Este documento contiene ejercicios sobre derivadas parciales, derivadas direccionales y gradientes. En la primera sección se presentan ejercicios para determinar si ciertas afirmaciones sobre derivadas parciales son verdaderas o falsas. Luego, se piden derivadas parciales de funciones de varias variables. Más adelante, se explican conceptos como derivada direccional, vector gradiente y ecuaciones diferenciales parciales, con ejemplos para calcular derivadas direccionales y gradientes. Finalmente, se piden cál

1. Universidad de Tarapacá
Departamento de Matemática
Ingenierías Cálculo III Guía 3
Derivadas parciales
1.- Señale si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas, fundamentando
claramente su respuesta:
a)
@f
@x
(x; y) = lim
(h;k)!(0;0)
f (x + h; y + k) f (x; y)
h + k
, si tal límite existe.
b)
@f
@y
(x; y) = lim
k!0
f (x; y + k) f (x; y)
k
, si tal límite existe.
c)
@f
@x
( 1; 4) = lim
h!0
f ( 1 + h; 4) f ( 1; 4)
h
, si tal límite existe.
d)
@f
@y
(0; 0) = lim
k!0
f (0; k) f (0; 0)
k
, si tal límite existe.
2. Para cada una de las funciones dadas, determine las derivadas parciales
respecto a cada variables
a) f (x; y) =
xy
x2 + y2
b) f (x; y) =
y
p
x y2
c) f (x; y) = ln xy
d) f (x; y; z) =
p
x2 + y2 + z2 e) f (x; y; z) =
1
p
x2 + y2 + z2
f). f (x; y; z; u) = arctan (4x + 3y + 5z + u)
3. Encuentre
@f
@x
(x; y) y
@f
@y
(x; y) si:
a) f (x; y) =
yZ
x
ln (sen t) dt b) f (x; y) =
yZ
x
ecos t
dt
4. Sea f : R2
! R de…nida como f (x; y) =
8
>><
>>:
2xy2
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
a) Determine
@f
@x
(x; y) y
@f
@y
(x; y) en todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0)
1

2. b) Determine
@f
@x
(0; 0) y
@f
@y
(0; 0) directamente de la de…nición.
c) Muestre que tanto f es discontínua en (0; 0) :
5. Sea 2 R un parámetro real y la función de…nida
por: f (x; y) =
8
>><
>>:
(x ) y
(x )
2
+ y2
si (x; y) 6= ( ; 0)
0 si (x; y) = ( ; 0)
a) Calcular, para cada , si existen, las derivadas parciales en el punto ( ; 0) :
b) Veri…car si la función dada es contínua en el punto ( ; 0).¿ Existe algún
problema entre a) y b) ?
6.
a) Si w = f(x; y; z), de…na los incrementos de x, y, z. (x0; y0; z0)?
b) Enuncie la aproximación de f(x; y; z):¿Como se mide el error de aproxi-
mación?
c) ¿Qué signi…ca que f(x; y; z) sea diferenciable en
d) De…na diferencial total. De…na plano tangente.
e) Evalúe por diferenciales f (1; 01; 0; 98) para f(x; y) = exy
f) Use diferenciales para estimar el cambio en la longitud de la diagonal espacial
de una caja de dimensiones 200 cm, 200 cm y 100 cm, si éstos cambian a 201cm,
202cm y 99cm, respectivamente.
7. Determine si la función f(x; y) =
( xy
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
, tiene
plano tangente en (0; 0). determine si es diferenciable en(0; 0)
8. Determie la ecuación de todos los planos tangentes a la super…cie
z = 5 x22
+ 4y que son paralelos al plano xy.
9. Determine las segundas derivadas parciales de las funciones
a) f (x; y) = xy2
+ 2x 7 b) f (x; y) = x + y sen 2x c) f (x; y; z) = xyz
d) f (x; y; z) = xyey+z
+ 5 e) z = x2
arctan
y
x
10. Determine las terceras derivadas parciales de las funciones del ejercicio
anterior.
11. Muestre que las funciones dadas satisfacen la Ecuación de Laplace
bidimensional,
@2
u
@x2
+
@2
u
@y2
= 0
2

