Anota¸c˜oes sobre L´ogica matem´atica
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Sum´ario
1 L´ogica matem´atica 4
1.1 Nega¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5...
SUM ´ARIO 3
1.8.14 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Senten¸cas abertas e ...
Cap´ıtulo 1
L´ogica matem´atica
Defini¸c˜ao 1 (Proposi¸c˜ao). N˜ao daremos defini¸c˜ao rigorosa de proposi¸c˜ao, tentaremos
...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 5
ou usar outras conjun¸c˜oes conclusivas como “portanto”, “por conseguinte”, “logo”no ...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 6
ser´a verdadeira quando p e q s˜ao simultaneamente verdadeiras, conforme a tabela ver...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 7
p q p → q
v v v
v f f
f v v
f f v
1.4.2 Condicional ↔, · · · se e somente se · · ·
De...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 8
Demonstra¸c˜ao. Precisamos testar apenas um n´umero finito de casos, das com-
bina¸c˜o...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 9
p q ∼ p ∼ q p∨ ∼ q (∼ p) ∧ q (p∨ ∼ q) ↔ (∼ p ∧ q)
v v f f v f f
v f f v v f f
f v v f...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 10
Demonstra¸c˜ao. Comparamos as tabelas verdade
p q p ∧ q q ∧ p
v v v v
v f f f
f v f ...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 11
p p ∧ p
v v
f f
Por isso p ∧ p assume sempre o valor l´ogico de p .
1.8.4 p ∧ v ⇔ p....
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 12
p q p ∨ q q ∨ p
v v v v
v f v v
f v v v
f f f f
Analisando as possibilidades de valo...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 13
1.8.8 p ∨ p ⇔ p
Propriedade 11. Vale que
p ∨ p ⇔ p,
para qualquer proposi¸c˜ao p.
De...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 14
p p ∨ f
v v
f f
Ent˜ao p ∨ f sempre assume o valor verdade de p e por isso vale a eq...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 15
p q r q ∧ r p ∨ q p ∨ r p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
v v f f v v v v
v v v v v v v ...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 16
p q p ∨ q p ∨ (p ∧ q)
v v v v
v f f v
f v f f
f f f f
da´ı segue que p ∨ (p ∧ q) equ...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 17
vari´aveis aplic´aveis , isto ´e, a nega¸c˜ao de (∀X) (P(X)) ´e (∃X) (∼ P(X)) e a ne...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 18
1.10.3 Nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao
Propriedade 20 (Nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao). Para quai...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 19
n˜ao ( para todo x p(x)) ´e equivalente a existe n˜ao p(x),
∼ (∃xp(x)) ⇔ ∀ ∼ p(x),
n...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 20
Exemplo 4. Morar em Portugal ´e uma condi¸c˜ao suficiente para morar na Europa.
Uma p...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 21
1.11.2 An´alise l´ogica
Vamos entender como explicitar a forma l´ogica de uma propos...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 22
1.13 Quest˜oes l´ogicas e brincadeiras
Exemplo 6. A gata do Pedrinho sempre espirra ...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 23
1. Seis
2. Cinco
3. Quatro
4. Trˆes
5. Duas
A resposta correta tem que possuir o mes...
CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 24
para o segundo l´ogico, pois n˜ao sabe se o terceiro gostaria de beber, por´em o ter...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Logic1

159 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
159
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
4
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Logic1

  1. 1. Anota¸c˜oes sobre L´ogica matem´atica Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡
  2. 2. 1
  3. 3. Sum´ario 1 L´ogica matem´atica 4 1.1 Nega¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Conjun¸c˜ao, (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Disjun¸c˜ao ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Condicional →, se · · · ent˜ao · · · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2 Condicional ↔, · · · se e somente se · · · . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Proposi¸c˜oes logicamente falsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Rela¸c˜ao de implica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Rela¸c˜ao de equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8.1 Comutatividade da conjun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8.2 Associatividade da conjun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8.3 p ∧ p ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8.4 p ∧ v ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8.5 p ∧ f ⇔ f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8.6 Comutatividade da disjun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8.7 Associatividade da disjun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8.8 p ∨ p ⇔ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.9 p ∨ v ⇔ v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.10 p ∨ f ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.11 Distributividade p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). . . . . . . . . . . . 14 1.8.12 Distributividade p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). . . . . . . . . . . . 14 1.8.13 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2
  4. 4. SUM ´ARIO 3 1.8.14 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 Senten¸cas abertas e quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9.1 Quantificador universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9.2 Quantificador existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10 Nega¸c˜ao de proposi¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10.1 Nega¸c˜ao da nega¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10.2 Nega¸c˜ao da conjun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10.3 Nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10.4 ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.11 Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11.1 Condi¸c˜oes necess´arias e suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11.2 An´alise l´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.11.3 S´ımbolos para conectivos e quantificadores . . . . . . . . . . . . . . 21 1.12 N´ıvel proposicional e n´ıvel quantificacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.13 Quest˜oes l´ogicas e brincadeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
  5. 5. Cap´ıtulo 1 L´ogica matem´atica Defini¸c˜ao 1 (Proposi¸c˜ao). N˜ao daremos defini¸c˜ao rigorosa de proposi¸c˜ao, tentaremos dar apenas uma no¸c˜ao intuitiva . As proposi¸c˜oes s˜ao senten¸cas, declarativas, que podem ser classificadas como verdadeiras (v) ou falsas (f). Iremos considerar como proposi¸c˜ao o conte´udo verdadeiro ou falso expresso por uma frase, ent˜ao por exemplo uma proposi¸c˜ao n˜ao depende da l´ıngua em que foi escrita, dependendo apenas do que se entende dela. X Proposi¸c˜oes s˜ao declarativas, n˜ao s˜ao exclamativas, nem interrogativas. X Possuem apenas um valor l´ogico v ou f. Diremos que os valores l´ogicos v e f s˜ao opostos . Os valores v ou f tamb´em podem ser simbolizados por 0 ou 1 respectivamente. Defini¸c˜ao 2 (Argumento). Um argumento ´e uma sequˆencia finita de proposi¸c˜oes, de uma determinada linguagem, da forma (pk)n+1 1 := (p1, . . . , pn+1) onde as n primeiras proposi¸c˜oes (pk)n 1 se chamam premissas do argumento e a ´ultima proposi¸c˜ao pn+1 = c ´e a conclus˜ao do argumento. Podemos ler tal argumento como: p1, . . . , pn, ent˜ao c, 4
