Capítulo 16

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Capítulo 16

  1. 1. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  2. 2. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  3. 3. CAPÍTULO 16: ONDAS - I O que é uma onda?
  4. 4. CAPÍTULO 16: ONDAS - I O que é uma onda?
  5. 5. CAPÍTULO 16: ONDAS - I O que é uma onda?
  6. 6. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  7. 7. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  8. 8. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-2  Tipos de Ondas
  9. 9. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Ondas Longitudinais: 16-3  Ondas Transversais e Longitudinais
  10. 10. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Ondas Transversais: 16-3  Ondas Transversais e Longitudinais
  11. 11. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Ondas Mistas: 16-3  Ondas Transversais e Longitudinais
  12. 12. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Velocidade da onda: 16-4  Comprimento de Onda e Frequência
  13. 13. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-4  Comprimento de Onda e Frequência
  14. 14. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-4  Comprimento de Onda e Frequência
  15. 15. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-4  Comprimento de Onda e Frequência
  16. 16. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  17. 17. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  18. 18. CAPÍTULO 16: ONDAS - I mínima aaa v
  19. 19. CAPÍTULO 16: ONDAS - I <ul><li>Sabemos que: </li></ul><ul><li>Para x = x 1 e t = 0 , tem-se: </li></ul><ul><li>Para x = x 1 +  e t = 0 , tem-se: </li></ul>v <ul><li>No entanto: </li></ul>(número de onda) 16-4  Comprimento de Onda e Frequência
  20. 20. CAPÍTULO 16: ONDAS - I <ul><li>Então: </li></ul><ul><li>Pode ser escrita, como: </li></ul><ul><li>Mas: </li></ul>v <ul><li>Desse modo, tem-se: </li></ul>(função de onda senoidal) 16-4  Comprimento de Onda e Frequência
  21. 21. CAPÍTULO 16: ONDAS - I O que é constante de fase 16-4  Comprimento de Onda e Frequência
  22. 22. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  23. 23. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-5  A Velocidade de uma Onda Progressiva <ul><li>Sabemos que: </li></ul><ul><li>Como o ponto A , que pertence à forma da onda, tem sempre o mesmo valor y , temos: </li></ul><ul><li>Para determinar a velocidade v da onda derivamos essa equação em relação ao tempo, obtendo: </li></ul>(velocidade da onda)
  24. 24. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação onde as constantes numéricas estão em unidades do SI ( 0,00327m, 72,1 rad/m e 2,72 rad/s ). <ul><li>Qual é a amplitude da onda? </li></ul>
  25. 25. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação onde as constantes numéricas estão em unidades do SI ( 0,00327m, 72,1 rad/m e 2,72 rad/s ). <ul><li>Quais são o comprimento de onda, o período e a frequência da onda? </li></ul>
  26. 26. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação onde as constantes numéricas estão em unidades do SI ( 0,00327m, 72,1 rad/m e 2,72 rad/s ). <ul><li>Qual é a velocidade da onda? </li></ul>
  27. 27. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação onde as constantes numéricas estão em unidades do SI ( 0,00327m, 72,1 rad/m e 2,72 rad/s ). <ul><li>Qual é o deslocamento y para x = 22,5 cm e t = 18,9 s ? </li></ul>
  28. 28. Exemplo 16-3: No Exemplo 16-2d mostramos que em t = 18,9 s o deslocamento transversal y do elemento da corda situado em x = 22,5cm é 1,92 mm . <ul><li>Qual é a velocidade transversal u desse elemento da corda nesse instante t ? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v , a velocidade constante com a qual forma da onda se propaga na direção x .) </li></ul>
  29. 29. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  30. 30. Exemplo 16-3: No Exemplo 16-2d mostramos que em t = 18,9 s o deslocamento transversal y do elemento da corda situado em x = 22,5cm é 1,92 mm . <ul><li>Qual é a aceleração transversal a y do mesmo elemento nesse instante? </li></ul>
  31. 31. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  32. 32. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  33. 33. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  34. 34. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  35. 35. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  36. 36. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  37. 37. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  38. 38. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
  39. 39. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda <ul><li>Energia Cinética: </li></ul>Quando produzimos uma onda em uma corda esticada fornecemos energia para que a corda se mova. Quando a onda se afasta de nós transporta essa energia como energia cinética e como energia potencial elástica . Vamos examinar essas duas formas, uma de cada vez. Um elemento da corda de massa dm , oscilando transversalmente em um movimento harmônico simples enquanto a onda passa por ele, possui energia cinética associada a sua velocidade transversal u . Quando o elemento está passando pela posição y = 0 , sua energia cinética é máxima . Quando o elemento está na posição extrema y = y m , sua energia cinética é nula .
  40. 40. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda <ul><li>Energia Potencial Elástica: </li></ul>Para produzir uma onda senoidal em uma corda inicialmente reta a onda deve necessariamente deformar a corda. Quando um elemento da corda de comprimento dx oscila transversalmente seu comprimento aumenta e diminui periodicamente para assumir a forma da onda senoidal. Como no caso de uma mola, a energia potencial elástica está associada a essas variações de comprimento. Quando o elemento da corda está na posição y = y m a energia potencial elástica é nula . Por outro lado, quando o elemento está passando pela posição y = 0 possui energia potencial elástica máxima .
