1. 1
Descripci´n de las pr´cticas.
o a
Las pr´cticas siguientes corresponden todas ellas al tema cinco del programa de la
a
asignatura: “Integrales dobles y triples”. Est´n organizadas del modo siguiente,
a
• Las tres primeras estan incluidas en el apartado de “integrales doble” y tratan
respectivamente,
Pr´ctica primera. De la integral doble de una funci´n dada f (x, y) en una
a o
regi´n Ω del plano oxy descrita por las curvas que forman su contorno.
o
Pr´ctica segunda. Del c´lculo del volumen de un recinto R del espacio,
a a
definido por el conjunto de superficies que lo limitan, hallando el valor de la
integral doble de cierta funci´n en la regi´n Ω en que se proyecta R sobre el
o o
plano oxy.
Pr´ctica tercera. Tambi´n del c´lculo de un volumen en la misma forma que
a e a
la pr´ctica anterior pero efectuando en la integral doble, una vez planteada,
a
un cambio a las coordenadas polares.
• Las dos pr´cticas siguientes tratan, por su parte, de la integraci´n triple. Con-
a o
sisten en
Pr´ctica cuarta. Se pide integrar una funci´n f (x, y, z) en un recinto R
a o
dado en el espacio. Se convierte la integral triple en una doble (como la de
la pr´ctica primera) sobre la proyecci´n de R en el plano oxy.
a o
Pr´ctica quinta. Finalmente, la pr´ctica quinta tiene el mismo planteamien-
a a
to y desarrollo que la anterior pero la integral doble que resulta se ejecuta
en coordenadas polares.

2. 2
Ejercicio del aula de inform´tica. No 1.
a
Ejercicio. Calcular la integral doble de la funci´n
o
f (x, y) = 1 − x2
en la regi´n del plano Ω limitada por la curva y = x4 y la par´bola y = 2 − x2 .
o a
Soluci´n:
o
Representaci´n de Ω. Dibujemos ante todo la regi´n Ω para lo cual basta escribir,
o o
[> with(plots):
[> curva:=plot(xˆ4, x=-1..1):
[> parabola:=plot(2-xˆ2, x=-1..1):
[> display(curva,parabola,scaling=constrained);
Planteamiento de la integral. La integral doble
1 − x2 dx dy
Ω
se plantea hallando previamente los l´
ımites de la regi´n Ω de integraci´n. Si barremos
o o
dicha regi´n verticalmente, ser´ una integral de la forma
o a
b y2 (x)
1 − x2 dy dx.
a y1 (x)
1. Primera integraci´n. Observemos que la regi´n est´ limitada,
o o a
(a) Inferiormente por la curva y = x4 .
(b) Superiormenente por la par´bola y = 2 − x2 .
a
Como consecuencia la primera integral es
2−x2
1 − x2 dy.
x4

3. 3
2. Segunda integraci´n. Para hallar los l´
o ımites de la segunda integral calculemos los
puntos de intersecci´n de la curva y = x4 y la par´bola y = 2 − x2 para lo cual
o a
ponemos,
[> solve({y=xˆ4, y=2-xˆ2});
El resultado obtenido nos permite decir que Ω tambi´n est´ limitada,
e a
(a) Por la izquierda por el valor x = −1.
(b) Por la derecha por el x = 1.
De este modo la segunda integral tiene como l´
ımites −1 y 1 y la integral doble
queda planteada as´
ı:
1 2−x2
1 − x2 dy dx.
−1 x4
C´lculo de las integrales.
a
2−x2
1. Primera integraci´n. La integral
o 1 − x2 dy podemos hacerla en Maple
x4
de dos formas distintas.
(a) De modo directo como una integral definida. Para ello se escribe,
[> integral1:=int(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2);
[> simplify(%);
(b) O bien de forma indirecta calculando en primer lugar la integral indefinida
1 − x2 dy y sustituyendo luego los l´
ımites de integraci´n. As´
o ı:
[> IntIndef:=int(1-xˆ2, y);
[> integral1:=subs(y=2-xˆ2,IntIndef )-subs(y=xˆ4,IntIndef );
[> simplify(%);

