Anota¸c˜oes sobre limite de fun¸c˜oes
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.m...
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Sum´ario
1 Limite de fun¸c˜oes 3
1.1 Limite de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3...
Cap´ıtulo 1
Limite de fun¸c˜oes
1.1 Limite de fun¸c˜oes
Defini¸c˜ao 1 (Defini¸c˜ao de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de n´...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 4
Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se lim
x→a
f(x) = L1
e ...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 5
Demonstra¸c˜ao. ⇒.Suponhamos que lim
x→a
f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A{a}.
Pela defi...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 6
logo n˜ao pode existir lim
x→0
g(f(x)), pois o limite depende de como se aproxima de z...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 7
Exemplo 6. lim
x→a
⌊x⌋ n˜ao existe se a ∈ Z.
Tomamos as sequˆencias que convergem para...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 8
Demonstra¸c˜ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) ...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 9
Corol´ario 3. Se f : A → R ´e polinomial f(x) =
n∑
k=0
akxk
ent˜ao
lim
x→c
n∑
k=0
akxk...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 10
Da existˆencia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que y ∈ ...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 11
Propriedade 13. Sejam f, g de A em R, a ∈ A′
,se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M ...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 12
como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L + 1 ≤ |L| + 1 e −L + 1 ≤ |L| + 1 e
−f(x) ≤ |L| ...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 13
Podemos denotar os limites laterais como
lim
x→a−
f(x) = f(a−
)
lim
x→a+
f(x) = f(a+
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CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 14
Demonstra¸c˜ao. Seja B = inf{f(x), x ∈ A, x > a}, tal conjunto ´e n˜ao vazio pois a
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CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 15
Admitimos agora (yn) crescente em R  {0} tal que lim yn = 0. a
1
yn =
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a
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, com...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 16
1.5 Limites no infinito e limites infinitos
1.5.1 Defini¸c˜oes com limites de x → ∞
Defin...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 17
Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e n˜ao-decrescente, B
ilimitado...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 18
1.5.3 Defini¸c˜oes de limites tendendo ao infinito
Defini¸c˜ao 11. Dizemos que lim
x→a+
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CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 19
Propriedade 25. Se lim
x→a
f(x) = ∞ e g(x) > c > 0 numa vizinhan¸ca de a ent˜ao
lim
x...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 20
Demonstra¸c˜ao. Se lim
x→a
f(x) = L ent˜ao f seria limitada numa vizinhan¸ca de a,
o ...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 21
e para x > A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B > A1 + A2 + A3 e x > B segue que
L ...
CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 22
wt = Mt − mt, chamada de oscila¸c˜ao de f em I = [t, ∞). Nessas condi¸c˜oes, existem
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CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 23
1.7 Stolz-Ces`aro para limite de fun¸c˜oes
Propriedade 32 (Stolz-Ces`aro para limite ...
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  1. 1. Anota¸c˜oes sobre limite de fun¸c˜oes Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡
  2. 2. 1
  3. 3. Sum´ario 1 Limite de fun¸c˜oes 3 1.1 Limite de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Limite e sequˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Propriedades aritm´eticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Fun¸c˜ao de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Limite da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Teorema do sandu´ıche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Crit´erio de Cauchy para limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Defini¸c˜oes com limites de x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Defini¸c˜oes com limites de x → −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.3 Defini¸c˜oes de limites tendendo ao infinito . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.4 Defini¸c˜oes de limites tendendo a menos infinito . . . . . . . . . . . 19 1.5.5 Crit´erio de compara¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.6 lim x→a f(x) = ∞ e sequˆencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Limites de fun¸c˜oes em espa¸cos m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Stolz-Ces`aro para limite de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2
  4. 4. Cap´ıtulo 1 Limite de fun¸c˜oes 1.1 Limite de fun¸c˜oes Defini¸c˜ao 1 (Defini¸c˜ao de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de n´umeros reais, f de A em R uma fun¸c˜ao real cujo dom´ınio ´e A e a ∈ A′ um ponto de acumula¸c˜ao do conjunto A. Definimos lim x→a f(x) = L sse ∀ε > 0, ∃δ > 0|x ∈ A, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε. Dizemos que L ´e o limite de f quando x tende para a ou que limite de f(x) com x tendendo para a ´e L. 0 < |x − a| < δ significa que x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ), ou x ∈ (a − δ, a + δ), x ̸= a. Pela defini¸c˜ao dada, n˜ao ´e necess´ario que a ∈ A em lim x→a f(x), precisamos apenas que a ∈ A′ , isto ´e, todo intervalo (a − δ, a + δ) possua pontos de A distintos de a. A fun¸c˜ao f pode mesmo n˜ao estar definida em a e quando est´a definida em a, n˜ao vale necessariamente lim x→a f(x) = f(a). Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A′ onde A ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao da qual queremos estudar lim x→a f(x). 3
  5. 5. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 4 Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se lim x→a f(x) = L1 e lim x→a f(x) = L2 ent˜ao L1 = L2. Demonstra¸c˜ao. ∀ε > 0 existem (δ1, δ2)(> 0) tais que para x ∈ A vale 0 < |x − a| < δ1 implica |f(x) − L1| < ε 2 e 0 < |x − a| < δ2 implica |f(x) − L2| < ε 2 , usando a desigualdade triangular para δ = min{δ1, δ2} segue |L1−L2| ≤ |L1−f(x)|+|f(x)−L2| < ε o que significa que L1 = L2. Propriedade 2 (Limite da fun¸c˜ao constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A ent˜ao lim x→a g(x) = c. Demonstra¸c˜ao. Tem-se que g(x)−c = 0 logo |g(x)−c| = 0 ∀x ∈ A ent˜ao ∀ε > 0 ∃δ > 0| x ∈ A, 0 < |x − a| < δ ⇒ |g(x) − c| = 0 < ε. Exemplo 1. Seja f : R∗ → R dada por f(x) = x⌊ 1 x ⌋ ent˜ao f(x) = 0 para x > 1, pois 0 < 1 x < 1 e da´ı ⌊ 1 x ⌋ = 0, isso implica que lim x→∞ x⌊ 1 x ⌋ = 0. Propriedade 3 (Limite da fun¸c˜ao identidade). Seja g : A → R dada por g(x) = x ent˜ao vale lim x→a g(x) = a. Lembrando que a n˜ao necessariamente pertence ao conjunto A, ent˜ao a princ´ıpio n˜ao tem-se g(a) = a. Demonstra¸c˜ao. Tomamos δ = ε e da´ı Para 0 < |x − a| < δ tem-se |g(x) − a| = |x − a| < δ = ε. Exemplo 2. Dada uma fun¸c˜ao r : R → R tal que lim h→0 r(h) h = 0 pode n˜ao vale que lim h→0 r(h) h2 = 0, por exemplo, r(h) = h2 , tem-se r(h) h = h e r(h) h2 = 1. 1.1.1 Limite e sequˆencias ⋆ Teorema 1 (Crit´erio de sequˆencias para limite). lim x→a f(x) = L ⇔ lim n→∞ f(xn) = L para toda sequˆencia de pontos xn ∈ A {a} tal que lim xn = a.