  6. 6. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 5 ou usar outras conjun¸c˜oes conclusivas como “portanto”, “por conseguinte”, “logo”no lugar de “ent˜ao”. Outros modos de se escrever um argumento s˜ao p1, . . . , pn, pn+1, p1, . . . , pn pn+1 , p1, . . . , pn/pn+1, p1 ... pn pn+1 Defini¸c˜ao 3 (Argumentos v´alidos e inv´alidos). Um argumento (pk)n+1 1 ´e dito correto ou v´alido se a conclus˜ao c = pn+1 for verdadeira sempre que as premissas (pk)n 1 forem verdadeiras. Se as premissas s˜ao verdadeiras e a conclus˜ao for falsa o argumento ´e dito inv´alido ou incorreto. 1.1 Nega¸c˜ao Defini¸c˜ao 4 (Nega¸c˜ao de uma proposi¸c˜ao). Dada uma proposi¸c˜ao p, definimos a nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao p como uma proposi¸c˜ao ∼ p, de tal maneira como na tabela abaixo p ∼ p v f f v Os valores l´ogicos de p e ∼ p s˜ao sempre opostos, por defini¸c˜ao . 1.2 Conjun¸c˜ao, (e) Defini¸c˜ao 5 (Tabela verdade da conjun¸c˜ao). Dadas duas proposi¸c˜oes p e q formamos uma nova proposi¸c˜ao chamada conjun¸c˜ao das proposi¸c˜oes p e q, denotada por p ∧ q, que
  7. 7. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 6 ser´a verdadeira quando p e q s˜ao simultaneamente verdadeiras, conforme a tabela verdade a seguir: p q p ∧ q v v v v f f f v f f f f p ∧ q lˆe-se p e q. 1.3 Disjun¸c˜ao ou Defini¸c˜ao 6 (Tabela verdade da disjun¸c˜ao). Dadas duas proposi¸c˜oes p e q formamos uma nova proposi¸c˜ao chamada disjun¸c˜ao das proposi¸c˜oes p e q, denotada por p ∨ q, que ser´a verdadeira quando pelo menos uma for verdadeira, conforme a tabela verdade a seguir p q p ∨ q v v v v f v f v v f f f 1.4 Condicionais 1.4.1 Condicional →, se · · · ent˜ao · · · Defini¸c˜ao 7 (Tabela verdade do condicional →). Dadas duas proposi¸c˜oes p e q formamos uma nova proposi¸c˜ao p → q , que tem como algumas op¸c˜oes de leitura : Se p ent˜ao q, p ´e condi¸c˜ao necess´aria para q, q ´e condi¸c˜ao suficiente para p. Os valores l´ogicos da nova proposi¸c˜ao s˜ao conforme a tabela verdade a seguir
  8. 8. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 7 p q p → q v v v v f f f v v f f v 1.4.2 Condicional ↔, · · · se e somente se · · · Defini¸c˜ao 8 (Tabela verdade do condicional ↔). Dadas duas proposi¸c˜oes p e q formamos uma nova proposi¸c˜ao p ↔ q , que tem como algumas op¸c˜oes de leitura :p se e somente se q, p ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para q. Os valores l´ogicos da nova proposi¸c˜ao s˜ao conforme a tabela verdade a seguir p q p ↔ q v v v v f f f v f f f v p ↔ q ´e verdadeira quando p e q possuem mesmo valor l´ogico . 1.5 Tautologias Defini¸c˜ao 9 (Tautologia). Uma proposi¸c˜ao p, ´e uma tautologia se ela possui o valor l´ogico v (verdadeiro), independente do valor l´ogico das proposi¸c˜oes que formam p . Exemplo 1. p ou ∼ p ´e uma tautologia, pois a proposi¸c˜ao p ou a proposi¸c˜ao ∼ p ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira. Propriedade 1. A proposi¸c˜ao (p∧ ∼ p) → (q ∨ p) ´e uma tautologia.
  9. 9. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 8 Demonstra¸c˜ao. Precisamos testar apenas um n´umero finito de casos, das com- bina¸c˜oes poss´ıveis das proposi¸c˜oes p e q, por isso montamos uma tabela . p q ∼ p p ∧ ∼ p q ∨ p (p∧ ∼p ) → (q ∨ p) v v f f v v v f f f v v f v f f v v f f v f f v Corol´ario 1. Como vimos na tabela anterior p∧ ∼p ´e sempre falsa, logo sua nega¸c˜ao ´e uma tautologia, ∼ (p∧ ∼p) sempre assume valor verdadeiro. Propriedade 2. ∼ (p ∧ q) ↔ (∼ p∨ ∼ q) ´e uma tautologia . Demonstra¸c˜ao. Novamente constru´ımos a tabela verdade da proposi¸c˜ao, testando todas possibilidades de valores l´ogicos para p e q . p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q (∼ p) ∨ (∼ q) ∼ (p ∧ q) ↔ (∼ p∨ ∼ q) v v v f f f f v v f f v f v v v f v f v v f v v f f f v v v v v 1.6 Proposi¸c˜oes logicamente falsas Defini¸c˜ao 10 (Proposi¸c˜ao logicamente falsa). Uma proposi¸c˜ao p, ´e uma Proposi¸c˜ao logicamente falsa se ela possui o valor l´ogico f (falso), independente do valor l´ogico das proposi¸c˜oes que formam p . Tais proposi¸c˜oes tamb´em podem ser chamadas de inconsistentes ou contradi¸c˜oes. Exemplo 2. p∧ ∼ p ´e uma Proposi¸c˜ao logicamente falsa, pois a proposi¸c˜ao p ou a proposi¸c˜ao ∼ p ´e uma proposi¸c˜ao falsa. Propriedade 3. (p∨ ∼ q) ↔ (∼ p ∧ q) ´e uma proposi¸c˜ao logicamente falsa. Demonstra¸c˜ao. Faremos a tabela verdade analisando todas possibilidades para p e q .