4. 4
2. Segunda integraci´n. El resultado obtenido tras la primera integraci´n, que es
o o
el que hemos llamado “integral1” se integra ahora entre x = −1 y x = 1 (lo
hacemos ya de forma directa como integral definida) de la siguiente manera (El
resultado es ya el valor de la integral doble planteada),
[> int(integral1, x=-1..1);
Nota importante. Existe en Maple una forma de hallar una integral doble sin dividirla
en las dos integrales reiteradas usuales, es decir hall´ndola de una sola vez. Es preciso
a
para ello importar el paquete student y emplear las ´rdenes Doubleint y value. En
o
el caso del ejercicio anterior esto se har´ como sigue,
ıa
[> with(student):
[> Doubleint(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);

5. 5
Ejercicio del aula de inform´tica. No 2.
a
Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el semiespacio y ≥ 0 por las
y
superficies z = , z = 0, x2 + y 2 = 1.
1 + x2
Soluci´n:
o
Representaci´n del recinto. Vamos a representar el recinto que limitan las superficies
o
dadas en el semiespacio indicado:
1. La m´s sencilla de representar, como superficie expl´
a ıcita, es el plano z = 0,
[> with(plots):
[> plano:=plot3d(0, x=-1..1, y=0..1):
y
2. Tambi´n como superficie expl´
e ıcita representamos la superficie z = ,
1 + x2
[> superficie:=plot3d(y/(1+xˆ2), x=-1..1, y=0..1):
3. Y finalmente representamos el cilindro usando sus ecuaciones param´tricas x =
e
cos u, y = senu, z = v. Tambi´n representamos todas las superficies conjunta-
e
mente
[> cilindro:=plot3d([cos(u),sin(u),v], u=0..Pi, v=0..1):
[> display(plano,superficie,cilindro);
Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy.
El recinto del enunciado est´ limitado,
a
1. Inferiormente por el plano z = 0.
y
2. Superiormenente por la superficie z = 1+x2
.
Por lo tanto dicho volumen se obtiene como la integral doble
y
−0 dx dy.
Ω 1 + x2
donde el integrando es la diferencia de los valores de z en las superficies que limitan el
recinto superior e inferiormente y Ω es la regi´n del plano oxy encerrada por las curvas
o
siguientes:

6. 6
1. La base del cilindro x2 + y 2 = 1.
y
2. La proyecci´n sobre el plano oxy de la intersecci´n de las superficies z =
o o 1+x2
y
z = 0 (la cual es obviamente la recta y = 0).
(Bien entendido que de ambas curvas solo puede tomarse la parte del semiplano y ≥ 0
debido a la limitaci´n del enunciado).
o
[> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4):
[> semicircunferencia:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi], thickness=4):
[> display(ejeox,semicircunferencia,scaling=constrained);
A la vista de su representaci´n geom´trica y si la barremos verticalmente, Ω est´
o e a
limitada,
1. Superiormente por la semicircunferencia superior de x2 + y 2 = 1 que es, despe-
√
jando y, y = 1 − x2 .
2. Inferiormente por el eje ox, de ecuaci´n expl´
o ıcita en y, y = 0.
3. Por la izquierda por el valor x = −1.
4. Y por la derecha por el x = 1.
En virtud de todo esto el volumen se plantea as´
ı:
√
1 1−x2 y
V = dy dx.
−1 0 1 + x2
C´lculo de las integrales.
a
√
1−x2 y
1. Primera integraci´n. La integral
o dy se obtiene poniendo
0 1 + x2
[> integral1:=int(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2));
[> convert(%,parfrac,x);
Obs´rvese el resultado de la orden “convert” (descompone la fracci´n para poder
e o
integrarla).

7. 7
2. Segunda integraci´n. El resultado de la primera integraci´n se integra ahora entre
o o
x = −1 y x = 1.
[> V:=int(integral1, x=-1..1);
Para efectuar la integral doble de una sola vez se tiene que escribir
[> with(student):
[> Doubleint(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2), x=-1..1);
[> V:=value(%);