  6. 6. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 5 Demonstra¸c˜ao. ⇒.Suponhamos que lim x→a f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A{a}. Pela defini¸c˜ao de limite tem-se que ∀ε > 0 ,∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ, x ∈ A ⇒ |f(x) − L| < ε e pelo limite da sequˆencia ∀ε1 > 0, ∃n0 ∈ N|n > n0 ⇒ 0 < |xn −a| < ε1, como ´e garantida a rela¸c˜ao para qualquer ε1 > 0, tomamos ε1 = δ de onde segue 0 < |xn − a| < δ, usando essa desigualdade com a defini¸c˜ao do limite de f(x) segue |f(xn) − L| < ε que implica lim f(xn) = L. ⇐ Agora para provar a rec´ıproca, vamos usar a contrapositiva que ´e lim x→a f(x) ̸= L ⇒ lim f(xn) ̸= L. ∃ε > 0 tal que ∀n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 < |xn − a| < 1 n e |f(xn) − L)| ≥ ε. Ent˜ao xn → a, mas n˜ao se tem lim f(xn) = L. Corol´ario 1 (Crit´erio de divergˆencia por sequˆencias). Dadas duas sequˆencias (xn), (yn) ∈ A {a} com lim xn = lim yn = a ent˜ao se lim f(xn) ̸= lim f(yn) ou um deles n˜ao existir, ent˜ao lim x→a f(x) n˜ao existe. Exemplo 3. Sejam f : gR → R definidas como X f(x) = 0 se x ∈ R Q, f(x) = x se x ∈ Q. X g(0) = 1 e g(x) = 0 se x ̸= 0. Nessas condi¸c˜oes vale lim x→0 f(x) = lim x→0 g(x) = 0 e n˜ao existe lim x→0 g(f(x)). Vale lim x→0 f(x) = 0, pois tomamos ε = δ ent˜ao par 0 < |x| < δ vale |f(x)| < δ = ε, tanto para x irracional, pois no caso vale |f(x)| = 0 < ε, tanto no caso de x racional pois nesse caso vale |f(x)| = |x| < δ = ε, ent˜ao em qualquer desses casos temos |f(x)| < ε. Tamb´em vale que lim x→0 g(x) = 0, pois tomando ε = δ, 0 < |x| < δ implica x n˜ao nulo, portanto g(x) = 0 e da´ı |g(x)| = 0 < δ = ε. N˜ao existe lim x→0 g(f(x)). Seja xn → 0 por valores racionais, ent˜ao f(xn) = xn e da´ı lim g(f(xn)) = lim g(xn) = 0. Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f(yn) = 0 e lim g(f(yn)) = lim g(0) = 1,
  7. 7. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 6 logo n˜ao pode existir lim x→0 g(f(x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero (usamos o crit´erio de divergˆencia por meio de sequˆencias). Propriedade 4. Se ∀(xn) em A {a} com lim xn = a implicar (f(xn)) convergente ent˜ao lim x→a f(x) existe. Demonstra¸c˜ao. Usaremos que lim x→a f(x) = L ⇔ ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L. Por isso vamos tomar duas sequˆencias arbitr´arias (xn) e (yn) com lim xn = lim yn = a em A {a} e vamos mostrar que lim f(xn) = lim f(yn). Tomamos (zn) definida como z2n = xn e z2n−1 = yn, da´ı lim zn = a, portanto lim f(zn) existe, como (f(xn)) e (f(yn)) s˜ao subsequˆencias de (f(zn)) ent˜ao elas convergem para o mesmo limite L, da´ı provamos que ∀ (zn) ∈ A {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L que implica lim x→a f(x) = L. Propriedade 5. Seja f : A → R, a ∈ A′ , B = f(A {a}). Se lim x→a f(x) = L ent˜ao L ∈ B. Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f(A {a}), isto ´e, existem pontos de f(A {a}) arbitrariamente pr´oximos de L. Demonstra¸c˜ao. Usaremos o crit´erio de sequˆencias. Como lim x→a f(x) = L, ent˜ao existe sequˆencia (xn) em A {a} tal que lim f(xn) = L, da´ı tome f(xn) = yn, (yn) ´e uma sequˆencia em f(A {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B. Exemplo 4. lim x→0 sen( 1 x ) n˜ao existe. Tomamos as sequˆencias xn = 1 2nπ e yn = 1 2nπ + π 2 vale lim xn = 0 = lim yn e sen( 1 xn ) = sen(2nπ) = 0 e sen(2nπ+ π 2 ) = 1 logo os limites s˜ao distintos ent˜ao lim x→0 sen( 1 x ) n˜ao existe. Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1, 1], tomando xn = 1 t + 2πn vale lim xn = 0 e sen( 1 xn ) = sen(t + 2πn) = sen(t) = v. Exemplo 5. lim x→0 1 x n˜ao existe, pois se existisse seria um n´umero real a e tomando a sequˆencia xn = 1 n , ter´ıamos que ter lim n = a o que n˜ao acontece, pois vale lim n = ∞.