  10. 10. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 9 p q ∼ p ∼ q p∨ ∼ q (∼ p) ∧ q (p∨ ∼ q) ↔ (∼ p ∧ q) v v f f v f f v f f v v f f f v v f f v f f f v v v f f Corol´ario 2. Como (p∨ ∼ q) ↔ (∼ p ∧ q) ´e uma proposi¸c˜ao logicamente falsa, ent˜ao sua nega¸c˜ao ´e uma tautologia. 1.7 Rela¸c˜ao de implica¸c˜ao Defini¸c˜ao 11 (Rela¸c˜ao de implica¸c˜ao). Dadas proposi¸c˜oes p e q, dizemos que p implica q, quando a proposi¸c˜ao p → q ´e verdadeira , simbolizamos tal ocorrˆencia com p ⇒ q. Defini¸c˜ao 12 (Teorema). Um teorema ´e uma implica¸c˜ao da forma h ⇒ t, onde h ´e chamada de hip´otese, t de tese . Em geral consideramos h como sendo verdadeira. Defini¸c˜ao 13 (Demonstra¸c˜ao de um teorema). Como ideia intuitiva a demonstra¸c˜ao de um teorema, significa mostrar que n˜ao ocorre o caso da hip´otese ser verdadeira e a tese falsa , isto ´e, temos h ⇒ t. 1.8 Rela¸c˜ao de equivalˆencia Defini¸c˜ao 14 (Rela¸c˜ao de equivalˆencia). Dadas proposi¸c˜oes p e q, dizemos que p ´e equivalente a q, quando a proposi¸c˜ao p ↔ q ´e verdadeira e simbolizamos tal ocorrˆencia com p ⇔ q. 1.8.1 Comutatividade da conjun¸c˜ao Propriedade 4 (Comutatividade da Conjun¸c˜ao). Vale que p ∧ q ⇔ q ∧ p.
  11. 11. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 10 Demonstra¸c˜ao. Comparamos as tabelas verdade p q p ∧ q q ∧ p v v v v v f f f f v f f f f f f portanto s˜ao equivalentes. 1.8.2 Associatividade da conjun¸c˜ao . Propriedade 5 (Associatividade da conjun¸c˜ao .). Vale que (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r), para quaisquer proposi¸c˜oes p, q e r. Demonstra¸c˜ao. Iremos construir a tabela verdade analisando todos casos poss´ıveis . p q r (p ∧ q) (p ∧ q) ∧ r q ∧ r p ∧ (q ∧ r) v v f v f f f v v v v v v v v f f f f f f v f v f f f f f v f f f f f f v v f f v f f f f f f f f f f v f f f f (p ∧ q) ∧ r e p ∧ (q ∧ r) possuem tabelas verdade iguais logo s˜ao equivalentes. 1.8.3 p ∧ p ⇔ p. Propriedade 6. Vale que p ∧ p ⇔ p. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade
  12. 12. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 11 p p ∧ p v v f f Por isso p ∧ p assume sempre o valor l´ogico de p . 1.8.4 p ∧ v ⇔ p. Propriedade 7. Vale que p ∧ v ⇔ p. Onde v ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade p p ∧ v v v f f Por isso p ∧ v assume sempre o valor l´ogico de p . 1.8.5 p ∧ f ⇔ f. Propriedade 8. Vale que p ∧ f ⇔ f. Onde f ´e uma proposi¸c˜ao falsa. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade p p ∧ f v f f f Por isso p ∧ f assume sempre o valor falso, independente do valor l´ogico de p. 1.8.6 Comutatividade da disjun¸c˜ao Propriedade 9 (Comutatividade da disjun¸c˜ao). Vale que p∨q ⇔ q∨p. Para quaisquer proposi¸c˜oes p e q . Demonstra¸c˜ao. Analisamos as possibilidades usando a tabela verdade.
  13. 13. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 12 p q p ∨ q q ∨ p v v v v v f v v f v v v f f f f Analisando as possibilidades de valores verdade para p e q , observamos que as tabelas para p ∨ q e q ∨ p s˜ao idˆenticas . Se pelo menos p ou q s˜ao verdadeiras ent˜ao p ∨ q e q ∨ p s˜ao verdadeiras. Caso ambas p e q sejam falsas ent˜ao p ∨ q e q ∨ p s˜ao falsas. 1.8.7 Associatividade da disjun¸c˜ao . Propriedade 10 (Associatividade da disjun¸c˜ao .). Vale que (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r), para quaisquer proposi¸c˜oes p, q e r. Demonstra¸c˜ao. Iremos construir a tabela verdade analisando todos casos poss´ıveis . p q r (p ∨ q) (p ∨ q) ∧ r q ∨ r p ∨ (q ∨ r) v v f v v v v v v v v v v v v f f v v f v v f v v v v v f v f v v v v f v v v v v v f f f f f f f f f v f v v v (p ∨ q) ∨ r e p ∨ (q ∨ r) possuem tabelas verdade iguais logo s˜ao equivalentes.