8. 8
Ejercicio del aula de inform´tica. No 3.
a
Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el primer octante por el cilindro
x2 + y 2 = x y el paraboloide el´
ıptico z = 1 − x2 − y 2 .
Soluci´n:
o
Representaci´n del recinto. La representaci´n del recinto descrito es la siguiente
o o
1. Como el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 tiene v´rtice (0, 0, 1), semiejes a = 1 y
e
b = 1 y concavidad negativa se parametriza en la forma x = v cos u, y = v senu,
z = 1 − v 2 y se representa como,
[> with(plots):
[> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),1-vˆ2], u=0..Pi/2,
v=0..1):
2. Por su parte el cilindro x2 + y 2 = x es vertical y su base es la circunferencia de
centro (1, 0, 0) y radio 1 y por ello se representa poniendo,
[> cilindro:=plot3d([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,v], u=0..Pi, v=0..1):
3. Por otra parte los planos coordenados oxy y oyz, que delimitan tambi´n este
e
recinto, quedan,
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=0..1, y=0..1):
[> planooyz:=plot3d([0,y,z], y=0..1, z=0..1):
4. Y todas las superficies conjuntamente,
[> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planooyz);
Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy.
El recinto tiene superior e inferiormente los siguientes l´
ımites,
1. Inferiormente, el plano z = 0.
2. Superiormenente, el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 .

9. 9
Por lo tanto el volumen vale,
V = 1 − x2 − y 2 dx dy
Ω
donde:
1. El integrando, 1 − x2 − y 2 , es la diferencia de los valores de z en las superficies
que cubren el recinto por encima, z = 1 − x2 − y 2 , y por debajo, z = 0.
2. Ω es la regi´n del plano oxy encerrada por las curvas,
o
(a) x2 + y 2 = 1 que es el corte del paraboloide con el plano z = 0.
(b) x2 + y 2 = x, que es la circunferencia base del cilindro.
(c) Y por eje oy que es el corte del plano oyz con el z = 0.
[> circulo1:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi/2],thickness=4):
[> circulo2:=plot([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,u=0..Pi],thickness=4):
[> ejeoy:=plot([0,y,y=0..1],thickness=4):
[> display(circulo1,circulo2,ejeoy,scaling=constrained);
A la vista de su representaci´n geom´trica calcularemos la integral cambiando a las
o e
variables polares, es decir barriendo Ω radialmente. En esta forma los l´
ımites de Ω son:
1. Para el ´ngulo polar θ los valores θ = 0 y θ = π .
a 2
2. Y para el radio polar ρ los siguientes:
(a) El valor de ρ en la circunferencia x2 + y 2 = x que se obtiene sustituyendo
en esta ecuaci´n x = ρ cos θ, y = ρ senθ, y despejando ρ,
o
[> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=x);
[> solve(%,rho);
[> simplify(%[2]);
(b) Y el valor de ρ en la circunferencia x2 + y 2 = 1 que se obtiene de la misma
manera

10. 10
[> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=1);
[> solve(%,rho);
Adem´s el integrando original 1 − x2 − y 2 debe ser sustituido por el producto del
a
Jacobiano ρ del cambio de variables por el que se obtiene pasando ´quel a polares, es
a
decir
[> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), 1-xˆ2-yˆ2);
[> simplify(%);
En virtud de todo esto el volumen se plantea as´
ı:
π π
2
1 2
1
V = ρ 1 − ρ2 dρ dθ = ρ − ρ3 dρ dθ.
0 cos θ 0 cos θ
C´lculo de las integrales.
a
1
1. Primera integraci´n. La integral
o ρ − ρ3 dρ vale
cos θ
[> integral1:=int(rho*(1-rhoˆ2), rho=cos(theta)..1);
2. Segunda integraci´n. El resultado de la primera integraci´n se integra entre θ = 0
o o
y θ = π.
2
[> V:=int(integral1, theta=0.. Pi/2);
La integral doble se har´ as´
ıa ı:
[> with(student):
[> Doubleint(rho-rhoˆ3, rho=cos(theta)..1, theta=0.. Pi/2);
[> value(%);