  8. 8. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 7 Exemplo 6. lim x→a ⌊x⌋ n˜ao existe se a ∈ Z. Tomamos as sequˆencias que convergem para a, xn = a − 1 n + 1 e yn = a + 1 n + 1 , da´ı ⌊xn⌋ = a − 1 e ⌊yn⌋ = a, logo essas sequˆencias n˜ao tem o mesmo limite, implicando que n˜ao existe lim x→a ⌊x⌋. Exemplo 7. Seja f : R {0} dada por f(x) = |x| x , ent˜ao lim x→0 |x| x n˜ao existe. Se x > 0 ent˜ao |x| x = x x = 1 se x < 0, |x| x = −x x = −1, tomamos uma sequˆencia xn = 1 n da´ı f(xn) = 1 e tomando yn = −1 n tem-se f(yn) = −1, os limites s˜ao distintos, logo lim x→0 |x| x n˜ao existe. Exemplo 8. Se a n˜ao ´e inteiro, ent˜ao lim x→a ⌊x⌋ = ⌊a⌋. Dado a n˜ao inteiro, tem-se que a ∈ (m, m+1) onde m ´e inteiro, logo podemos escolher δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ (m, m + 1) e da´ı para esses valores, vale ⌊x⌋ = m = ⌊a⌋, implicando que ⌊x⌋ − ⌊a⌋ < ε para qualquer ε > 0. Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f, gA → R. Se g(x) ´e limitada numa vizi- nhan¸ca de a e lim x→a f(x) = 0 ent˜ao lim x→a f(x).g(x) = 0. Demonstra¸c˜ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A tal que lim xn = a, temos que (g(xn)) ´e limitada e lim f(xn) = 0, logo lim f(xn)g(xn) = 0, por propriedade de sequˆencias, como a sequˆencia (xn) ´e arbitr´aria, segue que lim x→a f(x).g(x) = 0. Exemplo 9. lim x→0 x⌊ 1 x ⌋ = 1 pois escrevemos 1 x = ⌊ 1 x ⌋ + { 1 x } da´ı x⌊ 1 x ⌋ = 1 − x{ 1 x } como { 1 x } ´e limitada, segue que lim x→0 x⌊ 1 x ⌋ = 1. 1.2 Propriedades aritm´eticas dos limites Propriedade 7 (Limite da soma). Se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M ent˜ao lim x→a f(x) + g(x) = L + M.
  9. 9. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 8 Demonstra¸c˜ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequˆencias lim f(xn) + g(xn) = L + M, pela arbitrariedade da sequˆencia (xn) conclu´ımos que lim x→a f(x) + g(x) = L + M. Propriedade 8. Se lim x→a fk(x) = Lk ent˜ao lim x→a n∑ k=1 fk(x) = n∑ k=1 Lk. Demonstra¸c˜ao. Propriedade 9 (Limite do quociente). Se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M ̸= 0 ent˜ao lim x→a f(x) g(x) = L M . Demonstra¸c˜ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequˆencias lim f(xn) g(xn) = L M pela arbitrariedade da sequˆencia (xn) conclu´ımos que lim x→a f(x) g(x) = L M . Propriedade 10 (Limite do produto). Se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M ̸= 0 ent˜ao lim x→a f(x)g(x) = L.M Demonstra¸c˜ao. Tomamos uma sequˆencia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos lim f(xn) = L e lim g(xn) = M, e por propriedade de limite de sequˆencias lim f(xn)g(xn) = LM pela arbitrariedade da sequˆencia (xn) conclu´ımos que lim x→a f(x)g(x) = L.M Propriedade 11. Se lim x→a fk(x) = Lk ent˜ao lim x→a n∏ k=1 fk(x) = n∏ k=1 Lk. Corol´ario 2. Se p ∈ N, f : A → R dada por f(x) = xp ent˜ao lim x→a xp = ap .
  10. 10. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 9 Corol´ario 3. Se f : A → R ´e polinomial f(x) = n∑ k=0 akxk ent˜ao lim x→c n∑ k=0 akxk = n∑ k=0 akck . Demonstra¸c˜ao. 1.2.1 Fun¸c˜ao de Dirichlet Defini¸c˜ao 2 (Fun¸c˜ao de Dirichlet). ´E a fun¸c˜ao g : R → R definida como g(x) =    1 se x ∈ Q 0 se x /∈ Q Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R n˜ao existe lim x→a g(x). Demonstra¸c˜ao. Como Q e R Q s˜ao ambos densos em R, podemos tomar uma sequˆencia de racionais (xn) que converge para a e da´ı g(xn) = 1, ent˜ao lim g(xn) = 1, por´em tomando uma sequˆencia (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos g(yn) = 0 e lim g(yn) = 0, como os limites s˜ao diferentes segue que lim x→a g(x) n˜ao existe. 1.2.2 Limite da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes ⋆ Teorema 2 (Limite da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes). Sejam A, B ⊂ R, f de A em R e g de B em R com f(A) ⊂ B. Se lim x→a f(x) = b e lim y→b g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se lim x→a g(f(x)) = c. Demonstra¸c˜ao. Da existˆencia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que y ∈ B, |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde tiramos a restri¸c˜ao de y ̸= b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existˆencia do limite de f tomando δ1 como εf , ε para f, temos que para δ1 existe δ2 > 0 tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f(x) − b| < δ1 como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que |g(f(x)) − c| < ε implicando que lim x→a g(f(x)) = c. Se x ̸= a implicar f(x) ̸= b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento com pequenas altera¸c˜oes:
  11. 11. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 10 Da existˆencia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que y ∈ B, 0 < |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde agora mantemos a restri¸c˜ao de y ̸= b. Usando a existˆencia do limite de f tomando δ1 como εf , ε para f, temos que para δ1 existe δ2 > 0 tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ 0 < |f(x) − b| < δ1 ( aqui usamos que x ̸= a implica f(x) ̸= b) como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que |g(f(x)) − c| < ε implicando que lim x→a g(f(x)) = c. Exemplo 10. Nesse exemplo mostramos que ´e necess´ario supor g(b) = c. Suponha que g(x) = x, ∀x ̸= 1 e g(1) = 0. Temos que lim x→1 g(x) = 1 ̸= g(1) = 0. Tomando f(x) = 1, ∀x, segue que lim x→a f(x) = 1, por´em lim x→a g(f(x)) = lim x→a g(1) = 0 ̸= lim x→1 g(x) = 1. 1.3 Limites e desigualdades 1.3.1 Teorema do sandu´ıche ⋆ Teorema 3 (Teorema do sandu´ıche). Sejam f, g, h de A em R, a ∈ A′ e lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A {a} ent˜ao lim x→a h(x) = L. Demonstra¸c˜ao. ∀ε > 0 ∃(δ1, δ2)(> 0) tais que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f(x) < L + ε e 0 < |x − a| < δ2 ⇒ L − ε < g(x) < L + ε , tomando δ = min{δ1, δ2} tem-se L − ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L + ε que implica lim x→a h(x) = L.