  41. 41. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda <ul><li>A Taxa de Transmissão de Energia: </li></ul>A energia cinética dK associada a um elemento da corda de massa dm é dada por: Para determinar u derivamos a função de onda em relação ao tempo, mantendo x constante: Usando essa relação e fazendo dm = µdx , tem-se: Dividindo essa equação por dt obtemos a taxa com a qual a energia cinética passa por um elemento da corda e, portanto, a taxa com a qual a energia cinética é transferida pela onda:
  42. 42. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda <ul><li>A Taxa de Transmissão de Energia: </li></ul>Como a razão dx/dt é a velocidade v da onda, temos: A taxa média com a qual a energia cinética é transportada é:
  43. 43. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda <ul><li>A Taxa de Transmissão de Energia: </li></ul>A energia potencial elástica também é transportada pela onda, com a mesma taxa média. Não vamos apresentar a demonstração, mas apenas lembrar que em um sistema oscilatório, como um pêndulo ou um sistema massa-mola, a energia cinética média e a energia potencial média são iguais . A potência média , que é a taxa média com a qual as duas formas de energia são transmitidas pela onda, é, portanto:
  44. 44. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Exemplo 16-5: Uma corda tem uma massa específica µ = 525 g/m e uma tensão  = 45 N . Uma onda senoidal de frequência f = 120 Hz e amplitude y m = 8,5 mm é produzida na corda. Com que taxa média a onda transporta energia?
  45. 45. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Equação de onda linear: Mostre que a equação satisfaz a equação de onda linear
  46. 46. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
  47. 47. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
  48. 48. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
  49. 49. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
  50. 50. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas Fontes em fase e em oposição de fase <ul><li>Fontes em fase: fontes que vibram sincronizadamente e que quando uma produz uma crista a outra também produz uma crista; </li></ul><ul><li>Fontes em oposição de fase: fontes que vibram sincronizadamente e que quando uma produz crista a outra produz vale. </li></ul>F 1 F 2 F 1 F 2
  51. 51. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas Exemplos de Defasamento (  ) Ondas em fase Ondas em fase Ondas em oposição de fase Ondas em oposição de fase ou ou ou ou ITC ITD ITC ITD
  52. 52. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por Essas ondas têm a mesma frequência angular  (e, portanto, a mesma frequência f ), o mesmo número de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda  ) e a mesma amplitude y m . Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com a mesma velocidade. Elas diferem apenas de um ângulo constante  , a constante de fase. Dizemos que essas ondas estão defasadas de  ou que sua diferença de fase é  . 16-10  Interferência de Ondas e que uma outra, deslocada em relação à primeira, é dada por Segundo o princípio de superposição, a onda resultante é a soma algébrica da duas ondas e tem um deslocamento
  53. 53. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas A soma dos senos de dois ângulos  e  obedece à identidade Aplicando esta relação, temos: Deslocamento Amplitude Termo oscilatório
  54. 54. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-10  Interferência de Ondas
  55. 55. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-12  Ondas Estacionárias
  56. 56. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-12  Ondas Estacionárias
  57. 57. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Para analisar um onda estacionária, representamos as duas ondas pelas equações 16-12  Ondas Estacionárias A soma dos senos de dois ângulos  e  obedece à identidade Aplicando esta relação, temos: De acordo com o princípio de superposição, a onda resultante é dada por
  58. 58. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-12  Ondas Estacionárias O fator 2y m sen(kx) poder ser visto como a amplitude da oscilação do elemento da onda estacionária localizado na posição x . Entretanto, como uma amplitude é sempre positiva e sen(kx) pode ser negativo, tomamos o valor absoluto de 2y m sen(kx) como a amplitude em x . Em uma onda senoidal progressiva a amplitude da onda é a mesma para todos os elementos da corda . Isso não é verdade para uma onda estacionária , na qual a amplitude varia com a posição . Para a onda estacionária, a amplitude é zero para valores de kx tais que que sen(kx) = 0 . Esses valores são: Fazendo k = 2  /  nesta equação e reagrupando os termos, obtemos as posições dos nós:
  59. 59. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância CORDAS VIBRANTES (1º harmônico – som fundamental) (2º harmônico) (3º harmônico)
  60. 60. CAPÍTULO 16: ONDAS - I Conseqüentemente o enésimo modo de vibração será dado por: CORDAS VIBRANTES e a freqüência do enésimo harmônico será: DICA: n é igual ao número de ventres 16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância
  61. 61. CAPÍTULO 16: ONDAS - I 16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância
  62. 62. Exemplo 16-8: A figura mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m = 2,5 g e comprimento L = 0,8 m sob uma tensão  = 325,0 N . Qual é o comprimento de onda  das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na figura e qual é o número harmônico n ? Qual é a frequência f das ondas transversais e das oscilações dos elementos da corda? Qual é o módulo máximo da velocidade u m do elemento da corda que oscila no ponto de coordenada x = 0,18 m ? Para que deslocamento do elemento a velocidade transversal é máxima?
  63. 65. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  64. 66. CAPÍTULO 16: ONDAS - I
  65. 67. Não é digno de saborear o mel aquele que se afasta da colméia por medo das picadas das abelhas. (Anônimo) Um abraço !

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