e. f(x+y) = f(x)·f(y) + g(x)·g(y)
16) Determinar las funciones pedidas y su respectivos dominios:
a. f(x) = g
fgfgfxxgyx ,·,;3)( −−= .
b. f(x) = 2x – 1, x [ ]2,0∈ y g(x) = x , x [ ]4,1∈ ; .
11
,
fgf
g
−
c. f(x) =
[ ]
[ ]


∈
∈+
5,3,3
2,0,12
x
xx
y g(x) =
[ ]
[ ]


∈−
∈
6,5,6
4,1,
xx
xx
; f + g, f·g, .
g
f
Respuestas nº16 :a) ( ) ( )+ ∞=





−
=





,3;
3 g
f
dom
x
x
x
g
f
b) ( ) [ ]2,1
11
;
12
1111
=





−
−
−=





−
fg
dom
xx
x
fg
c)( )( )
( ) [ ]
[ ]





=−
∈
∈+
=
5;183
4,3;3
2,1;12
·
xx
xx
xxx
xgf
17) Sean f(x) =




−≥−−
−<−
2,22
2,52
xsixx
xsixx
y g(x) =



−≤+
−>−
2,3
2,42
2
xsixx
xsix
.
Determinar el valor de: a) f(5)+g(5) b) f(-1)·g(2) c) (f+g)(-1)
7

8. d) ( )
3
1)(
f
g
e) )0(
)0(
g
f
f) (f-g)(-2)
g g) )1()4( −− gf h) f(0)+g(0) i) g(-2)·f(1)
Respuestas nº17: c)( )( ) 11 −=−+ gf d)
3
10
3
1
−=











f
g
e)
( )
( ) 2
1
0
0
−=
g
f
18) Para las funciones dadas, determinar el dominio y la expresión analítica de la función
compuesta pedida:
a) f(x) = -x 12
+ , g(x) = 1−x ;fog, gof. R: ( ) { } ( )( ) 2
;0 xxgofgofdom −==
b) f(x) = x x22
+ , g(x) =
2
1
2
+x
; fog, gof, fofog) R: ( ) ( )( )
( )22
2
2
25
;
+
+
=ℜ=
x
x
xfogfogdom
c) f(x) =



>+
≤
0,2
,2
xsix
oxsi
, g(x) =



>
≤−
1,4
1,1
xsix
xsix
; gof.
R:( )( )



>+
≤
=
0;84
0;8
xsix
xsi
xgof
d) f(x) =



∈−
−∈−
)2,1(,1
)1,1(,1
2
xx
xx
, g(x) =
[ ]
( ]



∈−
−∈
3,1,3
1,1),·sgn(2
xx
xxx
; fog, gof.
R: ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )







<<−
≤<−−
<≤−−
<<−+
=
22;4
21;1·sgn1
10;1·sgn1
01;2
2
222
2
xsix
xsixx
xsixx
xsix
xgof
19) Si f: [ ) R→∞,3 es tal que f(x) =
2
1
−x
y g: R→




∞,
2
1
es tal que
h g(x) =
x
x 12 +
, determinar gof. R: ( ) [ ] ( )( ) xxgofgofdom == ;4,3
20) Sean f(x) = x 2
+2 y g(x) = x + a funciones reales para las cuales existe fog y gof. Determinar si
es que existe, el valor de “a” de modo que (fog)(3) = (gof)(a-1).
R:
7
8
−=a
8

9. 21) Si f(x) = x2
encontrar una función “g” para la cual (fog)(x) = 4x2
-12x+9.
R: 32)( −= xxg
22) Determinar, si es que existe, en cada caso, la función “f” y su dominio correspondiente, de
modo que:
a) g(x) = 1-x2
y (fog)(x) = 2
1 x− R: ( ) [ )+ ∞== ,0; domfxxf
b) g(x) = 2x+3 y (fog)(x) = 4x2
+12x+9. R: ( ) ℜ== domfxxf ;2
23)Analizar la existencia de la función inversa de las funciones dadas, efectuando las restricciones
necesarias cuando corresponda. Obtener la expresión analítica de ella en aquellos casos en que
exista:
a) f(x) = x b) f(x) = x2
c) f(x) =
2
x
d) f(x) = 1−x e) f(x) = e x
f) f(x) =
x
x
26
1
−
−
g) f(x) = 2
1
1
x+
h) f(x) =
x
x
−1
i) f(x) =
2
12
+
−
x
x
j) f(x) = 2
1 x−
k) f(x) =




<
≥
1,
2
1,2
xsi
x
xsix
l) g(x) =



−>−
−≤−
2,4
2,4
2
2
xsix
xsix
m) f(x) = [ ]1,2,2 2
−∈−− xxx n) f(x) =
1
1
3
−x
Respuestas nº23: a)es biyectiva si [ ) [ ) ( ) 21
;,0,0: xxff =+ ∞→+ ∞ −
b)no es biyectiva lo será si, ( ) ( ) xxffóxxff −=ℜ→ℜ=ℜ→ℜ −+−−++ 1
00
1
00 ;:;:
d)es biyectiva si, [ ) [ ) ( ) ( )21
1;,1,0: +=+ ∞−→+ ∞ −
xxff
g)es biyectiva si, ( ] ( ) ( ] ( )
x
x
xffó
x
x
xff
−
−=→ℜ
−
=→ℜ −−−+ 1
;1,0:
1
;1,0: 1
0
1
0
h)es biyectiva si , ( )





≤≤∨>
−
<≤−∨−<
+=
2
1
01;
1
0
2
1
1;
1
xxsi
x
x
xxsi
x
x
xf ;
( )
[ ) ( )
( ) [ ]




∪−∞−∈
+
+ ∞∪−∈
−=−
1,01,;
1
,10,1;
11
xsi
x
x
xsi
x
x
xf
9

10. k)es biyectiva si conjunto de llegada es: [ )+ ∞∪





∞− ,2
2
1
, ; ( )





<
≥
=−
2
1
;2
2;
21
xsix
xsi
x
xf
m)es biyectiva si, ( )
2
491
2
3
,0
2
1
,2:
2
1 x
xfyf
−−−
=





→





−− −
; ó
( )
2
491
2
3
,01,
2
1
:
2
1 x
xfyf
−+−
=





→





− −
24) Sea f: A [ ]1,9 −−→⊆ R / f(x) = .
3
43
x
x
−
+
a) Determinar A. R: ( ] [ )+ ∞∪−∞−= ,62,A
b) ¿Es f inyectiva y sobreyectiva?. En caso de no serlo, hacer las restricciones necesarias para
que lo sea. R: es inyectiva y es sobre si [ ) ( ]1,44,9 −−∪−−=B
c)¿Cómo debe estar definida f para que sea invertible?
R: ( ] [ ) [ ) ( ]1,44,9,62,: −−∪−−→+ ∞∪−∞−f
d) En esas condiciones determinar f 1−
. R: ( )
4
331
+
−
=−
x
x
xf
25) Sea g: R- { } R⇒− 1,1 / g(x) = 2
2
1
1
x
x
−
+
.
a) ¿ Es g, así definida, biyectiva ?.
b) Si no lo es, hacer las restricciones necesarias para que lo sea.
c) Determinar la expresión analítica de g .1−
R: c) ( ) ( ) [ ) ( ] { } ( )
1
1
/10,,11,: 11
+
−
−=−−∞−→+ ∞∪−∞− −−
x
x
xgxg ó
( ) ( ) [ ) [ ) { } ( )
1
1
/1,0,11,: 11
+
−
=−+ ∞→+ ∞∪−∞− −−
x
x
xgxg
10