  12. 12. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 11 Propriedade 13. Sejam f, g de A em R, a ∈ A′ ,se lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M com M > L ent˜ao existe δ > 0 tal que g(x) > f(x) para todo x ∈ A com 0 < |x − a| < δ. Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao de limite temos ∀ε > 0, ∃δ1 > 0 tal que x ∈ A , 0 < |x−a| < δ1 implica f(x) ∈ (L−ε, L+ε) e o mesmo para g(x) , ∃δ2 > 0 tal que x ∈ A , 0 < |x − a| < δ2 implica g(x) ∈ (M − ε, M + ε), podemos tentar tomar M − ε = L + ε, com isso M − L 2 = ε, como M > L tal ε cumpre a condi¸c˜ao ε > 0, tomando ε = M − L 2 e δ = min{δ1, δ2} tem-se f(x) < L − ε = M − ε < g(x), isto ´e, f(x) < g(x) para x ∈ A, 0 < |x − a| < δ. Corol´ario 4. Se lim x→a f(x) = L < M ent˜ao existe δ > 0 tal que f(x) < M para todo x ∈ A com 0 < |x − a| < δ. Tome g(x) = M para todo x ∈ A, assim lim x→a g(x) = M e aplicamos a propriedade anterior. Corol´ario 5. Sejam lim x→a f(x) = L e lim x→a g(x) = M. Se g(x) ≥ f(x) para todo x ∈ A − {a} ent˜ao M ≥ L. Pois se fosse L > M, existiria δ > 0 tal que f(x) > g(x) para 0 < |x − a| < δ o que entra em contradi¸c˜ao com g(x) ≥ f(x). Corol´ario 6 (Conserva¸c˜ao de sinal). Se lim x→a g(x) = M > 0 ent˜ao existe δ > 0 tal que g(x) > 0 para todo x ∈ A com 0 < |x−a| < δ, tomamos f(x) = 0 e usamos a propriedade j´a demonstrada. Propriedade 14 (Existˆencia de limite e limita¸c˜ao da fun¸c˜ao). Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X′ . Se existe lim x→a f(x) ent˜ao f ´e limitada numa vizinhan¸ca de a, isto ´e, existem A > 0, δ > 0 tais que 0 < |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ |f(x)| < A. Seja L = lim x→a f(x) e ε = 1 na defini¸c˜ao de limite, ent˜ao existe δ > 0|x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < 1 L − 1 < f(x) < L + 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se −L − 1 < −f(x) < −L + 1
  13. 13. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 12 como temos L ≤ |L| e −L ≤ |L| segue L + 1 ≤ |L| + 1 e −L + 1 ≤ |L| + 1 e −f(x) ≤ |L| + 1, f(x) ≤ |L| + 1 ⇒ |f(x)| ≤ |L| + 1 tomando A = |L| + 1 segue a propriedade. 1.3.2 Crit´erio de Cauchy para limites Propriedade 15. lim x→a f(x) existe sse ∀ε > 0 ∃δ > 0 |0 < |x − a| < δ, 0 < |y − a| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε. Demonstra¸c˜ao. Se lim x→a f(x) = L ent˜ao ∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, |x − a| < δ, |y − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε 2 , |f(y) − b| < ε 2 tomando a desigualdade triangular segue |f(x) − f(y)| ≤ |f(y) − b| + |f(x) − b| < ε 2 + ε 2 = ε logo nessas condi¸c˜oes |f(x) − f(y)| < ε. Para toda sequˆencia de pontos (xn) em A com lim xn = a, com as condi¸c˜oes dadas a sequˆencia (f(xn)) ´e de Cauchy em R como R ´e completo ela converge o que implica que existe o limite lim x→a f(x). 1.4 Limites laterais Defini¸c˜ao 3 (Limite `a direita). Seja a ponto de acumula¸c˜ao `a direita de A, isto ´e, ∀δ > 0 vale A ∩ (a, a + δ) ̸= ∅ ent˜ao lim x→a+ f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − L| < ε. Podemos escrever 0 < x − a < δ como a < x < a + δ. Defini¸c˜ao 4 (Limite `a esquerda). Seja a ponto de acumula¸c˜ao `a esquerda de A, isto ´e,∀δ > 0 vale A ∩ (a − δ, a) ̸= ∅ ent˜ao lim x→a− f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < a − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.