  14. 14. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 13 1.8.8 p ∨ p ⇔ p Propriedade 11. Vale que p ∨ p ⇔ p, para qualquer proposi¸c˜ao p. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade p p ∨ p v v f f Como as tabelas verdades s˜ao iguais ent˜ao as proposi¸c˜oes possuem mesmo valor l´ogico . 1.8.9 p ∨ v ⇔ v. Propriedade 12. Vale que p ∨ v ⇔ v, para qualquer proposi¸c˜ao p e v o valor verdade. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade p p ∨ v v v f v Ent˜ao p ∨ v sempre assume o valor v e por isso vale a equivalˆencia p ∨ v ⇔ v . 1.8.10 p ∨ f ⇔ p. Propriedade 13. Vale que p ∨ f ⇔ p, para qualquer proposi¸c˜ao p e f o valor falso. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade
  15. 15. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 14 p p ∨ f v v f f Ent˜ao p ∨ f sempre assume o valor verdade de p e por isso vale a equivalˆencia p ∨ f ⇔ p . 1.8.11 Distributividade p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). Propriedade 14. Para quaisquer proposi¸c˜oes p, q e r vale que p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade com todos poss´ıveis valores verda- des de p, q e r p q r q ∨ r p ∧ q p ∧ r p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) v v f v v f v v v v v v v v v v v f f f f f f f v f v v f v v v f v f v f f f f f v v v f f f f f f f f f f f f f f v v f f f f de onde podemos perceber que p ∧ (q ∨ r) e (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), possuem sempre o mesmo valor l´ogico por isso temos a equivalˆencia . 1.8.12 Distributividade p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Propriedade 15. Para quaisquer proposi¸c˜oes p, q e r vale que p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade com todos poss´ıveis valores verda- des de p, q e r
  16. 16. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 15 p q r q ∧ r p ∨ q p ∨ r p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) v v f f v v v v v v v v v v v v v f f f v v v v v f v f v v v v f v f f v f f f f v v v v v v v f f f f f f f f f f v f f v f f de onde podemos perceber que p ∨ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), possuem sempre o mesmo valor l´ogico por isso temos a equivalˆencia . 1.8.13 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. Propriedade 16. Para quaisquer proposi¸c˜oes p e q vale que p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade p q p ∨ q p ∧ (p ∨ q) v v v v v f v v f v v f f f f f da´ı segue que p ∧ (p ∨ q) equivale `a p. 1.8.14 p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. Propriedade 17. Para quaisquer proposi¸c˜oes p e q vale que p ∧ (p ∨ q) ⇔ p. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade
  17. 17. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 16 p q p ∨ q p ∨ (p ∧ q) v v v v v f f v f v f f f f f f da´ı segue que p ∨ (p ∧ q) equivale `a p. 1.9 Senten¸cas abertas e quantificadores Defini¸c˜ao 15 (Senten¸cas abertas- fun¸c˜oes proposicionais). Senten¸cas abertas s˜ao senten¸cas que contˆem vari´aveis, proposi¸c˜oes que podem assumir valores l´ogicos distintos n˜ao determinados a priori. Tais senten¸cas n˜ao s˜ao proposi¸c˜oes pois seu valor l´ogico n˜ao ´e definido a princ´ıpio, dependendo das vari´aveis. Podemos denotar uma senten¸ca aberta como P(X) onde X ´e um conjunto de vari´aveis . Senten¸cas abertas tamb´em podem ser chamadas de fun¸c˜oes proposicionais. 1.9.1 Quantificador universal Defini¸c˜ao 16 (Quantificador universal ∀). O quantificador universal ∀ ´e um s´ımbolo que associado a uma senten¸ca aberta P(X) a transforma em uma proposi¸c˜ao, da forma que (∀X) (P(X)) ´e verdadeira se para qualquer conjunto X de vari´aveis aplicaveis a senten¸ca P, P(x) ´e verdadeira e falsa caso contr´ario . O s´ımbolo ∀ pode ser lido como “para todo”, “qualquer que seja”, “para cada”. 1.9.2 Quantificador existencial Defini¸c˜ao 17 (Quantificador existencial ∃). O quantificador existencial ∃ ´e um s´ımbolo que associado a uma senten¸ca aberta P(X) a transforma em uma proposi¸c˜ao, da forma que (∃X) (P(X)) ´e verdadeira se existe algum conjunto X de vari´aveis apli- caveis a senten¸ca P tal que P(x) ´e verdadeira e falsa caso n˜ao exista esse conjunto de