11. 11
Ejercicio del aula de inform´tica. No 4.
a
Ejercicio. Calcular la integral triple de la funci´n
o
1
f (x, y, z) =
x2 + y2
ıptico z = x2 + y 2 ,
en el recinto R del espacio limitado por el paraboloide el´
el cilindro parab´lico y = 1 − x2 y los plano y = 0 y z = 0.
o
Soluci´n:
o
Representaci´n de R. Representemos en primer lugar el recinto R,
o
1. Paraboloide. El paraboloide z = x2 + y 2 tiene como v´rtice el origen de coor-
e
denadas, semiejes a = 1 y b = 1 y concavidad positiva. Por eso sus ecuaciones
param´tricas son,
e
x = v cos u, y = v senu, z = v2,
y estas ecuaciones son las que usamos para representarlo,
[> with(plots):
[> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),vˆ2], u=0..2*Pi,
v=0..1):
2. Cilindro y planos. Tanto el cilindro parab´lico como los dos planos coordenados
o
que se dan est´n en forma expl´
a ıcita, luego se representan as´
ı,
[> cilindro:=plot3d([x,1-xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1):
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1):
[> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1):
3. Todas las superficies citadas dan, representadas conjuntamente, el recinto descrito
en el enunciado,
[> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planoozx);
Planteamiento.
Vamos a hacer este ejercicio reduciendo la integral triple a una doble mediante proyec-
ci´n sobre el plano oxy. Para ello tengamos en cuenta que,
o

12. 12
1. El recinto est´ cubierto superiormente por el paraboloide z = x2 + y 2 .
a
2. E inferiormente por el plano z = 0.
Esto significa que la integral triple se reduce a una doble usando la identidad,
1
dx dy dz = f (x, y) dx dy
R x2 + y2 Ω
donde,
1
1. Integrando. f (x, y) es la funci´n que resulta de integrar
o x2 +y 2
respecto de z
entre el valor de z en la superficie que limita R superiormente, z = x2 + y 2 e
inferiormente, z = 0. Es decir que
x2 +y 2 1
f (x, y) = dz
0 x2 + y2
y vale
[> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2);
2. Regi´n de integraci´n. Ω est´ limitada por la parab´la y = 1 − x2 y el eje ox,
o o a o
[> parabola:=plot(1-xˆ2, x=-1..1, thickness=4):
[> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4):
[> display(parabola,ejeox,scaling=constrained);
Esto significa que los l´
ımites de Ω son


 0 ≤ y ≤ 1 − x2 ,

 −1 ≤ x ≤ 1.
Como consecuencia de todo esto la integral triple queda:
1 1 1−x2
2 + y2
dx dy dz = f (x, y) dx dy = 1 dx dy
R x Ω −1 0
y se obtiene del modo siguiente

13. 13
[> integral2:=int(integral1, y=0..1-xˆ2);
[> integraltriple:=int(integral2, x=-1..1);
Si la integral doble se hace de una sola vez el proceso completo de c´lculo de la
a
integral triple por reducci´n a una simple y una doble hubiese sido,
o
[> with(student):
[> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2);
[> integraltriple:=Doubleint(integral1, y=0..1-xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);
Observaci´n. Igual que es posible calcular una integral doble en un solo paso
o
tambi´n podemos calcular de este modo una integral triple. La orden correspon-
e
diente es Tripleint y en el presente ejercicio se pondr´ (n´tese que se agrupan
ıa o
en una sola las integraciones simple y doble hechas antes),
[> integraltriple:=Tripleint(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2, y=0..1-
xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);

14. 14
Ejercicio del aula de inform´tica. No 5.
a
Ejercicio. Calcular, usando coordenadas cil´
ındricas, la integral triple
2xz
dx dy dz
R x2 + y 2
extendida al recinto del semiespacio z ≥ 0 encerrado por los planos y = 0,
z = 0, la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2 y el cilindro parab´lico y = x2 .
o
Soluci´n:
o
Representaci´n de R. El recinto del enunciado se representa del siguiente modo,
o
1. Esfera. Representamos la esfera utilizando sus ecuaciones param´tricas (limita-
e
mos las variaciones de sus par´metros u y v para la parte del espacio en que
a
y ≥ 0, z ≥ 0).
[> with(plots):
[> esfera:=plot3d([cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)],
u=0..Pi/2, v=0..Pi):
2. Cilindro y planos. El cilindro parab´lico y = x2 y los planos y = 0 y z = 0 se
o
representan, a su vez, como sigue
[> cilindro:=plot3d([x,xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1):
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1):
[> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1):
3. Todas estas superficies dan el recinto descrito en el enunciado,
[> display(esfera,cilindro,planooxy,planoozx);
Planteamiento.
Reduzcamos la integral triple a una doble proyectando sobre el plano oxy. Puesto que,
√
1. El recinto est´ cubierto superiormente por la semiesfera z =
a 2 − x2 − y 2 ,
2. E inferiormente por el plano z = 0,