  14. 14. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 13 Podemos denotar os limites laterais como lim x→a− f(x) = f(a− ) lim x→a+ f(x) = f(a+ ). Propriedade 16. Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X ′ +. Tomando Y = X ∩ (a, +∞) e g = f|Y ent˜ao lim x→a+ f(x) = L ⇔ lim x→a g(x) = L. Demonstra¸c˜ao. Se x ∈ Y temos x ∈ (a, +∞), de onde segue a < x, 0 < x − a. Se lim x→a+ f(x) = L ⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ X, 0 < x − a < δ ⇒ f(x) ∈ (L − ε, L + ε) de x ∈ X e 0 < x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f(x) ∈ (L − ε, L + ε) que implica lim x→a g(x) = L. Se lim x→a g(x) = L ent˜ao ∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ Y, 0 < x − a < δ ⇒ |g(x) − L| < ε mas em Y , g = f ent˜ao |f(x) − L| < ε que implica lim x→a+ f(x) = L. Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A ′ + ∩ A ′ − ent˜ao lim x→a f(x) = L sse existem e s˜ao iguais os limites laterais lim x→a+ f(x) = L = lim x→a− f(x) Demonstra¸c˜ao. Se lim x→a+ f(x) = L = lim x→a− f(x) ent˜ao ∀ε > 0, ∃(δ1, δ2)(> 0) tais que x ∈ X ∩(a, a + δ1) implica |f(x) −L| < ε e x ∈ X ∩(a −δ2, a) implica |f(x) −L| < ε. Tomando δ = min{δ1, δ2} ent˜ao x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) implica |f(x) − L| < ε e lim x→a f(x) = L. Falta a outra parte. Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A → R uma fun¸c˜ao mon´otona limitada, a ∈ A′ + e b ∈ A′ −. Ent˜ao existem os limites laterais lim x→a+ f(x) = L, lim x→b− f(x) = M.
  15. 15. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 14 Demonstra¸c˜ao. Seja B = inf{f(x), x ∈ A, x > a}, tal conjunto ´e n˜ao vazio pois a ´e ponto de acumula¸c˜ao `a direita e limitado inferiormente , pois f ´e limitada inferiormente, logo ele possui´ınfimo L . L+ε n˜ao ´e cota inferior de B , logo existe δ > 0 tal que a+δ ∈ A e vale L ≤ f(a + δ) < L + ε, como f ´e n˜ao-decrescente tem-se com a < x < a + δ que L ≤ f(x) < f(a + δ) < L + ε da´ı lim x→a+ f(x) = L. Exemplo 11. Vale lim x→a+ ⌊x⌋ = a e lim x→a− ⌊x⌋ = a − 1 logo n˜ao existe o limite lim x→a ⌊x⌋ se a ´e inteiro. Podemos tomar δ < 1 com a < x < a + δ < a + 1 e nesse intervalo vale ⌊x⌋ = a logo lim x→a+ ⌊x⌋ = a, da mesma maneira tem-se a − 1 < a − δ < x < a, logo nesse intervalo vale ⌊x⌋ = a − 1 de onde tem-se lim x→a− ⌊x⌋ = a − 1 . Propriedade 19. lim x→a+ f(x) = L ( lim x→a− f(x) = L) ⇔ ∀(xn) em A decrescente (cres- cente) com lim xn = a tem-se lim f(xn) = L. Demonstra¸c˜ao. Vale que lim x→a+ f(x) = L ⇔ lim x→a g(x) = L onde g : B → R onde B = A ∩ (a, ∞). Por´em lim x→a g(x) = L ⇔ ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L. Vamos ent˜ao provar a propriedade. ⇒). Se lim x→a+ f(x) = L ent˜ao lim x→a g(x) = L que implica ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L, em especial para as sequˆencias (xn) que sejam decrescentes. ⇐). Vamos usar a contrapositiva que ´e se lim x→a g(x) ̸= L ent˜ao existe (xn) em A decres- cente com lim xn = a tal que lim g(xn) ̸= L. Supondo que temos lim x→a g(x) ̸= L ent˜ao existe sequˆencia (yn) em B com lim yn = a tal que lim g(yn) ̸= L, como (yn) ∈ (a, a + ε) ∩ A, podemos tomar (xn) subsequˆencia de (yn) tal que lim xn = a e lim g(xn) ̸= L (pois as subsequˆencias devem convergir para o mesmo valor das sequˆencias), assim fica provado o resultado. Exemplo 12. Tomamos f : R {0} → R definida como f(x) = 1 1 + a 1 x com a > 1, vamos analisar os limites laterais lim x→0+ f(x) e lim x→0− f(x). Seja (xn) em R {0} tal que lim xn = 0 ent˜ao vale lim a 1 xn = ∞, pois como lim xn = 0 podemos tomar c > 0 tal que ac > M > 0 arbitr´ario e 0 < xn0 < 1 c < 1 da´ı axn0 < a 1 c ⇒ M < ac < a 1 xn0 e como xn ´e decrescente para n0 < n vale xn < xn0 portanto axn < axn0 ⇒ M < a 1 xn0 < a 1 xn logo lim a 1 xn = ∞ de onde segue que lim f(xn) = lim 1 1 + a 1 xn = 0 que por sua vez implica lim x→0+ f(x) = 0.