  18. 18. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 17 vari´aveis aplic´aveis , isto ´e, a nega¸c˜ao de (∀X) (P(X)) ´e (∃X) (∼ P(X)) e a nega¸c˜ao de (∃X) (P(X)) ´e (∀X) (∼ P(X)). O s´ımbolo ∃ pode ser lido como “existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”. 1.10 Nega¸c˜ao de proposi¸c˜oes 1.10.1 Nega¸c˜ao da nega¸c˜ao Propriedade 18 (Nega¸c˜ao da nega¸c˜ao). Para qualquer proposi¸c˜ao p vale que ∼ (∼ p) ⇔ p. Demonstra¸c˜ao. Analisamos a tabela verdade p ∼ p ∼ (∼ p) v f v f v f da´ı segue que ∼ (∼ p) equivale `a p. 1.10.2 Nega¸c˜ao da conjun¸c˜ao Propriedade 19 (Nega¸c˜ao da conjun¸c˜ao). Para quaisquer proposi¸c˜oes p e q temos que ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q). A nega¸c˜ao da conjun¸c˜ao ´e a disjun¸c˜ao das nega¸c˜oes. Demonstra¸c˜ao. Comparamos a tabela verdade das proposi¸c˜oes p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ (p ∧ q) (∼ p) ∨ (∼ q) v v f f v f f v f f v f v v f v v f f v v f f v v f v v observando que s˜ao equivalentes.
  19. 19. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 18 1.10.3 Nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao Propriedade 20 (Nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao). Para quaisquer proposi¸c˜oes p e q temos que ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q). A nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao ´e a conjun¸c˜ao das nega¸c˜oes. Demonstra¸c˜ao. Comparamos a tabela verdade das proposi¸c˜oes p q ∼ p ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) (∼ p) ∧ (∼ q) v v f f v f f v f f v v f f f v v f v f f f f v v f v v observando que s˜ao equivalentes. 1.10.4 ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q. Propriedade 21 (Nega¸c˜ao de uma condicional simples). ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q. Nega¸c˜ao de p implica q ´e equivalente a p e n˜ao q. Demonstra¸c˜ao. Analisamos os casos na tabela verdade. p q ∼ q p → q ∼ (p → q) p ∧ (∼ q) v v f v f f v f v f v v f v f v f f f f v v f f por meio da tabela verdade acima podemos perceber que o valor verdade de ∼ (p → q) e p∧ ∼ q s˜ao idˆenticos . Propriedade 22 (Nega¸c˜ao de proposi¸c˜ao quantificada). Lembrando que temos as seguintes nega¸c˜oes, da defini¸c˜ao dos quantificadores: ∼ (∀xp(x)) ⇔ ∃ ∼ p(x),
  20. 20. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 19 n˜ao ( para todo x p(x)) ´e equivalente a existe n˜ao p(x), ∼ (∃xp(x)) ⇔ ∀ ∼ p(x), n˜ao ( existe x p(x)) ´e equivalente a para todo x n˜ao p(x). 1.11 Contrapositiva Propriedade 23 (Contrapositiva). p ⇒ q ⇔∼ q ⇒∼ p. A proposi¸c˜ao ∼ q ⇒∼ p ´e chamada contrapositiva da proposi¸c˜ao p ⇒ q. Demonstra¸c˜ao. Comparamos as tabelas verdades das duas proposi¸c˜oes . p q p → q ∼ q ∼ p ∼ q →∼ p v v v f f v v f f v f f f v v f v v f f v v v v como as tabelas verdade coincidem, ent˜ao as proposi¸c˜oes s˜ao equivalentes. A contrapositiva ´e ´util em matem´atica, algumas proposi¸c˜oes s˜ao consideradas mais f´aceis de serem demonstradas quando colocadas da forma contrapositiva. 1.11.1 Condi¸c˜oes necess´arias e suficientes Defini¸c˜ao 18. Dizemos que A ´e condi¸c˜ao necess´aria para B quando B ⇒ A . B ⇒ A equivale pela contrapositiva a proposi¸c˜ao ∼ A ⇒∼ B. Exemplo 3. Morar na Europa ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para morar em Portugal. Se n˜ao mora na Europa n˜ao mora em Portugal. Defini¸c˜ao 19. Dizemos que A ´e condi¸c˜ao suficiente para B quando A ⇒ B .