3. a) u (x; y) = ln x2
+ y2
, (x; y) 6= (0; 0) b) u (x; y) = ex
sen y
12. Sea f (x; y) =
8
>><
>>:
x3
y xy3
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
a) Pruebe que f se anula sobre los ejes x e y y concluya que
@f
@x
(0; 0) y
@f
@y
(0; 0) son iguales a cero.
b) Calcule
@f
@x
(x; y) y
@f
@y
(x; y) para todos los puntos donde (x; y) 6= (0; 0)
y concluya que
@f
@x
(0; y) = y y
@f
@y
(x; 0) = x:
c) Muestre que
@2
f
@y@x
(0; 0) =
@
@y
@f
@x
(0; 0) = lim
h!0
@f
@x
(0;h)
@f
@x
(0;0)
h = 1
d) Muestre que
@2
f
@x@y
(0; 0) =
@
@x
@f
@y
(0; 0) = lim
h!0
@f
@y
(h;0)
@f
@y
(0;0)
h = +1
y concluya que las derivadas mixtas de f no son iguales en (0; 0) :
e) Calcule
@2
f
@x@y
(x; y) para (x; y) 6= (0; 0) :
f) Use lo anterior para mostrar que
@2
f
@x@y
(x; x) = 0 para x > 0:
g) Concluya que
@2
f
@x@y
(x; y) es discontínua en el orígen.
13. Sea f(x; y) =
1
2
ln(x2
+ y2
) + arctan
y
x
, hallar
@ f
@x
2
+
@f
@y
2
14. Sea f(x; y) = arcsin
x-y
x + y
, hallar x
@f
@x
+y
@f
@y
. .
15. Compruebe que (x; y) =
ax2
+ by2
cx2 + dy2
es solución de la ecuación diferencial
x
@
@x
+y
@
@y
.
3

4. 16. Sea u(x; y) =
xy
x + y
, compruebe que es solución de la ecuación diferencial
x2 @2
u
@x2
+ 2xy
@2
u
@x@y
+ y2 @2
u
@y2
= 0
DERIVADA DIRECCIONAL, VECTOR GRADIENTE
17. Establezca la de…nición de la derivada direccional de una función:f :
Rn
! R en un punto P 2 . ¿ Qué interpretación puede atribuirle a esta
derivada ?.
18. Si f : R2
! R es de…nida por f (x; y) = 3x2
+ 2y2
y u =
1
p
5
(1; 2),
encuentre Duf (3; 1)
19. Determine, la derivada direccional de las siguientes funciones, en los puntos
y en las direcciones que se indican :
a) f (x; y; z) = exy
+ ln z en el punto P = (x; y; z) y en la dirección de
u =
1
p
13
(2; 0; 3).
b) f (x; y) = 2x2
3y2
en el punto P = (1; 0) y en la dirección de un vector
que forma un ángulo de 120 con el eje x.
c) f (x) = kxk , x 2 Rn
en el punto x0 2 Rn
y en la dirección de un vector
u 2 Rn
:
20. De…na el gradiente de un campo escalar en un punto interior de su Dominio.
21. Determine el gradiente de las siguientes funciones:
a) f (x; y) =
4x
x2 + y2
b) f (x; y; z) =
p
x2 + y2 + z2
c) f (x; y; z) =
1
p
x2 + y2 + z2
d) f (x; y; z; w) = arctan (4w + 3x + 5y + z) e) f(x; y) = arcsin
x y
x + y
22. Establezca una relación entre derivada direccional, gradiente y derivada
parcial.
4

5. 23. Para cada caso, encuentre la derivada direccional de f en el punto P en la
dirección del vector !v dados.
a) f (x; y) = 3x2
y , P = ( 2; 1) y !v = (2; 3).
b) f (x; y; z) = ln x2
+ 2y2
+ z2
, P = (2; 1; 1) y !v = ( 1; 2; 3) .
c) f (t; x; y; z) = tx2
yz2
, P = (2; 1; 1; 2) y !v = (1; 1; 2; 3)
24. Pruebe que si f : R2
! R función entonces
Duf (x; y) =
@f
@x
cos +
@f
@y
sen ,
donde es el ángulo que forma el vector u con el eje x:
25. Determine la derivada direccional de f (x; y) = ex
cos y en el punto P =
(0; 0) en la dirección que forma un ángulo de 60 con el eje x:
26. Hallar la derivada direccional de f (x; y; z) = xey
+ yex
z2
en el punto
P = (3; 0; 2) en la dirección que apunta hacia el punto Q = (4; 1; 3) :
27. Para f (x; y) = x y z, hallar en el punto P = (1; 2; 3)
a) La máxima derivada direccional. b) La dirección en que se obtiene a).
c) La derivada en la dirección v = (1; 2; 0) :
28. Determine la mayor y la menor derivada direccional y su módulo, de las
siguientes funciones:
a) f (x; y) = x2
+ y2
en P = (2; 3) b) h (x; y) = xy + 2x2
+ 3y2
en P = (5; 3)
c) g (x; y; z) = xyz + 3x2
y3
z + z4
+ x3
y3
z5
. en P = (1; 5; 2)
29. Dada la función diferenciable f(x; y) tal que:
D!v f(1; 2) = 2, si !v =
1
2
p
2
(2; 2)
D!v f(1; 2) = 2, si !v =
1
p
2
(1; 1):
Determinar:
rf(1; 2) y D!v f(12); si !v = (4; 6).
5