  16. 16. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 15 Admitimos agora (yn) crescente em R {0} tal que lim yn = 0. a 1 yn = 1 a 1 −yn , como yn+1 > yn segue que −yn > −yn+1, (−yn) ´e decrescente e tende a zero logo pelo resultado anterior lim a 1 −yn = ∞ ⇒ lim a 1 yn = lim 1 a 1 −yn = 0, portanto lim 1 + a 1 yn = 1 e lim f(xn) = lim 1 1 + a 1 xn = 1 da´ı vale lim x→0− f(x) = 1. Propriedade 20. Seja f : A → R mon´otona. Se existe (xn) em A com xn > a, lim xn = a e lim f(xn) = L ent˜ao lim x→a+ f(x) = L. Demonstra¸c˜ao. Suponha f n˜ao decrescente, vamos mostrar que B = {f(x), x ∈ R, x > a} ´e um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitr´ario e fixo tal que x > a existe xn > a que satisfaz x > xn > a, pois lim xn = a, f n˜ao decrescente implica f(x) ≥ f(xn), como (f(xn)) ´e convergente, vale que tal sequˆencia ´e limitada inferiormente, portanto existe M tal que f(xn) > M ∀n ∈ N da´ı f(x) ≥ f(xn) > M para f(x) ∈ B arbitr´ario, logo B ´e limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ´ınfimo . Seja L′ = inf B = inf{f(x), x ∈ R, x > a}, vale que lim x→a f(x) = L′ (resultado j´a demonstrado), disso segue pelo crit´erio de sequˆencias para limite lateral que lim f(xn) = L′ = L, pela unicidade de limite, portanto lim x→a f(x) = L. Exemplo 13. Seja f : R{0} dada por f(x) = sen( 1 x ) 1 1 + 2 1 x . Determine o conjunto dos pontos L tais que lim f(xn) = L, com lim xn = 0, xn ̸= 0. Tomando o m´odulo da express˜ao sen( 1 x ) 1 1 + 2 1 x = 1 1 + 2 1 x < 1 pois 0 < 2 1 x , da´ı n˜ao podemos ter limites dessa express˜ao fora do intervalo [−1, 1], vamos mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo . Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1, 1]., Tomando xn = −1 t + 2πn vale sen( 1 xn ) = sen(−t) = v, al´em disso (xn) ´e decrescente com lim xn = 0, portanto vale lim f(xn) = lim v 1 + 2 1 xn = v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite j´a calculado).
  17. 17. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 16 1.5 Limites no infinito e limites infinitos 1.5.1 Defini¸c˜oes com limites de x → ∞ Defini¸c˜ao 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A → R, dizemos que lim x→∞ f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃A > 0, x > A ⇒ |f(x) − L| < ε. Tal defini¸c˜ao abrange a defini¸c˜ao para limite de sequˆencias, que ´e tomada como o caso A = N. Defini¸c˜ao 6. lim x→∞ f(x) = ∞ ⇔ ∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) > A. Propriedade 21. Se lim x→∞ f(x) = ∞ ent˜ao lim x→∞ 1 f(x) = 0. Demonstra¸c˜ao. Pela primeira propriedade temos ∀B > 0, ∃A > 0 | x > A ⇒ f(x) > B ent˜ao a fun¸c˜ao assume apenas valores positivos a partir de certo valor de x, se f(x) > 0 ent˜ao 0 < 1 f(x) 1 f(x) < 1 B = ε logo vale lim x→∞ 1 f(x) = 0. Exemplo 14. Pode acontecer de lim x→∞ 1 f(x) = 0 por´em lim x→∞ f(x) ̸= ∞, como o caso de f(x) = −x vale lim x→∞ 1 −x = 0 e lim x→∞ −x = −∞. Defini¸c˜ao 7. lim x→∞ f(x) = −∞ ⇔ ∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) < −A.
  18. 18. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 17 Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e n˜ao-decrescente, B ilimitado superiormente ent˜ao lim x→∞ f(x) = sup{f(x), x ∈ B}. Demonstra¸c˜ao. f ´e limitada superiormente logo existe sup{f(x), x ∈ B} = L. Como L ´e o supremo, dado ε > 0, existe xA ∈ B tal que f(xA) ∈ (L − ε, L], como f ´e n˜ao-decrescente temos para x > xA, L ≥ f(x) ≥ f(xA), logo f(x) ∈ (L − ε, L] o que implica lim x→∞ f(x) = L. Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g, f definidas em B ⊂ R ilimitado. Se lim x→∞ f(x) = L1 e lim x→∞ g(x) = L2 ent˜ao lim x→∞ f(x) + g(x) = L1 + L2. Demonstra¸c˜ao. Dado ε > 0 arbitr´ario existe A1 > 0 tal que x ∈ B, x > A1 implica |f(x) − L1| < ε e existe A2 > 0 tal que x ∈ B, x > A2 implica |f(x) − L1| < ε 2 |g(x)−L2| < ε 2 pela existˆencia de lim x→∞ f(x) = L1 e lim x→∞ g(x) = L2, tomando A > A1 +A2 valem ambas propriedades descritas e da´ı temos por desigualdade triangular |f(x) + g(x) − (L1 + L2)| ≤ |f(x) − L1| + |g(x) − L2| < ε 2 + ε 2 = ε. 1.5.2 Defini¸c˜oes com limites de x → −∞ Defini¸c˜ao 8. Seja A ⊂ R ilimitado inferiormente e f : A → R, dizemos que lim x→−∞ f(x) = L sse ∀ε > 0 ∃A > 0, x < −A ⇒ |f(x) − L| < ε. Defini¸c˜ao 9. lim x→−∞ f(x) = −∞ sse ∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) < −A. Defini¸c˜ao 10. lim x→−∞ f(x) = ∞ sse ∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) > A.
  19. 19. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 18 1.5.3 Defini¸c˜oes de limites tendendo ao infinito Defini¸c˜ao 11. Dizemos que lim x→a+ f(x) = ∞ quando ∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x − a < δ ⇒ f(x) > A. Defini¸c˜ao 12. Dizemos que lim x→a− f(x) = ∞ quando ∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a − x < δ ⇒ f(x) > A. Defini¸c˜ao 13. Dizemos que lim x→a f(x) = ∞ quando ∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > A. Negar que lim x→a f(x) = ∞ significa dizer ∃A > 0, ∀δ > 0 | ∃x ∈ A com 0 < |x − a| < δ e f(x) < A. Propriedade 24. Se lim x→a f(x) = ∞ e lim x→a g(x) = ∞ ent˜ao lim x→a (f(x) + g(x)) = ∞. Intuitivamente, temos que se f(x) e g(x) assumem valores arbitrariamente grandes com x pr´oximo de a, ent˜ao f(x) + g(x) tamb´em assume valor arbitrariamente grande nessas condi¸c˜oes. Por isso dizemos que ∞ + ∞ n˜ao ´e uma forma indeterminada, ela ´e determinada com valor ∞. Demonstra¸c˜ao. Seja A > 0 arbitr´ario , temos por condi¸c˜oes de que lim x→a f(x) = ∞ e lim x→a g(x) = ∞ , existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que 0 < |x − a| < δ1 ⇒ f(x) > A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ g(x) > A, tomando ent˜ao δ = min{δ1, δ2} segue que tanto f(x) > A e g(x) > A para |x − a| < δ, por isso tamb´em temos f(x) + g(x) > 2A > A com |x − a| < δ e da´ı segue que lim x→a (f(x) + g(x)) = ∞ , por defini¸c˜ao de limite infinito .