  21. 21. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 20 Exemplo 4. Morar em Portugal ´e uma condi¸c˜ao suficiente para morar na Europa. Uma pessoa mora que mora em Portugal mora na Europa. Observa¸c˜ao 1. A ´e uma condi¸c˜ao ´e necess´aria e suficiente para B quando temos A ⇔ B. Defini¸c˜oes s˜ao condi¸c˜oes necess´arias e suficientes. Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente tamb´em ´e chamada sine qua non. Consideramos defini¸c˜oes, intuitivamente, apenas o nome dado a certas entes que poderiam existir ou ser imaginados. Defini¸c˜ao 20 (Definiendum). O que desejamos definir chamamos de definiendum . Defini¸c˜ao 21 (Definiens). O que usamos para definir se chama definiens. Exemplo 5. Considere a seguinte defini¸c˜ao de n´umero par. Um n´umero ´e chamado de par se ´e da forma 2n com n ∈ Z. Neste caso “par”´e o definiendum, o que definimos e “N´umero da forma 2n com n ∈ Z”´e o definiens. Defini¸c˜ao 22 (Proposi¸c˜ao como consequˆencia l´ogica). Seja C um conjunto de pro- posi¸c˜oes e p uma proposi¸c˜ao. Dizemos que p ´e consequˆencia l´ogica (ou semˆantica) de C quando p ´e verdadeira sempre que todas as proposi¸c˜oes de C possuam valor l´ogico verdadeiro, denotamos tal fato por C p. A express˜ao C p pode ser lida como : 1. de C conclui-se logicamente p (ou semanticamente), 2. C implica l´ogicamente p. Se C for um conjunto finito, digamos C = {p1, . . . , pn} podemos escrever tamb´em p1, . . . , pn p, Se C for o conjunto vazio podemos denotar p . Corol´ario 3. Um argumento (pk)n+1 1 ´e valido ⇔ p1, . . . , pn pn+1
  22. 22. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 21 1.11.2 An´alise l´ogica Vamos entender como explicitar a forma l´ogica de uma proposi¸c˜ao p sendo o ato de deixar claro o modo como essa proposi¸c˜ao ´e formada a partir de proposi¸c˜oes ou condi¸c˜oes mais simples utilizando operadores l´ogicos. Defini¸c˜ao 23 (An´alise L´ogica). Entendemos como an´alise l´ogica a identifica¸c˜ao e classifica¸c˜ao das componentes l´ogicas e n˜ao l´ogicas de proposi¸c˜oes e demais express˜oes de uma l´ıngua ou linguagem. 1.11.3 S´ımbolos para conectivos e quantificadores Resumimos aqui alguns s´ımbolos para conectivos e quantificadores. S´ımbolo, Leitura Opera¸c˜ao l´ogica Alternativos ∧, e Conjun¸c˜ao &- · ∨, ou Disjun¸c˜ao + ∼, n˜ao Nega¸c˜ao ¬,p →, se . . ., ent˜ao Implica¸c˜ao, condicionalidade ⇒, ⊃ ↔, se e s´o se Equivalˆencia ⇔, ≡ ∀, para todo Quantifica¸c˜ao universal Π, () ∃, existe Quantifica¸c˜ao existencial Σ, E 1.12 N´ıvel proposicional e n´ıvel quantificacional Defini¸c˜ao 24 (N´ıvel proposicional e n´ıvel quantificacional). Temos pelo menos 2 n´ıveis de an´alise l´ogica, que citamos a seguir. X O n´ıvel proposicional em que interessa apenas o modo como uma proposi¸c˜ao ´e com- posta de proposi¸c˜oes mais simples por meio de conectivos, sem importar o conte´udo das proposi¸c˜oes. X O n´ıvel quantificacional em que o intuito ´e analisar