15. 15
dicha reducci´n queda as´
o ı,
2xz
dx dy dz = f (x, y) dx dy
R x2 + y2 Ω
siendo,
2xz
1. Integrando. f (x, y) es la funci´n que resulta integrando x2 +y2 respecto de z entre
o
√
el valor de z en el plano, z = 0, y la esfera, z = 2 − x2 − y 2 ,
√
2−x2 −y 2 2xz
f (x, y) = 2 + y2
dz.
0 x
Esta integral vale
[> integral1:=int(2*x*z/(xˆ2+yˆ2), z=0..sqrt(2-xˆ2-yˆ2));
2. Regi´n de integraci´n. Ω est´ limitada por la parab´la y = 1 − x2 , el eje ox y la
o o a o
√
semicircunferencia y = 2 − x2 en que la esfera corta al plano oxy,
[> parabola:=plot(xˆ2, x=-1..1, thickness=4):
[> circunferencia:=plot(sqrt(2-xˆ2), x=-sqrt(2)..sqrt(2), thick-
ness=4):
[> ejeox:=plot(0, x=-sqrt(2)..sqrt(2), thickness=4):
[> display(parabola, circunferencia,ejeox,scaling=constrained);
Como consecuencia de todo esto la integral triple queda:
1 x (2 − x2 − y 2 )
dx dy dz = dx dy
R x2 + y 2 Ω x2 + y 2
pero teniendo en cuenta que tanto la regi´n de integraci´n como el integrando son
o o
sim´tricos respecto del plano x = 0 (porque al cambiar x por −x en las curvas que
e
limitan Ω o en el integrando ni unas ni el otro cambian) podemos usar esta simetr´ y
ıa
poner,
1 x (2 − x2 − y 2 )
2 + y2
dx dy dz = 2 dx dy
R x Ω x2 + y 2
donde Ω es la mitad de Ω situada en el primer cuadrante.

16. 16
C´lculo de la integral. Atendiendo a lo que se nos pide en el enunciado vamos a hallar
a
el valor de la integral doble haciendo un cambio a las coordenadas polares. En este
sentido los l´
ımites de Ω son,
1. Para θ, θ = 0 y su valor en el punto de intersecci´n de la circunferencia x2 +y 2 = 2
o
y la par´bola y = x2 , lo cual se hace resolviendo el sistema {x2 + y 2 = 2, y = x2 },
a
[> solve(xˆ2+yˆ2=2, y=xˆ2);
o ımite superior de θ es π .
Y como el punto de intersecci´n resulta ser el (1, 1) el l´ 4
2. Y para ρ, su valor en la par´bola, que se obtiene pasando la ecuaci´n de ´sta a
a o e
coordenadas polares y despejando ρ,
[> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), y=xˆ2);
[> solve(%,rho);
y su valor en la circunferencia x2 + y 2 = 2 que se halla del mismo modo,
[> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=2);
[> solve(%,rho);
x (2 − x2 − y 2 )
Adem´s el integrando
a queda, despu´s de convertirlo a polares y multi-
e
x2 + y 2
plicar por el jacobiano del cambio de variables,
[> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), x*(2-xˆ2-yˆ2)/
(xˆ2+yˆ2));
[> integrando:=simplify(%);
De acuerdo con todo lo anterior la integral
x (2 − x2 − y 2 )
dx dy
Ω x2 + y 2

17. 17
se convierte en coordenadas polares en
π
√
x (2 − x2 − y 2 ) 4
2
dx dy = 2 − ρ2 cos θ dθ dθ
Ω x2 + y 2 0 sen θ
cos2 θ
y se obtiene del siguiente modo,
[> integral2:=int(integrando, rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2));
[> integraltriple:=2*int(integral2, theta=0..Pi/4);
Si la integral doble se hace de una sola vez se pone
[> with(student):
[> integraltriple:=2*Doubleint(integrando,
rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2), theta=0..Pi/4);
[> value(%);