  20. 20. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 19 Propriedade 25. Se lim x→a f(x) = ∞ e g(x) > c > 0 numa vizinhan¸ca de a ent˜ao lim x→a f(x).g(x) = ∞. Demonstra¸c˜ao. Para todo A > 0 existe ε > 0 tal que x ∈ (a − ε, a + ε) implica g(x) > c e f(x) > A c , da´ı g(x).f(x) > A o que implica lim x→a f(x).g(x) = ∞. Exemplo 15. lim x→0 1 x2 (2 + sen( 1 x )) = ∞ pois o limite da primeira fun¸c˜ao ´e infinito e a segunda fun¸c˜ao ´e limitada inferiormente por 1 . 1.5.4 Defini¸c˜oes de limites tendendo a menos infinito Defini¸c˜ao 14. Dizemos que lim x→a+ f(x) = −∞ quando ∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < x − a < δ ⇒ f(x) < −A. Defini¸c˜ao 15. Dizemos que lim x→a− f(x) = −∞ quando ∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < a − x < δ ⇒ f(x) < −A. Defini¸c˜ao 16. Dizemos que lim x→a f(x) = −∞ quando ∀A > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −A. Corol´ario 7. Se lim x→a f(x) = ∞ ent˜ao f ´e ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para qualquer A > 0 que escolhermos, ir´a existir δ > 0 tal que |x − a| < δ implique f(x) > A, logo f n˜ao ´e limitada. Corol´ario 8. Se lim x→a f(x) = −∞ ent˜ao f ´e ilimitada numa vizinhan¸ca de a. Pois para qualquer A > 0 que escolhermos, ir´a existir δ > 0 tal que |x−a| < δ implique f(x) < −A, logo f n˜ao ´e limitada. Propriedade 26 (Unicidade do limite). Se lim x→a f(x) = ∞ ent˜ao n˜ao acontece de lim x→a f(x) = L para algum L real ou lim x→a f(x) = −∞.
  21. 21. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 20 Demonstra¸c˜ao. Se lim x→a f(x) = L ent˜ao f seria limitada numa vizinhan¸ca de a, o que n˜ao pode acontecer. Se lim x→a f(x) = −∞ ent˜ao existiria δ > 0 tal que |x − a| < δ implicaria f(x) < −A e por lim x→a f(x) = ∞ implicaria existir δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1 implica f(x) > A, tomando δ2 < min{δ, δ1} ter´ıamos que ter f(x) > A e f(x) < −A, logo f(x) > 0 e f(x) < 0 o que ´e absurdo. 1.5.5 Crit´erio de compara¸c˜ao Propriedade 27 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Se g(x) ≥ f(x) numa vizinhan¸ca qualquer de a, ent˜ao lim x→a f(x) = ∞ implica lim x→a g(x) = ∞, isto ´e, se a fun¸c˜ao ”menor”tende ao infinito a ”maior”tamb´em tende ao infinito. Demonstra¸c˜ao. Existe δ > 0 tal que x ∈ A, |x − a| < δ implica g(x) ≥ f(x), como lim x→a f(x) = ∞ ent˜ao para todo A > 0 existe δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1 implica f(x) > A, tomando δ2 < min{δ1, δ} tem-se que g(x) ≥ f(x) e f(x) > A da´ı g(x) > A o que implica lim x→a g(x) = ∞. Corol´ario 9. Se lim x→a f(x) existe e lim x→a g(x) = ∞ ent˜ao g(x) > f(x) numa vizinhan¸ca de a, pois f ´e limitada valendo f(x) ≥ |f(x)| < A e g ´e ilimitada numa vizinhan¸ca de a valendo g(x) > A > f(x). Exemplo 16. lim x→0 1 |x| = ∞ pois para qualquer A > 0 tomando δ = 1 A tem-se de 0 < |x| < 1 A que A < 1 |x| logo lim x→0 1 |x| = ∞. Exemplo 17. Tomando −1 < x < 1, x ̸= 0 tem-se 0 < |x| < 1 e da´ı |x|2 < |x|, isto ´e, x2 < |x| logo 1 x2 > 1 |x| isso implica que lim x→0 1 x2 = 0 pelo crit´erio de compara¸c˜ao. Propriedade 28 (Teorema do sandu´ıche). Se vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x sufici- entemente grande, se lim x→∞ f(x) = lim x→∞ h(x) = L ent˜ao lim x→∞ g(x) = L. Demonstra¸c˜ao. Existem A1, A2 > 0 tais que para x > A1 vale L − ε ≤ f(x) ≤ L + ε para x > A2 vale L − ε ≤ g(x) ≤ L + ε