  23. 23. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 22 1.13 Quest˜oes l´ogicas e brincadeiras Exemplo 6. A gata do Pedrinho sempre espirra antes de uma chuva. Ela espirrou hoje e Pedrinho pensou:”Isto significa que vai chover”. Ele est´a necessariamente certo? N˜ao necessariamente pois choveu implica a gata espirrou n˜ao ´e o mesmo que a gata espirrou implica que chover´a . Exemplo 7. Um professor desenhou diversos c´ırculos em uma folha de papel. Ele mostrou a folha para um estudante e depois perguntou : ”Quantos c´ırculos h´a nesta p´agina?”A resposta foi sete , e estava correto . O professor mostrou a folha para outro aluno e perguntou, novamente quantos c´ırculos havia naquela p´agina que foi mostrada, a resposta foi cinco, e estava correta. Quantos c´ırculos havia na folha? O professor mostrou p´aginas diferentes da mesma folha ( por exemplo, frente e verso ), em uma havia 5 e em outra 7 . Logo o total na folha ´e de 5 + 7 = 12. Exemplo 8. O filho do pai de uma pessoa est´a falando com o pai do filho desta pessoa e esta pessoa n˜ao est´a participando da conversa, isto ´e poss´ıvel?. Sim, como na imagem abaixo, e uma solu¸c˜ao sendo a pessoa do sexo feminino. Figura 1.1: legenda Exemplo 9 (OBM-2012-Primeira fase -n´ıvel 3-Quest˜ao 1). Quantas vogais tˆem a resposta correta desse problema?
  24. 24. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 23 1. Seis 2. Cinco 3. Quatro 4. Trˆes 5. Duas A resposta correta tem que possuir o mesmo n´umero de vogais que a quantidade que indica, ent˜ao ´e a op¸c˜ao 5), Duas, que possui duas vogais. Exemplo 10. Um recipiente A possui exatamente x litros de leite e nada mais , outro recipiente B possui exatamente x litros de ch´a m´agico e nada mais. ´E retirado do recipiente A, z litros e colocados em B, a mistura se torna ent˜ao homogˆenea , se retira dessa mistura z litros que s˜ao colocados no recipiente A, qual a rela¸c˜ao entre a porcentagem de ch´a m´agico no recipiente A com a de leite no recipiente B ? . S˜ao iguais, pois considere (x, 0)A, a primeira coordenada d´a a quantidade de leite no recipiente A e a segunda a quantidade de ch´a m´agico . (0, x)B a primeira coordenada d´a a quantidade de leite no recipiente B a segunda a quantidade de ch´a m´agico . Na segunda etapa temos (x − z, 0)A e (z, x)B, na terceira etapa o liquido em B fica homogeneo, ent˜ao tiramos z, mais metade deve ser de ch´a e a outra metade de leite, ent˜ao ficamos com (x − z 2 , z 2 )A, ( z 2 , x − z 2 )B da´ı a porcentagem de ch´a em A ´e igual a porcentagem de leite em B , como se pode verificar . Exemplo 11. Trˆes l´ogicos entram em um bar. Um Gar¸com pergunta se todos trˆes desejam cerveja. Um dos l´ogicos responde, ”n˜ao sei”, um segundo l´ogico responde o mesmo, j´a o terceiro responde, sim, todos queremos cerveja e com isso todos s˜ao servidos e bebem . Explique como o terceiro l´ogico deduziu que todos realmente queriam cerveja. Se o primeiro l´ogico a falar n˜ao quisesse cerveja, ele poderia dizer que n˜ao seria verdade que todos trˆes queriam e poderia responder ”n˜ao”, como ele deseja beber ent˜ao responde que n˜ao sabe, pois n˜ao tem informa¸c˜ao sobre o que desejam os outros, o mesmo acontece
  25. 25. CAP´ITULO 1. L ´OGICA MATEM ´ATICA 24 para o segundo l´ogico, pois n˜ao sabe se o terceiro gostaria de beber, por´em o terceiro l´ogico analisando a resposta dos outros percebe que eles querem beber, pois caso contr´ario teriam respondido n˜ao, como ele tamb´em deseja beber, responde que sim.

×