  22. 22. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 21 e para x > A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B > A1 + A2 + A3 e x > B segue que L − ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L + ε que implica lim x→∞ g(x) = L. 1.5.6 lim x→a f(x) = ∞ e sequˆencias. Propriedade 29. lim x→a f(x) = ∞ sse lim f(xn) = ∞ com xn ∈ B {a} e lim xn = a. Demonstra¸c˜ao. ⇒. Do limite da fun¸c˜ao tem-se ∀A > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ implica f(x) > A, do limite da sequˆencia temos que existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |xn − a| < δ e da´ı f(xn) > A que significa lim f(xn) = ∞. ⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A > 0 tal que podemos construir uma sequˆencia xn que satisfaz 0 < |xn − a| < 1 n e f(xn) < A, da´ı lim xn = a e lim f(xn) ̸= ∞. Propriedade 30. Seja P : R → R com P(x) = n∑ k=0 akxk com an ̸= 0, n ≥ 1. Se n ´e par ent˜ao lim x→∞ P(x) = lim x→−∞ P(x) sendo ∞ se an > 0 e −∞ se an < 0. Se n ´e ´ımpar ent˜ao lim x→∞ P(x) = ∞ e lim x→−∞ P(x) = −∞ com an > 0 e lim x→∞ P(x) = −∞ e lim x→−∞ P(x) = ∞ se an < 0. Demonstra¸c˜ao. Escrevemos P(x) = anxn →1 ( n−1∑ k=0 ak anxn−k →0 +1). Se n ´e par lim x→∞ xn an = ∞ = lim x→−∞ xn an com an > 0 e lim x→∞ xn an = −∞ = lim x→−∞ xn an se an < 0, portanto o mesmo segue para P(x). Se n ´e ´ımpar, lim x→∞ xn an = ∞ e lim x→−∞ xn an = −∞ com an > 0, caso an < 0 tem-se lim x→∞ xn an = −∞ e lim x→−∞ xn an = ∞. Propriedade 31. Seja f : [a, ∞) → R limitada. Para cada t ≥ a definimos Mt = sup{f(x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At mt = inf{f(x) | x ∈ [t, ∞)} = sup At
  23. 23. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 22 wt = Mt − mt, chamada de oscila¸c˜ao de f em I = [t, ∞). Nessas condi¸c˜oes, existem lim t→∞ Mt e lim t→∞ mt. ∃ lim t→∞ f(t) ⇔ lim t→∞ wt = 0. Demonstra¸c˜ao. Mt ´e n˜ao-crescente e mt ´e n˜ao-decrescente. Se s > t vale que {f(x) | x ∈ [s, ∞} = As ⊂ {f(x) | x ∈ [t, ∞)} = At, portanto sup At ≥ sup As, implicando Mt ≥ Ms logo mt ´e n˜ao-crescente. Da mesma maneira mt ´e n˜ao-decrescente, pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e da´ı ms ≥ mt que significa que mt ´e n˜ao-decrescente. Ambas fun¸c˜oes s˜ao limitadas logo os limites lim t→∞ Mt e lim t→∞ mt existem. lim t→∞ Mt = L, lim t→∞ mt = l ⇒ lim t→∞ wt = L − l. Agora provamos a equivalˆencia enunciada. ⇐). Se lim t→∞ wt = 0 ent˜ao ⇒ lim t→∞ f(t) existe. Vale que mt ≤ f(t) ≤ Mt (pois mt e Mt s˜ao ´ınfimo e supremo respectivamente), se ⇒ lim t→∞ wt = 0 ent˜ao L − l = 0 ⇒ L = l, da´ı por teorema do sandu´ıche tem-se L = lim t→∞ mt ≤ lim t→∞ f(t) ≤ lim t→∞ Mt = L de onde segue lim t→∞ f(t) = L. ⇒). Se lim t→∞ f(t) = L ent˜ao ∀ε > 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L−ε < f(t) < L+ε, logo L − ε ≤ mt ≤ f(t) ≤ Mt ≤ L + ε pois mt ´e ´ınfimo e Mt ´e supremo, portanto Mt − mt ≤ 2ε (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ε, L + ε)) e isso implica que lim t→∞ Mt = lim t→∞ mt = L da´ı lim wt = 0. 1.6 Limites de fun¸c˜oes em espa¸cos m´etricos Defini¸c˜ao 17. Sejam A ⊂ M, a ∈ A e f : A → N, b ∈ N ´e o limite de f(x) quando x tende a a quando ∀ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), b) < ε.
  24. 24. CAP´ITULO 1. LIMITE DE FUNC¸ ˜OES 23 1.7 Stolz-Ces`aro para limite de fun¸c˜oes Propriedade 32 (Stolz-Ces`aro para limite de fun¸c˜oes). Sejam f, g : R+ → R limita- das em cada intervalo limitado, g crescente, com lim x→∞ ∆f(x) ∆g(x) = L lim x→∞ g(x) = ∞ ent˜ao lim x→∞ f(x) g(x) = L. Demonstra¸c˜ao. Dado ε > 0 existe, tal que para x > M vale ε − L < ∆f(x) ∆g(x) < ε + L como g ´e crescente vale ∆g(x) > 0 ent˜ao podemos multiplicar a desigualdade por tal termo, substituir x por x + k onde k natural e aplicar a soma n−1∑ k=0 , que resulta em (ε − L)(g(x + n) − g(x)) + f(x) < f(x + n) < (ε + L)(g(x + n) − g(x)) + f(x) por soma telesc´opica, dividimos por g(x + n), que pode ser considerado positivo pois g → ∞ (ε − L)(1 − g(x) g(x + n) ) + f(x) g(x + n) < f(x + n) g(x + n) < (ε + L)(1 − g(x) g(x + n) ) + f(x) g(x + n) agora passamos as sequˆencias, tomamos x = yn em [M, M + 1] e xn = n + yn ´e uma sequˆencia arbitr´aria que tende a infinito, g e f s˜ao limitadas em [M, M + 1] da´ı (ε − L)(1 − g(yn) g(xn) ) + f(yn) g(xn) < f(xn) g(xn) < (ε + L)(1 − g(yn) g(xn) ) + f(yn) g(xn) a passagem do limite nos garante que lim f(xn) g(xn) = L pois g(yn) e f(yn) s˜ao limitadas e lim g(xn) = ∞ .

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